Unidad iv apuntes nov12

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Unidad IV Espacios Vectoriales ALGEBRA LINEAL VECTORES Todas las Carreras

Las cantidades como longitud, área, volumen, temperatura, masa y potencial se pueden determinar sólo con su
magnitud. Sin embargo, pensemos en el desplazamiento, la velocidad y la fuerza. Con ellas necesitamos la magnitud y
también la dirección para definirlas por completo. El desplazamiento, la velocidad y la fuerza son ejemplos de vectores
libres. Nos interesan principalmente los vectores libres que comienzan en el origen. A ellos simplemente los llamaremos
vectores. Estudiaremos los vectores, su aritmética y su geometría, porque desempeñan un papel importante en
matemáticas, física, ingeniería, procesamiento de imágenes, gráficas computarizadas y en muchos otros campos de la
ciencia y de la vida cotidiana.
En el plano y en el espacio los vectores tienen existencia doble: son a la vez objetos algebraicos y geométricos.
Definición geométrica de un vector. El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos equivalentes a un segmento
de recta dirigido dado se llama vector. Cualquier segmento de recta en ese conjunto se denomina una representación del
vector.
Definición algebraica de un vector. Un vector v en el plano xy es un par ordenado de números reales ( a, b ) . Los

números a y b se denominan elementos o componentes del vector v. El vector cero es el vector ( 0, 0 ) . La magnitud del
r r
vector es v = a 2 + b 2 = v = magnitud.
r
Se define la dirección del vector v = ( a, b ) como el ángulo θ , medido en radianes, que forma el vector con el lado
b
positivo del eje x, Por convención, se escoge θ tal que 0 ≤ θ ≤ 2π entonces tan θ =
a

Existen dos vectores especiales en ¡ 2
que nos permiten representar otros vectores en el plano de una forma
r
conveniente. Se denota el vector ( 1, 0 ) con el símbolo i y el vector ( 0,1) por el símbolo j . Si v = ( a, b ) es cualquier
r r
vector en plano, entonces como v = ( a, b ) = a ( 1, 0 ) + b ( 0,1) = v = ( a, b ) = ai + bj
r
Definición. Vector Unitario. Un vector unitario es un vector con longitud 1. Sea v un vector unitario diferente de cero.
r
r v r
Entonces u = r es un vector unitario que tiene la misma dirección que v .Representación de un vector unitario
v
r
u = ( cos θ ) i + ( senθ ) j .
r r
Producto escalar de dos vectores. Si u = ( a1 , b1 ) y v = ( a2 , b2 ) , entonces
rr rr r r
u g = ( a1 , b1 ) g a2 , b2 ) = ( a1i + b1 j ) g a2i + b2 j ) = a1a2 + b1b2 . También se puede definir como sigue: u g = u v cos ϕ
v ( ( v
r r2 r r
Teorema. Sea v un vector. Entonces v = v g v
r r
r r ug v
Teorema. Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Si ϕ es el ángulo entre ellos, entonces cos ϕ = r r
u v
r r
Definición. Dos vectores diferentes de cero u y v son paralelos si el ángulo entre ellos es cero o π . Los vectores
paralelos tienen la misma dirección o direcciones opuestas.
r r r r r
Teorema. Si u ≠ 0 , entonces v = α u para alguna constante α si y solo si u y v son paralelos
r r
Definición. Vectores Ortogonales. Los vectores u y v diferentes de cero son ortogonales (o perpendiculares) si el
π
ángulo entre ellos es de .
r 2 r rr
Teorema. Los vectores u y v diferentes de cero son ortogonales si y solo si u g = 0 v

Agosto-Diciembre 2012 M.I. Maria Griselda Pámanes Aguilar

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r r
r r u r ug r
r v ( )
Teorema. Sea v un vector diferente de cero. Entonces para cualquier otro vector u el vector w = u − r 2 v
v
uuu
r
Teorema. Sean P = ( x1 , y1 , z1 ) y Q = ( x2 , y2 , z2 ) dos puntos en el espacio. Entonces PQ entre P y Q está dada por
uuu
r
PQ = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) + ( z1 − z2 )
2 2 2

Operaciones Vectoriales: Suma de vectores y multiplicación por un escalar en ¡ 3
r r
Sea u = ( x1 , y1 , z1 ) y v = ( x2 , y2 , z2 ) dos vectores y sea α un numero real (escalar) Entonces se define
r r r
u + v = ( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) y α u = ( α x1 , α y1 , α z1 )
r r uuur
Vamos a definir la dirección de un vector v en términos de algunos ángulos. Sea v el vector OP descrito en la figura
r r
3.22. Definimos α como el ángulo entre v y el eje x positivo, β el ángulo entre v y el eje y positivo, y γ el ángulo
r r
entre v y el eje z positivo. Los ángulos α , β , γ y se denominan ángulos directores (cosenos directores) del vector v

x y z
cos α = r0 , cos β = r0 , cos γ = r0
v v v
r r
El producto cruz de dos vectores. Definición. Sean u = a1i + b1 j + c1k y v = a2i + b2 j + c2 k Entonces el producto
r r r r
cruz (cruz vectorial) de uy v, denotado por u×v , es un vector definido por
i j k
r r b c1 a c1 a b1
u × v = a1 b1 c1 = i 1 −j 1 +k 1 = ( b1c2 − c1b2 ) i + ( c1a2 − a1c2 ) j + ( a1b2 − b1a2 ) k
b2 c2 a2 c2 a2 b2
a2 b2 c2
r r r r r r
Teorema. Si ϕ es un ángulo entre u y v , entonces u × v = u v senϕ

Un vector es una matriz de una columna. Un vector-n o n-vector es una matriz de n x 1. Por ejemplo,
 0.5 
1 
r 1 r   u  1 
r
u =  , v = 2 , w=  son vectores 2, 3, y 4, respectivamente. El valor n suele llamársele tamaño
 −1  0 
3
   
 −0.2 
del vector. Los elementos de un vector se llaman componentes. Los componentes de w son 0.5, 1, 0 y -0.2. El conjunto
r r
de todos los vectores n se representan con R n . R = x, x
n
{ esunvector − n } u, v y w son los elementos

correspondientes de R 2 , R 3 y R 4 .


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Fig 2.1

Los vectores 2 y 3 pueden interpretarse geométricamente como puntos en el plano o en el espacio. Cualquier vector 2
r  x1 
por ejemplo, x =   , puede representarse gráficamente con el punto cuyas coordenadas son ( x1 , x2 ) en un plano de
 x2 
coordenadas cartesianas. Con frecuencia, x se considera como la flecha que comienza en el origen ( 0, 0 ) cuya punta
r 1 r  2 u  −2 
r
tiene las coordenadas ( x1 , x2 ) . La figura 2.1 (a), (b) muestra los vectores u =  , v =   ,y w =   en forma
 −1  2 1
de puntos y de flechas que comienzan en el origen. Como es posible representar todos los vectores 2 de esta manera,
R 2 es el plano total. Los vectores 3 pueden graficarse en forma parecida, fig. 2.1 (c), y R 3 constituye entonces el
espacio tridimensional total. Se dice que dos vectores son iguales u y v del mismo tamaño son iguales, y se expresa
u= v si sus componentes respectivas son iguales. Pero los vectores de tamaño distintos nunca lo son.

 1  a
Ejemplo1. La ecuación   =   sólo es válida si a = 1 y b = -2
 a + b   −1
 1   −4   −3
Los vectores del mismo tamaño pueden sumarse componente por componente:  +  = ,
 −1  2   1 
1   4   5 
 2  +  −2  =  0 
      A esta operación se le llama suma vectorial. La suma u + v de dos vectores 2 o de vectores 3, u
 3   −7   −4 
     
y v, se representan en forma geométrica como la flecha diagonal del paralelogramo cuyos lados son u y v, figura 2.2. (a).
A esta regla se le denomina Ley del paralelogramo para la suma. Un vector n puede multiplicarse por un escalar,
 1   −2 
 2  14 
componente por componente: 7   =   , −2  2  =  −4 
   
 −1  −7   −3  6 
   
r
A esta operación se le llama multiplicación por escalar. El vector ( −1) v se llama opuesto de v y se representa con –v
r r
( −1) v = −v

Ley del Paralelogramo
de la suma


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Se acostumbra a escribir u – v para representar u +(-1)v, y al resultado de esta operación se le denomina diferencia
r r r r
entre u y v. u − v = u + ( −1) v . Si todos los elementos de un vector son cero, se dice que es un vector cero y se
0 
r r r 0  r  
representa por 0 . 0 = [ 0] 0=  0 = 0 
0  0 
 
Geométricamente, el producto por escalar, cu, es la flecha u escalada por un factor de c. Si c > 0, entonces cu tiene la
misma dirección que u. Si c < 0, cu tiene dirección contraria. Si c > 1 entonces cu se extiende en un factor de c. Si
c < 1 , entonces cu es una contracción de u, fig. 2.3 (a) y (b)

Fig 2.3 Productos por
escalar

r r
Observe que la diferencia u – v puede representarse como la suma de u + ( −1) v , fig 2.3 (c) .
Al vector n que tiene 1 como i-ésimo componente y todos los demás componentes 0 se denota mediante ei . Los
vectores e1 , e2 ,......., en se llaman vectores de base estándar de R n , o simplemente la base de R n .Por ejemplo, los
1  0
vectores de base estándar de R 2 son e1 =   y e2 =   mientras que los de R3 son
0 1 
1  0 0 
0  , e = 1  ,
e1 =   e3 = 0  Fig. 2.4
2    
0 
  0
  1 
 

Fig. 2.4 Los vectores de base
normal

Matrices como sucesiones de vectores. Con frecuencia se considera que las matrices son sucesiones de vectores.
1 3 1  r r r
Por ejemplo, la matriz 2 4 2 puede considerarse como igual a v1 v2 v 3  , siendo
 
 
r 1  r 3 r 1 
v1 =   , v2 =   , v 3 =   .Dijimos sucesión y no conjunto por dos motivos: a diferencia de los conjuntos, (1)
 2 4  2
los elementos de una sucesión tienen un orden definido, y (2) se permite que el mismo elemento se repita en posiciones
distintas. Es claro que una matriz puede tener columnas repetidas, y el orden de ellas es importante. Si se toma en
cuenta lo anterior, por lo general no hay problema en decir conjunto en lugar de sucesión.


