Ejercicios resueltos por las propiedades de las derivadas

1. Institución Educativa Departamental Integrada
Alfonso López Pumarejo
Nemocón
Cálculo; Undécimo
Docente: Ing. Hernán Darío Carrillo Aristizábal
2016
DERIVADAS 4º Bimestre
1. 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙 + 𝟒
𝑓´(𝑥) = 4 ∙ 2𝑥2−1
− 5 ∙ 1𝑥1−1
+ 0
𝑓´(𝑥) = 8𝑥 − 5
2. 𝒇(𝒙) =
𝟑
𝟐
𝒙
𝟏
𝟐⁄
−
𝟑
𝟒
𝒙
𝟒
𝟑⁄
−
𝟏
𝟐
𝑓´(𝑥) =
3
2
∙
1
2
𝑥
1
2⁄ −1
−
3
4
∙
4
3
𝑥
4
3⁄ −1
− 0
𝑓´(𝑥) =
3
4
𝑥−1
2⁄
− 1𝑥
1
2⁄
𝑓´(𝑥) =
3
4𝑥
1
2⁄
− 𝑥
1
2⁄
3. 𝒇(𝒙) = (𝟐𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙)(𝟑𝒙)
𝑓(𝑥) = ℎ(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = ℎ´(𝑥)𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)𝑔´(𝑥)
ℎ(𝑥) = 2𝑥2
− 5𝑥 𝑔(𝑥) = 3𝑥
ℎ´(𝑥) = 4𝑥 − 5 𝑔´(𝑥) = 3
𝑓´(𝑥) = (4𝑥 − 5)(3𝑥) +(2𝑥2
− 5𝑥)(3)
𝑓´(𝑥) = 12𝑥2
− 15𝑥 + 6𝑥2
− 15𝑥
𝑓´(𝑥) = 18𝑥2
− 30𝑥
4. 𝒇(𝒙) =
𝟒𝒙 𝟑−𝟓𝒙+𝟐
𝟑𝒙+𝟏
𝑓(𝑥) =
ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
ℎ´(𝑥)𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥)𝑔´(𝑥)
(𝑔(𝑥))2
ℎ(𝑥) = 4𝑥3
− 5𝑥 + 2 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 1
ℎ´(𝑥) = 12𝑥2
− 5 𝑔´(𝑥) = 3
𝑓´(𝑥) =
(12𝑥2
− 5)(3𝑥 + 1) − (4𝑥3
− 5𝑥 + 2)(3)
(3𝑥 + 1)2
𝑓´(𝑥) =
36𝑥3
+ 12𝑥2
− 15𝑥 − 5 − 12𝑥3
+ 15𝑥 − 6
(3𝑥 + 1)2
𝑓´(𝑥) =
24𝑥3
+ 12𝑥2
− 11
9𝑥2 + 6𝑥 + 1
5. 𝒇(𝒙) =
𝒙
𝟏+𝒙 𝟐
𝑓(𝑥) =
ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
ℎ´(𝑥)𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥)𝑔´(𝑥)
(𝑔(𝑥))2
ℎ(𝑥) = 𝑥 𝑔(𝑥) = 1 + 𝑥2
ℎ´(𝑥) = 1 𝑔´(𝑥) = 2𝑥
𝑓´(𝑥) =
(1)(1 + 𝑥2) − (𝑥)(2𝑥)
(1 + 𝑥2)2
𝑓´(𝑥) =
1 + 𝑥2
− 2𝑥2
(1 + 𝑥2)2

2. Institución Educativa Departamental Integrada
Alfonso López Pumarejo
