Portafolio de algebra

UNIVERSIDAD
POLITÉCNICA ESTATAL DEL
CARCHI
MISIÓN
“Formar profesionales humanistas,
emprendedores y competentes, poseedores de
conocimientos científicos y tecnológicos;
comprometida con la investigación y la solución
de problemas del entorno para contribuir con el
desarrollo y la integración fronteriza”.

VISIÓN
“Ser una Universidad Politécnica acreditada por
su calidad y posicionamiento regional”.

Escuela de
Desarrollo Integral Agropecuario

Misión
La Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario contribuye
al desarrollo Provincial, Regional y Nacional, entregando
profesionales que participan en la producción,
transformación, investigación y dinamización del sector
agropecuario y agroindustrial, vinculados con la
comunidad, todo esto con criterios de eficiencia y calidad

Visión
Liderar a nivel regional el proceso de formación y lograr
la excelencia académica generando profesionales
competentes en Desarrollo Integral Agropecuario, con un
sólido apoyo basado en el profesionalismo y actualización
de los docentes, en la investigación, criticidad y
creatividad de los estudiantes, con una moderna
infraestructura que incorpore los últimos adelantos
tecnológicos, pedagógicos y que implique un ejercicio
profesional caracterizado por la explotación racional de
los recursos naturales, producción limpia, principios de
equidad, participación, ancestralita, que den seguridad y
consigan la soberanía alimentaria.

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL
DEL CARCHI

FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS
AMBIENTALES
Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario
Modalidad PRESENCIAL

Módulo
“ALGEBRA”
PRIMER NIVEL
DOCENTE(S) / INVESTIGADOR(ES):

Oscar René Lomas Reyes Ing.

PERÍODO ACADÉMICO Septiembre 2013 – Febrero 2013

DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO
UPEC - MISIÓN

Formar

profesionales

MISIÓN - ESCUELA

humanistas, La

Escuela

emprendedores y competentes, poseedores Agropecuario

de

Desarrollo

contribuye

al

Integral
desarrollo

de conocimientos científicos y tecnológicos; Provincial, Regional y Nacional, entregando
comprometida con la investigación y la profesionales

que

participan

en

la

solución de problemas del entorno para producción, transformación, investigación y
contribuir con el desarrollo y la integración dinamización del sector agropecuario y
fronteriza

agroindustrial, vinculados con la comunidad,
todo esto con criterios de eficiencia y calidad
UPEC - VISIÓN

VISIÓN – ESCUELA

Ser una Universidad Politécnica acreditada Liderar a nivel regional el proceso de formación y
por su calidad y posicionamiento regional

ÁREA CONOCIMIENTO ESCUELA CINE-UNESCO
Agricultura.

lograr
la
excelencia
académica
generando
profesionales competentes en Desarrollo Integral
Agropecuario, con un sólido apoyo basado en el
profesionalismo y actualización de los docentes, en la
investigación, criticidad y creatividad de los
estudiantes, con una moderna infraestructura que
incorpore los últimos adelantos tecnológicos,
pedagógicos y que implique un ejercicio profesional
caracterizado por la explotación racional de los
recursos naturales, producción limpia, principios de
equidad, participación, ancestralidad, que den
seguridad y consigan la soberanía alimentaria.
SUB-ÁREA CONOCIMIENTO CINE-UNESCO
Agricultura, Silvicultura y Pesca.

II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:

CÓDIGO
DOCENTE:

PRIMERO

NIVEL

Oscar René Lomas Reyes Ing.

TELEFONO:

0986054587

062-932310

e-mail:

oscar.lomas@upec.edu.ec
oscarlomasreyes@yahoo.es

CRÉDITOS T

1

CRÉDITOS P

2

TOTAL CRÉDITOS

HORAS T

16

HORAS P

32

TOTAL HORAS

PRE-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo)

3
48

CÓDIGOS

1. Nivelación Aprobada

CO-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo)
1. Física Aplicada 1

EJE DE FORMACIÓN:(En la malla ubicado en un eje con un nombre)

PROFESIONAL

ÁREA DE FORMACIÓN:(En la malla agrupado con un color

Agrícola

y un nombre)

CÓDIGOS

LIBRO(S)BASE DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio )
Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México

LIBRO(S)REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC
para estudio)

Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid
España.
Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia
Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.
Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera,
Ecuador.
http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.
Sectormatematica.cl, Programas Gratis.
http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012
Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO:(Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de
aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas

El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del
entorno a través del conocimiento matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos,
análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía, al campo empresarial de manera
preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje
académico pedagógico de los educandos.

III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL
Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA).

Escaso razonamiento lógico matemático
Competencia GENÉRICA - UPEC:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO)

Desarrollar el pensamiento lógico
Competencia GLOBAL - ESCUELA:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA)

Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural
Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO:(Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL)

Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas
para plantear y resolver problemas del entorno.

LOGROS DE APRENDIZAJE
NIVELES DE LOGRO
PROCESO
COGNITIVO

DIMENSIÓN

(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB COMPETENCIAS)

(Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro)

Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías

El estudiante es capaz de:

2.

TEÓRICO
BÁSICO
RECORDAR
MLP

FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el

Diferenciar los conceptos básicos utilizados
para el desarrollo de pensamiento lógico
matemático.

1.

Identificar los términos básicos utilizados
durante el desarrollo del pensamiento lógico
matemático.

CONCEPTUAL.-Si

TEÓRICO
AVANZADO
ENTENDER

VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE
DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o
resolver problemas en ella.

el
estudiante
va
a
INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o
ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER
dentro de una ESTRUCTURA más grande que les
permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.

PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER,
métodos de investigación, y los criterios para el uso de
habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

3.

PRÁCTICO
BÁSICO
APLICAR

4.

PRÁCTICO
AVANZADO
ANALIZAR

Demostrar la utilidad de las matemáticas para
el desarrollo del razonamiento lógico
matemático.
Plantear alternativas mediante la aplicación de
la matemática que permitan dar solución a los
problemas planteados



Argumentar el planteamiento que
solución a los problemas planteados.
5.

dará

TEÓRICO
PRÁCTICO
BÁSICO
EVALUAR

CONCEPTUAL.-Si

el
estudiante
va
a


Construir
expresiones
algebraicas
que
contribuyan a la solución de problemas del
entorno.

1. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el
VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE
DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o
resolver problemas en ella.

2.

6.

TEÓRICO
PRÁCTICO
AVANZADO
CREAR

CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a
3. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO
HACER, métodos de investigación, y los criterios para el
uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

4. METACOGNITIVO.-Si el estudiante llega a adquirir
EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN GENERAL,
así como la sensibilización y el conocimiento del propio
conocimiento.

Trabajo interdisciplinar:(Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA).
Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas
discretas.

IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:


HORAS
CLASE

CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS
LOGROS ESPERADOS

ESTRATEGIAS
DIDÁCTICAS

(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE
COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

COGNITIVOS

PROCEDIMENTALES

¿Qué TIENEque saber?

¿Saber cómo TIENE
queaplicar el conocimiento?

Estrategias, métodos y
técnicas

AFECTIVO MOTIVACIONALES

P

¿Saber qué y cómo TIENEactuar
axiológicamente?

El estudiante será capaz de

Identificar
los
términos
básicos utilizados durante el
desarrollo del pensamiento
lógico matemático.

