El documento resume las principales distribuciones de probabilidad como la normal, t de Student, F de Fisher-Snedecor, gamma, beta y exponencial. Explica brevemente las características y aplicaciones de cada una de estas distribuciones estadísticas comúnmente usadas.
3. Distribución ddee PPrroobbaabbiilliiddaadd TT Aparece de
manera natural
al realizar
la prueba t de
Student para la
determinación
de las
diferencias
entre dos
medias
muestrales.
Es una
distribución de
probabilidad
que surge del
problema
de estimar la
media de
una población
normalmente
distribuida cuan
do el tamaño de
la muestra es
pequeño.
.
LLaa ddiissttrriibbuucciióónn tt ddee SSttuuddeenntt eess llaa
ddiissttrriibbuucciióónn ddee pprroobbaabbiilliiddaadd ddeell ccoocciieennttee
Donde:
•Z tiene una lateral de media nula
y mediana1
•X tiene una distribución bilateral
con grados de confianza
•O y z son independientes.
Si μ es una constante no nula, el cociente
es una variable aleatoria que sigue la distribución t de
Student no central con parámetro de no-centralidad
μ.
4. Distribución ddee PPrroobbaabbiilliiddaadd FF
La distribución F es una distribución de
probabilidad continua. También se le conoce
como distribución F de Snedecor (por George
Snedecor) o como distribución F de Fisher-
Snedecor.
DEFINICION: Sean 2
2 c variables aleatorias ji - cuadrada con 1 v 2 y v
1 c y 2
grados de libertad. Respectivamente. Entonces si 2
1 c y 2
2 c son independientes,
F v
2
c
=
2
2
1
2
1
/
/
v
c
se dice que tiene una distribución F con 1 v grados de libertad del numerador y 2 v
grados de libertad del denominador.
La función de densidad para variables aleatorias con la distribución F
es un miembro de la familia de las distribuciones beta
5. cI - CUADRADA
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
Considerando nuevamente las muestras aleatorias independientes de distribuciones normales, sabemos que
( ) ( ) 2
2
1 c = n -1 S /s yc = n -1 S /s
c 2
2
2
2 2
2
2
2
1
2
1 1
tienen distribuciones independientes con
( 1) ( 1) 1 1 2 2 v = n - yv = n -
( ) ( )
s
( ) ( ) 2
2
2
2
2
1
2
1
F v n - 1 S / s
n
-
1
=
2
2
2
2
2 2
1
2
1
2
1 1
2
c
2
2
1
2
1
/
/
1 / 1
/
/
s
s
c
S
S
n S n
v
- -
= =
Así la definición implica que
F ( 1) 1 n - ( 1) 2 n -
tiene una distribución con grados de libertad del numerador y
grados de libertad, respectivamente.
grados de libertad del denominador.
a
u
a F
f (u)
se muestra la gráfica de una típica función de
densidad F Los valoras de a F tales que ( ) a a P F > F =
6. Distribución de PPrroobbaabbiilliiddaadd GGaammmmaa
Los tiempos que tardan en revisar un motor de un automóvil ó avión tienen una distribución de
frecuencias sesgadas. Las poblaciones asociadas a estas variables aleatorias frecuentemente tienen
distribuciones que se pueden modelar adecuadamente por la función de densidad tipo gamma.
Función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria tipo gamma:
a,b > 0;0 £ y £a
ya e y b f y
0
- -
( )
( )
1 /
b at a
=
En donde:
ò = - - t a a a
( ) y 1e ydy
0
La cantidad de la de la función alfa se conoce como la función gamma. La integración
directa nos da que la función uno igual a uno. La integración por partes nos da que la
función de alfa menos uno alfa menos uno por la función alfa menos uno para
cualquier intervalo de alfa mayor o igual a uno y que la función de n sea igual a n
menos uno factorial, para un número entero n.
7. DDiissttrriibbuucciióónn ddee PPrroobbaabbiilliiddaadd BBeettaa
La distribución de probabilidad beta es una
función de densidad con dos parámetros definida en
el intervalo cerrado 0 <= y <= 1. Se utiliza
frecuentemente como modelo para fracciones, tal
como la proporción de impurezas en un producto
químico o la fracción de tiempo que una maquina está
en reparación.
Función de densidad probabilidad:a,b > 0;0 £ y £1
- - - =
a b
B
1 1
a b
f y y y
( ) { (1 )
( , )
En cualquier otro punto donde
B a b ya y b dy t a t b
( , ) 1 (1 ) 1 ( ) ( )
ò +
= - - - =
t a b
( )
8. Distribución EExxppoonneenncciiaall
Se usa para la planeación del tiempo entre dos
sucesos.
Esta distribución se puede usar en
diversos casos tales como:, el tiempo
que tardara una maquina de cajero
automático en entregar efectivo. Esta
función puede usarse para determinar la
probabilidad de que el proceso tarde
como máximo un minuto.
La ecuación de la distribución
exponencial es:
Distribución acumulada:
f ( x;l ) = le-lx
F( x;l ) = 1- e-lx
Siendo l el valor del parámetro y x el valor
de la función
