1) El documento presenta conceptos básicos de cálculo vectorial como norma de un vector, producto punto, cosenos directores, producto vectorial, ecuaciones de rectas y planos en el espacio, derivadas parciales y cambio de variables en integrales. 2) Se explican conceptos de superficies como ecuaciones de superficies cuadráticas y tangencia. 3) Finalmente, se describen conceptos de curvas como vector velocidad, aceleración, componentes de la aceleración y coordenadas cilíndricas y esféricas.

1. 1
UNIVERSIDAD LA SALLE ESCUELA DE INGENIERÍA ÁREA DE MATEMÁTICAS
FORMULARIO DE CÁLCULO VECTORIAL.
VECTORES:
Norma de un vector: Vector unitario: Producto punto o producto escalar:
2 2 2 u
u = u
1
+ u 2 + + u n u
n
u ⋅ v = ∑u i ⋅ vi = u1v1 + u 2 v 2 +  + u n v n
i =1
Cosenos directores: Angulo entre dos Componente de v a lo largo de u:
u u u vectores: u v u ⋅v
cos(α) = 1 , cos( β) = 2 , cos(γ ) = 3 ; comp u v = cos(θ =
) =v cos(θ)
u ⋅v u u
u u u cos(θ =
)
u v
cos 2 (α) +cos 2 ( β) +cos 2 (γ ) =1
Producto cruz o producto vectorial: Área del triángulo Producto cruz o producto vectorial:
u × =u v sen (θ
v ) es la mitad del
u×v
2
=u
2
v
2
− u ⋅v ) 2
( área del i j k
paralelogramo u × v = u1 u2 u3 =
Área del paralelogramo generado por u y
generado por u y v
v: A =×
u v
v1 v2 v3
= i (u 2 v 3 − v 2 u 3 ) − j (u1 v 3 − v1 u 3 ) + k (u1 v 2 − v1 u 2 )
u1 u2 u3 Volumen del paralelepípedo generado por u, v, w:
V = ⋅v ×
u ( w)
Triple producto escalar: u ⋅ (v × w) = v1 v2 v3
w1 w2 w3 Volumen de la pirámide inscrita es 1/6 del volumen
del paralelepípedo generado por u, v y w.
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.
Ecuación vectorial de la recta: r =0 +
r tv : donde v es el x = x0 + tv1
vector dirección, r0=(x0,y0,z0) y t es un escalar. Ecuaciones paramétricas de la recta: y = y 0 + tv 2
z = z 0 + tv3
Ecuaciones simétricas de la recta:
x − x0 y − y0 z − z0
= = ; con v1v2 v3 ≠ 0
v1 v2 v3
Ecuación vectorial del plano: n ⋅( r − 0 ) =
r 0 donde n es el Ecuación escalar del plano que pasa por P0=(x0,y0,z0)
vector normal al plano, r0 =(x0,y0,z0) y r =(x,y,z). y tiene como vector normal a
n =(a,b,c):
a ( x − 0 ) + ( y − 0 ) +( z − 0 ) =
x b y c z 0 .
x = x 0 + tv1 + su1 Distancia de un punto Q a un plano:
y = y 0 + tv 2 + su 2
→
Ecuaciones paramétricas del plano: →
PQ n
ax 0 + 0 + 0 −
by cz d
D =comp n ( PQ ) = =
z = z 0 + tv3 + su 3 n a2 + 2 + 2
b c
→
PQ×u
Distancia de un punto Q a una recta L esta dada por: D = , donde P es un punto cualquiera de la recta.
u
SUPERFICIES.
Una superficie de revolución tiene la ecuación: Superficies cuadráticas:
x2 + y2 = [r(z)]2 girando en torno al eje z Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0
y2 + z2 = [r(x)]2 girando en torno al eje x
x2 + z2 = [r(y)]2 girando en torno al eje y Se clasifican en esferas, elipsoides, hiperboloides de una
hoja, hiperboloides de 2 hojas, cilindro elíptico o circular
recto, cilindro hiperbólico recto, cono recto, paraboloide
elíptico, paraboloide hiperbólico.
DERIVADAS PARCIALES