T

Sistema de Números
Reales

Utilizar organizadores gráficos
para identificar las clases de
números reales que existe

Demostrar comprensión sobre los tipos
de números reales

1.
Disposición para trabajar en equipo

Recta de números Reales
Operaciones Binarias
Potenciación y
Radicación
Propiedades
fundamentales
Aplicaciones

Utilizar organizadores gráficos
para ubicar los elementos
Relacionar en la uve heurística

Utilizar una actitud reflexiva y critica
sobre la importancia de la matemática
básica

Identificar los diferentes
propiedades en potenciación y
radicación

Aceptar opiniones diferentes

Hacer síntesis gráfica

Aceptar errores y elevar el autoestima
para que pueda actuar de manera
autónoma y eficiente

Repasar
los
conocimientos
adquiridos y aplicarlos a la vida
del profesional Turístico

DEMOSTRAR.

Potenciar el clima positivo

Caracterizar los
números reales para
la demostración
2. Seleccionar los
argumentos y hechos
que corroboraron los
números reales.
CONVERSACIÓN
HEURISTICA
1.
2.
3.

Determinación del
problema.
Dialogo mediante
preguntas.
Debatir, discutir,
intercambiar criterios,
hurgar la ciencia,
discutir la ciencia,
búsqueda individual
de la solución,
socializar la solución.

2

4

Diferenciar los conceptos
básicos utilizados para el
desarrollo de pensamiento

Expresiones algebraicas:
nomenclatura y clasificación.
Polinomios clasificación.
Operaciones con
Polinomios: adición, resta,
multiplicación y división.

Aplicar operaciones mentales

Aceptar opiniones divergentes

INDUCTIVO-DEDUCTIVO

Identificar los diferentes tipos
polinomios

Destacar la solidaridad en los
ambientes de trabajo

INDUCTIVO

Aplicar operaciones mentales en
la resolución de un sistema de
ecuaciones.

Potenciar la resolución de problemas

2

4

3

6

1.Observación

Productos notables.

Identificar los diferentes tipos de
productos notables

Descomposición Factorial

2. Experimentación.
Valorar las participaciones de los
demás

Resolver ejercicios

3. Información (oral,
escrita, gráfica, etc.)

Demostrar grado por lo que hacemos
4. Dramatización.
5. Resolución de
problemas.
6. comprobación.
7. Asociación (especial
temporal y casual)
8. Abstracción.
9. Generalización.
10. Resúmenes.
11. Ejercicios de fijación.
CONVERSACIÓN
HEURISTICA
1.

Máximo común divisor de
polinomios.
Demostrar la utilidad de las

Resolver ejercicios con
polinomios sencillos y complejos

Utilizar una actitud crítica y reflexiva
sobre el tema.

Determinación del
problema.
2. Dialogo mediante
preguntas.
3. Debatir, discutir,
intercambiar criterios,
hurgar la ciencia,
discutir la ciencia,
búsqueda individual
de la solución,
socializar la solución.
RAZONAR
1.

Determinar las

matemáticas
para
el
desarrollo del razonamiento

Mínimo común múltiplos
de polinomios.
Operaciones con
fracciones.

Aplicar procesos de resolución
adecuados para resolver
problemas.
Resolver ejercicios aplicando en
forma conjunta los máximos y los
mínimos

Aplicaciones

Cooperar en el desarrollo del
conocimiento.
Demostrar confianza en el desarrollo
del proceso.
Cooperar con el grupo en la resolución
de funciones.

Distinguir los componentes de las
expresiones racionales

Plantear alternativas mediante
la aplicación de la matemática
que permitan dar solución a
los problemas planteados

Plantear ecuaciones lineales.

Ecuaciones lineales,
resolución
Sistemas lineales y
clasificación.
Resolución de ecuaciones
lineales.

Identificar los sistemas líneas y su
clasificación
Elaborar modelos matemáticos en
la solución de problemas de la
carrera

Argumentar el planteamiento
que dará solución a los
problemas planteados.

Definición y clasificación.

1.

Trabajar con eficiencia y eficacia
respetando los criterios en la resolución
de problemas.
Demostrar interés en el trabajo
individual y de equipo
Respetar las opiniones del grupo y
fuera de él.

Implementar procesos de
resolución adecuados en
problemas reales.

Expresar coherencia en las soluciones
propuestas valorando las iniciativas de
cada participante.

Nombrar la definición de
ecuaciones cuadráticas

Utilizar creatividad y capacidad de
análisis y síntesis respetando los
criterios del grupo.

Aplicaciones

Ecuaciones reducibles a
cuadráticas

Reducir a expresiones sencillas
las expresiones cuadráticas

Resolución de ecuaciones
cuadráticas por factoreo.

Resolver ejercicios sobre
expresiones cuadráticas

Resolución por
completación de un
trinomio cuadrado.

Ejercitar las operaciones con
polinomios incompletos.

premisas.
Encontrar la relación
de inferencia entre las
premisas a través del
término medio.
3. Elaborar las
conclusiones.
RELACIONAR.
2.

Analizar de manera
independiente los
objetos a relacionar.
2. Determinar los
criterios de relación
entre los objetos
EXPOSICION
PROBLEMICA.
Determinar el
problema.
2. Realizar el encuadre
del problema.
3. Comunicar el
conocimiento.
4. Formulación de la
hipótesis.
5. Determinar los
procedimientos para
resolver problemas.
6. Encontrar solución
(fuentes, argumentos,
búsqueda,
contradicciones)
EXPOSICIÓN
PROBLEMICA

6

3

6

1.

1.
Demostrar razonamiento crítico y
reflexivo cooperando en la obtención
de resultados

3

2.
3.

4.

Determinar el
problema
Realizar el encuadre
del problema
Comunicar el
conocimiento
(conferencia ,video )
Formulación de la
hipótesis ( interacción

de las partes)

Construir
expresiones
algebraicas que contribuyan a
la solución de problemas del
entorno.

Fórmula general para
resolver ecuaciones
cuadráticas.

Aplicar la fórmula general para la
resolución de ecuaciones
cuadráticas

Aplicaciones de la
ecuación cuadrática.

Distinguir los componentes de las
expresiones racionales

Valorar la creatividad de los demás

1.

Respetar el criterio del grupo.
2.

Determinar los
procedimientos para
resolver problemas.
Encontrar la solución
( fuentes ,argumentos,
búsqueda
,contradicciones)

3

6

V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO
FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE

indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados


DIMENSIÓN

COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

(Elija el grado de
complejidad que UD.
EXIGIRÁ para alcanzar el
logro)

INDICADORES DE LOGRO
DE INGENIERIA
descripción

2°
PARCIA
L

Chat-Foro

10%

Reactivos

50%

Documento

10%

Deberes

Documento

10%

Documento

10%

Documento

10%

Participación virtual

Chat-Foro

10%

Pruebas

Reactivos

50%

Portafolio

Demostrar
la
utilidad
de
las
matemáticas para el desarrollo del
razonamiento lógico matemático.

10%

Consultas

Modelar, simular sistemas
complejos.

Documento

Trabajos

CONCEPTUAL.

10%

Portafolio
Interpretar la información.

Documento

Pruebas

CONCEPTUAL.

10%


Diferenciar los conceptos básicos
utilizados para el desarrollo de
pensamiento lógico matemático.

Documento

Trabajos

FACTUAL.

Deberes

Consultas

Identificar
los
términos
básicos
utilizados durante el desarrollo del

Interpretar información.

TÉCNICAS e INSTRUMENTOS de
EVALUACIÓN

1°
PARCIA
L

Documento

10%

Deberes

Documento

10%

Trabajos

Documento

10%

Consultas

Documento

10%


Chat-Foro

10%

Pruebas

Reactivos

50%

3°
PARCIA
L

SUPLETOR
IO

Portafolio

Documento

10%

Chat-Foro

10%

Reactivos

50%

Documento

10%

Deberes

Documento

5%

Documento

5%

Consultas

Documento

5%


Chat-Foro

5%

Pruebas

Reactivos

25%

Portafolio

Construir expresiones algebraicas que
contribuyan a la solución de problemas
del entorno.

