DOCUMENTO

1. NIVELACIÓN DE
MATEMÁTICA
DEMETRIO CCESA RAYME

2. INDICE
• Aplicaciones
• Definición
• Casos de polinomios
• Valor numérico
• Cambio de variable
• Grados de un polinomio
• Relativo
• Absoluto
• Polinomios especiales
• Propiedades
• Ejercicios
-Casos, grados y clases
de un polinomio.
-Polinomios especiales
POLINOMIOS

3. Los polinomios son una parte importante del Álgebra.
Están presentes en todos los contextos científicos y
tecnológicos: desde los ordenadores y la informática
hasta la carrera espacial.
La fórmula que expresa el movimiento
de un cuerpo en caída libre viene dada
por el siguiente polinomio:
2
2
1
)( gttP 
t: tiempo
g: gravedad
APLICACIONES

4. DEFINICIÓN
• Un polinomio es una expresión algebraica racional
entera, es decir, los exponentes de sus variables son
números enteros positivos.
• Además, un polinomio es la suma o diferencia de
monomios.

5. POLINOMIO
•P(x) = 3x4 +2x3 – x2 + 8x +10
•Q(x;y) = 5xy3 +10x
•R(x;y;z) = 2y4z+ 2x3 – xy2 + 8xz + z
Suma o diferencia de monomios

6. CASOS DE POLINOMIOS
1) 2x + 3y4
2) -4a2b – b2c
3) 6x2 - 3x + 8
4) -x2yz + 3y - 5
BINOMIOSc
c TRINOMIOS

7. VALOR NUMÉRICO
• El valor numérico de un polinomio es
el número que se obtiene al sustituir
las variables por números.

8. VALOR NUMÉRICO
Ejemplos:
1. Valor numérico de: P(x)= 𝟑𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 =-2:
P(-2)= 𝟑(−𝟐) 𝟐 − 𝟓 −𝟐 + 𝟔
P(-2)= 12+10+6=28
2. Sea M(x,y)= 2𝒙 𝟐
𝒚 + 𝟓𝒙𝒚 𝟐
− 𝒚 𝟑
Calcular M(1;-3)
M(1;-3)= 2 𝟏 𝟐
−𝟑 + 𝟓 𝟏 −𝟑 𝟐
− −𝟑 𝟑
M(1;-3)=-6+45+27=66

9. CAMBIO DE VARIABLE
• El cambio de variable al igual que el
valor numérico, es el resultante de
reemplazar una variable en el
polinomio.

10. CAMBIO DE VARIABLE
• Ejemplo
Aplicando valor numérico para hallar una
variable
Si P(x)=3x+1 y P(2n)=4, calcular “n”:
Esto quiere decir que cuando x=2n, entonces
P(x)=4.
∴ P(2n)=4
Reemplazando en P(x):
3(2n)+1=4
6n=3

11. GRADOS DE UN POLINOMIO

12. GRADO RELATIVO CON
RESPECTO A UNA VARIABLE
84653
2081);;( yzxzyxzyxP 
GR(x)= GR(y)= GR(z)=4 5 8
(mayor exponente de la variable)

13. GA = 10 GA = 8 GA = 3
8x7y3 – 3x4y4 + 6xy2
GA = 10
GRADO ABSOLUTO DE UN
POLINOMIO
(mayor grado absoluto de los términos)

14. EJERCICIO 1
214224
435);( yxyxyxyxQ mm 

Si se sabe que el grado relativo a x es 5,calcula:
a)El valor de m
b)El grado absoluto del polinomio
Respuestas:
a) m = 3
b) GA = 9

15. EJERCICIO 2
2124324
435);( yxyxyxyxQ n

Si se sabe que el grado absoluto del polinomio
es 9 halla: n2 + 1
Respuesta: 10

16. EJERCICIO 3
25215
53);( 
 aaaaa
yxyxyxyxP
Si se sabe que el grado del polinomio es 31
halla: GR(x) + GR(y)
Respuesta: 41

17. POLINOMIOS ESPECIALES

18. POLINOMIOS ESPECIALES
polinomio
ordenado
homogéneo
idénticos
completo
Idénticamente
nulo

19. Un polinomio está ordenado cuando los
exponentes de la variable “referida” están
aumentando o disminuyendo.
83459
536);( yxyxyxyxP 
Ordenado en forma descendente respecto a “x”
Ordenado en forma ascendente respecto a “y”
Ejemplo:
1.- POLINOMIO ORDENADO

