Las leyes de Kepler describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol. La primera ley establece que las órbitas planetarias son elipses con el Sol en uno de los focos. La segunda ley indica que los planetas barren áreas iguales en tiempos iguales. La tercera ley expresa que el cuadrado del período de un planeta es proporcional al cubo de su semieje mayor. Las leyes de Newton, incluyendo la gravitación universal, permiten demostrar matemáticamente las leyes de Kepler.

1. 1 Leyes de Kepler
 Primera ley: La órbita de un planeta alrededor del Sol es una elipse con el
sol en uno de sus focos.
 Segunda ley: La línea que une al planeta con el Sol barre áreas iguales en
tiempos iguales.
 Tercera ley: El cuadrado del período de un planeta es proporcional al cubo
de su semieje mayor.
P2=kR3.
La demostración de las leyes de Kepler se basa en las leyes de Newton que
enunciamos a continuación.
2 Leyes de Newton

2.  Primera ley (ley de la inercia): Todo objeto en estado de movimiento
uniforme tiende a permanecer en este estado de movimiento, a menos que
una fuerza se le aplique.
 Segunda ley: La relación entre la masa m de un objeto, su aceleración a y
la fuerza aplicada F es
F=ma
 Tercera ley: A toda acción corresponde una reacción de la misma magnitud
y en sentido contrario.
 Ley de la Gravitación Universal: Todo objeto en el universo atrae a
cualquier otro objeto con una fuerza en dirección de la línea de los centros
de los dos objetos, que es proporcional al producto de sus masas e
inversamente proporcional al cuadrado de su distancia.
| F| = G
m1m2
r2
siendo G la constante de gravitación universal. Si colocamos el origen de
coordenadas en uno de los dos objetos, tenemos
F=



G
m1m2
r2



u
donde u es el vector unitario en la dirección de la línea de los centros.
2.1 Demostración de las leyes de Kepler a partir de las de Newton
Teorema 0 Los planetas se mueven en planos.
Demostración:

3. Consideramos que el movimiento del planeta se atiene a la 2a ley de Newton,
F=ma (1)
y que la única fuerza que actúa sobre el planeta es la fuerza de atracción del Sol.
Coloquemos al Sol en el origen de coordenadas.
Denotamos al vector posición del planeta en el momento t como R=R( t) . Su
velocidad v se obtiene derivando el vector posición
v( t) =
dR
dt
y su aceleración a es la derivada de la velocidad
a( t) =
dv
dt
Por la ley de la gravitación universal,
F=



G
mM
 R 2



u (2)
donde u es el vector unitario que va del Sol al planeta, es decir,

4. u=
R
 R
Igualando (1) y (2) se obtiene
a=



G
M
 R 2



u (3)
por lo que el vector aceleración es un múltiplo del vector posición u y se dirige
siempre hacia el Sol.
Consideremos el vector
h=R×mv=m( R×v) (4)
conocido como el momento angular del planeta.
Calculamos su derivada
d
dt
m( R×v) = m






dR
dt
×v



+



R×
dv
dt






=m( ( v×v) +( R×a) ) = 0
ya que a es un múltiplo de u y por consiguiente un múltiplo de R.
Así que
R×v=C=constante, (5)

5. esto significa que se conserva el momento angular. Por lo que tanto R como
[(dR)/dt]=v son perpendiculares al vector constante C y por tanto siempre están en
un plano perpendicular a C.
Figura 1
2.2 Demostración de la segunda ley de Kepler
Como la curva que describe el planeta es plana, podemos pensar que está en el
plano XY y podemos parametrizarla con coordenadas polares
R( ) = r( ) u()
donde el vector u es un vector unitario
u( ) = ( cos,sen) .
conocido como el vector unitario en la dirección radial.

6. Figura 2
El ángulo  que forma el vector R con el eje X depende del tiempo, es decir,  = (
t) .
El vector
w( ) = ( sen,cos)
se llama el vector unitario en la dirección circunferencial.
Los vectores u y w satisfacen las siguientes propiedades:
uw,
du
dt
=w
d
dt
,
dw
dt
=u
d
dt
Para probar la primera, calculamos el producto escalar de u y w
u·w=( cos,sen)·( sen,cos) = cossen+sencos = 0
Para la segunda, utilizamos la regla de la cadena

