El documento trata sobre el análisis matemático. El análisis matemático estudia los números reales, complejos y funciones entre estos conjuntos, así como conceptos como la continuidad y la integración. Se origina con el desarrollo riguroso del cálculo en los siglos XVII y XVIII por matemáticos como Newton y Leibniz. En los siglos posteriores, áreas como el análisis funcional y la teoría de la medida generalizaron los conceptos del análisis.

2. DEFINICIÓN DE ANÁLISIS MATEMÁTICO
HTTP://METEOBASICA.BLOGSPOT.COM/2012/04/DEFINICION-DE-ANALISIS-MATEMATICO.HTML,
HTTPS://ES.WIKIPEDIA.ORG/WIKI/AN%C3%A1LISIS_MATEM%C3%A1TICO
• El análisis matemático es una rama de
las matemáticas que estudia los
conjuntos numéricos (los números
reales, los complejos) tanto del punto de
vista algebraico como topológico, así
como las funciones entre esos conjuntos
y construcciones derivadas. Se empieza
a desarrollar a partir del inicio de la
formulación rigurosa de límite y estudia
conceptos como la continuidad, la
integración y la derivación de diversos
tipos.2
• Una de las diferencias entre el álgebra y
el análisis es que este último recurre a
construcciones que involucran
sucesiones de un número infinito de
elementos, mientras que álgebra
usualmente es finitista.
El análisis es una rama de la ciencia matemática
que estudia los números reales, los complejos y
construcciones derivadas a partir de ellos así
como las funciones entre esos conjuntos y
construcciones derivadas. Se empieza a
desarrollar a partir del inicio de la formulación
rigurosa del cálculo y estudia conceptos como la
continuidad, la integración y la diferenciabilidad de
diversas formas.

3. HISTORIA DEL ANALISIS MATEMATICO
Matemáticos griegos como Eudoxo de Cnidos y Arquímedes hicieron un uso informal de los conceptos de límite y convergencia
cuando usaron el método exhaustivo para calcular el área y volumen de regiones y sólidos. De hecho, el número π fue aproximado
usando el método exhaustivo. En la India del siglo XII el matemático Bhaskara concibió elementos del cálculo diferencial, así como el
concepto de lo que ahora conocemos como el Teorema de Rolle.
•
En el siglo XIV, el análisis matemático se origina con Madhava, en el Sur de Asia, quien desarrolló ideas fundamentales como la
expansión de series infinitas, las series de potencias, series de Taylor, y la aproximación racional de series infinitas. Además desarrolló
las series de Taylor de funciones trigonométricas —seno, coseno, tangente—, y estimó la magnitud de los errores de cálculo truncando
estas series. También desarrolló fracciones continuas infinitas, integración término a término, y las serie de potencias de pi. Sus
discípulos de la Escuela de Kerala continuaron su trabajo hasta el siglo XVI.
El análisis en Europa se origina en el siglo siglo XVII, en el que Newton y Leibniz inventan el cálculo. Ahora sabemos que Newton
desarrolló el cálculo infinitesimal unos diez años antes que Leibnitz. Este último lo hizo en 1675 y publicó su obra en 1684,
aproximadamente veinte años antes de que Newton se decidiera a hacer lo propio con sus trabajos. Newton había comunicado la
novedad solamente a algunos pocos colegas suyos y de nada valieron las instigaciones de Halley para que Newton publicara sus
trabajos más tempranamente. Esta actitud sirvió de base para crear una desagradable controversia por el padrinazgo de la idea;
discusión que podría haber sido evitada si otro gran matemático, Fermat, no hubiera tenido también la inexplicable costumbre de no
hacer públicos sus trabajos. En una carta de Fermat a Roberval, fechada el 22 de octubre de 1636, se hallan claramente descritos tanto
la geometría analítica como el análisis matemático. En dicho siglo y en el siglo XVIII, ciertos temas sobre el análisis como el cálculo de
variaciones, las ecuaciones diferenciales y ecuaciones en derivadas parciales, el análisis de Fourier y las funciones generadoras
fueron desarrolladas principalmente para un trabajo de aplicación. Las técnicas del Cálculo fueron aplicadas con éxito en la
aproximación de problemas discretos mediante los continuos.