20. EJEMPLO: POLINOMIO ORDENADO
x4y3 + 2x2y5 – 3xy8
Polinomio ordenado respecto a “x” en forma
descendente
Polinomio ordenado respecto a “y” en forma
ascendente
P(x;y)=x4y3 + 2x2y5 – 3x1y8

21. 2.- POLINOMIO COMPLETO
La variable “referida” presenta todos los
exponentes consecutivos desde 1 hasta un
mayor determinado e incluso el término
independiente.
Ejemplo:
252843
5479);( xyyxyxyxyxP 
Completo respecto a “x” con T.I.(x)= -7y

22. EJEMPLO: POLINOMIO COMPLETO
x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5
Polinomio completo con respecto a “x”
P(x;y)=x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5x0

23. 3.- POLINOMIO HOMOGÉNEO
Es aquel polinomio en el que todos
sus términos son del mismo grado
absoluto.
Ejemplo:
71233422
537);;( yxzyxzyxzyxP 
Es un polinomio cuyo grado de homogeneidad es 8.

24. EJEMPLO: POLINOMIO HOMOGÉNEO
Polinomio homogéneo de grado 8
P(x; y)=6x5y3 – 3x4y4 + 6x6y2
GA = 8 GA = 8 GA = 8

25. 4.- POLINOMIOS IDÉNTICOS
Dos polinomios son idénticos si verifican:
- Los dos polinomios tienen el mismo grado.
- Los coeficientes de los términos semejantes son
iguales.
83459
);( ycxybxyaxyxP 
yxyxyxyxQ 94583
536);( 
Se debe cumplir: a = 5; b = 3; c = 6

26. EJEMPLO: POLINOMIOS IDÉNTICOS
Si P y Q son idénticos,
Entonces: a = 5; b = 2; c = -8
P(x) = ax3 + bx2 + c
Q(x) = 2x2 +5x3 – 8
PQ

27. 5.- POLINOMIO IDÉNTICAMENTE
NULO
Es aquel polinomio cuyos coeficientes de
cada uno de sus términos son ceros.
582243
);( DyyCxyBxAxyxP 
Se debe cumplir: A= 0; B = 0; C = 0; D = 0
 0

28. EJEMPLO: POLINOMIO IDÉNTICAMENTE
NULO
Se cumple: a = b = c = 0
P(x) = ax3 + bx2 - c
P(x)  0

29. RESUMEN
Fuente: texto escolar matemática 3-hipervinculos, (2013), Perú: Santillana

30. PROPIEDADES

31. 1º- SIENDO P(X) UN POLINOMIO COMPLETO
SE CUMPLE:
324
4835)( xxxxxP 
Se observa:
- Número de términos = 5
- Grado de P(x) = 4
 de términos de P(x) = Grado de P(x) + 1

32. 2º- EN TODO POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADO
P(X) LA DIFERENCIA DE GRADOS RELATIVOS DE DOS
TÉRMINOS CONSECUTIVOS VALE 1.
124835)( 234
 xxxxxP
GR =3 GR =2

33. EJERCICIOS

34. EJERCICIO 1
caabb
xxxxR 
 272
25)( 
Si se sabe que el polinomio es completo y
ordenado en forma creciente, calcula el valor de
2abc. Indica el grado del polinomio.
Respuestas:
a)2abc = 160
b)GA = 2

35. EJERCICIO 2
ccbabacb
xxxxxP   23
)(
Si se sabe que el polinomio es completo y
ordenado en forma decreciente, calcula el
valor de a - b - c.
Respuesta: a-b-c= -1

36. Si se sabe que el polinomio:
EJERCICIO 3
xcbxaxxxxdxP 12392642)( 2323

Respuesta: 84
es idénticamente nulo, calcula el valor de
-7(a+b+c+d)

37. EJERCICIO 4
yxyxxyxR abb 22712
262);( 

Si se sabe que el polinomio es homogéneo,
calcula el valor de a – b.
Respuesta: -1

38. EJERCICIO 5
1221
62);( 
 abaaba
yxyxyxP
Si se sabe que el polinomio es homogéneo de
grado 7, calcula el valor de 2a – b.
Respuesta: 2a – b = 5