2. 2
Derivadas parciales de orden superior: Gradiente de z=f(x,y) ∇ , y) = x , f
f (x ( f y )
.
∂ 2
∂ ∂ 
f ∂ ∂ 2
∂ ∂  de w=f(x,y,z)
Gradiente ∂
f
f ( x, y ) =  = f x = f xx ; f ( x, y ) =  = f y = f yy
∂ 2
x ∂ ∂  ∂
x x x ∂ 2
y ∂  ∂ ( , y , z ) = , f
y  fy  ∂
∇ x y ( f x y , fz )
∂2 ∂ ∂f  ∂ ∂2 Si∂ ∂  z ∂f(x,y)= 0, entonces un vector
F(x,y,z)= –
f
f ( x, y ) = 
∂ =
 ∂ f y = f yx ; f ( x, y ) =  = f x = f xy
∂∂
x y ∂x  y  x ∂∂
y x normal∂ la superficie z está dado por:
∂  a  ∂
y x y
∇x, y , z ) = x , Fy , Fz )
F( (F
La derivada direccional de una función z=f(x,y), en la dirección Si la función z=f(x,y), es diferenciable en el punto
del vector unitario u=(u1,u2) en el punto (x0,y0) está dada por: (x0,y0) entonces:
Du f ( x 0 , y 0 ) =u •∇ ( x 0 , y 0 ) =
f ∆
z ≅dz = x ( x 0 , y 0 ) dx + y ( x 0 , y 0 ) dy
f f
=(u1 , u 2 ) ⋅( f x ( x 0 , y 0 ), f y ( x 0 , y 0 ))
La ecuación del plano tangente a la superficie F(x,y,z)= 0 en el Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación del plano
punto P=(x0,y0,z0) está dada por: tangente en el punto P=(x0,y0,z0) es:
∇ ( x0 , y 0 , z 0 ) • x − 0 , y − 0 , z − 0 ) =
F ( x y z 0 (
( f x ( x0 , y 0 ), f y ( x0 , y 0 ), − • x − 0 , y − 0 , z − 0
1) x y z )=0
La ecuación de la recta normal a la superficie F(x,y,z)= 0 en el Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación de la recta
punto P=(x0,y0,z0) está dada por: normal en el punto P=(x0,y0,z0) es:
x = +x ( x 0 , y 0 , z 0 ) t ;
x0 F y =0 + y ( x 0 , y 0 , z 0 ) t ;
y F z = +z (x 0 , y 0 x ( x 0 ,ty 0 ) t ;
z0 x = 0 −, z 0 )
F x f y = 0 −y ( x 0 , y 0 ) t ;
y f z =0 +
z t
Para la superficie z=f(x,y), la diferencial total de z es: REGLA DE LA CADENA (1ª. Versión)
∂z ∂z Si z=f(x,y) en donde x=x(t); y=y(t), entonces:
dz = dx + dy
∂x ∂ y dz ∂ dx
z ∂ dy
z
= +
dt ∂ dt
x ∂ dt
y
REGLA DE LA CADENA (2ª. Versión) DERIVACIÓN IMPLÍCITA. Si F(x,y,z)= 0, en
Si z=f(x,y) en donde x=g1(s,t); y=g2(s,t), entonces: donde z=f(x,y), entonces:
∂z ∂ ∂
z x ∂ ∂
z y ∂z ∂ ∂
z x ∂ ∂
z y ∂F
= + ; = + ∂F
∂s ∂ ∂
x s ∂ ∂
y s ∂t ∂ ∂
x t ∂ ∂
y t
∂z Fx ∂z Fy ∂y
=− = − ∂x ; =− =−
∂x Fz ∂F ∂y Fz ∂F
∂z ∂z
CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARA PUNTOS CRÍTICOS DE FUNCIONES z=f(x,y).
Sea D= fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)- f2xy(x0,y0), donde (x0,y0) es un punto crítico de z=f(x,y), entonces:
1. f(x0,y0) Es un valor máximo relativo de z=f(x,y) si D>0 y fxx(x0,y0)<0
2. f(x0,y0) Es un valor mínimo relativo de z=f(x,y) si D>0 y fxx(x0,y0)>0
3. f(x0,y0) Es un punto silla de z=f(x,y) si D<0
4. EL CRITERIO NO DECIDE SI D=0
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.
Sea z=f(x,y) y h(x,y)=c una función restricción. Para maximizar (minimizar) a z sujeta a la restricción h, se deberá
SEA H ( x, y, λ = f ( x, y ) +λ h( x, y ) −c )
) (
resolver el sistema: ∂H
=0 ;
∂H
=0 ;
∂H
=0
∂x ∂y ∂λ
COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS.

