vector, magnitud, escalar, trayectoria, desplazamiento, sentido, dirección, componenetes rectangulares de un vector, vector unitario

1. VECTORES
Vectores y sus operaciones
08/01/2008
ITM
Ing. Margarita Patiño Jairo Hernán Muñoz Hernández
Instituto Tecnológico Metropolitano
Ciencia Básica
Estrategias didácticas para la enseñanza y el aprendizaje significativo de
la física

2. 2
CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES:
CANTIDAD ESCALAR: Es aquella que está especificada
completamente por un número con unidades apropiadas. No
posee dirección ni sentido.
EJEMPLO: Tiempo, Temperatura, dinero etc.
CANTIDAD VECTORIAL: Es aquella que además de un número y
una unidad apropiada posee una dirección y un sentido.
EJEMPLO: Velocidad, desplazamiento, fuerza, etc.
NOTA: Distancia ≠ desplazamiento
La distancia recorrida (una cantidad escalar) es la longitud de la
trayectoria o camino seguido por el móvil.
Para simplificar el estudio del movimiento, representaremos a los cuerpos
móviles por puntos geométricos, olvidándonos, por el momento, de su forma
y tamaño. Se llama trayectoria a la línea que describe el punto que
representa al cuerpo en movimiento, conforme va ocupando posiciones
sucesivas a lo largo del tiempo, (Trayectoria: Es la ruta seguida o el camino
real recorrido que ha experimentado un cuerpo).
Según sea la forma de su trayectoria los movimientos se clasifican en rectilíneos y curvilíneos. Un coche que
recorra una calle recta describe un movimiento rectilíneo, mientras que cuando tome una curva o dé una vuelta a
una plaza circular, describirá un movimiento curvilíneo.
Vector desplazamiento: Si una partícula se mueve desde un punto a otro, el
vector desplazamiento o desplazamiento de la partícula, se define como el
vector que va desde la posición inicial a la final, es decir:
Note que en general el desplazamiento no coincide con la trayectoria que
sigue la partícula. ¿En que caso(s) coincide?
En el sistema Internacional, el desplazamiento se expresa en [m].
La magnitud de cualquier desplazamiento es la distancia más corta entre los
puntos extremos del vector desplazamiento.
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3. 3
Desplazamiento P
Trayectoria o camino total
O
VECTOR
Es un segmento dirigido de recta que posee una medida con base en una
escala previamente elegida. En todo vector podemos identificar su dirección
(horizontal, vertical, oblicua), su sentido (arriba (+), abajo (-), derecha (+) e
izquierda (-) y su intensidad, medida o magnitud.
Nota: Los vectores indicados en negrilla no requieren su indicación mediante
una flecha.
EJEMPLOS

A
1. Dirección: Horizontal
Sentido: derecha (+)

Intensidad: 3 unidades, A = 3 u
2.
Dirección: Vertical

B Sentido: Abajo (-)

Intensidad: 2 u , B = 2 u
3.
Dirección: Oblicua

C Sentido: Izquierda - abajo
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4. 4

Intensidad: 4 u , C = 4 u
Concluyendo: Los vectores son magnitudes
representadas por un segmento dirigido (flecha).
Se caracterizan por poseer:
a) Una longitud, la que es representada por un
valor numérico al que llamaremos módulo
(también se la denomina norma)
b) Una dirección, que es la recta a la que
pertenece
c) Un sentido. La recta posee dos sentidos, generalmente estos se indican
mediante signos "+" para un lado y "-" para el otro.
Los vectores pueden situarse en el plano, o sea dos dimensiones, en el
espacio, desde tres hasta infinitas dimensiones.
OPERACIONES CON VECTORES
IGUALDAD ENTRE VECTORES
Dos Vectores A y B son iguales si tienen la misma magnitud, dirección y
sentido.
Y
 
A= B
A
B
0 X
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5. 5
NEGATIVO DE UN VECTOR
Dado un Vector A, su negativo será otro Vector B que posee la misma
magnitud y dirección pero sentido opuesto
A
 
A=B
B
SUMA DE VECTORES
Para sumar dos o más Vectores basta trasladarlos de manera que
conserven su dirección, sentido y magnitud y, colocarlos de tal manera que el

origen de uno de ellos coincida con el final del otro. El Vector resultante R
se inicia en el origen del primer Vector y termina en el final del último Vector
y, su magnitud se calcula mediante procedimientos geométricos o
trigonométricos.