10%

Trabajos

Desarrollar una estrategia
para el diseño.

Documento

Portafolio

CONCEPTUAL

10%

Pruebas

Argumentar el planteamiento que dará
solución a los problemas planteados.

Documento

Consultas

Analizar problemas y
sistemas complejos.

Deberes
Trabajos

PROCESAL

10%


Plantear alternativas mediante la
aplicación de la matemática que
permitan dar solución a los problemas
planteados

Documento

100%

Documento

5%

100%

FACTUAL.

Interpretar información.

Deberes

Documento

5%

CONCEPTUAL.

Modelar, simular sistemas
complejos.

Trabajos

Documento

5%

Consultas

Documento

5%


Chat-Foro

5%

Pruebas

Reactivos

25%

Portafolio

Documento

5%

PROCESAL

Analizar problemas y
sistemas complejos.

METACOGNITIVO
100%

ESCALA DE VALORACIÓN
Nivel ponderado de aspiración y
alcance

9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio

7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable

8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio

4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable

VI.

GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS


HORAS
AUTÓNO
MAS

APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE

COMPETENCIA, SUB COMPETENCIAS)

Identificar los términos básicos
utilizados durante el desarrollo del

T
INSTRUCCIONES

Consulte información en el
internet
y
textos
especializados
los
conceptos de números
reales,
presentar
en
organizadores gráficos.

RECURSOS

Libros.
Copias

P

PRODUCTO

Diferencia los diferentes tipos de sistemas de números
reales.

2

4

Identifica los tipos de polinomios

2

4

Distinguir plenamente entre expresiones racionales 3
e irracionales

6

3

6

3

6

Documentos en pdf.
Descarga de documentos de
la web.

Prueba
Diferenciar los conceptos básicos
utilizados para el desarrollo de

Consulta sobre la definición
de
un
monomio
y
polinomio.
Grado de un polinomio y su
ordenamiento

Libros.
Copias
Documentos en pdf.
la web.

Distinguir
plenamente Libros.
entre
expresiones
Copias
las
racionales e irracionales

Demostrar la utilidad de
matemáticas para el desarrollo del
razonamiento lógico matemático.
Plantear alternativas mediante la
aplicación de la matemática que
permitan dar solución a los
problemas planteados

Dar solución a ecuaciones
de primer grado

Libros.
Copias
la web.
Documentos en pdf.
la web.

Dar solución a ecuaciones de primer grado

Argumentar el planteamiento que
dará solución a los problemas

Identificar los tipos de
soluciones que pueden

Libros.

Identificar

Documentos en pdf.

los

tipos

de

soluciones

que

pueden

planteados.

presentarse en la solución
de
expresiones
cuadráticas.

Copias

presentarse en la solución de expresiones cuadráticas

Documentos en pdf.
la web.

Construir expresiones algebraicas
que contribuyan a la solución de
problemas del entorno.

3

6

PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel )

16

32

1

2

TOTAL

CRÉDITOS

3

VII. Bibliografía.

BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA)
Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima
segunda edición: México
COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA)
Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición:
Madrid España.
Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia
Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.
Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición
Primera, Ecuador.
http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.
Sectormatematica.cl, Programas Gratis.
http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012
Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

Teoría
Conjunto de Números Reales
Introducción
Un conjunto es una colección de objetos. Por ejemplo, se puede hablar del conjunto de
números pares entre 5 y 11, a saber 6, 8 y 10. Cada objetivo de un conjunto se denomina
elemento de ese conjunto. No se preocupe si esto sueno un poco circular. Las palabras
conjunto y elemento son semejantes a línea y punto en geometría plana. No puede pedirse
definirlos en términos más primitivos, es sólo con la práctica que es posible entender su
significado. La situación es también parecida en la forma en la que el niño aprende su
primer idioma. Sin conocer ninguna palabra, un niño infiere el significado de unas cuantas
palabras muy simples y termina usándolas para construir un vocabulario funcional.
Nadie necesita entender el mecanismo de este proceso para aprender hablar. De la misma
forma, es posible aprender matemáticas prácticas sin involucrarse con términos básico no
definidos.
Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal,
incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los
números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todos los
fracciones; y todos los números irracionales; aquellos cuyos desarrollos en decimales
nunca se repiten. Ejemplos de números irracionales son:
√ 2 = 1.4142135623730951 . . .

π = 3.141592653589793 . . .

e = 2.718281828459045 . . .

Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta real, como mostrado
aquí.

Observe que los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces el punto
corresponde a b estará a la derecha del punto que corresponde a a.
Conjunto de los números reales
El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre
ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos:
Conjunto de los números naturales
El conjunto de los números naturales, que se denota por
corrientemente se presenta así:

N o también por

N = {1, 2, 3, 4, 5,...}.
La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.

Z

Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los
sistemas numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales.
Conjunto de los números enteros
El conjunto de los números enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta así:
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}.
En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen
solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = –
2.Puede notarse que N ⊂ Z.
Conjunto de los números racionales
El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente
manera

La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuaciónax
= b, con a, b ∈ Z, a ≠ 0.
Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b.

Propiedades de los Números Reales

Todos los números que usamos en nuestra vida diaria son números reales. Conocer sus
propiedades te ayudará a resolver gran cantidad de problemas cuantitativos en cualquier
disciplina, ya sea en matemática pura, ciencias experimentales, ciencias sociales, etc.
Sean

, entonces se verifican las siguientes propiedades:

Propiedad de la cerradura
La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o más números
reales, y el resultado será siempre un número real. Por ejemplo:

Importante:La propiedad de la cerradura también aplica para la substracción pero NO
para la división, no se puede dividir entre cero.

Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes cambiar el
orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el mismo. Por
ejemplo:

Importante:La propiedad conmutativa NO aplica para la substracción o la división, pues el
resultado se altera.

Propiedad asociativa
La propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer sumas o
multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para después sumar o
multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una expresión. Por ejemplo:

Importante:La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues el
resultado se altera.

Propiedad distributiva
La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de
adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar las operaciones aritméticas.

Propiedad de identidad (elemento neutro)
La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado elemento
neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el resultado de la suma:
25 + 0 = 25 el elemento neutro de la adición es el número CERO.
La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número (llamado
elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no cambia el resultado
de la multiplicación:
25 * 1 = 25 el elemento neutro de la multiplicación es el número UNO.
Propiedad del inverso
La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como
sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO.
28 + (-28) = 0 el inverso aditivo para esta suma es el número
La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser usado como
factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO.

