Sumar y restar polinomios

1. Sumar y restar polinomios
Un polinomio es algo así como esto:
ejemplo de polinomio
este tiene 3 términos
Para sumar polinomios simplemente suma juntos los términos similares... ¿qué son
términos similares?
Términos similares
"Términos similares" son términos cuyas variables (y sus exponentes como el 2 en x2
)
son los mismos.
En otras palabras, términos que "se parecen".
Ejemplos:
Términos Por qué son "similares"
7x x -2x porque las variables son todas x
(1/3)xy2
-2xy2
6xy2
porque las variables son todas xy2
Sumar polinomios
Dos pasos:
 Pon juntos los términos similares
 Suma los términos similares
Ejemplo: suma 2x2 + 6x + 5 y 3x2 - 2x - 1
Junta los términos similares: 2x2 + 3x2 + 6x - 2x + 5 - 1
Suma los términos similares: (2+3)x2 + (6-2)x + (3-1)

2. = 5x2 + 4x + 4
Aquí tienes una animación que te lo enseña:
(Nota: el -7 del otro polinomio no tiene ningún "término similar", así que no tuvimos
que sumarlo.)
Sumar en columnas
También puedes sumarlos en columnas así:
Sumar varios polinomios
Puedes sumar varios polinomios juntos así.
Ejemplo: suma (2x2 + 6y + 3xy) , (3x2 - 5xy - x) y (6xy + 5)
Ponlos alineados en columnas y suma:
2x2
+ 6y + 3xy
3x2
- 5xy - x
6xy + 5
5x2
+ 6y + 4xy - x + 5
Usar columnas te ayuda a poner juntos los términos similares en las sumas complicadas.
Restar polinomios
Para restar polinomios, primero invierte el signo de cada término que vas a restar (en
otras palabras cambia "+" por "-", y "-" por "+"), después suma normalmente.
Así:
Nota: después de restar 2xy menos 2xy sale 0, así que ya no hace falta escribir el
término en "xy".

3. Polinomios
Un polinomio es así:
un ejemplo de polinomio
este tiene 3 términos
Están hechos de:
constantes (como 3, -20, o ½)
variables (como x e y)
exponentes (como el 2 en y2
) pero sólo pueden ser 0, 1, 2, 3, ... etc
Que se pueden combinar usando:
+ - × sumas, restas y multiplicaciones...
... ¡pero no divisiones!
Estas reglas hacen que los polinomios sean simples, ¡así es fácil trabajar con ellos!
¿Son polinomios o no?
Estos son polinomios:
 3x
 x - 2
 3xyz + 3xy2z - 0.1xz - 200y + 0.5

4. Y estos no son polinomios
 2/(x+2) no lo es, porque dividir no está permitido
 3xy-2 no lo es, porque un exponente es "-2" (los exponentes sólo pueden ser
0,1,2,...)
Pero esto sí está permitido:
 x/2 está permitido, porque también es (½)x (la constante es ½, o 0.5)
 también 3x/8 por la misma razón (la constante es 3/8, o 0.375)
Monomios, binomios, trinomios
Hay nombres especiales para los polinomios con 1, 2 o 3 términos:
¿Cómo te aprendes los nombres?
¡Piensa en bicicletas!
(También existen cuatrinomio (4 términos) y quintinomio (5 términos), pero se usan
poco)
Muchos términos
Los polinomios pueden tener montones de términos, pero no infinitos términos.
¿Qué tienen de especial los polinomios?
Por su definición tan estricta, es fácil trabajar con polinomios.
Por ejemplo sabemos que:
 Si sumas o restas polinomios te sale un polinomio
 Si multiplicas polinomios te sale un polinomio
Así que puedes hacer muchas sumas y multiplicaciones con ellos, y siempre sale un
polinomio al final.
Grado
El grado de un polinomio con una sola variable es el mayor exponente de esa variable.
Ejemplo:
El grado es 3 (el mayor exponente de x)
Para casos más complicados, lee Grado (de una expresión).

5. Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo
grado.
P(x) = 2x3
+ 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2
+ 2x3
1Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x 3
− 3x2
+ 4x
P(x) + Q(x) = (2x3
+ 5x − 3) + (2x3
− 3x2
+ 4x)
2Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3
+ 2x3
− 3 x2
+ 5x + 4x − 3
3Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 2x3
+ 2x3
− 3 x2
+ 5x + 4x − 3
También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los
monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.
P(x) = 7x4
+ 4x2
+ 7x + 2 Q(x) = 6x3
+ 8x +3
P(x) + Q(x) = 7x4
+ 6x3
+ 4x2
+ 15x + 5
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3
+ 5x − 3) − (2x3
− 3x2
+ 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3
+ 5x − 3 − 2x3
+ 3x2
− 4x
P(x) − Q(x) = 2x3
− 2x3
+ 3x2
+ 5x − 4x − 3
P(x) − Q(x) = 3x2
+ x − 3

6. Sumando y Restando Polinomios
Objetivo de Aprendizaje
 Sumar y restar polinomios
Introducción
Sumar y restar polinomios puede sonar complicado, pero en realidad no es muy
distinto de sumar y restar números. Cualquiera de los términos que tengan las mismas
variables con los mismos exponentes pueden ser combinados.
Sumando Polinomios
Sumar polinomios implica combinar términos. Los términos semejantes son
monomios que contienen la misma variable o variables elevadas a la misma potencia.
Los siguientes son ejemplos de términos semejantes y no semejantes:
Monomios Términos Explicación
3x
14x
semejante
las mismas variables con
los mismos exponentes
16xyz2
-5xyz2
semejante
las mismas variables con
los mismos exponentes
3x
5y
no semejante
diferentes variables con
los mismos exponentes
-3z
-3z2
no semejante
las mismas variables con
diferentes exponentes
Combinamos términos comunes al sumar o restar el coeficiente del término pero
manteniendo las variables y sus exponentes. La Propiedad Distributiva es la razón por
la que podemos hacer esto. Echa un vistazo al ejemplo de abajo para que veas que
está bien sumar y restar los coeficientes de los términos comunes:

7. Ejemplo
Problema
Simplificar
Reescribir la expresión usando la
Propiedad Distributiva
Sumar los términos en los
paréntesis
Reescribir usando la Propiedad
Distributiva
Solución
Acabamos de ver cómo sumar dos monomios que tienen términos comunes. También
podemos aplicar las propiedades de los números cuando sumamos polinomios. Para
sumar polinomios, reorganiza la expresión juntando los términos comunes para
combinarlos más fácilmente:
Ejemplo
roblema
(8x2
+ 4x + 12) + (2x2
+ 7x + 10)
(8x2
+ 2x2
) + (4x + 7x) + (12 + 10) Reagrupar usando las Propiedades
Conmutativa y Asociativa
10x2
+ 11x + 22 Sumar términos comunes
olución 10x2
+ 11x + 22
El procedimiento es el mismo cuando sumamos polinomios que contengan
coeficientes negativos o resta como se muestra abajo:

8. Ejemplo
roblema
(-5x2
– 10x – 7y + 2) + (3x2
– 4 + 7x)
(-5x2
+ 3x2
) + (-10x + 7x) – 7y + (2 – 4)
Reagrupar usando las
Propiedades Conmutativa y
Asociativa
-2x2
+ (-3x) – 7y – 2 Combinar términos comunes
olución -2x2
– 3 x – 7y – 2
Hasta ahora, hemos sumado polinomios leyendo de izquierda a derecha sobre la
misma línea. Algunas personas prefieren organizar su trabajo verticalmente, porque
les es más fácil asegurarse que están combinando términos semejantes. El proceso
de sumar los polinomios es el mismo, pero el arreglo de los términos es diferente. El
ejemplo de abajo muestra este método "vertical" de sumar polinomios:
Ejemplo
Problema
(3x2
+ 2xy – 7 ) + (7x2
– 4xy + 8)
3x2
+ 2xy – 7
+ 7x2
– 4xy + 8
Escribir un
polinomio debajo del
otro
3x2
+ 2xy – 7
+ 7x2
– 4xy + 8
10x2
– 2xy + 1
Combinar términos
comunes poniendo
atención en los
signos
Solución 10x2
– 2xy + 1
Algunas veces en un arreglo vertical, podemos alinear cada término debajo de su
semejante, como hicimos en el ejemplo de arriba. Pero otras veces no queda tan
ordenado. Cuando no existe un término semejante para cada término, quedará un
lugar vacío en el arreglo vertical.

9. Ejemplo
Problema (4x2
y + 5x2
+ 3xy – 6x + 2) + (–4x2
– 8xy + 10)
4x2
y + 5x2
+ 3xy – 6x + 2
+ – 4x2
– 8xy + 10
4x2
y + x2
– 5xy – 6x + 12
Escribir un polinomio bajo el
otro, alineando verticalmente
los términos comunes
Dejar un espacio en blanco
arriba o abajo de cada
término que no tenga término
semejante
Combinar términos
semejantes, poniendo
atención en los signos
Solución 4x2
y + x2
– 5xy – 6x + 12
Restando Polinomios
Restar polinomios también implica identificar y combinar términos comunes. Recuerda
que el signo de resta enfrente de los paréntesis es como el coeficiente de -1. Cuando
restamos, podemos distribuir (-1) a cada uno de los términos en el segundo polinomio
y luego sumar los dos polinomios. Veamos un ejemplo:
Ejemplo
Problema (15x2
+ 12xy + 20) – (9x2
+ 10xy + 5)
(15x2
– 9x2
) + (12xy – 10xy) + (20 – 5)
Distribuir -1 a los términos
en el segundo polinomio,
luego reagrupar para que
coincidan los términos
semejantes
6x2
+ 2xy + 15
Combinar términos
semejantes
Solución 6x2
+ 2xy + 15

10. Cuando los polinomios incluyen muchos términos, puede ser fácil perder la noción de
los signos. Sé muy cuidadoso de transferirlos correctamente, especialmente cuando
restas un término negativo.
Ejemplo
Problema (14x2
y + 3x2
– 5y + 14) – (7x2
y + 5x2
– 8y + 10)
(14x2
y + 3x2
– 5y + 14) + (-7x2
y – 5x2
+ 8y – 10) Distribuir (-1)
(14x2
y – 7x2
y) + (3x2
– 5x2
) + (-5y + 8y) + (14 – 10)
Reagrupar
términos
comunes
usando la
Propiedad
Asociativa
7x2
y – 2x2
+ 3y + 4 Combinar
términos
comunes
Solución 7x2
y – 2x2
+ 3y + 4
Al igual que con las operaciones enteras, la experiencia y la práctica hacen cada vez
más fácil sumar y restar polinomios.
Resuelve.
(4a + 5by + 7b) – (8a + 3b + 2b2
y)
A) -4a + 3b2
y + 4b
B) -4a + 10b + 5by + 2b2
y
C) -4a + 4b + 5by – 2b2
y
D) 12a + 5by – 2b2
y + 10b

11. Mostrar/Ocultar la Respuesta
Sumario
Cuando sumes o restes polinomios, busca términos semejantes, que son los términos
que tienen las mismas variables elevadas a la misma potencia. Usa la Propiedad
Conmutativa de la Suma para reagrupar los términos en una expresión y formar
conjuntos de términos semejantes. Los términos semejantes se combinan sumando o
restando los coeficientes mientras que las variables y los exponentes se mantienen.
Los polinomios no son considerados simplificados hasta que todos los términos
comunes han sido combinados.