3. 3
CILINDRICAS (r, θ , z) ESFERICAS ( ρ , θ , φ )
 tan − 1 ( y x) si x > 0, y ≥ 0 x = ρ sen(φ ) cos(θ ); y = ρ sen(φ )sen(θ ); z = ρ cos(φ ); ρ ≥

x = r cos(θ ) ; y = rsen(θ ) ; z = z; x 2 + y 2 = r 2 ; θ =  π + tan − 1 ( y x) si x < 0  tan − 1 ( y x)
 2π + tan − 1 ( y x) si x > 0, y < 0 
 ρ = x 2 + y 2 + z 2 ; φ = cos − 1 ( z / ρ ); θ =  π + tan − 1 ( y x
 −1
r ≥ 0; 0 ≤ θ ≤ 2π  2π + tan ( y
CAMBIO DE VARIABLE
POLARES ∫∫f(x, y)dxdy = ∫∫f(rcos(θ ), rsen(θ )) r drdθ
R Q
CILINDRICAS : ∫∫∫f(x, y, z)dxdydz = ∫∫∫f(rcos(θ ), rsen(θ ), z) r drdθ dz
R Q
∫∫∫f(x, y, z)dxdydz =∫∫∫f(ρ sen(φ )cos(θ ),ρ sen(φ )sen(θ ),ρ cos(φ ))ρ
2
ESFERICAS : sen(φ )dρ dφ dθ
S Q
SEA C UNA CURVA (EN EL PLANO O EN EL ESPACIO) DADA POR:

4. 4
r (t ) = x (t )i + y (t ) ˆ
ˆ j CURVA EN EL PLANO
r (t ) = x (t )i ˆ
ˆ + y (t ) ˆ + z (t )k CURVA EN EL ESPACIO, ENTONCES :
j
VECTOR VELOCIDAD v(t ) = r ' (t )
ds
RAPIDEZ v(t ) = = r ' (t )
dt
VECTOR ACELERACION a (t ) = r ' ' (t ) = aT T (t ) + a N N (t )
r ' (t )
VECTOR TANGENTE UNITARIO T (t ) =
r ' (t )
T ' (t )
VECTOR NORMAL PRINCIPAL UNITARIO N (t ) =
T ' (t )
VECTOR BINORMAL B (t ) = T (t ) × N (t )
v(t ) ⋅ a (t ) d 2 s
COMPONENTES DE LA ACELERACION aT = a (t ) ⋅ T (t ) = = 2
v (t ) dt
2
2 v(t ) × a (t )  ds 
COMPONENTES DE LA ACELERACION a N = a (t ) ⋅ N (t ) = a (t ) − aT =
2
= K 
v(t )  dt 
FORMULAS PARA LA CURVATURA EN EL PLANO
y' '
K = C DADA POR y = f ( x)
[1 + ( y') ] 2
3
2
x' y ' '−y ' x' '
K = C DADA POR x = x (t ), y = y (t )
[( x')
+ ( y ')
2 32
2
]
FORMULAS PARA LA CURVATURA EN EL PLANO O EN EL ESPACIO
T ' (t ) r ' (t ) × r ' ' (t )
K = = 3
r ' (t ) r ' (t )
a (t ) ⋅ N (t )
K = 2
v(t )
RECUERDE QUE LAS FORMULAS CON PRODUCTOS VECTORIALES SOLO SE APLICAN A CURVAS
EN EL ESPACIO.
AREA DE LA SUPERFICIE INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL (TRABAJO REALIZADO)
∫∫dS = ∫∫ 1 +[ f x ( x, y )] + f y ( x, y ) dA
2
[ ]2 b
R R ∫ F ⋅ dr = ∫ F ⋅ Tds = ∫ F ( x(t ), y (t ), z (t )) ⋅ r ' (t )dt
C C a
LONGITUD DE ARCO
SI F ES UN CAMPO VECTORIAL DE LA FORMA F ( x, y ) = Mi + Nˆ
ˆ j
b b
s =∫ r ' (t ) dt =∫ [ x' (t )]2 +[ y ' (t )] +[ z ' (t )] dt
2 2
a a r (t ) = x (t )i + y (t ) ˆ
ˆ j ENTONCES ∫ F ⋅ dr = ∫ Mdx + Ndy
C C
SI F ES UN CAMPO VECTORIAL DE LA FORMA F ( x, y , z ) = Mi +
ˆ
j ˆ
r (t ) = x (t )i + y (t ) ˆ + z (t ) k
ˆ ENTONCES ∫ F ⋅ dr = ∫ Mdx + Ndy + P
C C
INTEGRAL DE LÍNEA SEA F(x,y)=Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, F ES CONSERVATIVO SI
∂M ∂N
=
∂ y ∂x
SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL, F ES CONSERVATIVO
SI