7. du
dt
=
du
d
d
dt
=(sen,cos)
d
dt
=w
d
dt
Elegimos el sistema de coordenadas de manera que el valor inicial t=0 cuando r=
R es mínimo, es decir, cuando el planeta está en el perihelio, la posición más
cercana al sol y en este momento, el planeta se encuentra en el eje X, es decir, 
= 0.
Como r( ) alcanza su mínimo en  = 0 entonces para t=0,
dr
dt
( 0) = 0.
La velocidad del planeta es la derivada de la posición:
v( t) =
dR
dt
=
d
dt
ru = r
du
dt
+
dr
dt
u = r
d
dt
w+
dr
dt
u
La aceleración del planeta es la derivada de la velocidad:
a( t) =
dv
dt
=
d
dt



r
d
dt
w+
dr
dt
u



=r
d
dt



d
dt
w



+
dr
dt
d
dt
w+
dr
dt
du
dt
+
d2r
dt2
u
= r d dw +r d2 w+ dr d w+ dr dur + d2r u

8. dt dt dt2 dt dt dt dt dt2
= r



d
dt



2
u+r
d2
dt2
w+
dr
dt
d
dt
w+
dr
dt
d
dt
w+
d2r
dt2
u
=



r



d
dt



2
+
d2r
dt2



u+



r
d2
dt2
+2
dr
dt
d
dt



w
En (3) vimos que a( t) es un múltiplo de u, así que su componente circunferencial
vale cero.
r
d2
dt2
+2
dr
dt
d
dt
=0 (6)
y por tanto,
a( t) =



r



d
dt



2
+
d2r
dt2



u (7)
Multiplicando por r ambos lados de (6) obtenemos
r2 d2 +2r dr d =0.

9. dt2 dt dt
El lado izquierdo es
d
dt



r2
d
dt



así que
r2
d
dt
=constante. (8)
Por otra parte, el área barrida desde 0 hasta  generada por R=ru es
A( ) =
1
2



0
r2( )d
Por el teorema fundamental del cálculo,
dA
d
=
r2( )
2
como  es función de t, de (8) tenemos que

10. dA
dt
=
dA
d
d
dt
=
r2()
2
d
dt
=k=constante, (9)
por lo que A( t) = kt+c para alguna constante c. Como A( 0) = 0, entonces
A( t) = kt para una constante k
así que si tenemos dos intervalos de tiempo [ t1,t2] y [ t3,t4] en los que t2-t1=t4-t3
entonces
A( t2t1) = ( t2t1) k=(t4t3) k=A( t4t3)
lo que prueba la segunda ley de Kepler.
Figura 3
Hasta este momento solamente hemos utilizado que la fuerza F se dirige hacia el
Sol, pero no hemos utilizado la fórmula (2) en toda su extensión.
2.3 Demostración de la primera ley de Kepler
Partimos de la ecuación (7)

11. a( t) =



r



d
dt



2
+
d2r
dt2



u
y de la ecuación (3)
a( t) = 



G
M
| R|2



u
Igualando los coeficientes de u, llegamos a la ecuación diferencial
G
M
r2
=r



d
dt



2
+
d2r
dt2
(10)
De la ecuación (8) tenemos
d
dt
=
H
r2
, H constante (11)
Para calcular el valor de H procedemos como sigue:
Sustituimos en el momento angular del planeta (4)
h=m( R×v) = m(ru×v)

12. el valor de v de la fórmula (2.2)
v=r
d
dt
w+
dr
dt
u
y obtenemos
h = m



ru×



r
d
dt
w+
dr
dt
u






=mr2
d
dt
( u×w)+mr
dr
dt
( u×u) = mr2
d
dt
uz+0 = mHuz
donde uz es el vector unitario ortogonal al plano donde se encuentran u y w. Así
que
 h = m| H| (12)
Podemos suponer que H es positivo orientando los ejes de manera que el planeta
dé vueltas en sentido positivo así que
H=
 h
m
(13)
Sea w=[1/r], entonces
dr
=
dr dw d
=



1 

dw H
=
dw
H

13. dt dw d dt  w2
 d r2
d
derivando nuevamente respecto a t
d2r
dt2
=H
d
dt



dw
d



=H
d
dt
d2w
d2
=H2w2
d2w
d2
finalmente, el lado derecho de la ecuación (10) se puede escribir como
r



d
dt



2
+
d2r
dt2
=r



H
r2



2
H2w2
d2w
d2
=w3H2w2
d2w
d2
H2
y el lado izquierdo
G
M
r2
=GMw2
por lo que la ecuación (10) se puede replantear como
w+
d2w
d2
=
GM
H2
esta ecuación tiene como únicas soluciones

14. w=Ccos( ) +
GM
H2
donde C y  son constantes. Eligiendo el eje polar de manera que  = 0.
r =
1
Ccos+(GM)/(H2)
=
H2
H2Ccos+GM
=
(H2)/(GM)
(H2Ccos)/(GM)+1
=
ep
ecos+1
donde
e=
H2C
GM
, p=
1
C
(14)
La ecuación
r=
ep
ecos+1
(15)
es una cónica que tiene un foco en el origen, en la que e es la excentricidad y p
es la distancia del foco a la directriz.
Las siguientes figuras representan los tipos de cónicas que podemos encontrar.