, el inverso multiplicativo para esta multiplicación es

Exponentes y Radicales
La potenciación o exponenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual
que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales.
En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente,
que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que
la base se multiplica por sí misma:
Una de las definiciones de la potenciación, por recurcion, es la siguiente:
x1 = x
Si en la segunda expresión se toma a=1, se tiene que x¹ = x•x0. Al dividir los dos términos
de la igualdad por x (que se puede hacer siempre que x sea distinto de 0), queda que
x0=1.
Así que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 00, en
principio, no está definido. Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos atenemos
a la idea de producto vació o simplemente por analogía con el resto de números.
Para convertir una base con exponente negativo a positivo se pone la inversa de la base,
es decir que la potencia pasa con exponente positivo.
Propiedades de la potenciación
Las propiedades de la potenciacion son las siguientes:
Potencia de potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a
la multiplicación de los primeros exponentes.
Multiplicación de potencias de igual base
La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y
exponente igual a la suma de los mismos exponentes.
División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente
igual a la resta de los exponentes respectivos.
Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es
con respecto a la suma ni a la resta.
En general:ab = ba
Si y sólo si a=b.
En particular:

(a + b)m = am + bm
(a − b)m = am − bm
Se cumple en los siguientes casos:
Si m=1.
Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0.
Si a y b son iguales a 0 y m≠0.
Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos
en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes.
En particular:
ab = ba
Si y sólo si a=b.
Potencia de exponente 0
Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.
a0 = 1 si se cumple que
Potencia de exponente 1
Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a.
a1 = a
Potencia de base 10
Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades
posee el exponente.
101 = 10
como tambien pues ser un conjuntos de numeros potenciados o elevados a un exponente
106 = 1000000
104 = 10000
Gráfico
gráfico de Y = X2El gráfico de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su extremo
está en el punto (0, 0), a menos que el gráfico sea trasladado. Su sentido de crecimiento
es positivo en ambas direcciones.

Radicación
Es el proceso y el resultado de radicar. Este verbo, por su parte, se refiere a lo
que dispone de arraigo en un determinado lugar. Por ejemplo: “La radicación de la
empresa en el polo industrial debe hacerse en la Secretaría de Producción”, “Los hechos
muestran que la radicación en suelo australiano no fue una buena idea para la familia
González”,
“Tenemos que luchar contra la radicación de esos hábitos nocivos en nuestra comunidad”.
En el campo de la matemática, se conoce como radicación a la operación que consiste
en obtener la raíz de una cifra o de un enunciado. De este modo, la radicación es el
proceso que, conociendo el índice y el radicando, permite hallar la raíz. Ésta será la cifra
que, una vez elevada al índice, dará como resultado el radicando.

Para comprender estos conceptos, por lo tanto, hay que reconocer las partes que forman
un radical. La raíz es el número que, multiplicado la cantidad de veces que indica el índice,
da como resultado el radicando.
Supongamos que nos encontramos con un radical que muestra la raíz cúbica de 8.
Tendremos el radicando (8) y el índice o exponente (3, ya que es una raíz cúbica). A través
de la radicación, llegamos a la raíz: 2. Esto quiere decir que 2 elevado alcubo (2 x 2 x 2) es
igual a 8.
Como puede advertirse, la radicación es una operación que resulta inversa a
la potenciación: retomando el ejemplo anterior, vemos que multiplicando 2 x 2 x
2 (2elevado al cubo) llegamos a la raíz cúbica de 8.

Operaciones con Expresiones Algebraicas
Expresión Algebraica:Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más
operaciones algebraicas.
Término:Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos
no separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término son cuatro: el signo,
el coeficiente, la parte literal y el grado.
Grado Absoluto de un Término: Es la suma de los exponentes de sus factores literales.
Grado de un Término con relación a una Letra: Es el exponente de dicha letra.
Clases de Términos
El término entero es el que no tiene denominador literal, el término fraccionario es el que
tiene denominador literal. El término racional es el que no tiene radical, e irracional el que
tiene radical.
Términos Homogéneos:Son los que tienen el mismo grado absoluto.
Términos Heterogéneos:Son los de distinto grado absoluto.
Términos Semejantes:Dos términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal,
o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.
10 Ejemplos de Términos Semejantes:
1. x es semejante con 3x ya que ambos términos tienen la misma literal (x).
2. xy2 es un término semejante a -3y2x ya que ambos tienen la misma literal (xy2 = y2x)
3. 5xyrb es un término semejante con –xyrb
4. 4bx2 no es semejante a 4b2x ya que el literal bx2 no es igual al b2x.
5. 5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk)
6. 4(jk)3 es semejante a 9j3k3 porque (jk)3 = j3k3
7. 5ty es semejante a 3ty
8. 5kl4 es semejante a -2kl4
9. 68lky5 es semejante a -96lky5
10. 378ab3c2 no es semejante a 378a2b3c

CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término.

BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos términos.

TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres términos.

POLINOMIO. Es una expresión algebraica que consta de más de un término.

GRADO DE UN MONOMIO
Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El monomio
es de grado: 2 + 3 + 1 = 6º grado.
El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el grado
respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1.

GRADO DE UN POLINOMIO
Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio:

9.5 ¿Cuál es el grado de:

9.6 ¿Cuál es el grado de:

?

?

CLASES DE POLINOMIOS.

Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal;
fraccionario cuando alguno de sus términos tiene letras en el denominador; racional
cuando no contiene radicales; irracional cuando contiene radical; homogéneo
cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto; heterogéneo cuando sus
términos no son del mismo grado.
POLINOMIO COMPLETO CON RELACIÓN A UNA LETRA.
Es el que contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto al más
bajo que tenga dicha letra en el polinomio.
POLINOMIO ORDENADO CON RESPECTO A UNA LETRA. Es un polinomio en el cual
los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, van aumentando o
disminuyendo.
ORDENAR UN POLINOMIO. Es escribir sus términos de modo que los exponentes de una
letra escogida come letra ordenatriz queden en orden descendente o ascendente.
Suma:
Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del
mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del
mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0,
como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x2. Y se los suele ordenar
de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los términos de igual grado.
También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la
EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras.
Ejemplo 1: (Suma de polinomios de igual grado)
A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x
B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3

2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8

(el polinomio A ordenado y completo)

+
-5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10
(el polinomio B ordenado y completo)
______________________________
-3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18

A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18
En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros.
Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que
quede encolumnado término a término con el otro polinomio.
Resta:

Ejemplo 1: (Resta de polinomios de igual grado)
A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x
B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3
9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8

(el polinomio A ordenado y completo)

5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10
(el polinomio B ordenado y completo)
______________________________

La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo
polinomio:
9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8
+
-5x4 - 7x3 + 0x2 - 3x + 10
(el polinomio B con los signos cambiados)
______________________________
4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2

A - B = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2

Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del polinomio
que se resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que
sumar el "opuesto". Pero también se puede hacer restando los coeficientes del mismo
grado.
Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede hacer
en la suma.
Multiplicación:
Multiplicando todos los términos de uno de ellos por todos los términos del otro. Se aplica
la Propiedad distributiva entre en la multiplicación y la suma. Antes de aprender
polinomios, muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones algebraicas", que
son polinomios. Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo:

(x + 5).(x - 3) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1
2x.(x + 1) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1

Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema "Polinomios".
Lo que había que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir, cada término de una
expresión con cada término de la otra:
(x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2 - 3x + 5x - 15 =

Y luego "juntar las x con las x, los números con los números, las x2 con las x2...". "Juntar
era en realidad: "hacer la cuenta entre los números que tienen delante". En este ejemplo
sólo tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x. Como otro número
no hay, queda -15. Y como otra x2 no hay, queda x2. Eso de juntar se ve también la suma
de polinomios: "juntar las x con las x, los números con los números..." es en realidad
"sumar los términos semejantes o de igual grado". (ver: suma de polinomios)
= x2 + 2x - 15
Y multiplicar a dos polinomios no es otra cosa que aplicar la Propiedad distributiva de la
multiplicación con la suma a esos dos polinomios. Es lo mismo que se hacía en las
ecuaciones, pero ahora los polinomios pueden ser de grados mayores que 1, y tener
muchos términos. Por ejemplo:
A = -9x3 + x + 4x5
B = 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
(-9x3 - x + 4x5).(3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x) =
Se trata, como antes, de multiplicar cada término de uno por todos los términos del otro.