4. HISTORIA DEL ANALISIS MATEMATICO
A todo lo largo del siglo XVIII la definición del concepto de función estuvo sujeta a debate entre los matemáticos. En el siglo XIX,
Cauchy fue el primero que estableció el cálculo sobre unos firmes fundamentos lógicos mediante el uso del concepto de sucesión de
Cauchy. También inició la teoría formal del Análisis complejo. Poisson, Liouville, Fourier y otros, estudiaron ecuaciones en derivadas
parciales y el Análisis armónico.
Mediado dicho siglo, Riemann introduce su teoría de la integración. En el último tercio del siglo XIX Weierstrass lleva a la
aritmetización del análisis, ya que pensaba que el razonamiento geométrico era engañoso por naturaleza, e introduce la definición ε-δ
de límite. Entonces los matemáticos empezaron a preguntarse si no estarían asumiendo la existencia de cierto continuo de números
reales sin probar su existencia. Dedekind entonces construye los números reales mediante las cortaduras de Dedekind. Sobre la
misma época, los intentos de refinar los teoremas de integración de Riemann llevaron hacia el estudio del «tamaño» de los conjuntos
de discontinuidad de funciones reales.
También, funciones «monstruos» (funciones continuas en ninguna parte, funciones continuas pero no diferenciables en ningún
punto, Curva que llena el espacio, Curva de Peano) comenzaron a surgir. En este contexto Jordan desarrolló su teoría de medida,
Cantor lo hizo con lo que ahora se llama teoría de conjuntos, y Baire prueba el Teorema de la categoría de Baire. A principios del siglo
XX, el cálculo se formaliza usando la teoría de conjuntos. Lebesgue resuelve el problema de la medida, y Hilbert introduce los
espacios de Hilbert para resolver ecuaciones integrales. La idea de espacios vectoriales normados estuvo en ciernes, y en los años
1920 Banach crea el Análisis funcional.

5. DIFERENTES CAMPOS DE ANALISIS MATEMATICO
EL ANÁLISIS REAL O TEORÍA DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE REAL es la rama del análisis matemático que tiene
que ver con el conjunto de los números reales. En particular, estudia las propiedades analíticas de las funciones y
sucesiones de números reales; su límite, continuidad y el cálculo de los números reales. esto es, el estudio
formalmente riguroso de las derivadas e integrales de las funciones real-valuadas, lo que incluye el estudio de
límites y series.
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Y EN DERIVADAS PARCIALES.
GEOMETRÍA DIFERENCIAL, que extiende los métodos del análisis real sobre espacios euclídeos a espacios
topológicos más generales.
INTEGRACIÓN Y TEORÍA DE LA MEDIDA, que generaliza el concepto de cálculo integral y de medida.
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD, que en gran medida comparte formalismo con la teoría de la medida, a partir de la
axiomatización de Kolmogórov.
ANÁLISIS NUMÉRICO, encargado de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples,
simular procesos matemáticos más complejos aplicados al mundo real.

6. ANALISIS NO REAL
Análisis no real, que extiende el análisis real a cuerpos diferentes de los números
reales.
ANÁLISIS COMPLEJO, que estudia funciones que van del plano complejo hacia sí
mismo y que son complejo-diferenciables, las funciones holomorfas.
ANÁLISIS PÁDICO, el análisis en el contexto de los números pádicos, que difiere de
forma interesante y sorprendente de su homólogo real y complejo.
ANÁLISIS NO ESTÁNDAR, que investiga ciertos números hiperreales y sus
funciones, y da un tratamiento riguroso de los números infinitesimales y los
infinitamente grandes.