Nemocón
Cálculo; Undécimo
Docente: Ing. Hernán Darío Carrillo Aristizábal
2016
DERIVADAS 4º Bimestre
𝑓´(𝑥) =
1 − 𝑥2
(1 + 𝑥2)2
𝑓´(𝑥) =
(1 + 𝑥2)(1 − 𝑥2)
(1 + 𝑥2)2
𝑓´(𝑥) =
1
1 + 𝑥2
6. 𝒇(𝒙) = (𝒙 + 𝟏)(𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙)
𝑓(𝑥) = ℎ(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = ℎ´(𝑥)𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)𝑔´(𝑥)
ℎ(𝑥) = 𝑥2
+ 2𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1
ℎ´(𝑥) = 2𝑥 + 2 𝑔´(𝑥) = 1
𝑓´(𝑥) = (2𝑥 + 2)(𝑥 + 1) + (𝑥2
+ 2𝑥)(1)
𝑓´(𝑥) = 2𝑥2
+ 2𝑥 + 2𝑥 + 2 + 𝑥2
+ 2𝑥
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2
+ 6𝑥 + 2
7. 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝒙 𝟐
𝑓(𝑥) =
ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
ℎ´(𝑥)𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥)𝑔´(𝑥)
(𝑔(𝑥))2
ℎ(𝑥) = 1 𝑔(𝑥) = 𝑥2
ℎ´(𝑥) = 0 𝑔´(𝑥) = 2𝑥
𝑓´(𝑥) =
(0)(𝑥2) − (1)(2𝑥)
(𝑥2)2
𝑓´(𝑥) =
0 − 2𝑥
𝑥4
𝑓´(𝑥) =
−2𝑥
𝑥4
=
−2
𝑥3
8. 𝒇(𝒙) =
𝟓𝒙 𝟐+𝟑
𝟏+𝒙
𝑓(𝑥) =
ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
ℎ´(𝑥)𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥)𝑔´(𝑥)
(𝑔(𝑥))2
ℎ(𝑥) = 5𝑥2
+ 3 𝑔(𝑥) = 1 + 𝑥
ℎ´(𝑥) = 10𝑥 𝑔´(𝑥) = 1
𝑓´(𝑥) =
(10𝑥)(1 + 𝑥) − (5𝑥2
+ 3)(1)
(1 + 𝑥)2
𝑓´(𝑥) =
10𝑥 + 10𝑥2
− 5𝑥2
− 3
(1 + 𝑥)2
𝑓´(𝑥) =
5𝑥2
+ 10𝑥 − 3
1 + 2𝑥 + 𝑥2
9. 𝒇(𝒙) = (
𝟒
𝟑
𝒙
𝟏
𝟐⁄
−
𝟑
𝟐
𝒙
𝟐
𝟓⁄
) (𝒙
𝟏
𝟒⁄
+
𝟏
𝟑
𝒙 𝟐
)

3. Institución Educativa Departamental Integrada
Alfonso López Pumarejo
Nemocón
Cálculo; Undécimo
Docente: Ing. Hernán Darío Carrillo Aristizábal
2016
DERIVADAS 4º Bimestre
𝑓(𝑥) = ℎ(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = ℎ´(𝑥)𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)𝑔´(𝑥)