15. Figura 4
En el caso de los planetas, sabemos que la órbita es cerrada, por lo que debe ser
una elipse, así que 0 < e < 1 lo que le impone restricciones a la constante C. Los
cometas u otros cuerpos atraídos por el sol pueden tener órbitas abiertas en forma
de parábola o hipérbola.
2.4 Prueba de la tercera ley de Kepler
Podemos suponer que el movimiento del planeta es en el sentido positivo, de
modo que
d
dt
> 0
y por tanto
dA
dt
> 0
Combinando (9),(11) y (12) obtenemos

16. dA
dt
=
 h
2m
Integrando respecto al tiempo T requerido para dar una vuelta completa a la órbita
obtenemos
Area de la elipse=
 h
2m
T.
Si a y b son los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente, entonces
ab=
 h
2m
T
sabemos que
b=a  1e2
donde e es la excentricidad de la elipse. Sustituyendo b en la ecuación anterior,
a2
 1e2 =
 h
2m
T (16)
Calculemos ahora  h .

17. En la figura observamos que r=a-c cuando  = 0 y r=a+c cuando  = .
Figura 5
Haciendo  = 0 en (15) y sustituyendo el valor de r obtenemos
ac=
ep
1+e
.
Análogamente si  =  tenemos
a+c=
ep
1e
,
sumando las dos ecuaciones anteriores tenemos que:
a=
ep
1e2
(17)
Por otro lado, de (14) y (13) se obtiene

18. ep=
 h 2
GMm2
(18)
de donde, despejando T de (16) y elevando al cuadrado tenemos:
T2=
4m22a4( 1e2)
h 2
.
Despejamos  h 2 de (18) y la sustituimos en la ecuación anterior
T2=
42a4( 1e2)
epGM
y por la ecuación (17) tenemos
T2=
42a3
GM
por tanto,
T2=



42
GM



a3

19. quedando probada la tercera ley de Kepler.
El factor de proporcionalidad depende de las constantes G y M pero no depende
de la excentricidad de la elipse.
En la tabla
Planeta Excentricidad Distancia media(U.A.)
Mercurio 0.206 0.387
Venus 0.007 0.723
Tierra 0.017 1
Marte 0.093 1.52
Júpiter 0.048 5.2
Saturno 0.056 9.54
Urano 0.047 19.18
Neptuno 0.009 30.06
Plutón 0.25 39.44
aparece la excentricidad de las órbitas planetarias, así como la distancia media del
planeta al sol medida en unidades astronómicas (U.A.). Una unidad astronómica
es, por definición, la distancia media de la tierra al sol. La distancia media de un
planeta al sol es el radio mayor de la elipse ( a) .
Si medimos el tiempo que tarda un planeta en dar la vuelta alrededor del sol en
años terrestres, la constante de proporcionalidad de la tercera ley de Kepler es 1,
es decir, la fórmula de la tercera ley es
p2=a3
donde p es el período y a es el radio mayor de la elipse.

20. Ejemplos
1. Consideremos la órbita de la Tierra. Si el Sol está en un foco, ¿a qué
distancia se encuentra el otro foco?
Solución:
Suponemos que la órbita de la Tierra que es una elipse está centrada en el
origen. El Sol es uno de los focos.
Puesto que la excentricidad de la órbita terrestre es
e=
c
a
=0.017
y a=1, entonces tenemos que
c=0.017
Las coordenadas de los focos son
F( 0.017,0) y F(0.017,0) .
La distancia entre los focos es 0.034 unidades astronómicas.
Observación:
Los focos se encuentran muy cercanos
El diámetro menor de la elipse es

21. b=  a2c2 =  1( 0.017) 2  0.99986
Puesto que el diámetro mayor es a=1, entonces la elipse es casi un círculo.
2. Consideremos la órbita de Plutón. Si el Sol está en un foco, ¿a qué
distancia se encuentra el otro foco?
Solución:
Suponemos que la órbita de Plutón que es una elipse está centrada en el
origen. El Sol es uno de los focos.
Puesto que la excentricidad de la órbita de Plutón es
e=
c
a
=0.25
y a=39.44, entonces tenemos que
c=( 0.25) ( 39.44) = 9.86
Las coordenadas de los focos son
F( 9.86,0) y F(9.86,0) .
La distancia entre los focos es 19.72 unidades astronómicas.
El diámetro menor de la órbita de Plutón es

22. b=  a2c2 =  ( 39.44) 2( 9.86)2  38. 188
Puesto que el diámetro mayor es a=39.44, entonces la elipse es casi un
círculo.
Figura 6
Bibliografía
[]
Arizmendi H., Carrillo A., Lara M., Cálculo, Addison-Wesley Iberoamericana,
1987
[]
De Oteyza E., Lam E., Carrillo A., Hernández C., Ramírez A., Geometría
Analítica y Trigonometría, Pearson Educación, 2000
[]
Marsden J., Tromba A., Cálculo Vectorial, Addison-Wesley Longman, 1998
[]
O'Neill B., Elementos de Geometría Diferencial, Limusa, 1972
File translated from TEX by TTH, version 2.80.
On 30 Mar 2001, 18:41.