7. ANALISIS FUNCIONAL
Que estudia espacios y funciones e introduce conceptos como los espacios de Banach y
espacios de Hilbert.
•Análisis armónico, que trata sobre las series de Fourier y sus abstracciones[cita requerida] y
adiciones analíticas subarmónicas.
•Geometría analítica, o geometría de las coordenadas, que pone en correspondencia a n-uplas
con puntos y conjuntos de n-uplas con lugares geométricos.
•Topología
•Topología diferencial, que generaliza el análisis real y complejo de varias variables a espacios
topológicos más generales que o .
•Topología algebraica
•Grupos de Lie

8. LIMITES Y CONTINUIDAD
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CONCEPTO DE LIMITE
En análisis real y complejo, el concepto de límite es la clave de toque que formaliza la noción intuitiva
de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros
de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor.
Límites en matemática
En la matemática, límite se refiere a la magnitud fija en que los términos de una secuencia se
approximant entre sí. Se utiliza en el análisis real y complejo.
En las fórmulas matemáticas, el límite se representa de la siguiente manera: lim(an) = a.
También se puede representar con los siguientes símbolos: an → a.

9. CONTINUIDA
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Continuidad
En el latín es donde podemos encontrar el origen etimológico de la palabra continuidad que ahora vamos a proceder a
analizar. Emana de “continuitas”, que puede traducirse como “cualidad de no ser interrumpido” y que se encuentra compuesta
por las siguientes partes:
• El prefijo “con-“, que es equivalente a “junto”.
• El verbo “tenere”, que es sinónimo de “retener” o “dominar”.
• El sufijo “-uo”, que se emplea para indicar relación.
Continuidad es un término que se refiere al vínculo que mantienen aquellas cosas que están, de alguna forma, en
continuo. Hace un tiempo, el concepto también se empleaba como sinónimo de continuación, aunque hoy este
uso es algo arcaico.
Por ejemplo: “Siguiendo con la continuidad de las noticias, vamos a pasar a otro tema: el triunfo del seleccionado
nacional en territorio italiano”, “Me gustan tus dibujos, pero ten cuidado de no romper la continuidad de las
líneas”, “Las cenefas o guardas permiten establecer una continuidad entre la cocina y el comedor, aunque sean
dos ambientes separados”.

10. IDEA INTUITIVA DE CONTINUIDAD
HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=JBFCHP-1W9G
HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=LBNB7MPC8YU&FEATURE=EMB_TITLE
Idea intuitiva de continuidad
En este apartado pretendemos hacer una acercamiento al concepto de continuidad de una forma intuitiva, sin profundizar y sin usar el concepto
de límite, el cual estudiaremos más adelante.
Una función entenderemos que es continua si podemos dibujar su gráfica de un solo trazo. Si en algún punto "se rompe" diremos que presenta
una discontinuidad en dicho punto.

11. DIVISION DE CONTINUIDAD HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=LDKDAR6M0GG
CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Intuitivamente, es fácil captar el concepto de continuidad. En términos sencillos, puede decirse que una función real de variable real es continua en un
intervalo cuando se puede dibujar sobre el papel a lo largo de dicho intervalo sin levantar el lápiz. La descripción matemática de esta idea intuitiva
recurre al uso de la noción de límite.
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Se dice que una función f(x) es continua en un punto a, si y sólo, si se verifican las condiciones siguientes:
La función existe en a.
Existe límite de f(x) cuando x tiende a a.
El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales:
Cuando no se cumple alguna de las anteriores condiciones, se dice que la función es discontinua en el punto.
Por otra parte, se considera que la función es continua en un intervalo (a, b) cuando es continua en todo punto x, tal que a < x < b.
Ejemplo de función continua.
La función de la figura es discontinua en el punto x = 1.