EJEMPLO 1: A

B
  
   R= A +B
R= A + B 
R = 3 U+ 2U= 5 U
EJEMPLO 2
 
R = B + (− A)
  
−A B B

−A
  
R=B−A 
R = 3U 2U =1U
EJEMPLO 3

 B
A
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6. 6
 2 2
R = A + B (Pitágoras)

R = (3u) 2 + ( 4 u) 2
 
R = 9 u 2 + 16 u 2 B

R = 25u 2

 A
R =5u
EJEMPLO 4:
Un auto recorre 20.0 Km rumbo al norte y después 35.0 Km en una dirección
60 0 al oeste del norte. Determine la magnitud y dirección del
desplazamiento resultante del auto.
Solución:
N
40

B
60°
20
120° = θ

A
β
O E
-20 20
S
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7. 7
 2 2  
R= A + B − 2 A B cos θ (Ley de cosenos

R = (20.0 Km) 2 + (35.0 Km) 2 − 2(20.0 Km).(35.0 Km). Cos120 0

R = 48.2 Km
 Sen B = Sen θ
  ( Ley de Senos)
Dirección de R :
B R

Sen B B Sen θ
= 
R
35.0 Km.Sen 120 0
Sen B =
48.2 Km
Sen B = 0.629
B = Sen −1 0.629 , B = 38.9 0
EJEMPLO 5

 A
A 
 B
B

C

C

En este caso, R puede calcularse aplicando la propiedad asociativa, o
también, mediante los componentes rectangulares de cada Vector como se
explica a continuación.
COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR
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8. 8

Si consideramos un Vector A localizado en el plano xy y que forma un
ángulo determinado con el semieje positivo de las x, podemos expresarlo
    
como la suma de otros dos Vectores A x y A y ( A = Ax + A ) donde Ax

representa la proyección de A a lo largo del eje X. El signo de las
componentes lo determina el signo del semieje donde se ubiquen.
EJEMPLO 1
Y

Ay  
Senθ =  ⇒ A y = A Sen θ
 A
 A
Ay
θ
 X
Ax

Ax  
Cos θ  ⇒ Ax = A Cos θ
A
EJEMPLO 2
Y

B x = 3.0 u Cos 150 0
    
B By B x = B Cos θ , By = B Sen θ
300 θ
-X  X 
Bx By = 3.0 u Sen 150 0
 
B x = 2.5 u By =1.5 u
-Y
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9. 9
VECTORES UNITARIOS
Son Vectores sin dimensiones que tienen una magnitud exactamente igual a
la unidad. Se utilizan para especificar una dirección determinada y no tienen
otro significado físico.
Utilizaremos los símbolos i, j, k para representar Vectores unitarios que
apuntan en las direcciones X, Y, Z positivas, respectivamente (o también
U x U y U z ). Los Vectores unitarios i, j, y k forman un conjunto de Vectores
mutuamente perpendiculares. Y
X
j i
k
Z

Para un Vector A dado en un plano de coordenadas cartesianas, se tiene:
• El producto de la componente Ax y el Vector unitario i es el Vector

Ax i, el cual es paralelo al eje x y tiene magnitud Ax
• El producto de la componente Ay y el Vector unitario j es el Vector A y J ,

el cual es paralelo al eje Y y tiene magnitud A y
• El producto de la componente Az y el Vector unitario K es el Vector
Az K , el cual es paralelo al eje Z y tiene y tiene magnitud Az
Asi, si consideramos un punto sobre el plano X Y y lo especificamos por
 
medio del Vector posición r , en su forma de Vector unitario está dado por r
= xi + y j

Las componentes de r son las coordenadas X y X
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10. 10
Y
• (x , y )
o X
¿Cómo sumar Vectores mediante las componentes rectangulares?
 
Si tenemos un Vector A con componentes Ax y A y y un Vector B con
componentes B x y B y , para sumarlos basta sumar por separado las
componentes X y las componentes Y
Y

By 
   R 
A y + BY = Ry B
 
B  Ay A
A
o 
Ax Bx
o X
  
     2  x 2+ Bx = Rx
A
R = A+ B R= Rx + Ry
  
R = Rx + R y

R = ( Ax + B x ) + ( A y + B y )
2 2
    
R = ( Ax + B x ) + ( A y + B y ) Magnitud del vector
resultante
    
R = Ax i + B x . i + A y j + B y j
    
R = ( Ax + B x ) i + ( A y + B y ) j
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11. 11
Posición del Vector resultante
La dirección del Vector resultante (ángulo con el eje X) será

Ry Ay + B y Ay + B y
Tang θ =  ⇒ Tang θ = ⇒ θ = Tan −1
Rx Ax + B x Ax + B x
La extensión de este método a Vectores tridimensionales sería:
 
Si A y B tienen componentes X, Y y Z, los expresamos en tal forma

A = Ax i + A y J + Ax R

B = Bx i + B j J + Bz K
 
El vector resultante para la suma de A y B es :
  