Ejemplo 1: (Multiplicación por un monomio)
A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
B = -5x4
-3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
X
-5x4
______________________________
15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5

A x B = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5

Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la
letra con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una
multiplicación de potencias de igual base.
También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre
paréntesis y luego aplicando la propiedad distributiva.
División:
División entre fracciones
En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y
las reglas de división de fracciones de la aritmética.
Se aplica ley de signos
Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el
dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el
divisor de la división (esto se llama división cruzada)
Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a
cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.
Ejemplos:

División de polinomios entre monomios.
Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio,
esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.
Pasos:
Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.
Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido
por el monomio.
Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizó en el capítulo
anterior.

Se realizan las sumas y restas necesarias.
Ejemplos:

División entre polinomios.
En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a
seguir son los siguientes.
Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden
ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de
los términos que faltan.
El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el
primer miembro del divisor.
Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca
este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo
parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer término del divisor.
Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca
este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer
término no pueda ser dividido por el primer término del divisor.
Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.
La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el término
que se encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.

Factorización
Factores
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto entre sí
(de estos factores) nos da la expresión primitiva. Así, efectuando el producto entre a y a +
b, se obtiene:
a y abe, cuyo producto entre sí dan la expresión a2 + ab, estos son los divisores de a2 + ab
de tal manera que:
(X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15
Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15
Métodos para la factorización de polinomios
Todo Polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los
números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
Binomios




Diferencia de Cuadrados
Suma o diferencia de Cubos
Suma o diferencia de potencias impares iguales

Trinomios




Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x²+bx+c
Trinomio de la forma ax²+bx+c

Polinomios


Factor común

Factorizar un monomio
Se descompone el término en el producto de factores primos.
Ejemplo:
15ab= 3 x 5 x a x b
Factorizar un polinomio
No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o más factores
distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmética, hay números primos que sólo
son divisibles por la unidad y por sí mismos, en Algebra, hay expresiones algebraicas que
sólo son divisibles por la unidad ypor ellas mismas, en consecuencia, no son el producto
de otras expresiones algebraicas. Así a + b nopuede descomponerse en dos factores
distintos de 1 porque sólo es divisible por a + b y por la unidad.

A continuación diferentes casos de descomposición factorial.
Trinomio cuadrado perfecto
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales.
Así, 16a2 es cuadrado perfecto de 4a.
En efecto (4a2) = 4a x 4a = 16a2, 4a cantidad que multiplicada por si misma da 16a2, 4a es
la raíz cuadrada de 16a2.
Sin embargo (-4a2) = (-4a)((-4a) = 16a2, luego (-4a) es también raíz de 16a2, por lo que la
raíz cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-).
Raíz cuadrada de un monomio
Para extraer la raíz cuadrada de un monomio, se saca la raíz cuadrada de su coeficiente
numérico y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2.
Ejemplo: La raíz cuadrada de 25a2b4 es 5ab2
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir, es el
producto de dos binomios iguales.
Así, a2 + 2ab + b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b
Por tanto:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto
Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término del trinomio y se separan estas
raíces por el signo del segundo término. El binomio ya formado, que es la raíz cuadrada
del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.
Ejemplo:
a) El trinomio a2 + 8ab + 16b2 es cuadrado perfecto ya que:
raíz cuadrada de a2 = a raíz cuadrada de 16b2 = 4b
Doble producto de las raíces: 2 x a x 4b = 8ab
MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS
El problema de calcular el máximo común divisor (MCD) de dos polinomios es de
importancia fundamental en álgebra computacional. Estos cálculos aparecen como
subproblemas en operaciones aritméticas sobre funciones racionales o aparecen como

cálculo prominente en factorización de polinomios y en integración simbólica, además de
otros cálculos en álgebra.
En general, podemos calcular el MCD de dos polinomios usando una variación del
algoritmo de Euclides. El algoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo atrás, es
fácil de entender y de implementar. Sin embargo, desde el punto de vista del álgebra
computacional, este algoritmo tiene varios inconvenientes. Desde finales de los sesentas
se han desarrollado algoritmos mejorados usando técnicas un poco más sofisticadas.
EJERCICIOS
Ejemplo a) Hallar el m.c.d. de 4a^2+4ab

y

2a^4-2a^2b^2

1°) Se factorizan las expresiones dadas:
–> 4a^2 + 4ab = 4a(a+b)

(Se aplicó Caso I de Factorización)

–> 2a^4 -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 – b^2) = 2a^2(a+b)(a-b)
Factorización)

(Se aplicó Caso I y IV de

Ecuaciones
Ecuaciones Lineales
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido
como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de
ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de
primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema
lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3
que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la
matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de
señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación
lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico. a)
ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1
(no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).
Para proceder a la resolución se debe:
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro
Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
–35x = 182

.
Ecuaciones Fraccionarias

En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones
algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo
común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)

Ejemplo:
m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12

Ecuaciones Literales
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el
paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.
Ejemplo:

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma:

Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta.
Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas ecuaciones,
esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas.
Gráficamente, la situación es la siguiente

Representación Gráfica
Un sistema con incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.
En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano
bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta.
La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas representan a las
ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las
líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.
En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional,
siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un
único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la
intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas
soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.
Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos
problemas no se enfocan desde esta óptica.

Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales

Sustitución
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier
incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla
en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su
valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese
instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en
el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos
que queremos resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita Y por ser la de menor coeficiente y que
posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente
ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita Y en la otra ecuación, para
así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la X
Al
resolver la ecuación obtenemos el resultado x = 5,y si ahora sustituimos esta incógnita por
su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y = 7
sistema queda ya resuelto.

, con lo que el

Igualación
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de
sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se
igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si
despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo
que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

.

Una vez obtenido el valor de la incógnita
originales, y se obtiene el valor de la .

, se sustituye su valor en una de las ecuaciones

La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para
despejar x después de averiguar el valor de la y.
Reducción
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los
casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para
sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones
(generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la
que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A
continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación
de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método
de resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema:

Método de Gauss
Gauss es uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello
tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus
filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma
obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver.
Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con
ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las
incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma
columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.

Es:

Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:

Método gráfico

Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método
(manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un
espacio de dimensión 2.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se
resuelve en los siguientes pasos:
1. Se despeja la incógnita (y) en ambas ecuaciones.
2. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la
tabla de valores correspondientes.
3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
4. En este último paso hay tres posibilidades:
1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos
valores de las incógnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".
2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las
respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden
ambas. «Sistema compatible indeterminado».
3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en los reales pero si en
los complejos.

Ecuaciones Cuadráticas
Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales.

Las ecuaciones lineales son

ecuaciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas de
grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas.
Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son
números reales.
Ejemplo:
9x2 + 6x + 10

a = 9, b = 6, c = 10

3x2 - 9x

a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2 + 10

a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones
cuadráticas:
1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática

Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de
binomios.
Luego,
se
busca
el
valor
de
x
de
cada
binomio.
Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
x2 + 2x – 8 = 0

(x

) (x

)=0

a=1

b=2

c=-8

[x ·x = x2]

( x + ) (x - ) = 0

(x + 4 ) (x – 2) = 0

4 y –2

4 + -2 = 2

4 · -2 = -8
x+4=0

x–2=0

x+4=0
x=0–4
x = -4

x–2=0
x=0+2
x=2

Estas son las dos soluciones.

Completando el Cuadrado:
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante
de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente
forma:

4x2 + 12x – 8 = 0
4
4
4
4

x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.