12. FUNCIONESCONTINUAS https://www.youtube.com/watch?v=LDkdAr6m0gg
Para algunas familias de funciones es posible conocer su continuidad basándose en los siguientes criterios generales:
Las funciones polinómicas son continuas en todo el conjunto de los números reales.
Las funciones racionales obtenidas como cociente de dos polinomios son continuas en todos los puntos del conjunto R, salvo en aquellos en los que se
anula el denominador.
Las funciones potenciales, exponenciales y logarítmicas son continuas en todo su dominio de definición.
Las funciones trigonométricas seno y coseno son continuas en todo el conjunto de los números reales (en cambio, la función tangente es discontinua en
los valores múltiplos impares de p/2).
PROPIEDADESDE LAS FUNCIONESCONTINUAS AQUÍNOS QUEDAMOS
Dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en un punto o en un intervalo, se cumple entonces que:
La suma y la resta de ambas es una función continua en ese punto o intervalo.
El producto de las dos funciones es una función continua en ese punto o intervalo.
El cociente entre ambas funciones es una función continua en ese punto o intervalo salvo en aquellos en los que el denominador se anula.
Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a), entonces la composición de funciones (g ° f) (x) es también continua en a.

13. DISCONTINUIDADES EVITABLES
Toda función que en un punto dado no cumple alguna de las condiciones necesarias para la continuidad se denomina discontinua. Cuando la
discontinuidad se debe al hecho de que existe el límite de la función en el punto, pero la función no está definida para el mismo, se habla de
discontinuidad evitable.
Para obtener una nueva función que sea continua también en el punto de discontinuidad evitable, se procede del modo siguiente:
Se calcula el valor del límite de la función en el punto a.
Se añade el punto a al dominio de definición de la función, y se le asigna el valor:
La función f (x) presenta una discontinuidad evitable en el punto x = 2. F(x) sería continua en R.

14. DISCONTINUIDADES NO EVITABLES
Existen otros tipos de discontinuidades que no pueden resolverse, por lo que se llaman discontinuidades no evitables. Estas discontinuidades
se clasifican en:
Discontinuidades de salto: cuando existen ambos límites laterales (por la derecha y por la izquierda), pero no coinciden.
Discontinuidades asintóticas: cuando el límite es infinito.
Discontinuidades por el dominio de definición: cuando existe el límite y la función está definida en el punto, pero ambos valores no
coinciden.
En sentido genérico, se llama discontinuidad de segunda especie a la que tiene lugar cuando uno de los límites laterales es finito y el otro es
infinito o no existe.

15. EJEMPLO
Punto x=0:
Punto x=1:
El único punto de discontinuidad
es x=0.
Gráfica de la función:

16. LIMITES DE FUNCIONES
HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=25IQMRM9EIM
El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático aplicado a las funciones. En particular, el concepto aplica en
análisis real al estudio de límites, continuidad y derivabilidad de las funciones reales.
Se representa de la siguiente manera
Que significa, tal y como te acabo de decir, que cuando X tiende al punto Xo, el valor de la función se va aproximando a L, por tanto, el límite de
esa función cuando X tiende a Xo es L. Gráficamente quedaría de la siguiente manera:
Si te das cuenta, conforme no's vamos aproximando al valor Xo en el eje x, en el eje y, el valor de la
función se va a aproximando al valor L.
x puede tender a cualquier valor, desde menos infinito hasta más infinito (ambos incluidos) y el límite
de una función también puede ser desde menos infinito hasta infinito (ambos incluidos).
No hay que confundir el límite de una función con el valor de una función en punto, que es el valor
que tiene la función justo en ese punto. Mucho cuidado porque pueden no coincidir (lo veremos más
adelante).

17. EJERCICIO
Cuando x=-1,3, el valor de la
función es:
Cuando x=-1,2, el valor de la función es:
Cuando x=-1,1, el valor de la
función es:
Cuando x=-0,7, el valor de la
función es:
Cuando x=-0,8, el valor de la función es:
Cuando x=-0,9, el valor de la función es:

19. INSTITUTO SUPERIOR TECNOLOGICO GUARANDA
MATERIA ANALISIS MATEMATICO
SEGUNDO SEMESTRE
ESPECIALIDAD MECANICA AUTOMOTRIZ

20. LEYES DE LÍMITES
Los límites tienen una
serie de leyes y
propiedades que debemos
dominar y que son muy
útiles para resolver
problemas. Veamos cada
una de estas leyes y
propiedades a detalle.
https://www.youtube.com/watch?v=PZhTK99o1pk&featu
re=emb_title
https://www.youtube.com/watch?v=kZR8u6Vb6eI
https://www.youtube.com/watch?v=RtGeFkxzxfs
Limite de una potencia
https://www.youtube.com/watch?v=nD6pPHC
cV4w