R = A + B = ( Ax + B x ) i + ( A y + B y ) j ( A z + B z ) K

Es importante tener en cuenta que el Vector resultante R tiene, en este
  
caso, una componente en Z la cual es R z = Az + B z
Con el método de las componentes rectangulares también se pueden sumar
tres o más Vectores.
EJEMPLO 1
Un excursionista inicia una excursión caminando primero 25.0 Km hacia el
Sureste (¿ángulo?) desde su campamento base. En el segundo día camina
40.0 Km en una dirección 60.0 0 al norte del este, punto en el cual descubre la
torre de un guardabosque.
a. Determine la componente del desplazamiento diario del
excursionista.

b. Determine las componentes del desplazamiento resultante de R

del excursionista en el viaje. Encuentre una expresión para R en
términos de Vectores unitarios.
c. Determine la magnitud y la dirección del desplazamiento total.
SOLUCIÓN
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12. 12
Y (Km)
40
30
20

. Torre
R
10

B
o θ
X (Km)
45° 10 20 30 40 50

A
60°
a. Ax = A cos(−45 0 ) , A y = A sen (−45 0 )
Ax = 25.0 Km cos(−45 0 ) Ay = 25.0 Km Sen(−45.0 0 )
Ax = 17.7 km A y = − 17.7 km
B x = B cos 60 0 , B y = Bsen 60 0
B x = 40.0 Km cos 60 0 B y = 40.0 Km sen 60 0
B x = 20.0 Km B y = 34.6 Km
b. R x = Ax + B x , R y = Ay + B y
R x = 17.7 Km + 20.0 Km R y = − 17.7 Km + 34.6 Km
R x = 37.7 Km R y = 16.9 Km

En términos de Vectores unitarios es R = ( 37.1 i + 16.9 J ) Km
 2 2
c. R = Rx + R y

R = ( 37.7 Km ) + (16.9 Km )
2 2

R = 41.3 Km
Ay + B y Ry
θ = tan −1 = tan −1
Ax + B x Rx
16.9 Km
θ = tan −1
37.7 Km
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13. 13
θ = 24.10 al norte del este del campamento.
EJEMPLO 2
Un avión de pasajeros parte del aeropuerto y realiza el siguiente recorrido:
Primero viaja a la ciudad A, localizada a 175 Km en una dirección 30 0 al norte
del este. Luego se dirige a la ciudad B, a 150 Km en dirección 20.0 0 al oeste
del norte. Por último, vuela 190 Km al oeste hacia la ciudad C encuentre:
a. La posición de la ciudad C en relación con la posición del punto de
partida.

b. La magnitud y la dirección de R
SOLUCIÓN:
a. (
a x a cos 30.0 0 ) , (
b x = b cos 110 0 ) , (
c x = c cos 180 0 )
a x = 175 Km cos 30.0 ( 0
) bx = 150 K cos (110 ) 0
c x = 190 Km cos 180 ( 0
)
a x = 152 Km b x = − 51.3 Km c x = − 190 Km
(
) ,
a y = a sen 30.0 0 (
b y = b sen 110 0 ) (
, c y = c sen 180
0
)
a = 175 Km sen ( 30.0 )
y
0
b y =150 Km sen 110 0 ( )
cy = 190 Km sen(180 ) 0
a y = 87.5 Km b y = 141 Km c y = 0 Km
R x = a x + bx + c x , Ry = a y + by + c y
R x = 152 Km + ( − 51.3 Km ) + ( − 190 km ) R y = 87.5 Km + 141 Km + 0 Km
R x = − 89.3 Km R y = 228 Km

Como vectores unitarios: R = ( − 89.3i + 228 j ) Km , Es decir, la ciudad c se
encuentra en la posición: 89.3 Km al oeste del punto departida y luego 228 Km al
norte.
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14. 14
 2 2
b. R = Rx + R y

( )
R = − 89.0 Km 2 + ( 228 Km )
2

R = 245 Km
Ry
θ = tan −1
Rx
228 Km
θ = tan −1
− 89.3 Km x
θ = − 68.6 0 ⇒ θ = 21.4 0 Al oeste del norte. Es decir, el ángulo tiene
este valor medido a partir del semieje + Y
PROBLEMAS:
1. Un libro se mueve alrededor del perímetro de la cubierta de una mesa
rectangular de dimensiones 1.0 m x 2.0 m. Si el libro termina en su
posición inicial, ¿cuál es su desplazamiento? ¿Cuál es la distancia
recorrida?
2. ¿La magnitud del desplazamiento de una partícula puede ser mayor que
la distancia recorrida? Explique.
 