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r r uu
r
Combinación Lineal. Definición. Sean v1 , v 2 ,......., vk vectores n, y sean c1 , c2 ,......., ck escalares. El vector n de la
r r r r r uu
r
forma c1 v1 + c2 v 2 + .......... + ck v k se llama combinación lineal de v1 , v 2 ,......., vk . Los escalares c1 , c2 ,......., ck se
llaman coeficientes de la combinación lineal.

1r r r  2 r  −1
Ejemplo. Calcular y dibujar la combinación lineal v1 − 3v 2 , siendo v1 =   , v2 =   .
2  4 1
1  2   −1 1   3   4 
−3 = + =
2  4   1   2   −3  −1
Solución:
         

Fig. 2.5 La combinación lineal
1r r
v1 − 3v 2
2

Espacios Vectoriales. El espacio vectorial R n es un conjunto de elementos llamados vectores en los que se definen
dos operaciones, la adición y la multiplicación por un escalar. El espacio vectorial R n es cerrado bajo estas
operaciones, la suma de dos vectores en R n pertenece a R n y la multiplicación por un escalar de un vector en R n
también pertenece a R n . El espacio vectorial R n también posee otras propiedades algebraicas. Los vectores en R n
u+v = v+u
son conmutativos y asociativos bajo la adición:
u + ( v + w) = ( u + v ) + w
DEFINICION: Un espacio vectorial es un conjunto V de elementos llamados vectores, cuyas operaciones de adición y
multiplicación por un escalar se encuentran definidas en él y satisfacen las siguientes condiciones (u, v y w son
elementos cualesquiera de V, y c y d son escalares).

Axiomas de cerradura
1. La suma u + v existe y es un elemento de V. (V es cerrado bajo la adición)
2. cu es un elemento de V. (V es cerrado bajo la multiplicación por un escalar).
Axiomas de la adición
3. u + v = v +u (propiedad conmutativa)
4. u + (v + w) = (u + v) + w (propiedad asociativa)
5. Existe un elemento de V, denominado vector cero, que se denota cero, tal que u + 0 = u
6. Para todo elemento u de V, existe un elemento llamado el negativo de u, que se denota –u, tal que u + (-u) = 0
Axiomas de la multiplicación por un escalar
7. c(u + v) = cu + cv
8. (c + d)u = cu + du
9. c(du) = (cd) u
10. 1u = u

Los dos conjuntos de escalares utilizados con más frecuencia en los espacios vectoriales son el conjunto de los números
reales y el conjunto de los números complejos.
Espacios Vectoriales de matrices.
Considere el conjunto de matrices reales de 2 x 2.Denote este conjunto con M 22 . Ya se definieron las operaciones de
adición y multiplicación por un escalar en este conjunto. Este conjunto forma un espacio vectorial. Se analizaran los


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axiomas 1, 3, 4, 5 y 6. Utilizando la notación vectorial para indicar los elementos de M 22 . Sean
r a b  r e f
u=  y v=
h
dos matrices de 2 x 2 cualesquiera. Se tiene
c d  g 
Axioma 1.
r r a b   e f  a + e b + f 
u+v =  + = u + v es una matriz de 2 x 2. Por consiguiente M 22 es cerrada bajo la
c d   g h  c + g d + h 
  
adición.

Axioma 3 y 4:
Las matrices de 2 x 2 son conmutativas y asociativas bajo la adición. (Teorema 2.2)
Teorema 2.2 Sean A, B y C matrices y a, b y c escalares. Suponga que las matrices son de tamaños tales que se
pueden realizar las operaciones
Propiedades de la adición de matrices y de la multiplicación por un escalar
1. A + B = B + A Propiedad conmutativa de la adición
2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C Propiedad asociativa de la adición
3. A + 0 = 0 + A = A (donde 0 es la matriz cero de tamaño adecuado)
4. c ( A + B ) = cA + cB Propiedad distributiva de la adición

5 ( a + b ) C = aC + bC Propiedad distributiva de la adición

6. ( ab ) C = a ( bC ) Propiedad asociativa del producto por escalares
Propiedades de la multiplicación de Matrices
1. A ( BC ) = ( AB ) C Propiedad asociativa de la multiplicación

2. A ( B + C ) = AB + AC Propiedad distributiva de la multiplicación

3. ( A + B ) C = AC + BC Propiedad distributiva de la multiplicación
4. AI n = I n A = A (donde I n es la matriz identidad adecuada)
5. c ( AB ) = ( cA ) B = A ( cB ) Propiedad asociativa del producto por un escalar

Axioma 5:
r 0 0 r r  a b   0 0  a b  r
La matriz cero de 2 x 2 es 0 =   , puesto que u + 0 =  + = =u
0 0  c d   0 0  c d 
Axioma 6:
r a b  r  − a −b  r r  a b   − a −b   a − a b − b   0 0  r
Si u = 
c d 
 , entonces −u = 
 −c − d 
 , ya que u + −u =  ( ) + = =
 c d   −c − d   c − c d − d   0 0 
=0
El conjunto de matrices M 22 de 2 x 2 constituye un espacio vectorial. Las propiedades algebraicas de M 22 son
similares a las de R n . Así mismo se tiene que M mn , es el conjunto de matrices de m x n es un espacio vectorial.

Espacios vectoriales de funciones. Sea V el conjunto de funciones cuyo dominio está formado por los números
reales. Cada elemento de V, como f, transformará la recta real en la recta real. Ahora se introducirán las operaciones de
la adición y la multiplicación por un escalar en V para un espacio vectorial.
Sean f y g elementos cualesquiera de V. Se define la adición de f + g como una función tal que
( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) está expresión define a f + g como una función cuyo dominio es el conjunto de los números
reales. Para determinar el valor de f + g para cualquier número real x, se suma el valor de f en x y el valor de g en x.
Esta operación recibe el nombre de adición punto por punto.
En seguida se definirá la multiplicación por un escalar de los elementos de V. Sea c un escalar cualesquiera. La
multiplicación escalar de f, cf es la función ( cf ) ( x ) = c  f ( x )  . Esta expresión define a cf como una función cuyo
 


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dominio es el conjunto de los números reales. Para determinar el valor de cf para cualquier número real x, se multiplica el
valor de f en x por c. Esta operación recibe el nombre de multiplicación por un escalar punto por punto.

Para visualizar de forma geométrica esas dos operaciones sobre funciones, considere dos funciones específicas:
f ( x) = x y g ( x ) = x 2 . Entonces , f + g es la función definida por ( f + g ) ( x ) = x + x 2 . La multiplicación de f
por un escalar, como por ejemplo 3, es la función 3f definida por ( 3 f ) ( x ) = 3x Una vez definidas las operaciones de
adición y multiplicación por un escalar en este espacio de funciones, V, compruebe que V es un espacio vectorial.
Axioma 1: f + g se encuentran definida por ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , f + g es una función cuyo dominio es el
conjunto de los números reales. f + g es un elemento de V; por lo tanto, V es cerrada bajo la adición.
Axioma 2: cf está definida por ( cf ) ( x ) = c  f ( x ) 
  , por lo tanto, cf es una función cuyo dominio es el conjunto de
números reales. cf es un elemento de V; por consiguiente, V es cerrada bajo la multiplicación escalar.
r r r
Axioma 5: Sea 0 la función tal que 0 ( x ) = 0 para todo número real x. 0 recibe el nombre de función cero. Se tiene
r r
que ( ) r
f + 0 ( x ) = f ( x ) + 0 ( x ) = f ( x ) + 0 = f ( x ) para todo número real x. El valor de la función f + 0 es el
r r
mismo que el valor de f en cada x. Así, f + 0 = f , 0 es el vector cero.
Axioma 6: Considere la función –f definida por ( − f ) ( x ) = −  f ( x )  . Se demuestra que -f es la negativa de f.
 
 f + ( − f )  ( x) = f ( x) + ( − f ) ( x)
 
= f ( x) −  f ( x) 
  r
El valor de la función  f + ( − f )  es el mismo que el valor de 0 en cada x. Por
 
=0
r
= 0( x)
r
lo tanto  f + ( − f )  = 0 . Así, -f es la negativa de f.
 