Ejemplo:
x2 + 2x – 8 = 0
x2 + 2x = 8

[Ya está en su forma donde a = 1.]
[ Pasar a c al lado opuesto.]

x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]

x2 + 2x + 1

=8+1

x2 + 2x + 1 = 9
(

) (

) =9

Hay que factorizar.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x + 1) = 9
(x + 1)2 = 9
(x + 1) = ±

x+1= ±3
x = -1 ± 3

[Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3
x=2

x = -1 – 3
x = -4

Fórmula General:
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación
cuadrática a la siguiente fórmula:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos
(−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a
identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.
La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver
cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos
resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.
Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0
Vemos claramente que a = 2,

b=3 y

c = −5, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el –

Así es que las soluciones son

Aplicaciones de Ecuaciones Y Desigualdades
Aplicaciones de Ecuaciones
Pasos para la solución de problemas:
1. Leer el problema hasta entenderlo para ser capaz de explicarlo con otras palabras.
2. Identificar la información disponible y qué es lo que se pregunta.
3. Representar la incógnita con un símbolo algebraico, como x.
4. Expresar las demás cantidades en términos de x.
5. Traducir el enunciado del problema a expresiones algebraicas que contengan x.
6. Resolver las expresiones algebraicas siguiendo los métodos adecuados.
7. Analizar la respuesta algebraica para ver si es posible.
8. Traducir la respuesta algebraica al lenguaje común.
Ejemplo
El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte.
¿Cuántos estudiantes practican deporte?
Solución:
Como

, entonces para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por 0,2,
es decir: 240 · 0,2 = 48.
Ejemplo
Entonces 48 alumnos (de los 240) practican deporte.
En un curso con 200 alumnos, el 55% de las mujeres y el 65% de los hombres aprobaron.
Si en el curso el 30% son mujeres, ¿qué porcentaje de alumnos aprobaron el examen?

Solución:

Cantidad de mujeres: 0,3.200 = 60
Cantidad de mujeres que aprobaron: 0,55.60 = 33
Cantidad de varones: 0,7.200 = 140 (se podría haber hecho 200 – 60 = 140)
Cantidad de varones que aprobaron: 0,65.140 = 91

Total de alumnos que aprobaron: 33 + 91 = 124
Si x representa al porcentaje de alumnos que aprobaron, entonces

Desigualdades Lineales
Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son iguales,
también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo de igual hay
unos símbolos:<,>,≤,≥. En una definición decimos que:
Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones
siguientes:


X es mayor que Y



X es menor que Y

Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita La
expresión
,
Quiere decir que "a" no es igual a "b". Según particulares de "a" y de "b", puede tenerse
, que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia
es positiva y
, que se
lee "a" menor que "b", cuando la diferencia
es negativa. Desigualdad "es la expresión
de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra".
Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la
izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los
términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, lo
mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a
saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero
Ejemplo:

porque 5 - 0 = 5 2º Todo número negativo es menor que cero
Ejemplo:

Porque -9 -0 = -9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor

Porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20

Ejemplo 1:

Casos Especiales
Cuando el lado de la incógnita queda con signo negativo (–), se debe realizar un arreglo
para eliminar ese signo negativo, ya que la incógnita nunca debe quedar con valor
negativo.
Veamos el siguiente ejemplo:
2x –[x –(x –50)] < x – (800 –3x)
Primero quitamos los paréntesis:
2x –[x –x +50] < x –800 +3x
Reducimos términos semejantes.
2x –[50] < 4x –800
Ahora quitamos los corchetes
2x –50 < 4x –800
Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.
2x –4x < –800 +50
Nuevamente reducimos términos semejantes y llegamos a
–2x < –750
Pero sabemos que no puede quedar signo negativo en la parte de la incógnita, entonces
cambiamos de signo a todo (–2x queda 2x y –750 queda 750), y además cambiamos el
sentido de la desigualdad (< lo cambiamos por >).
2x > 750
Despejamos x pasando al 2 a dividir, luego simplificamos.

Aplicación de Desigualdades
Una compañía produce un determinado número de microscopios; Si duplica su producción
y vende 60 le quedan más de 26 pero si bajara su producción a la tercera parte y vendiera
5, entonces tendría menos de 10 microscopios. ¿Cuántos microscopios se fabricaron?
Solución

Número de microscopios fabricados: x
La compañía duplica su producción: 2x
Vende 60
: 2x-60
Le quedan más de 26
: 2x-60 > 26……… (I)
Baja su producción a la tercera parte: x/3
Vende 5 microscopios
: x/3 – 5
Tendría menos de 10
: x/3 – 5 < 10…..... (II)
Resolviendo las inecuaciones I y II, tenemos:

mcm:3

Es decir, el numero de microscopios fabricados debe ser “mayor que 43” pero “menor que
45”, resultando x=44.
Rpta. Se fabricaron 44 microscopios.

Valor Absoluto
Si el grado de la inecuación es uno (de primer grado), se dice que la inecuación es
lineal.
Esto porque al escribir las desigualdades usamos números y por esto mismo es que
podemos usar la recta numérica para visualizar o graficar dichas desigualdades.

Observa que en la recta de arriba:

4 > –1, porque 4 está a la derecha de –1 en la recta numérica.
–2 < 3, porque –2 está a la izquierda de 3 en la recta numérica
–3 < –1, porque -3 está a la izquierda de –1 en la recta numérica
0 > –4, porque 0 está a la derecha de –4 en la recta numérica
Una inecuación lineal, entonces, es una expresión matemática que describe cómo se
relacionan entre sí dos expresiones lineales.
Por ejemplo: 3 + 5x ≥ 18; y otro, –2(x + 3) < –9.

Como resolver una inecuación
Resolver una inecuación es encontrar el valor de la incógnita para los cuales se cumple la
desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de
intervalos de números reales, por ello es que se puede representar haciendo uso
de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinitos números reales.
Las reglas para la resolución de una inecuación son prácticamente las mismas que se
emplean para la resolución de ecuaciones, pero deben tenerse presentes las propiedades
de las desigualdades.
Como ya dijimos, se puede ilustrar la solución de una inecuación con una utilizando la
recta numérica y marcando el intervalo entre los números que dan solución a la
desigualdad. Si la solución incluye algún extremo definido del intervalo, en la gráfica
representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no
incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo en blanco.
Ejemplo: x > 7 (equis es mayor que 7)

Los valores mayores a 7 se representan a la derecha de la recta numérica y no incluyen al
7. En intervalo desde el punto blanco hacia el infinito a la derecha se escribe:
Ejemplo: x ≥ 7 (equis es mayor o igual a 7)

Los valores mayores e iguales a 7 se representan a la derecha de la recta numérica e
incluyen al 7. El intervalo desde el punto negro hacia el infinito a la derecha se
escribe:
Nótese la postura del corchete cuando incluye y cuando no incluye una cifra determinada
dentro del intervalo.

Resolución de inecuaciones lineales (de primer grado) con una incógnita
Veamos algunos ejemplos:
Resolver la inecuación 4x - 3 > 53 (Se lee: cuatro equis menos tres es mayor que 53)
Debemos colocar las letras a un lado y los números al otro lado de la desigualdad (en este
caso, mayor que >), entonces para llevar el –3 al otro lado de la desigualdad, le
aplicamos el operador inverso (el inverso de –3 es +3, porque la operación inversa de la
resta es la suma).
Tendremos: 4x − 3 + 3 > 53 + 3
4x > 53 +3
4x > 56
Ahora tenemos el número 4 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo
pasaremos al otro lado de la desigualdad dividiendo (la operación inversa de la
multiplicación es la división).
Tendremos ahora:

x > 56 ÷ 4
x> 14

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" serán todos los números mayores que 14,
no incluyendo al 14.
Gráficamente, esta solución la representamos así:

Esto significa que en la recta numérica, desde el número 14 (sin incluirlo) hacia la derecha
todos los valores (hasta el infinito + ∞) resuelven la inecuación.
Veamos el siguiente ejemplo: –11x -5x +1 < –65x +36
Llevamos los términos semejantes a un lado de la desigualdad y los términos
independientes al otro lado de la desigualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde
era necesario).
–11x –5x +65x < 36 –1
Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente
49x < 35
Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.