3. Las magnitudes de dos Vectores son A y B son A = 5 u y B = 2 u
Encuentre los valores más grandes y más pequeños posibles para el
  
Vector resultante R = A + B
4. Un avión vuela 200 Km rumbo al oeste desde la ciudad A hasta la ciudad
B y después 300 Km en la dirección de 30 0 al noroeste de la ciudad B
hasta la ciudad C.
a. En línea recta, ¿Qué tan lejos está la ciudad C de la ciudad A?
b. Respecto de laciudad A, ¿En que dirección está la ciudad C?
5. Un peatón camina 6.00 Km al este y después 13.0 Km al norte. Con el
método gráfico determine la magnitud y la dirección del Vector
desplazamiento resultante.

6. El Vector A tiene una magnitud de 8.00 unidades y con el eje X

positivo forma un ángulo de 45.0 0 El Vector B también tiene una
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15. 15
magnitud de 8.00 unidades y está dirigido a lo largo del eje X negativo.
 
Con los métodos gráficos encuentre: a) El Vector suma A + B , b) El
 
Vector diferencia A − B
7. Una persona camina por una trayectoria circular de radio 5.00 m,
alrededor de la mitad de un círculo.
a. Encuentre la magnitud del Vector desplazamiento
b. ¿Qué distancia camina la persona?
c. ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento si la persona camina todo el
recorrido alrededor de un círculo?

8. Dados dos Vectores: A que forma un ángulo de 30.0 0 con el eje positivo

X , y B localizado sobre el eje positivo Y ambos de magnitud 3.00 m,
     
determinar gráficamente: a) A + B , b) A − B , c) B − A , d) A − 2 B .
9. Una montaña reusa se mueve 200 pies horizontalmente y después viaja
135 pies en un ángulo de 30.0 0 sobre la horizontal. Luego recorrre 135
pies en un ángulo de 40.0 0 debajo de la horizontal ¿Cuál es su
desplazamiento desde su punto de partida? Utilice técnicas gráficas.
10. Las componentes X, Y y Z del Vector son de 4.00, 6.00 y 3.00

unidades, respectivamente. Calcula la magnitud de B y los ángulos que
forma con los ejes coordenados.
11 Un Vector de desplazamiento en el plano XY tiene una magnitud de 50.0 m
y está dirigido en un ángulo de 120.0 0 en relación con el eje X positivo.
¿Cuáles son las componentes rectangulares de este Vector?
12. Determine la magnitud y dirección de la resultante de tres desplazamientos
que tienen componentes rectangulares
( 3.00, 2.00) m ( − 5.00 3.00) m y ( 6.00, 1.00) m

13. El Vector A tiene componentes X y Y de –8.7 cm y 15 cm,
respectivamente; el Vector tiene componentes X y Y de 13.2 cm y - 6.6
  
cm, respectivamente. Si A − B + 3C = 0 , ¿Cuáles son las componentes de

C?
14. Un avión Jet comercial que se mueve inicialmente a 300 mph hacia el este se
mueve dentro de una región donde el viento sopla a 100 mph en una
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16. 16
dirección de 30.0 0 al norte del este. ¿Cuáles son las nuevas velocidad y
dirección de la aeronave?
15. Una partícula lleva a cabo dos desplazamientos. El primero tiene una
magnitud de 150 cms y forma un ángulo de 120.0 0 con el eje positivo X. El
desplazamiento resultante tiene una magnitud de 140 cm y se dirige a un
ángulo de 35.0 0 respecto al eje X positivo. Encuentre la magnitud y
dirección del segundo desplazamiento.

16. El Vector A tiene componentes X, Y y Z de 8,12 y – 4 unidades,
respectivamente.

a. Escriba una expresión vectorial para A en notación de Vectores
unitarios.

b. Obtenga una expresión de Vectores unitarios para un Vector B

con una longitud de un cuarto de la longitud de A , apuntando en

la misma dirección que A

c. Obtenga una expresión de Vectores unitarios para un Vector C

con tres veces la longitud de A , apuntando en la dirección

opuesta a la de A .
17. Dados los Vectores desplazamiento
 
18. A =( 3.0 i − 4. 0 j + 4.0 K ) m y B = ( 2.0 i + 3.0 j − 7.0 K ) m , encuentre las
     
magnitudes de los Vectores: a) C = A+ B, y b) D = 2 A − B , expresando
también cada uno en función de sus componentes rectangulares.

19. El Vector A tiene una componente X negativa de 3.00 unidades de longitud
y una componente Y positiva de 2.00 unidades de longitud.

a. Determine una expresión para A en notación de Vectores
unitarios.

b. Determine la magnitud y la dirección de A .
 
c. ¿Qué vector B , cuando se suma a A , produce un vector
resultante sin componente X y una componente Y negativa de
4.00 unidades de largo?
 
19. Si A = ( 6.0 i − 8.0 j ) unidades, B = ( − 8.0 i + 3.0 j ) unidades y
   
C = ( 26.0 i + 19.0 j ) unidades, determine a y b de manera que a A + b B + C = 0
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