El espacio vectorial Complejo C n . Ahora se extenderá el concepto del espacio vectorial real R n al espacio vectorial
complejo C n . Sea ( u1 ,......., un ) una sucesión de n números complejos. El conjunto de dichas sucesiones se denota C n

.Por ejemplo, ( 2 + 3i, 4 − 6i ) es un elemento de C 2 , mientras que ( 3i,1 − 5i, 2 ) es un elemento de C 3 .
Se definen las operaciones de adición y multiplicación por un escalar (por un escalar complejo c) en C n de la siguiente
( u1 ,.......un ) + ( v1 ,.....vn ) = ( u1 + v1 ,......, un + vn )
manera:
c ( u1 ,.....un ) = ( cu1 ,......, cun )
r r
Por ejemplo, considere los dos vectores u = ( 2 + i,3 − 4i ) y v = ( 1 − 3i,5 + 3i ) de C 2 y el escalar c = 4 + 3i
r r
u + v = ( 2 + i,3 − 4i ) + ( 1 − 3i,5 + 3i ) = ( 3 − 2i,8 − i )
.Entonces, r
cu = ( 4 + 3i ) ( 2 + i,3 − 4i ) = ( 5 + 10i, 24 − 7i )
C n con estas dos operaciones constituye un espacio vectorial complejo.
TEOREMA: Sea V un espacio vectorial, v un vector en V, 0 el vector cero de V, c un escalar y 0 el escalar
Cero, entonces.
a) 0v = 0
b) c0 = 0
c) (-1)v = -v
d) Si cv = 0, entonces c = 0 o v = 0
Subespacios. Ciertos subconjuntos de espacios vectoriales forman espacios vectoriales ellos mismos. El espacio R n es


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.un conjunto de vectores en el que se ha definido las operaciones de adición y multiplicación por un escalar. R n es
cerrado bajo estas operaciones. Si suma dos vectores en R n , obtiene un elemento de R n .Si multiplica un elemento de
Rn por un escalar obtiene un elemento de Rn . Por ejemplo, en R3
( 1, 2,5) + ( 3,1, 7 ) = ( 4,3,12 ) y 3 ( 1, −2,5 ) = ( 3, −6 − 15 )
Considere ahora ciertos subconjuntos de R n que tienen las mismas características de cerradura.
Considere el subconjunto V de R 3 , que consta de los vectores de la forma ( a, a, b ) . V consta de todos los elementos
de R 3 que tienen las primeras dos componentes iguales. Por ejemplo ( 2, 2,3) y ( −1, −1,5 ) que se encuentran
en V; (1,2,3) no pertenece a V. Observe que si suma dos elementos de V, obtiene un elemento de V y si multiplica un
elemento de V por un escalar, obtiene un elemento de V. Sean ( a, a, b ) y ( c, c, d ) elementos de V y sea k un

( a, a , b ) + ( c, c, d ) = ( a + c, a + c, b + d ) ∈ V
escalar. Así
k ( a, a, b ) = ( ka, ka, kb ) ∈ V
En V se definen las operaciones de adición y multiplicación por un escalar. V es cerrado bajo estas operaciones y posee
las características algebraicas del espacio vectorial R 3 . Se define como un espacio vectorial contenido en R 3 . Se llama
a dicho espacio vectorial un subespacio del espacio mayor.
Analice la interpretación geométrica de V, en R 3 es el conjunto de puntos en el espacio de 3 dimensiones. V será el
subconjunto de puntos donde las componentes x y y son iguales. Estas forman un plano perpendicular al plano xy, a
través de la recta y =x, z = 0. Fig. 5.1 La suma de cualquiera de los vectores de posición en el plano permanecerá en el
plano. La multiplicación por un escalar de cualquier vector que se localiza en el plano también se encuentra en el plano.

Fig. 5.1

Definición: Sea V un espacio vectorial y U un subconjunto no vacío de V. Se dice que U es un subespacio de V si es
cerrado bajo la adición y la multiplicación por un escalar.
Ejemplo 1. Sea U el subconjunto de R3 que consta de todos los vectores de la forma ( a, 0,0 ) (son ceros en la
3
segunda y tercera componentes). Demuestre que U es un subespacio de R .
Solución: Sean ( a, 0, 0 ) y ( b, 0, 0 ) dos elementos de U y sea k un escalar. Se tiene

( a, 0,0 ) + ( b, 0,0 ) = ( a + b,0, 0 ) ∈ U
k ( a, 0, 0 ) = ( ka,0, 0 ) ∈ U
La suma y el producto de un escalar pertenecen a U. Por lo tanto, U es un subespacio de R 3 . Desde el punto de vista
geométrico, U es el conjunto de vectores que se encuentran en el eje x. Note que la suma de los vectores se encuentra
en el eje x y también la multiplicación por un escalar de cualquiera de estos vectores.

Ejemplo 2. Sea W el conjunto de vectores de la forma ( a, a , b )
2
Demuestre que W no es un subespacio de R 3 .
Solución: W consta de todos los elementos de R 3 en los que la segunda componente es el cuadrado de la primera. Así,
por ejemplo, el vector ( 2, 4,3) se encuentra en W, mientras que el vector ( 2,5,3) no.


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( a, a , b ) + ( c, c , d ) = ( a + c , a
2 2 2
+ c2 ,b + d )
( a, a , b )
2
y ( c, c , d )
2

( )
Sean elementos de W. Se obtiene
≠ a + c, ( a + c ) , b + d
2

(
Por consiguiente, a, a , b + c, c , d
2
) ( 2
) no es un elemento de W, W no se encuentra cerrado bajo la adición. W no es un
subespacio.

Ejemplo 3. Demuestre que el conjunto U de matrices diagonales de 2 x 2 es un subespacio del espacio vectorial M 22
de matrices de 2 x 2.
Solución: Se debe demostrar que U es cerrado bajo la adición y la multiplicación por un escalar. Considere los dos
r a 0 r  p 0 r r  a 0  p 0   a + p 0 
elementos de U siguientes: u =   y v=  se tiene que u + v =  0 b  +  0 q  =  0
0 b  0 q      b + q

r r
Observe que u + v es una matriz diagonal de 2 x 2, por lo tanto, un elemento de U. U es cerrado bajo la adición.
 a 0  ca 0  rr
Sea c un escalar. Se tiene que cu = c   =  , cu es una matriz diagonal de 2 x 2. Así U es cerrado
 0 b   0 cb 
bajo la multiplicación por un escalar. U es un subespacio de M 22 . Este es un espacio vectorial de atrices contenido en
M 22 .
Teorema. Sea U un subespacio de un espacio vectorial V. U contiene el vector cero de V.
Este teorema indica por ejemplo, que todos los subespacios de R 3 contienen a ( 0, 0, 0 ) .Esto significa que todos los
subespacios del espacio tridimensional pasan por el origen. Este teorema a veces se puede utilizar para comprobar con
rapidez que ciertos subconjuntos no pueden ser subespacios. Si un subconjunto dado no contiene al vector cero, no
puede ser un subespacio.
Ejemplo. Sea W el conjunto de vectores de la forma ( a, a, a + 2 ) demuestre que W no es un subespacio de R 3 .

Solución: Vea si ( 0, 0, 0 ) se encuentra en W. ¿Hay algún valor de a para el cual ( a, a, a + 2 ) sea igual a ( 0, 0, 0 ) ?
Se iguala ( a, a, a + 2 ) con ( 0, 0, 0 ) , se obtiene: ( a, a, a + 2 ) = ( 0, 0, 0 ) Al igualar las componentes
correspondientes, se tiene que a=0 y a+2=0 Este sistema de ecuaciones no tiene solución. De esta
manera, ( 0, 0, 0 ) no es un elemento de W, W no es un subespacio.

Combinaciones Lineales de vectores.
Se analizó el subespacio de R 3 que consta de todos los vectores de la forma ( a, a, b ) . Observe que cualquier vector de

este espacio se puede expresar de la siguiente manera: ( a, a, b ) = a ( 1,1, 0 ) + b ( 0, 0,1) . La consecuencia de este
hecho consiste en que cada vector del subespacio se puede expresar en términos de ( 1,1, 0 ) y ( 0, 0,1) Por
( 2, 2,3) = 2 ( 1,1, 0 ) + 3 ( 0, 0,1)
ejemplo, Los vectores ( 1,1, 0 ) y ( 0, 0,1) caracterizan en algún sentido
( −1, −1, 7 ) = −1( 1,1, 0 ) + 7 ( 0, 0,1)
al subespacio.
r r r r
Definición. Sean v1 , v 2 ,......, v m vectores en un espacio vectorial V. Se dice que v , un vector en V, es una combinación
r r r r
lineal de v1 , v 2 ,......, v m si existen escalares c1 , c2 ,......, cm tales que v pueda expresarse de la siguiente manera:
r r r r
v = c1 v1 + c2 v 2 + ...... + cm v m
Ejemplo 1. El vector ( 5, 4, 2 ) es una combinación lineal de los vectores ( 1, 2, 0 ) , ( 3,1, 4 ) y ( 1, 0,3) ya que se

puede expresar de la manera siguiente: ( 5, 4, 2 ) = ( 1, 2, 0 ) + 2 ( 3,1, 4 ) − 2 ( 1, 0,3 ) .


de 26
El problema de determinar si un vector es una combinación lineal de otros vectores se convierte en resolver un sistema
de ecuaciones lineales.
Ejemplo 2. Determine si el vector ( −1,1,5 ) es una combinación lineal de los vectores ( 1, 2,3 ) , ( 0,1, 4 ) y ( 2,3, 6 )
Solución: Analice la identidad c1 ( 1, 2,3) + c2 ( 0,1, 4 ) + c3 ( 2,3, 6 ) = ( −1,1,5 ) ¿Se pueden encontrar escalares
c1 , c2 y c3 para los cuales se cumpla esta identidad? Al aplicar las operaciones de adición y multiplicación por
( c1 , 2c1 ,3c1 ) + ( 0, c2 , 4c2 ) + ( 2c3 ,3c3 , 6c3 ) = ( −1,1,5 )
un escalar, se obtiene
( c1 + 2c3 , 2c1 + c2 + 3c3 ,3c1 + 4c2 + 6c3 ) = ( −1,1,5 )
Igualando las componentes, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
c1 +2c3 = −1
2c1 + c2 + 3c3 = 1 Se puede demostrar que este sistema de ecuaciones tiene solución única, c1 = 1, c2 = 2, c3 = −1
3c1 + 4c2 + 6c3 = 5
Por lo tanto, el vector ( −1,1,5 ) es la combinación lineal siguiente de los vectores ( 1, 2,3) , ( 0,1, 4 ) y ( 2,3, 6 ) :
( 1, 2,3) + 2 ( 0,1, 4 ) − 1( 2,3, 6 ) = ( −1,1,5 ) .
Ejemplo 3. Exprese el vector ( 4, 4,5) como una combinación lineal de los vectores