Funciones y Gráficas
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X

(Llamado dominio).
Y otro conjunto de elementos Y(llamado codominio) de
Forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del
Codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al
proceso lógico común que se expresa como “depende de”.
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo
de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una
encomienda que depende de su peso.
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los
de la izquierda en la siguiente lista?:
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar al cuadrado":
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
x --------> x2.
Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de
función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".
Usualmente se emplean dos notaciones:
x --------> x2

o

f(x) = x2 .

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.
Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc.
Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.
Ejemplo 1
Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en
kilos

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama
la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio)
constituye lo que se llama la salida o variable dependiente.
Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos.
Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.
Función identidad

La función identidad es la función de la forma f(x) = x. El dominio y el recorrido es el
conjunto de los números reales.

Función lineal

Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente de cero,
m y b son números reales. La restricción m diferente de cero implica que la gráfica no es
una recta horizontal. Tampoco su gráfica es una recta vertical. El dominio y el recorrido
(rango) de una función lineal es el conjunto de los números reales.
Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la gráfica es creciente en los números reales
y si la pendiente es negativa la gráfica es decreciente en los números reales. El intercepto
en y es (0,b).

Funciones Cuadráticas

Definición
Una función f es una función cuadrática si y solo si f(x) puede ser escrita en la forma f(x) =
ax2 + bx+ c, donde a, by c son constantes y a"# O.
Por ejemplo: f(x) = x2- 3x + 2 Y F(t) = -3t2 son funciones cuadráticas. Sinembargo, g(x) = 2 no es cuadrática ya que no puede ser escrita en la forma g(x) =ax2 + bx+ c.
La gráfica de la función cuadrática y = f(x) = ax2 + bx+ c es llamada parábola y tiene una
forma parecida a las curvas de la figura 4.19. Si a > 0, la gráfica se extiende hacia arriba
de manera indefinida y decimos que la parábola se abre haciaarriba. Si a < 0, entonces la
parábola se abre hacia abajo.
Cada parábola en la figura 4.19 es simétrica con respecto a una recta vertical, llamada el
eje de simetría de la parábola. Esto es, si la página fuera doblada en unade estas rectas,
las dos mitades de la parábola correspondiente coincidirían. El eje(de simetría) no es parte
de la parábola, pero es una ayuda útil al bosquejarla.
La figura 4.19 también muestra puntos etiquetados como vértice, donde el eje corta a la
parábola. Si a > 0, el vértice es el punto "más bajo" de la parábola. Esto significa que f(x)
tiene un valor mínimo en ese punto. Realizando manipulaciones algebraicas sobre ax2 +
bx+ c (completar el cuadrado), podemos determinar no solo este valor mínimo, sino
también en donde ocurre. Tenemos:

Rápidamente podemos bosquejar la gráfica de una funci6n cuadrática localizando primero
el vértice, la intercepción y y unos cuantos puntos más, aquellos en donde la parábola
interseca al eje x. Las intercepciones x se encuentran al hacer y = 0y resolviendo parax.
Una vez que las intercepciones y el vértice han sido 1encontrados,es relativamente fácil
trazar la parábola apropiada a través de estos puntos. Cuando las intercepciones x estén
muy cercanas al vértice, 0 no existan, fijaremos un punto a cada lado del vértice de modo
que podamos dar un bosquejo razonable dela parábola. Tenga en cuenta que una recta
vertical (con Iínea punteada) a través del vértice da el eje de simetría. Graficando puntos a
un lado del eje, podemos obtener por simetría los correspondientes del otro lado.

Programación Lineal
Es un enfoque de solución de problemas elaborado para ayudar a tomar decisiones. Es un
modelo matemático con una función objetivo lineal, un conjunto de restricciones lineales
variables no negativas. En el ambiente de negocios actual, pueden encontrarse gran
cantidad de aplicaciones.
La función objetivo define la cantidad que se va a maximizar o minimizar en un modelo de
programación lineal.
Las restricciones limitan o reducen el grado en que puede perseguirse el objetivo.
Las variables son las entradas controlables en el problema.
Para resolver un problema de programación lineal es recomendable seguir ciertos pasos
que son:
1. Entender el problema a fondo.
2. Describir el objetivo.
3. Describir cada restricción.
4. Definir las variables de decisión.
5. Escribir el objetivo en función de las
variables de decisión.
6. Escribir las restricciones en función de
las variables de decisión.
7. Agregar las restricciones de no negatividad.

Términos Claves
Modelo Matemático
Representación de un problema donde el objetivo y todas las condiciones de restricción se
describen con expresiones matemáticas.
Restricciones de no negatividad
Conjunto de restricciones que requiere que todas las variables sean no negativas.
Solución Factible
Solución que satisface simultáneamente todas las restricciones.
Región Factible
Conjunto de todas las soluciones factibles.
Variable de holgura
Variable agregada al lado izquierdo de una restricción de "menos o igual que" para
convertir la restricción en una igualdad. El valor de esta variable comúnmente puede
interpretarse como la cantidad de recurso no usado.

Forma Estándar
Programación lineal en el que todas las restricciones están escritas como igualdades. La
solución óptima de la forma estándar de un programa lineal es la misma que la solución
óptima de la formulación original del programa lineal.
Punto Extremo
Desde el punto de vista gráfico, los puntos extremos son los puntos de solución factible
que ocurren en los vértices o "esquinas" de la región factible. Con problemas de dos
variables, los puntos extremos están determinados por la intersección de las líneas de
restricción.
Variable de Excedente
Variable restada del lado izquierdo de una restricción de "mayor o igual que" para convertir
dicha restricción en una igualdad. Generalmente el valor de esta variable puede
interpretarse como la cantidad por encima de algún nivel mínimo requerido.

Conjunto de números reales
Problema 0.1

Propiedades de los números reales
Problema 0.2

Exponentes y radicales
Ejercicio 0.3

Operaciones con Expresiones Algebraicas
EJERCICIOS 0.4

Ecuaciones cuadráticas
Ejercicio 0.8

DESIGUALDADES y VALOR ABSOLUTO
EJERCICIOS 1.2

UTILIDADES DE DESIGUALDADES
EJERCICIOS 1.3

Programación lineal
Problema 7.2

CAMINES

EJERCICO # 13
PERINOLAS

RESTRICCIONES

MAQUINA "A"

2

1

≤

80

40

MAQUINA "B"
ACABADO

3
5

1
1

≤
≤

50
70

50
70

UTILIDADES

7

2

VARIABLES

10

20

ZMAXIMO
FUNCIÓN
OBJETIVO

110

SE NECESITA PRODUCIR 10 CAMIONES Y 20 PERINOLAS SEMANALMENTE PARA
OBTENER UNA UTILIDAD DE 110 DOLARES SEMANALES

VISTA
MAQUINA "A"

EJERCICIO NUMERO 14
XTREME

RESTRICCIONES

1

3

≤

24

24

2

2

≤

24

24

UTILIDADES

50

80

VARIABLES

6

6

MAQUINA"B"