ℎ(𝑥) =
4
3
𝑥
1
2⁄
−
3
2
𝑥
2
5⁄
𝑔(𝑥) = 𝑥
1
4⁄
+
1
3
𝑥2
ℎ´(𝑥) =
2
3
𝑥−1
2⁄
−
3
5
𝑥−3
5⁄
𝑔´(𝑥) =
1
4
𝑥−3
4⁄
+
2
3
𝑥
𝑓´(𝑥) = (
2
3
𝑥−1
2⁄
−
3
5
𝑥−3
5⁄
) (𝑥
1
4⁄
+
1
3
𝑥2
)
+ (
4
3
𝑥
1
2⁄
−
3
2
𝑥
2
5⁄
) (
1
4
𝑥−3
4⁄
+
2
3
𝑥)
𝑓´(𝑥) =
2
3
𝑥−1
2⁄
+
2
9
𝑥
3
2⁄
−
3
5
𝑥−7
20⁄
−
1
5
𝑥
7
5⁄
+
1
3
𝑥−1
4⁄
+
8
9
𝑥
3
2⁄
−
3
8
𝑥−7
20⁄
− 1𝑥
7
5⁄
𝑓´(𝑥) =
2
3𝑥
1
2⁄
+
10
9
𝑥
3
2⁄
−
39
40𝑥−7
20⁄
−
6
5
𝑥
7
5⁄
+
1
3𝑥
1
4⁄
10. 𝒇(𝒙) =
(𝟑𝒙+𝟒)(𝟓𝒙 𝟐+𝟕𝒙)
𝟐𝒙+𝟏
ℎ(𝑥) = (3𝑥 + 4)(5𝑥2
+ 7𝑥)
ℎ´(𝑥) = (3)( 5𝑥2
+ 7𝑥) + (3𝑥 + 4)(10𝑥 + 7)
ℎ´(𝑥) = 15𝑥2
+ 21𝑥 + 30𝑥2
+ 21𝑥 + 40𝑥 + 28
ℎ´(𝑥) = 45𝑥2
+ 82𝑥 + 28
𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 1
𝑔´(𝑥) = 2
𝑓´(𝑥) =
(45𝑥2
+ 82𝑥 + 28)(2𝑥 + 1) − ((3𝑥 + 4)(5𝑥2
+ 7𝑥))(2)
(2𝑥 + 1)2
𝑓´(𝑥)
=
90𝑥3
+ 45𝑥2
+ 164𝑥2
+ 82𝑥 + 56𝑥 + 28 − 30𝑥3
− 42𝑥2
− 40𝑥2
− 56𝑥
(2𝑥 + 1)2
𝑓´(𝑥) =
60𝑥3
+ 127𝑥2
+ 82𝑥 + 28
(2𝑥 + 1)2
11. 𝒇(𝒙) = (
𝒙+𝟏
𝒙 𝟐 ) (
𝟒𝒙+𝟐
𝒙
)
ℎ(𝑥) =
𝑥+1
𝑥2
𝑔(𝑥) =
4𝑥+2
𝑥
ℎ´(𝑥) =
(1)(𝑥2) − (𝑥 + 1)(2𝑥)
(𝑥2)2
𝑔´(𝑥) =
(4)(𝑥) − (4𝑥 + 2)(1)
𝑥2
ℎ´(𝑥) =
𝑥2
− 2𝑥2
− 2𝑥
𝑥4
𝑔´(𝑥) =
4𝑥 − 4𝑥 − 2
𝑥2
ℎ´(𝑥) =
−𝑥2
− 2𝑥
𝑥4
𝑔´(𝑥) = −
2
𝑥2
ℎ´(𝑥) =
𝑥(𝑥 − 2)
𝑥4
ℎ´(𝑥) =
𝑥 − 2
𝑥3
𝑓´(𝑥) = (
𝑥 − 2
𝑥3
) (
4𝑥 + 2
𝑥
) + (
𝑥 + 1
𝑥2
) (−
2
𝑥2
)
𝑓´(𝑥) =
4𝑥2
+ 2𝑥 − 8𝑥 − 4
𝑥4
−
2𝑥 + 2
𝑥4
𝑓´(𝑥) =
4𝑥2
+ 2𝑥 − 8𝑥 − 4 − (2𝑥 + 2)
𝑥4

4. Institución Educativa Departamental Integrada
Alfonso López Pumarejo
Nemocón
Cálculo; Undécimo
Docente: Ing. Hernán Darío Carrillo Aristizábal
2016
DERIVADAS 4º Bimestre
𝑓´(𝑥) =
4𝑥2
+ 2𝑥 − 8𝑥 − 4 − 2𝑥 + 2
𝑥4
𝑓´(𝑥) =
4𝑥2
− 8𝑥 − 2
𝑥4
a.
b. 𝑓(𝑥) =
𝑥4−𝑥2
𝑥
c. 𝑓(𝑥) = (2𝑥2
− 5𝑥) (2𝑥 + 8𝑥
1
2⁄
)
d. 𝑔(𝑥) =
2𝑥
1
2⁄ +1
𝑥2+3𝑥−2
e. ℎ( 𝑥) =
3𝑥−3+8𝑥−4
5𝑥−3+7𝑥−5