( 1, 2,3) , ( −1,1, 4 ) y ( 3,3, 2 )
Solución: Analice la siguiente identidad para los valores de c1 , c2 y c3 .
( c1 , 2c1 ,3c1 ) + ( −c2 , c2 , 4c2 ) + ( 3c3 ,3c3 , 2c3 ) = ( 4,5,5 )
c1 ( 1, 2,3) + c2 ( −1,1, 4 ) + c3 ( 3,3, 2 ) = ( 4,5,5 ) Se tiene que
( c1 − c2 + 3c3 , 2c1 + c2 + 3c3 ,3c1 + 4c2 + 2c3 ) = ( 4,5,5 )
c1 − c2 + 3c3 = 4
Al igualar los componentes se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 2c1 + c2 + 3c3 = 5
3c1 + 4c2 + 2c3 = 5
Este sistema de ecuaciones tiene muchas soluciones, c1 = −2r + 3, c2 = r − 1, c3 = r
Por lo tanto, el vector ( 4, 4,5) se puede expresar de muchas formas como una combinación lineal de los vectores
( 1, 2,3) , ( −1,1, 4 ) y ( 3,3, 2 ) ,
( −2r + 3) ( 1, 2,3) + ( r − 1) ( −1,1, 4 ) + r ( 3,3, 2 ) = ( 4,5,5 ) Por ejemplo
r = 3 ⇒ −3 ( 1, 2,3) + 2 ( −1,1, 4 ) + 3 ( 3,3, 2 ) = ( 4,5,5 )
Si
r = −1 ⇒ 5 ( 1, 2,3) − 2 ( −1,1, 4 ) − ( 3,3, 2 ) = ( 4,5,5 )

Ejemplo 4. Demuestre que el vector ( 3, −4, −6 ) no se puede expresar como una combinación lineal de los vectores

( 1, 2,3) , ( −1, −1, −2 ) ( 1, 4,5 ) .
y
Solución: Considere la identidad c1 ( 1, 2,3) + c2 ( −1, −1, −2 ) + c3 ( 1, 4,5 ) = ( 3, −4, −6 ) Esta identidad lleva al sistema
c1 − c2 + c3 = 3
de ecuaciones lineales siguientes: 2c1 − c2 + 4c3 = −4 Este sistema no tiene solución. Por consiguiente, ( 3, −4, −6 )
3c1 − 2c2 + 5c3 = −6
No es una combinación lineal de los vectores ( 1, 2,3 ) , ( −1, −1, −2 ) y ( 1, 4,5 )


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 −1 7 
Ejemplo 5. Determine si la matriz   es una combinación lineal de las matrices
 8 −1
1 0   2 −3 0 1
,
2 1 0 2  y  2 0  en el espacio vectorial M 22 de matrices de 2 x 2.
     
1 0   2 −3  0 1   −1 7 
Solución: Analice la siguiente identidad c1   + c2   + c3  = 
2 1 0 2   2 0   8 −1
¿Puede encontrar escalares c1 , c2 y c3 para los cuales se cumpla esta identidad? Al aplicar las operaciones de
adición y multiplicación por un escalar de matrices, se obtiene
 c1 + 2c2 −3c2 + c3   −1 7 
 2c + 2c =
 1 2 c1 + 2c2   8 −1
  
Al igualar los elementos correspondientes, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales,
c1 + 2c2 = −1
− 3c2 + c3 = 7
Se puede demostrar que este sistema tiene una solución única c1 = 3, c2 = −2 y c3 = 1
2c1 + 2c3 = 8
c1 + 2c2 = −1
La matriz dada es, por lo tanto, la siguiente combinación lineal de las otras tres matrices,
1 0  2 −3  0 1   −1 7 
3  − 2  0 2  +  2 0  =  8 −1
2 1      
Si el sistema anterior no tuviera solución, es obvio que la matriz dada no sería una combinación lineal de las otras
matrices.
r r r
Definición: Se dice que los vectores v1 , v 2 ,......, v m generan un espacio vectorial si todo vector en el espacio se puede
expresar como una combinación lineal de estos vectores.
Un conjunto generador de vectores define, de alguna forma, el espacio vectorial puesto que cada vector del espacio se
puede obtener a partir de este conjunto.

Ejemplo 6. Demuestre que los vectores ( 1, 2, 0 ) , ( 0,1, −1) y ( 1,1, 2 ) generan R 3

Solución: Sean ( x, y , z ) un elemento cualquiera de R 3 . Se tiene que determinar lo siguiente:

( x, y, z ) = c1 ( 1, 2, 0 ) + c2 ( 0,1, −1) + c3 ( 1,1, 2 ) Multiplique y sume los vectores para obtener:
c1 +c3 = x
( x, y, z ) = ( c1 + c3 , 2c1 + c2 + c3 , −c2 + 2c 3
) Por consiguiente, 2c1 + c2 + c3 = y
−c2 + 2c3 = z
Este sistema de ecuaciones con las incógnitas c1 , c2 y c3 se resuelve por el método de eliminación de Gauss-
Jordan. Su solución es: c1 = 3 x − y − z , c2 = −4 x + 2 y + z , c3 = −2 x + y + z
Los vectores ( 1, 2, 0 ) , ( 0,1, −1) y ( 1,1, 2 )
generan R 3 . Pede escribir un vector cualquiera de R 3 como una
combinación lineal de estos vectores de la manera siguiente:
( x, y, z ) = ( 3x − y − z ) ( 1, 2, 0 ) + ( −4 x + 2 y + z ) ( 0,1, −1) + ( −2 x + y + z ) ( 1,1, 2 )
Esta fórmula vectorial permite expresar de inmediato un vector en R 3 como combinación lineal de
( 1, 2, 0 ) , ( 0,1, −1) y ( 1,1, 2 ) .Por ejemplo si se quiere saber cómo se expresa ( 2, 4, −1) en términos de estos
vectores, sustituya x = 2, y = 4, z = −1 en esta fórmula para obtener ( 2, 4, −1) = 3 ( 1, 2, 0 ) − ( 0,1, −1) − ( 1,1, 2 )


de 26

Ejemplo 7. Demuestre que las siguientes matrices generan el espacio vectorial M 22 de matrices de 2 x 2
1 0  0 1  0 0  0 0 
0 0  0 0  1 0  0 1 
       
a b 
Solución: Sea   un elemento cualesquiera de M 22 . Se puede expresar esta matriz de la manera siguiente.
c d 

a b  1 0  0 1 0 0 0 0
 c d  = a  0 0  + b  0 0  + c 1 0  + d  0 1  es el resultado.
         
r r r
Teorema. Sean v1 , v 2 ,......, v m vectores en un espacio vectorial V. Sean U el conjunto que consta de las combinaciones
r r r r r r
lineales de v1 , v 2 ,......, v m . U es un subespacio de V generado por los vectores v1 , v 2 ,......, v m . Se dice que U es el
r r r
espacio vectorial generado por v1 , v 2 ,......, v m
Ejemplo 8. Considere el espacio vectorial R 3 . Los vectores ( −1,5,3 ) y ( 2, −3, 4 ) se encuentran en R 3 . Sea U un
subconjunto de R 3 . Que consta de todos los vectores de la forma c1 ( −1,5,3) + c2 ( 2, −3, 4 ) .De esta manera, U es un

subespacio de R 3 generado por ( −1,5,3) y ( 2, −3, 4 ) . Los siguientes ejemplos de vectores en U, se obtuvieron dando
a c1 y c2 diversos valores.
c1 = 1, c2 = 0; vector ( −1,5,3)
c1 = 0, c2 = 1; vector ( 2, −3, 4 )
c1 = 0, c2 = 0; vector ( 0, 0, 0 )
c1 = 2, c2 = 3; vector ( 4,1,18)

Se puede visualizar U. U está formado por todos los vectores en el plano, definido por los vectores ( −1,5,3) y ( 2, −3, 4 )
fig. 5.2

Fig. 5.2 Fig. 5.3 Fig. 5.4
r r
Generalizando este resultado. Sean v1 y v 2 vectores en el espacio vectorial R 3 .El subespacio U generado por
r r r r r r
v1 y v 2 es el conjunto de vectores de la forma c1 v1 + c2 v 2 . Si v1 y v 2 no son colineales U es el plano
r r
definido por v1 y v 2 . Fig. 5.3
r r
Ejemplo 9. Sean v1 y v 2 vectores que generan un subespacio U de un espacio vectorial V. Sean k1 y k2
r r
escalares distintos de cero. Demuestre que k1 v1 y k2 v 2 también generan a U.