21. LAS LEYES DE LÍMITES: OBJETIVOS DE
APRENDIZAJE
2.3.1. Reconocer las leyes básicas de límite.
2.3.2. Use las leyes de límite para evaluar el límite de una función.
2.3.3. Evaluar el límite de una función factorizando.
2.3.4. Use las leyes de límite para evaluar el límite de una función polinómica o racional.
2.3.5. Evalúe el límite de una función factorizando o usando conjugados.
2.3.6. Evalúe el límite de una función utilizando el teorema de compresión.
En la sección anterior, evaluamos los límites observando gráficas o construyendo una tabla
de valores. En esta sección, establecemos leyes para calcular límites y aprendemos cómo
aplicar estas leyes. En el Proyecto del estudiante al final de esta sección, tiene la
oportunidad de aplicar estas leyes límite para derivar la fórmula para el área de un círculo
mediante la adaptación de un método ideado por el matemático griego Arquímedes.
Comenzamos reexpresando dos resultados límite útiles de la sección anterior. Estos dos
resultados, junto con las leyes de límites, sirven como base para calcular muchos límites.

22. TEOREMA 2.3.2 LEYES DE LÍMITES
EJEMPLO ILUSTRATIVO 2.3_1. Evaluación de un límite básico
Evalúe cada uno de los siguientes límites utilizando El Teorema 2.3.1 “Resultados básicos de límites”.
Solución:
a. El límite de x cuando x se aproxima a a a es a: limx → 2x = 2.
b. El límite de una constante es esa constante: limx → 25 = 5.
Ahora echamos un vistazo a las leyes de límites, las propiedades individuales de los límites. Las pruebas que tienen estas leyes se omiten aquí.
Evaluación de límites aplicando las propiedades de límites
Las dos primeras leyes de límites se establecieron en “Dos límites importantes” de la sección anterior
y las repetimos aquí. Estos resultados básicos, junto con las otras leyes de límites, no's permiten
evaluar los límites de muchas funciones algebraicas.

23. TEOREMA 2.3.2 LEYES DE LÍMITES
Ahora practicamos la aplicación de
estas leyes de límites para evaluar un
límite.
Sean f (x) y g (x) funciones definidas para todo x ≠ a en algún intervalo abierto que contenga a a.
Suponga que L y M son números reales tales que limx → a f (x) = L y limx → a g (x) = M. Sea c una
constante. Entonces, cada una de las siguientes afirmaciones es válida:

24. EJEMPLO ILUSTRATIVO 2.3_2. Evaluación de un límite utilizando las leyes de límites
Use las leyes de límites para evaluar limx → −3 (4x + 2).
Solución:
Apliquemos las leyes de límites paso a paso para asegurarnos de que entendemos cómo funcionan. Debemos tener en cuenta el requisito de que, en
cada aplicación de una ley de límites, los nuevos límites deben existir para que sea posible aplicar la ley de límites correspondiente.

25. EJEMPLO USO DE LAS LEYES DE LÍMITES REPETIDAMENTEHTTPS:
CALCULO21.COM/LAS-LEYES-DE-LIMITES/
EJEMPLO ILUSTRATIVO 2.3_3. Uso de las leyes de límites repetidamente
Use las leyes de límites para evaluar
Solución:
Para encontrar este límite, necesitamos aplicar las leyes de límites varias veces. Nuevamente, debemos tener en cuenta que a medida que reescribimos
el límite en términos de otros límites, cada nuevo límite debe existir para que se aplique la ley de límites.

26. DEFINICIÓN ALGÉBRICA DE LÍMITE
HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=VHQKNKJEZO4
Su definición es la siguiente: "El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un
número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε
unidades".
En análisis real y complejo, el concepto de límite es la clave de toque que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto
de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor. En el análisis los
conceptos de series convergentes, derivada e integral definida se fundamentan mediante el concepto de límite.
En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia,
continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia,
en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.
El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y
utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.
Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→)
como en an → a.

27. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único
número o punto L, si existe, para valores grandes de n . Esta definición es muy parecida a la definición del cuando tiende a ∞.
Formalmente, se dice que la sucesión a n tiende hasta su límite L , o que converge o es convergente (a L), y se denota como:
lima an=L
n → ∞
si y solo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural N tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural n mayor que N ,
se acerquen a L cuando n crezca ilimitadamente. Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:
Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es
divergente.

28. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que
toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c — punto de acumulación —, independientemente
de que este pertenezca al dominio de la función.1 Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios
métricos.
Coloquialmente, se dice que el límite de la función f(x) cuando x tiende a c es L , y se escribe:
lim f ( x ) = L
x → c
si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.
Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del
análisis real. Su definición es la siguiente:
"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la
distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

29. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN DE CONJUNTOS
En teoría de conjuntos también se utiliza el concepto de límite, que se puede calcular sobre una sucesión de conjuntos. Para ello, los conjuntos deben de
cumplir una serie de condiciones, como puede ser la monotonía (creciente o decreciente). De manera más general, y utilizando la definición de límite
superior y límite inferior para una sucesión de conjuntos cualquiera A n , se dice que el límite de esta sucesión existe si el límite superior y límite inferior
existen y son iguales
LÍMITE EN ESPACIOS TOPOLÓGICOS
REDES
Véase también: Red (matemáticas)
Todas las nociones anteriores de límite pueden ser unificadas y generalizadas a espacios topológicos arbitrarios mediante la introducción de redes
topológicas y la definición de sus límites.
Sea ( X , T ) un espacio topológico y ( x d ) d ∈ D una red en X . Se dice que x ∈ X es un punto límite de la red ( x ∈ lim d ∈ D x d ) si la red está
eventualmente en cada entorno de x , es decir, si cualquiera que sea el entorno V de x (esto es, cualquiera que sea el conjunto V de forma que exista un
abierto G tal que x ∈ G ⊂ V existe un d 0 ∈ D de tal forma que para cada d ∈ D con d 0 ∼ d se cumple que x d ∈ V
FILTROS
En el caso de filtros, por ser objetos matemáticos similares a redes topológicas, también es posible la definición de límite. En efecto, sea X un espacio
topológico y x un punto de X. Se dice que un filtro base B converge a x, denotado como B → x o lim B = x , si para todo entorno U de x, existe un B0 ∈ B
tal que B0 ⊆ U. En este caso, x se llama límite de B y B se denomina filtro base convergente.2​3​
De igual manera, se puede aplicar a funciones, extendiendo la definición de continuidad a estas. Si X, Y son dos espacios topológicos y f: X → Y es una
función, siendo B un filtro entorno en X de un punto a perteneciente a X, entonces el límite con respecto al filtro B de f es y, denotado como
lim B f = y
si B converge a a, luego f converge a y; dicho de otra forma, y es el límite de f en el punto a.2​

30. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS
HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=KQOPI_-GWJS
Recordamos que el límite L de cualquier función y=f(x), las trigonométricas entre ellas, cuando x tiende a un valor a, es el valor al que la y o función se acerca (o toma)
cuando la x toma valores muy cerca de a sin coincidir nunca con ese valor de a.
Qué son los limites de funciones algebraicas?
En análisis real y complejo, el concepto de límite es la clave de toque que formaliza la noción intuitiva
de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros
de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor.

31. PROPIEDADES DE LOS LIMITES
Las propiedades de los límites son operaciones que se pueden emplear para simplificar el cálculo del límite de una función más compleja. Al tratarse de
operaciones, también se le denimina álgebra de los límites.
PROPIEDADES DE LOS LIMITES
Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en un mismo intervalo en donde está el valor a del límite y k una constante.
Unicidad del límite: cuando el límite existe, el límite es único.
Propiedad de la suma: el límite de la suma es la suma de los límites.
Propiedad de la resta: el límite de la resta es la resta de los límites.
Fórmula de la propiedad de la resta de los límites
Propiedad del producto: el límite del producto es el producto de los límites.