5. 5
SI C ESTA DADA POR r (t ) = x (t )i + y (t ) ˆ
ˆ j ˆ
i ˆ
j kˆ
∂ ∂ ∂ ∂ P ∂ 
N ∂P ∂  ˆ ∂
M N
b rot ( F ) = =i 
ˆ − − ˆ
j − +k 
∂ −
∂ 
∫ f ( x, y )ds = ∫ f ( x(t ), y (t )) [ x' (t )] +[ y ' (t )] dtj ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
2 2
x y z  y z  x z  x
C a M N P
SI ˆ j ˆ
C ESTA DADA POR r (t ) = x (t )i + y (t ) ˆ + z (t )k
b
∫ f ( x, y, z )ds = ∫ f ( x(t ), y (t ), z (t )) [ x' (t )]2 +[ y ' (t )] +[ z ' (t )] dt
2 2
C a
SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL. LAS SEA F(x,y)= Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, SI F ES CONSERVATIVO,
SIGUIENTES CONCLUSIONES SON EQUIVALENTES: ENTONCES
1. − F ES CONSERVATIVO. ESTO ES F = ∇∫F ⋅dr =∫ f ⋅dr f= f ( x (b), y (b)) −f ( x ( a ), y ( a ))
f PARA ALGUNA
∇
C C
2. − ∫ F ⋅ dr ES INDEPENDIENTE DEL CAMINO
C DONDE f(x,y) ES UNA FUNCIÓN POTENCIAL DE F, ES DECIR:
3. − ∫ F ⋅ dr = 0
F ( x , y ) = ( x, y )
∇f
PARA TODA CURVA C CERRADA
C SEA F(x,y)= Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, LA DIVERGENCIA DE F ES
ÁREA DE UNA SUPERFICIE PARAMETRICA. ∂M ∂N
divF ( x, y ) = +
∂x ∂y
AREA DE LA SUPERFICE = ∫∫ dS = ∫∫ ru × rv dA
S D
SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL, LA DIVERGENCIA DE F
∂x ∂y ∂z ˆ ∂x ∂y ∂z ( ∂M ∂N ∂P
DONDE : ru = i +
ˆ ˆ+
j k , rv = i + ES ˆ +
ˆ j divFˆ x,
k y, z ) =
∂x
+
∂y
+
∂z
∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v
TEOREMA DE GREEN INTEGRALES DE SUPERFICIE
 ∂N ∂M 
∫ Mdx + Ndy = ∫∫ ∂x


−
∂y
dA


z = g ( x, y )
[ ]
C R
ds = 1 + [ g x ( x, y )] + g y ( x, y ) dA
2 2
 ∂N ∂M 
∫ F ⋅ dr = ∫∫ ∂x − ∂y
 dA = ∫∫ rot ( F ) ⋅ k dA

ˆ
C R   R
2 2
[
∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f ( x, y, g ( x, y)) 1 + [ g x ( x, y)] + g y ( x, y) dA Forma es ]
∫ F ⋅ N ds = ∫∫div ( F ) dA S R
C R [ j ˆ ]
∫∫ F ⋅ N dS = ∫∫ F ⋅ − g x ( x, y ) iˆ − g y ( x, y ) ˆ + k dA Forma vectorial (norm
S R
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (DE GAUSS). Forma paramétrica
Relaciona una integral triple sobre una región
sólida Q, con una integral de superficie sobre la ∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f ( x(u, v), y (u, v), z (u, v))dS
S D
Forma escalar
superficie de Q
∫∫ F ⋅ N dS = ∫∫ F ⋅ [ ru × rv ]dA Forma vectorial
S R
∫ F ⋅N
∫
S
dS =∫ ∫
∫ div( F )dV
Q
TEOREMA DE STOKES.
Establece la relación entre la integral de superficie sobre una superficie orientada S y la integral de línea sobre una curva espacial cerrada
que constituye el borde de S.
∫ F ⋅ dr
C
= ∫∫( rot ( F )) ⋅ N dS
S