de 26
r r r r r r
Solución: Sea v un vector en U. Ya que v1 y v 2 generan U, existen escalares a y b, tales que v = av1 + bv 2
r a r r
(
b
) ( )
r r
Se puede escribir v= k1 v1 + k2 v 2 así los vectores k1 v1 y k2 v 2 generan U.
k1 k2
r r
Si son vectores en R no colineales, puede visualizar U como un plano en tres dimensiones k1 v1
3
y k2 v 2 serán
r r
vectores sobre las mismas rectas que v1 y v 2 . Fig. 5.4
Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Un método tradicional para demostrar que dos conjuntos A y
B son iguales consiste en demostrar que cada elemento de A pertenece a B, y que cada elemento de B pertenece a A.
Ejemplo 10. Sea U el subespacio de R 3 generado por los vectores ( 1, 2, 0 ) y ( −3,1, 2 ) . Sea V el subespacio de R 3

generado por los vectores ( −1,5, 2 ) y ( 4,1, −2 ) Demuestre que U = V
r r r
Solución: Sea u un vector en U. Demuestre que u pertenece a V. Ya que u se encuentra en U, existen escalares a y b,
r r
tales que u = a ( 1, 2, 0 ) + b ( −3,1, 2 ) = ( a − 3b, 2a + b, 2b ) vea si es posible expresar u como una combinación lineal
r
de ( −1,5, 2 ) y ( 4,1, −2 ) . u = p ( −1,5, 2 ) + q ( 4,1, −2 ) = ( − p + 4q,5 p + q, 2 p − 2 q ) tal que p y q deben satisfacer
− p + 4q = a − 3b
5 p + q = 2a + b
2 p − 2q = 2b
a+b a − 2b
Este sistema de ecuaciones tiene una solución única, p = ,q =
3 3
r r a+b a − 2b r
De esta manera, u se puede expresar como u = ( −1,5, 2 ) + ( 4,1, −2 ) Por lo tanto, u es un vector que
r 3 3
r
pertenece a V. De la misma manera, sea v = ( 2c + d ) ( 1, 2, 0 ) + ( c − d ) ( −3,1, 2 ) Por consiguiente, v es un vector que
pertenece a U. Por lo tanto, U = V. Este subespacio es el plano que pasa por el origen definido por los vectores
( 1, 2, 0 ) , ( −3,1, 2 ) Fig. 5.5

r r
Fig. 5.5 Fig. 5.6 Dependencia e independencia lineal de v1 , v 2 { } R3
Ejemplo 11. Sea U el espacio vectorial generado por las funciones f ( x) = x +1 y g ( x ) = 2x2 − 2x + 3 ,
demuestre que la función h ( x ) = 6 x − 10 x + 5 se encuentra en U.
2

Solución: h estará en el espacio generado por f y g si existen escalares a y b, tales que
a ( x + 1) + b ( 2 x − 2 x + 3) = 6 x − 10 x + 5 Esto da como resultado 2bx + ( a − 2b ) x + a + 3b = 6 x − 10 x + 5
2 2 2 2


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2b = 6
Si se igualan los coeficientes correspondientes, se obtiene: a − 2b = −10 Este sistema tiene una solución única a = -4,
a + 3b = 5
b = -3. Así, −4 ( x + 1) + 3 ( 2 x − 2 x + 3 ) = 6 x − 10 x + 5 . La función h ( x ) = 6 x − 10 x + 5 se encuentran en el
2 2 2

espacio generado por f ( x ) = x + 1 y g ( x ) = 2x2 − 2x + 3 .

Dependencia e Independencia Lineal. Continuamos con el desarrollo de la estructura del espacio vectorial. Se
introducirán los conceptos de dependencia e independencia lineal de vectores. Estos conceptos serán herramientas
útiles para construir conjuntos generadores “eficientes” de espacios vectoriales- conjuntos en los que no hay vectores de
más -.
Se ilustra la idea de dependencia de vectores. Observe que el vector ( 4, −1, 0 ) es una combinación lineal de los vectores

( 2,1,3) y ( 0,1, 2 ) ,ya que se puede expresar de la siguiente manera ( 4, −1, 0 ) = 2 ( 2,1,3) − 3 ( 0,1, 2 ) Esta ecuación
se puede volver a escribir de una gran cantidad de formas. Cada vector puede expresarse en términos de los demás

( 2,1,3) = 
1 3
 ÷( 4, −1, 0 ) +  ÷( 0,1, 2 )
2 2
vectores: cada uno de estos tres vectores depende de los otros dos. Se
( 0,1, 2 ) =   ( 2,1,3) −  ÷( 4, −1, 0 )
1
2
 ÷
3  3
expresa esta al escribir: ( 4, −1, 0 ) − 2 ( 2,1,3) + 3 ( 0,1, 2 ) = ( 0, 0, 0 ) La siguiente definición precisa este concepto de
dependencia de vectores.
r r
Definición: (a) El conjunto de vectores { v1 ,........v m } en un espacio vectorial V se dice que es linealmente
r r r
dependiente si existen escalares c1 ,......, cm , no todos iguales a 0, tales que c1 v1 + ......... + cm v m = 0
r r r r r
(b) El conjunto de vectores { v1 ,........v m } es linealmente independiente si c1 v1 + ......... + cm v m = 0 sólo se puede

satisfacer cuando c1 = 0,......, cm = 0
Ejemplo 1. Demuestre que el conjunto { ( 1, 2,3) , ( −2,1,1) , ( 8, 6,10 ) } es linealmente dependiente en R 3 .
r
Solución: Analice la identidad c1 (1, 2,3) + c2 ( −2,1,1) + c3 (8, 6,10) = 0
Quiere demostrar que por lo menos uno de los valores de c puede ser diferente de cero. Así, tenemos que
r
(c1 , 2c,3c1 ) + ( −2c2 , c2 , c2 ) + (8c3 , 6c3 ,10c3 ) = 0
r
(c1 − 2c2 + 8c3 , 2c1 + c2 + 6c3 ,3c1 + c2 + 10c3 ) = 0
Si iguala cada componente de este vector a cero, obtiene el sistema de ecuaciones
c1 − 2c2 + 8c3 = 0
2c1 + c2 + 6c3 = 0
3c1 + c2 + 10c3 = 0

Este sistema tiene la solución c1 = 4, c2 = −2, c3 = −1 . Como por lo menos uno de los valore de c es distinto de cero, el
conjunto de vectores es linealmente dependiente. La dependencia lineal se expresa por medio de la ecuación.
r
4(1, 2,3) − 2(−2,1,1) − (8, 6,10) = 0

Ejemplo 2. Demuestre que el conjunto { (3, −2, 2), (3, −1, 4), (1, 0,5)} es linealmente independiente de R 3 .
r
Solución: Analice la identidad c1 (3, −2, 2) + c2 (3, −1, 4) + c3 (1, 0,5) = 0
Quiere demostrar que esta identidad se cumple sólo si c1 , c2 y c3 son todos iguales a cero. Así,


de 26
r
(3c1 , −2c1 , 2c1 ) + (3c2 , −c2 , 4c2 ) + (c3 , 0,5c3 ) = 0
r
(3c1 + 3c2 + c3 , −2c1 − c2 , 2c1 + 4c2 + 5c3 ) = 0
Al igualar los componentes a cero, se obtiene
3c1 + 3c2 + c3 = 0
−2c1 − c2 =0
2c1 + 4c2 + 5c3 = 0
Este sistema tiene una solución única c1 = 0, c2 = 0, c3 = 0 . En consecuencia, el conjunto es linealmente independiente.

Ejemplo 3. Considere las funciones f ( x) = x 2 + 1, g ( x) = 3x − 1, h( x) = −4 x + 1 , del espacio vectorial P2 de polinomios
de grado ≤ 2. Demuestre que el conjunto de función { f , g , h} es linealmente independiente.
r
Solución: Analice la identidad c1 f + c2 g + c3 h = 0

{ f , g , h} es linealmente independiente si puede demostrar que esta identidad implica que c1 = 0, c2 = 0, c3 = 0 . Puede
expresar esta identidad como
r
c1 ( x 2 + 1) + c2 (3 x − 1) + c3 (−4 x + 1) = 0
Donde x es cualquier número real. Considere tres valores convenientes de x. Se obtiene
x = 0 : c1 − c2 + c3 = 0
x = 1: 2c1 + 2c2 − 3c3 = 0
x = −1: 2c1 − 4c2 + 5c3 = 0

Se puede demostrar que este sistema de tres ecuaciones tiene la solución única c1 = 0, c2 = 0, c3 = 0
r
Por consiguiente, c1 f + c2 g + c3 h = 0 implica que c1 = 0, c2 = 0, c3 = 0 . El conjunto { f , g , h} es linealmente
independiente.

Teorema. Un conjunto que consta de dos o más vectores en un espacio vectorial es linealmente dependiente si y sólo si
es posible expresar uno de los vectores como combinación lineal de los demás vectores.
r r r r
Dependencia lineal de { v , v } . El conjunto { v , vr } es rlinealmente dependiente si y sólo si es posible expresar un
1 2 1 2
r r
vector como un múltiplo escalar del otro vector. Sea v 2 = cv1 . Esto implica que v1 y v 2 son colineales. Fig. 5.6

r r r r r r
{ } {
Dependencia lineal de v1 , v 2 , v 3 . El conjunto v1 , v 2 , v 3 } es linealmente dependiente si y sólo si es posible expresar
r r r
r r r
uno de los vectores, por ejemplo v 3 , como combinación lineal de los otros dos vectores v1 , v 2 . Sea v 3 = c1 v1 + c2 v 2 .
r r r
En general, cuando v1 y v 2 son linealmente independientes, esto significa que v 3 se encuentra ubicado en el plano
r r r r r
generado por v1 y v 2 . Véase la figura 5.7 para R 3 . Si v1 y v 2 son linealmente dependientes, entonces v 3 se localiza en
r r
la recta que contiene a v1 y v 2 .


de 26

r r r
Fig. 5.7 Dependencia e independencia lineal de { v ,v ,v }
1 2 3 en R 3

Teorema. Sea V un espacio vectorial. Cualquier conjunto de vectores V que contenga al vector cero es linealmente
independiente.
r r
{ }
Teorema. Sea el conjunto v1 ,..., v m linealmente dependiente en un espacio vectorial V. Cualquier conjunto de vectores
en V que contenga estos vectores también será linealmente dependiente.
r r r r r r
{ }
Ejemplo 4. Sea el conjunto v1 , v 2 linealmente independiente. Demuestre que v1 + v 2 , v1 − v 2 { } también es linealmente
independiente.
r r r r
Solución: Analice la identidad a (v1 + v 2 ) + b(v1 − v 2 ) = 0 (1)
r r r r
Si puede demostrar que esta identidad implica que a=0 y b=0, entonces
r r r r
{ }
v1 + v 2 , v1 − v 2 será linealmente
av1 + av 2 + bv1 − bv 2 = 0
independiente. Así, r r
(a + b)v1 + (a − b)v 2 = 0
r r a+b = 0
{ }
Ya que v1 , v 2 es linealmente independiente,
a −b = 0
. Este sistema tiene una solución única, a=0, b=0.
r r r r
{ }
Al volver a la identidad (1), se tiene que v1 + v 2 , v1 − v 2 es linealmente independiente.