Z MINIMO
FUNCION
OBJETIVOS

780

SE NECESITA PRODUCIR 6 EQUIPOS DE VISTAS Y 6 EQUIPOS DE XTREME PARA
OBTENER UNA UTILIDAD MAXIMA DE 780 DOLARES POR DIA

EJERCICIO # 15
ALIMRENTO A
ALIMENTO B
2
2
4
1

CARBOHIDRATOS
PROREINAS
COSTO

1,20
4

4

16
20

0,80

VARIABLES

≥
≥

RESTRICCIONES
16
20

Z MINIMO
FUNCION
OBJETIVO

8

SE DEBEN COMPRAR 4 UNIDADES DEL ALIMENTO "A " Y 4 UNIDADES DEL ALIMENTO "B" PARA
MINIMIZAR EL COSTO QUE ES DE 8 DOLARES

A
B
C

EJERCICIO # 16
MEZCLA II
UNIDADES
RESTRICCIONES
2
2 ≥
80
80
6
2 ≥
120
200
4
12 ≥
240
240

COSTO

8

10

30

10

MEZCLA I

VARIABLES

Z MINIMO
FUNCION
OBJETIVOS

340

SE DEBE COMPRAR 30 BOLSAS DE LA MEZCLA A Y 10 BOLSAS DE LA MEZCLA B
PARA QUE EL AGRICULTOR PUEDA MINIMIZAR EL COSTO A 340 DOLARES

EJERCICIO # 17
MENA II
200
≥
3000
50
≥
2500

MINERAL A
MINERAL B

MENA I
100
200

COSTO

50

60

VARIABLES

10

10

RESTRICCIONES
3000
2500

Z MINIMO
FUNCION
OBJETIVOS

1100

SE DEBEN OBTENER 10 TONELADAS DE LA MENA A Y 10 TONELADAS DE A MENA B
PARA OBTENER EL COSTO MINIMO QUE ES 1100

BAJO
MEDIO
ALTO
COSTO
VARIABLES

EJERCICIO # 18
REFINERIA (I)
REFINERIA (II)
2000
1000 ≥
3000
2000 ≥
1000
1000 ≥
25000

20000

4

1

RESTRICCIONES
8000
9000
14
14000
5000
5000

Z MINIMO
FUNCION

120000

SE DEBE OPERAR 4 DIAS EN LA REFINERIA(I) Y 1 DIA EN LA REFINERIA (II) PARA SATISFACER
LOS REQUERIMIENTOS DE PRODUCCION A UN COSTO MINIMO

EJERCICIO # 19
B
4
≥
100
30
≥
420

P1
P2

A
10
20

COSTO

600000

300000

VARIABLES

6

10

ZMINIMO
FUNCION
OBJETIVO

RESTRICCIONES
100
420

6600000

SE DEBE INCLUIR EN LA CAMARA A 6 UNIDADES Y EN LA CAMARA B 10 UNIDADES
PARA MINIMIZAR EL COSTO DE PRODUCCION A 6600000 $DOLARES

Tabla dinámica en Excel

VIDA
DEPRECIACIÒN DEPRECACION DEPRECIACION DEPR
VALOR
SIN
UTIL
VIDA UTIL
CON VALOR
CON VALOR
SIN VALOR
SIN
TIPO DEL BIEN DIASVALOS RESIDUAL
DEL
TRANSCURRIDOS
VALOR
EN PORCENTAJE
RESIDUAL
RESIDUAL DIAS
RESIDUAL
RESID
BIEN
RESIDUAL
AÑOS
anual
TRANSCURRIDOS
ANUAL
TRANS

0

VEHÍCULOS

0

EDIFICIO

25000

2500

0

5

20%

4500

13931,51

5000

15

100000 10000

0

20

5%

4500

38712,33

5000

43

1800

0

10

10%

1620

6635,34

1800

73

5 NUEBLES DE OFICINA 18000
VEHÍCULOS

30000

3000

0

5

20%

5400

10430,14

6000

11

50000

5000

0

20

5%

2250

15971,92

2500

17

15000

1500

0

10

10%

1350

6879,45

1500

76

10000

1000

0

3

33.33%

3000

3279,45

3333

36

1

EDIFICIO
MUEBLES DE
OFICINA
EQUIPOS DE C
OMPUTACIÓN
VEHICULOS

20000

2000

0

5

20%

3600

11450,96

4000

12

1

VEHICULO

25000

2500

0

5

20%

4500

14313,70

5000

15

E. DE COMPUTO

8500

850

0

3

33.33%

2550

880,27

2833

9

MUEBLES DE O

1500

150

0

10

10%

135

181,97

150

2

150000 15000

0

20

5%

6750

94629,45

7500

105

VEHICULO

28000

2800

0

5

20%

5040

7428,82

5600

82

E. DE COMPUTO

12500

1250

0

3

33.33%

3750

1602,74

4167

17

EQUIPO DE OFICINA

19500

1950

0

10

10%

1755

2981,10

1950

33

1

0

7

EDIFICIO

EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Programación lineal

EJERCICIOS EN CLASE

A
B
C

CR
3
5
1

CF
2
2
2

COSTO

8

6

VARIABLES

40

20

≥
≥
≥

VP
160
200
80

RESTRICCIONES
160
240
80

ZMINIMO
FUNCION
OBJETIVO

440

PARA EL EJERCICIO PROPUESTO SE REQUIEREN 40BOLSAS DE CRECE RAPIDO Y 20
BOLSAS DE CRECE FACIL OBTENIENDO UN COSTO MINIMO DE 440 $

PUEBA DE PROGRAMACION LINEAL

bajos
medios
altos
costo

Ejecicio N. 1
petrolera 1
petrolera 2
2000
1000 ≥
3000
2000 ≥
1000
1000 ≥
25000

20000

4

1

restriccion
8000
9000
14000
14000
5000
5000

variable

Z minimo

120000

PASA SATISFACER LOS REQUERIMIENTOS DE PRODUCCION LA PETROLERA 1
DEBE TRABAJAR 4 DIAS Y LA PETROLERA 2 DEBE DE TRABAJAR 1 DIA . ELCOSTO
MINIMO ES DE 120000

EJERCICION 2

MAQUINA
A
P1
P2
COSTOS
VARIABLE

MAQUINA
B

10
20

4 ≤
30 ≤

600000

10

100
420

100
420

300000

6

RESTRICCION

ZMINIMO

6600000

PARA MINIMIZAR EL COSTO DE CONSTRUCCION Y SATISFACER EL PROGRAMA
DE PRODUCCION SE DEBEN INCLUIR 6 MAQUINAS DE TIPO A Y 10 MAQUINAS
DE TIPO B

EJERCICIO 3

TVM

TVN

PER

SUP

RAD

1000

COSTO

2000

1500

2500

300

1500

3000

400

1000

1000

EJERCICION 4

MEZCLA1
A
B
C
COSTO
VARIABLE

MEZCLA DOS
2
6
4
8

15

2 ≤
2 ≤
12 ≤
10
15

REQUERIMIENTOS RESTRICCION
80
60
120
120
240
240

ZMAXIMO

270

PARA MINIMIZAR MINIMIZAR EL COSTO SE DEBEN COMPRAR 15 BOLSAS DE CADA
MEZCLA OBTENIENDO ASI LOS REQURIMIENTOS NUTRICIONALES

Portafolio de algebra

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Destacado

Destacado (6)

Similar a Portafolio de algebra

Similar a Portafolio de algebra (20)

Último

Último (20)

Portafolio de algebra