1. República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Defensa.
Universidad Nacional Experimental Politécnica
de la Fuerza Armada. UNEFA.
Extensión Carabobo Núcleo Guacara.
Convolución
Integrantes:
Fuentes Rosa.
Camacho Naudy
García Johnny
Pineda Yohel
5 to Semestre Ing. Telecomunicaciones
2. Convolución
Convolución es un artificio matemático
representado por una función, que de forma
lineal y continua, transforma una señal de
entrada en una nueva señal de salida.
La función de convolución se representa
por medio de *.
3. Una convolución convierte dos funciones f
y g en una tercera función para representar de
alguna forma la magnitud donde se
superponen f y una versión trasladada e
invertida de g.
En un sistema unidimensional, se dice que
g(x) convoluciona f(x) cuando
4. Uso de la Convolución.
Estadística: un promedio móvil ponderado es
una convolución.
Teoría de la probabilidad: la distribución de
probabilidad de la suma de dos variables
aleatorias independientes es la convolución de
cada una de sus distribuciones de probabilidad.
5. Óptica: muchos tipos de "manchas" se describen con
convoluciones.
Una sombra ( la sombra en la mesa cuando tenemos
la mano entre ésta y la fuente de luz) es la
convolución de la forma de la fuente de luz que crea
la sombra y del objeto cuya sombra se está
proyectando.
Una fotografía desenfocada es la convolución de la
imagen correcta con el círculo borroso formado por el
diafragma del iris.
6. Acústica: un eco es la convolución del sonido
original con una función que represente los
objetos variados que lo reflejan.
Física: allí donde haya un sistema lineal con
un "principio de superposición", aparece una
operación de convolución.
7. Ingeniería eléctrica y otras disciplinas: la
salida de un sistema lineal (estacionario o bien
tiempo-invariante o espacio-invariante) es la
convolución de la entrada con la respuesta del
sistema a un impulso
11. Ley Conmutativa
y(t) = f(t) *h(t)
=h(t) *f(t)
Para probar la ecuación 2, lo único que
tenemos que hacer es un pequeño cambio de
variable en nuestra integral de convolución (o
suma),
y(t) =∫−∞∞f(τ) h(t−τ) dτ
12. Dejando τ=t−τ, podemos mostrar fácilmente que la
convolución es conmutativa:
y(t) = ∫−∞∞f(t−τ) h(τ) dτ
= ∫−∞∞h(τ) f(t−τ) dτ
∫−∞∞h(τ) f(t−τ) dτ
f(t) *h(t) =h(t) *f(t)
La figura muestra que ambas funciones pueden ser vistas como
entradas del sistema mientras lo otro es la respuesta al impulso.
15. Propiedad de Desplazamiento
Para c(t) =f(t) *h(t) , entonces
c(t−T) =f(t−T) *h(t)
y
c(t−T) =f(t) *h(t−T)
Demostración Gráfica de la propiedad de desplazamiento
16. Convolución con Impulso Unitario
f(t) *δ(t) =f(t) (9)
Para este demostración, dejaremos que δ(t)
sea el impulso unitario localizado en el origen.
Usando la definición de convolución
empezamos con la integral de convolución
f(t) *δ(t) =∫−∞∞δ(τ) f(t−τ) dτ
17. De la definición del impulso unitario,
conocemos que δ(τ) =0 siempre que τ≠0.
Usamos este hecho para reducir la ecuación
anterior y obtener lo siguiente:
f(t) *δ(t) = ∫−∞∞δ(τ) f(t) dτ
= f(t) ∫−∞∞(δ(τ) ) dτ
18. La integral de δ(τ) solo tendrá un valor
cuando τ=0 (de la definición del impulso
unitario), por lo tanto esa integral será igual a
uno. Donde podemos simplificar la ecuación
de nuestro teorema:
f(t) *δ(t) =f(t) (12)
Las figuras y ecuaciones anteriores, revelan
la función identidad del impulso unitario.
19. Ancho
En tiempo continuo, si la Duración(f1) =T1
y la Duración (f2) =T2 , entonces
Duración(f1*f2) =T1+T2
20. En tiempo continuo, la duración de la convolución resulta
igual a la suma de las longitudes de cada una de las dos
señales convolucionadas
En tiempo discreto si la Duración (f1) =N1 y la Duración
(f2) =N2 , entonces Duración(f1*f2) =N1+N2−1 (14)
21. Causalidad
Si f y h son ambas causales, entonces f*h
también es causal.
Teorema de Convolución
donde denota la Transformada de Fourier de f.
Este teorema también se cumple con la
Transformada de Laplace.