Bases y dimensión. Se dice que una recta tiene una dimensión y que un plano tiene dos dimensiones. En esta sección
se dará la definición matemática de dimensión. Dicha definición será congruente con las ideas intuitivas. A partir de los
conceptos de conjunto generador e independencia lineal.
r r
Definición. Un conjunto finito de vectores v1 ,..., v m { } recibe el nombre de base de un espacio vectorial V si el conjunto
genera V y es linealmente independiente.
Desde un punto de vista intuitivo, una base es un conjunto eficiente para representar un espacio vectorial, en el sentido
de que cualquier vector se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de la base; además, los
vectores de la base son independientes unos de otros. Se introdujo el concepto de base canónica para R n al analizar las
transformaciones matriciales. Ahora se verá que este conjunto de vectores satisface las condiciones de una base.

Definición. El conjunto de n vectores { (1, 0,..., 0), (0,1,..., 0),..., (0,...,1)} es una base para R n . Esta base recibe el
nombre de base canónica para R n .
Verifique este resultado. Tiene que demostrar que este conjunto genera a R n y que es linealmente independiente. Sea
( x1 , x2 ,..., xn ) un elemento cualquiera de R n . Puede escribir
( x1 , x2 ,..., xn ) = x1 (1, 0,..., 0) + x2 (0,1,..., 0) + ... + xn (0,...,1) Entonces, el conjunto genera R n .
Además, cuando se analiza este conjunto para establecer la independencia lineal, se obtiene que
c1 (1, 0,..., 0) + c2 (0,1,..., 0) + ... + cn (0,...,1) = (0, 0,..., 0)
(c1 , 0,..., 0) + (0, c2 ,..., 0) + ... + (0,..., cn ) = (0, 0,..., 0)
(c1 , c2 ,..., cn ) = (0, 0,..., 0)


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Por lo que, c1 = 0, c2 = 0,........cn = 0 . En conjunto es linealmente independiente. Por lo tanto, el conjunto
{ ( 1, 0,....0 ) , ( 0,1,.....0 ) ,..... ( 0, 0,.....1) } es una base para R n . La base canónica es la más importante.

Ejemplo 1. Demuestre que el conjunto { ( 1, 0, −1) , ( 1,1,1) , ( 1, 2, 4 ) } es una base para R 3

Solución: Demuestre primero que el conjunto genera R 3 . Sea ( x1 , x2 , x3 ) un elemento cualquiera de R3 . Trate de
encontrar escalares a1 , a2 , a3 tales que ( x1 , x2 , x3 ) = a1 ( 1, 0, −1) + a2 ( 1,1,1) + a3 ( 1, 2, 4 ) esta identidad lleva al
a1 + a2 + a3 = x1
sistema de ecuaciones a2 + 2a3 = x2
− a1 + a2 + 4a3 = x3
Este sistema de ecuaciones tiene la solución a1 = 2 x1 − 3 x2 + x3 , a2 = −2 x1 + 5 x2 − 2 x3 , a3 = x1 − 2 x2 + x3
Así, el conjunto genera el espacio. Ahora demuestre que el conjunto es linealmente independiente. Considere la
identidad b1 ( 1, 0, −1) + b2 ( 1,1,1) + b3 ( 1, 2, 4 ) = ( 0, 0, 0 )
Esta identidad da como resultado el siguiente sistema de ecuaciones
b1 + b2 + b3 = 0
b2 + 2b3 = 0
−b1 + b2 + 4b3 = 0
Este sistema tiene solución única, b1 = 0, b2 = 0, b3 = 0 Por lo tanto el conjunto es linealmente independiente. Se ha
demostrado que el conjunto { ( 1, 0, −1) , ( 1,1,1) , ( 1, 2, 4 ) } genera a R 3 y es linealmente independiente. Por consiguiente,
es una base para R 3 .
r r u
r ur
{
Teorema. Sea v1 ,.....v 2 } una base para el espacio vectorial V. Si w1 ,.....w m { } es un conjunto de más de n vectores en
V, entonces este conjunto es linealmente dependiente.
Teorema. Dos bases cualesquiera de un espacio vectorial V consta del mismo número de vectores.
Definición. Si un espacio vectorial V tiene una base que consta de n vectores, entonces la dimensión de V es n, que se
denota como dim ( V ) . El conjunto de n vectores { ( 1, 0,....0 ) ,..... ( 0, 0,.....1) } constituye una base (la base canónica) de
n n
R . Por lo que la dimensión de R es n.
Ejemplo 2. Demuestre que { f , g , h} donde f ( x ) = x + 1, g ( x ) = 3x − 1 h ( x ) = −4 x + 1 constituyen una
2
y
base para P2 .
Solución: { f , g , h} será una base para P2 si estas funciones generan a P2 y son linealmente independientes. Estas
funciones son linealmente independientes. Resta demostrar que generan a P2 . Sea p una función cualesquiera en P2 .
Así p es un polinomio de la forma p ( x ) = bx 2 + cx + d . Las funciones f, g y h generarán a P2 si existen escalares
a1 , a2 , a3 tales que se pueden escribir p ( x ) = a1 f ( x ) + a2 g ( x ) + a3h ( x ) Esto da como resultado
bx 2 + cx + d = a1 ( x 2 + 1) + a2 ( 3x − 1) + a3 ( −4 x + 1)
= a1 x 2 + ( 3a2 − 4a3 ) x + ( a1 − a2 + a3 )
Si compara los coeficientes, obtiene el siguiente sistema de ecuaciones.
a1 =b
3a2 − 4a3 = c
a1 − a2 + a3 = d


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Se puede mostrar que este sistema de ecuaciones tiene la solución a1 = b, a2 = 4b − 4d − c, a3 = 3b − 3d − c Por lo
tanto el polinomio p se puede expresar de la manera siguiente: p ( x ) = a1 f ( x ) + a2 g ( x ) + a3h ( x ) las funciones f, g y
h generan a P2 . Estas funciones generan a P2 y son linealmente independientes. Constituyen una base para P2 .
Ejemplo 3. Considere el conjunto { ( 1, 2,3) , ( −2, 4,1) } de vectores en
R 3 . Estos vectores generan un subespacio V de
r
R 3 que consta de todos los vectores de la forma v = c1 ( 1, 2,3) + c2 ( −2, 4,1) los vectores { (1, 2,3) y ( −2, 4,1) } generan
este subespacio. Además, ya que el segundo vector no es un múltiplo escalar del primero, los vectores son linealmente
independientes. Por consiguiente, { ( 1, 2,3) , ( −2, 4,1) } constituyen una base para V. Por lo tanto, dim(V) = 2. Se sabe
que V es, de hecho, un plano que pasa por el origen.
Hemos visto que cierto plano que pasa por el origen era un subespcio de dos dimensiones de R 3 .
Teorema. Subespacios de R 3 y sus dimensiones.
(a) El origen es un subespacio de R 3 . La dimensión de este subespacio es cero.
(b) Los subespacios de una dimensión de R 3 son rectas que pasan por el origen
(c) Los subespacios de dos dimensiones de R 3 son planos que pasan por el origen. Fig 5.8

Fig. 5.8

Se ha dicho que un conjunto de vectores que generan un espacio vectorial caracteriza al espacio en el sentido de que
cada vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal del conjunto generador. Puede haber más de
una combinación lineal. Por ejemplo, considere el espacio generado por el conjunto { ( 1, 2,3) , ( −1,1, 4 ) , ( 3,3, 2 ) } . El
vector ( 4,5,5 ) se puede expresar de la siguiente manera: ( 4,5,5) = − ( 1, 2,3) + ( −1,1, 4 ) + 2 ( 3,3, 2 ) y

( 4,5,5) = 5 ( 1, 2,3) − 2 ( −1,1, 4 ) − ( 3,3, 2 )
El siguiente teorema indica que si el conjunto generador es una base, cada combinación es única. Por lo tanto, una base
representa a un espacio vectorial con más exactitud que un conjunto generador.
r r
{ }
Teorema: Sea v1 ,....., v n una base del espacio vectorial V. Entonces, cada vector en V se puede expresar de forma
única como una combinación lineal de estos vectores.
Suponga que un espacio vectorial es de dimensión n. El teorema siguiente, dice que no es necesario verificar la
dependencia lineal ni la condición relativa a la generación de un espacio vectorial para determinar si un conjunto
constituye una base.
Teorema: Sea V un espacio vectorial de dimensión n.
r r
{
(a) Si S = v1 ,......, v m } es el conjunto de n vectores linealmente independientes en V, entonces S es una base de
V.
r r
{
(b) Si S = v1 ,......, v m } es un conjunto de n vectores que generan a V, entonces S es una base de V