32. Propiedad de la función constante: el límite de una función constante es esta misma constante.
Fórmula de la función constante de los límites
Propiedad del factor constante: en un límite de una constante multiplicada por una función se puede sacar la constante del límite sin que se afecte
el resultado.
Fórmula de la propiedad del factor constante de los límites
Propiedad del cociente: el límite de un cociente de dos funciones es el cociente de los límites de las mismas.
Fórmula de la propiedad del cociente de los límites
Propiedad de la función potencial: el límite de una función potencial es la potencia del límite de la base elevado al exponente:
Fórmula de la propiedad de una función potencial de los límites
Propiedad de la función exponencial: el límite de una función exponencial es la potencia de la base elevada al límite de la función exponente:

33. Propiedad de la raíz: el límite de una raíz, es la raíz del límite:
Fórmula de la propiedad de una raíz de los límites
Propiedad de la función logarítmica: El límite del logaritmo es el logaritmo del límite.
Fórmula de la propiedad de una función logarítmica de los límites

34. LIMITES UNILATERALES
HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=1W8RKBRYFSA
Hay casos en que las funciones no están definidas (en los reales) a la izquierda o a la derecha de un número determinado, por lo que el límite de la función
cuando x tiende a dicho número, que supone que existe un intervalo abierto que contiene al número, no tiene sentido.
Ejemplo:
Límite unilateral por la derecha:
Sea f una función definida en todos los números del intervalo abierto (a, c). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se
escribe
Límite unilateral por la izquierda:
Sea f una función definida en todos los números de (d, a). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la izquierda es L, y se escribe

35. Teorema de límite12:
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 4, trace la gráfica y determine el límite indicado si existe; si no existe, dé la
razón:

38. Un límite al infinito es aquel al que tiende f(x) cuando la variable x se hace tan grande, tanto en positivo como en negativo, como queramos. Entonces la
función f(x) puede tender a un valor finito o puede diverger a infinito (límite infinito).
Veamos un caso, con un límite al infinito en la siguiente función:
Su límite cuando la variable tiende a infinito es:
Se puede comprobar si damos valores a la x cada vez más cercanos a +∞. Como se ve en el siguiente cuadro, el límite tiende a 1:
Visto en esta gráfica:
Veamos los tipos de límites al infinito que se pueden presentar.
LIMITE AL INFINITO
https://www.youtube.com/watch?v=YwOBnHe1sz8

39. TIPOS DE LÍMITES AL INFINITO
Límite finito L cuando x → +∞
Existe un límite finito L cuando la variable x tiende a +∞ si, en un entorno pequeño alrededor de L se cumple que, dentro de ese entorno,
haciendo la variable x tan grande y positiva como se quiera, la diferencia | f(x) – L | resulta tan pequeña como se quiera.
Como se ve en la figura:

40. LÍMITE FINITO L CUANDO X → -∞
Existe un límite finito L cuando la variable x tiende a -∞ si, en un entorno pequeño alrededor de L se cumple que, dentro de ese entorno,
haciendo la variable x tan grande y negativa como se quiera, la diferencia | f(x) – L | resulta tan pequeña como se quiera.
Como se ve en la figura:
Ahora los tipos de límites al infinito en los que el valor del límite es un límite infinito.

41. Cuando x → +∞ y el límite = +∞
Si en f(x) y x → +∞, las imágenes de la función se hacen infinitamente grandes (positivas).
Cuando x → +∞ y el límite = -∞
Si en f(x) y x → +∞, las imágenes de la función se hacen infinitamente grandes y negativas.

42. Cuando x → -∞ y el límite = -∞
Si en f(x) y x → -∞, las imágenes de la función se hacen infinitamente grandes y negativas.
Cuando x → -∞ y el límite = -∞
Si en f(x) y x → -∞, las imágenes de la función se hacen infinitamente grandes y negativas.