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Ejemplo 4. Demuestre que el conjunto { ( 1,3, −1) , ( 2,1, 0 ) , ( 4, 2,1) } es una base de R 3 .
Solución: La dimensión de R 3 es tres. Una base, de R 3 consta de tres vectores. Se tiene el número exacto de vectores
para una base. Normalmente, tendría que mostrar que este conjunto es linealmente independiente y que genera a R 3 .
(El teorema anterior) dice que es necesario verificar sólo una de estas condiciones. Compruebe la independencia lineal.
c1 ( 1,3, −1) + c2 ( 2,1, 0 ) + c3 ( 4, 2,1) = ( 0, 0, 0 ) Esta identidad da como resultado el sistema de ecuaciones
c1 + 2c2 + 4c3 = 0
3c1 + c2 + 2c3 = 0
−c1 +c3 = 0
Este sistema tiene una solución única, c1 = 0, c2 = 0, c3 = 0 Por consiguiente, los vectores son linealmente
independientes. El conjunto { ( 1,3, −1) , ( 2,1, 0 ) , ( 4, 2,1) } es por lo tanto, una base de R 3 .
1 0  0 1  0 0  0 0 
Considere el espacio vectorial M 22 de matrices de 2 x 2. Las matrices   0 0  1 0  0 1 
0 0       
Generan M 22 y son linealmente independientes. Constituyen una base par M 22 . La dimensión del espacio vectorial
M 22 es 4. La dimensión del espacio vectorial M mn es mn .
Considere el espacio vectorial de polinomios de grado ≤ 2 , P2 .Las funciones x 2 , x y 1 generan P2 ya que
cualquier polinomio ax + bx + c = a x
2
( ) + b ( x ) + c ( 1)
2
x2 , x y 1 son linealmente independientes y que
ax 2 + bx + c = 0 para todo valor de x. Implica que a = 0, b = 0, c = 0.{ x , x,1} constituye, por lo tanto, una base para
2

P2 . La dimensión de espacio vectorial P2 es 3. El conjunto { x ,x
n n −1
,......, x,1} es una base para Pn , cuya dimensión e
n+1. Esta base recibe el nombre de base canónica para Pn .
Considere el espacio vectorial C 2 . Los vectores ( 1, 0 ) y ( 0,1) generan C 2 en virtud de que cualquier vector
( a + bi, c + di ) = ( a + bi ) ( 1, 0 ) + ( c + di ) ( 0,1)

( 1, 0 ) y ( 0,1) son linealmente independientes en C 2 . Por lo tanto { ( 1, 0 ) , ( 0,1) } constituyen una base para C 2 , cuya

dimensión e 2. Asimismo, { ( 1,......., 0 ) ,...., ( 0,......,1) } es una base de C n cuya dimensión es n. Esta base recibe el
nombre de base canónica de C n .
Ejemplo 5. Determine (con una breve explicación) si los enunciados siguientes son verdaderos o falsos.
(a) Los vectores ( 1, 2 ) , ( 1, −3 ) , ( 5, 2 ) son linealmente dependientes en R 2

(b) Los vectores ( 1, 0, 0 ) , ( 0, 2, 0 ) , ( 1, 2, 0 ) generan R3
(c) { (1, 0, 2), (0,1, −3)} constituye una base para el subespacio de
R 3 que consta de los vectores (a, b, 2a − 3b) .
(d) Cualquier conjunto de dos vectores se puede utilizar para generar un subespacio de dos dimensiones de R 3 .

Solución:
(a) Verdadero: la dimensión de R 2 es dos. Por consiguiente, tres vectores cualesquiera son linealmente
dependientes.
(b) Falso: los tres vectores son linealmente dependientes. Por lo tanto, no pueden generar un espacio de tres
dimensiones.
(c) Verdadero: los vectores generan el subespacio, ya que ( a, b, 2a − 3b) = a (1, 0, 2) + b(0,1, −3) . Los vectores
también son linealmente independientes porque no son colineales.
(d) Falso: los dos vectores deben ser linealmente independientes.


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Rango de una matriz: El rango permite relacionar matrices con vectores, y viceversa. El rango es una herramienta que
permite unificar muchos conceptos analizados en el curso. Las soluciones de ciertos sistemas de ecuaciones lineales, la
singularidad de una matriz y la invertibilidad de una matriz están relacionados con el rango.

Definición: Sea A una matriz de m X n. Los renglones de A se pueden considerar como vectores renglón r1 ,..., rm , y las
columnas como vectores columna c1 ,..., cn . Cada vector renglón tiene n componentes y cada vector columna tiene m
componentes. Los vectores renglón generan un subespacio de R n llamado espacio renglón de A, y los vectores
columna generan un subespacio de R m llamado espacio columna de A.

Ejemplo 1. Considere la matriz
1 2 −1 2 
3 4 1 6 
 
5 4 1 0 
 
Los vectores renglón de A son r1 = (1, 2, −1, 2) r2 = (3, 4,1, 6) r3 = (5, 4,1, 0)
Estos vectores generan un subespacio de R 4 llamado espacio renglón de A. Los vectores columna A son
1   2  −1  2
c1 = 3
  c2 =  4 
  c3 =  1 
  c4 =  6 
 
 
5   4
  1
  0
 
Estos vectores generan un subespacio de R 3 llamado espacio columna de A.

Teorema. El espacio renglón y el espacio columna de una matriz A tienen la misma dimensión.

Definición. La dimensión del espacio renglón y del espacio columna de una matriz A recibe el nombre de rango de A. El
rango de A se denota como rango (A).

1 2 3 
 
Ejemplo 2. Determine el rango de la matriz A = 0 1 2
 
2 5 8
 
Solución: A simple vista se tiene que el tercer renglón de A es una combinación lineal de los dos primeros renglones.
(2,5,8) = 2(1, 2,3) + (0,1, 2) Por consiguiente, los tres renglones de A son linealmente dependientes. El rango de A
debe ser menor que 3. Ya que (1, 2,3) no es un múltiplo escalar de (0,1, 2) , estos dos vectores son linealmente
independientes y forman una base para el espacio renglón de A. Por lo tanto, rango (A)=2.

Teorema. Los vectores renglón diferentes de cero de una matriz A de forma escalonada reducida constituyen una base
para el espacio renglón de A. El rango de A es el número de vectores renglón diferentes de cero.

1 2 0 0
0 0 1 0
Ejemplo 3. Determine al rango de la matriz A= 
0 0 0 1
 
0 0 0 0
Esta matriz se encuentra reducida a su forma escalonada. Hay tres vectores renglón diferentes de cero, a saber
(1,2,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1). De acuerdo con el teorema anterior, estos tres vectores constituyen una base para el espacio
renglón de A. Rango (A)=3.

Teorema. Sean A y B matrices renglón equivalentes. Entonces A y B tiene el mismo espacio renglón.
Rango(A)=rango(B).


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Teorema. Sea E la forma escalonada reducida de una matriz A. Los vectores renglón diferentes de cero de E constituyen
una base del espacio renglón de A. El rango de A es el número de vectores renglón diferentes de cero en E.

Ejemplo 4. Encuentre una base para el equipo renglón de la siguiente matriz A y determine su rango.
1 2 3 
A = 2 5 4
 
1 1 5 
 

Solución: Aplique las operaciones elementales con los renglones para encontrar la forma escalonada reducida de la
1 2 3  1 2 3  1 0 7 
     
matriz A. Así, 2 5 4 ≈ 0 1 −2 ≈ 0 1 −2
     
1 1 5  0 −1 2   0 0 0 
     
Los dos vectores (1,0,7), (0,1,-2) constituyen una base para el espacio renglón de A. Rango(A)=2.

1 1 0
Ejemplo 5. Determine una base para el espacio columna de la siguiente matriz A. A =  2 3 −2 
 
 −1 −4 6 
 
 1 2 −1
 3 −4 
Solución: La matriz transpuesta de A es A = 1
t
 
 −1 −2 6 
 
El espacio columna de A se convierte en el espacio renglón de At . Busque una base para el espacio renglón de At .
Calque la matriz escalonada reducida de At .
1 2 1  1 2 −1 1 0 5 
1 3 −4  ≈  0 1 −3 ≈ 0 1 −3
     
0 −2 6   0 −2 6   0 0 0 
     
Los vectores renglón diferentes de cero de esta matriz escalonada reducida, (1,0,5), (0,1,-3), son una base para el
espacio renglón de At . Exprese estos vectores en forma de columna para obtener una base del espacio columna de A.
Los siguientes vectores constituyen una base del espacio columna de A.
1   0 
0  ,  1 
   
5   −3
   

Ejemplo 6. Determine una base para el subespacio V de R 4 generado por los vectores
(1, 2,3, 4), ( −1, −1, −4, −2), (3, 4,11,8)

Solución: Construya una matriz A cuyos renglones estén formados por los vectores anteriores.
1 2 3 4
A =  −1 −1 −4 −2 
 
 3 4 11 8 
 
Determine la forma escalonada reducida de A. Se tiene


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 1 2 3 4   1 2 3 4  1 0 5 0 
 −1 −1 −4 −2  ≈  0 1 −1 2  ≈ 0 1 −1 2 
     
 3 4 11 8   0 −2 2 −4  0 0 0 0 
     
Estos vectores distintos de cero de la matriz escalonada, (1 0,5,0) y (0,1,-1,2), son una base para el subespacio V.

Teorema. Sea A una matriz de n X n. Los siguientes enunciados son equivalentes.
(a) A es invertible.
(b) A ≠ 0 (A es no singular).
(c) El sistema de ecuaciones AX=B tiene una solución única.
(d) Rango(A) = n.

Teorema. Considere un sistema de m ecuaciones con n variables.
(a) Si la matriz aumentada y la matriz de coeficientes tienen el mismo rango r y r = n, entonces la solución es única.
(b) Si la matriz aumentada y la matriz de coeficientes tienen el mismo rango r y r < n, entonces hay muchas
soluciones.
(c) Si la matriz aumentada y la matriz de coeficientes no tienen el mismo rango, entonces no existe solución.

Vectores ortonormales y proyecciones en R n

Definición. Un conjunto de vectores en un espacio vectorial V se dice que es un conjunto ortogonal si cada par de
vectores en el conjunto es ortogonal. Se dice que el conjunto es un conjunto ortonormal si es ortogonal y cada vector
es unitario.

  3 4   4 3 
Ejemplo 1. Demuestre que el conjunto (1, 0, 0),  0, , ÷,  0, , − ÷ es un conjunto ortonormal.
  5 5   5 5 

Solución: Primero muestre que cada par de vectores del conjunto es ortogonal.
 3 4  4 3  3 4  4 3
(1, 0, 0) × 0, , ÷ = 0 ;
 (1, 0, 0) × 0, , − ÷ = 0 ;
  0, , ÷× 0, , − ÷ = 0

 5 5  5 5  5 5  5 5
Así, los vectores son mutuamente ortogonales. Resta mostrar que cada vector es unitario. Se tiene que
(1, 0, 0) = 12 + 02 + 02 = 1
2 2
 3 4 3  4
 0, , ÷ = 0 +  ÷ +  ÷ = 1
2

 5 5 5  5
2 2
 4 3  4  3
 0, , − ÷ = 0 +  ÷ +  − ÷ = 1
2

 5 5  5  5

Los vectores son unitarios y ortogonales. Por lo tanto, este conjunto es ortonormal.

Teorema. Un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero en un espacio vectorial es linealmente independiente.

Definición. Una base que es un conjunto ortogonal se dice que es una base ortogonal. Una base que es un conjunto
ortonormal se dice que es una base ortonormal.

Bases canónicas


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R 2 : { (1, 0), (0,1)}
R3 : { (1, 0, 0), (0,1, 0), (0,0,1)}
R 4 : { (1,..., 0),..., (0,...,1)}
} Bases ortonormales

Teorema. Sea {u1 ,..., un } una base ortonormal del espacio vectorial R n . Sea v un vector en V. v se puede espresar
como una combinación lineal de los vectores de la base, de la manera siguiente:
v = (v × 1 )u1 + (v × 2 )u2 + ... + (v × n )un .
u u u

Ejemplo 2. Los siguientes vectores u1 , u2 y u3 , constituyen una base ortonormal para R 3 . Exprese al vector v=(7,-5,10)
Como una combinación lineal de estos vectores.
 3 4  4 3
u1 = (1, 0, 0), u2 =  0, , ÷, u3 =  0, , − ÷
 5 5  5 5

v × 1 = (7, −5,10) ×(1, 0, 0) = 7
u
 3 4
v × 2 = (7, −5,10) × 0, , ÷ = 5
u 
Solución: Se tiene que  5 5
 4 3
v × 3 = (7, −5,10) × 0, , − ÷ = −10
u 
 5 5
 3 4  4 3
Por consiguiente, (7, −5,10) = 7(1, 0, 0) + 5  0, , ÷− 10  0, , − ÷
 5 5  5 5

Proyección de un vector sobre otro vector
uuu
r
Sean v y u vectores de R n con un ángulo α entre ellos. Véase la figura 5.9(a). El vector OA indica “qué cantidad” de v
uuu
r uuur
apunta en la dirección de u. Se llama OA a la proyección de v sobre u. Determine una expresión para OA . Ahora
bien,
uuur
OA = OB cos α
= v cos α
 v u 
= v  × ÷
 v u ÷
 
u
= v×
u

uuu
r uuu
r  u  u v×u
La dirección del vector OA queda definida por el vector unitario u / u . Así, OA =  v × ÷ =
 u ÷ u u× u
u
 
Esta expresión para la proyección también se cumple si α > 90° . Véase la figura 5.9(b). En este caso, la proyección
apunta en sentido opuesto a u. Y el signo de
(v × ) /(u × ) es
u u negativo.


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Definición. La proyección de un vector v sobre un vector distinto de cero u en R n se denota proyu v y se define como
v×u
proyu v = u
u×u

Ejemplo 3. Determine la proyección del vector v = (6,7) sobre el vector u = (1,4).

v × = (6, 7) ×(1, 4) = 6 + 28 = 34
u
Solución: En el caso de estos vectores, se tiene que
v × = (1, 4) ×(1, 4) = 1 + 16 = 17
u

v×u 34
Por consiguiente, proyu v = u = (1, 4) = (2,8)
u×u 17
La proyección de v sobre u es (2,8).
Suponga que el vector v = (6,7) representa una fuerza que actúa sobre un cuerpo localizado en el origen. Así
proyu v = (2,8) , como el componente de la fuerza en la dirección del vector u = (1,4). Desde un punto de vista físico,
(2,8) es el efecto de la fuerza en dicha dirección.

Teorema. Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt
Sea { v1 ,..., vn } una base para el espacio vectorial V. El conjunto de vectores { u1 ,..., un } definido de la manera siguiente
es ortogonal. Para obtener una base ortonormal de V, se normaliza cada uno de los vectores u1 ,..., un .
u1 = v1
u2 = v2 − proyu1 v2
u3 = v3 − proyu1 v3 − proyu2 v3
...
un = vn − proyu1 vn − proyu2 vn − ... − proyun−1 vn

Ejemplo 4. El conjunto de {(1,2,0,3),(4,0,5,8),(8,1,5,6)} es linealmente independiente R 4 . Los vectores forman una base
para el subespacio de tres dimensiones V de R 4 . Construya una base ortonormal para V.

Solución: Sea v1 = (1, 2, 0,3), v2 = (4, 0,5,8), v3 = (8,1,5, 6) . Ahora aplique el proceso de Gram-Schmidt para construir
un conjunto ortogonal {u1 , u2 , u3 } a partir de estos vectores.

Sea u1 = v1 = (1, 2, 0,3)
Sea (v2 × 2 )
u
u2 = v2 − proyu1 v2 = v2 − u1
(u1 × 1 )
u
(4, 0,5,8) ×(1, 2, 0,3)
= (4, 0,5,8) − (1, 2, 0,3)
(1, 2, 0,3) ×(1, 2, 0,3)
= (4, 0,5,8) − 2(1, 2, 0,3)
= (2, −4,5, 2)

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v3 × 1
u v × u
Sea u3 = v3 − proyu1 v3 − proyu2 v3 = v3 − u1 − 3 2 u2
u1 × 1
u u2 × 2
u
(8,1,5, 6) ×(1, 2, 0,3) (8,1,5, 6) × −4,5, 2)
(2,
= (8,1,5, 6) − (1, 2, 0,3) − (2, −4,5, 2)
(1, 2, 0,3) ×(1, 2, 0,3) (2, −4,5, 2) ×(2, −4,5, 2)
= (8,1,5, 6) − 2(1, 2, 0,3) − 1(2, −4,5, 2)
= (4,1, 0, −2)

El conjunto {(1,2,0,3),(2,-4,5,2),(4,1,0,-2)} es una base ortogonal para V. (Compruebe que el producto punto de cada par
de vectores es igual a cero.)
Calcule ahora la norma de cada vector y normalice los vectores para obtener una base ortonormal. Así,
(1, 2, 0,3) = 12 + 23 + 02 + 32 = 14
(2, −4,5, 2) = 22 + ( −4) 2 + 52 + 2 2 = 7
(4,1, 0, −2) = 4 2 + 12 + 0 2 + (−2) 2 = 21

Utilice estos valores para normalizar los vectores y llegue a la siguiente base ortonormal para V.
 1 2 3  2 4 5 2  4 1 −2  
 , , 0, ÷,  7 , − 7 , 7 , 7 ÷,  , , 0, ÷
 14 14 14     21 21 21  

Teorema. Sea W un subespacio de R n . Cada vector v en R n se puede expresar de forma única de la siguiente manera
v = w + w⊥ .

Matrices ortogonales

Definición. Una matriz cuadrada cuyos vectores columna forman un conjunto ortonormal recibe el nombre de matriz
ortogonal.

 1 1 
 2 2
Ejemplo 7. Demuestre que la siguiente matriz A es una matriz ortogonal. A =  
 1 1 
− 2
 2


 1   1 
 2   
Solución: Los vectores columna de A son a1 =   y a2 =  2 
 1   1 
− 2 
   2
 


de 26
2 2 2 2
 1   1   1   1 
a1 =  ÷ +− ÷ = 1, a2 =  ÷ + ÷ = 1,
Observe que
 2  2  2  2
 1  1   1  1 
a1 ×a2 =  ÷ − ÷+  ÷ ÷= 0
 2  2   2  2 
Los vectores columna A son, por lo tanto, vectores unitarios y, además, ortogonales. Por consiguiente, A s una matriz
ortogonal.

Teorema. Sea A una matriz ortogonal. Entonces
(a) Los vectores renglón de A forman un conjunto ortonormal.
(b) A es invertible, con A−1 = At .
(c) A−1 es una matriz ortogonal.
(d) A = 1 o -1 (que se escribe A = ±1 ).


Unidad iv apuntes nov12

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