Cap 8 Ondas 205 225

Cuaderno de Actividades: Física I

8) Ondas

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 205


8) Ondas

8.1) Definición

La onda es una perturbación que se propaga transfiriendo energía y cantidad
de movimiento.

Esta transferencia de cantidad de movimiento y energía, debe considerarse
como una forma desarrollada por el universo para transferir información.

E

p
Espectro EM

8.2) Clasificación

i) Por el medio de propagación

j) Ondas mecánicas, OM

Requieren de un material para propagarse.

Ejems:

“Onda sonora”

“Onda en cuerda”

“Onda de torsión”, “presión”…

jj) Ondas electromagnéticas, OEM

No requieren necesariamente de un medio material para propagarse.

Ejems:



“Luz” ⇒ OEM (EM de Maxwell)

F .Re lativista
F. Clásica =>
1 24
4 3
A. Einstein

r
E

r
B E O.E.M. → {OE “+” OM }
≈ c,
B
r
v

ii) Por el movimiento relativo del medio respecto a la propagación

j) Ondas Longitudinales

El medio moviéndose paralelamente a la propagación.

Ejems:

“Ondas sonoras”…………..aire

“Ondas en resortes”

“Ondas de compresión, torsión”

jj) Ondas transversales

El movimiento relativo del medio es perpendicular a la de la propagación.

Ejems:

“Ondas en la cuerda”



P

P
v

“Ondas electromagnéticas”
r r r
Perturbación → E , B ⊥ v

jjj) Ondas transversolongitudinales

Cuando el medio se desplaza tanto transversal como longitudinalmente
respecto a la propagación.

Ejems:

“Olas de mar”

“Fluidos”

8.3) Pulsos

i) Ecuación del pulso unidimensional

Cuerda

Y
r
P v
y

0 x x

La perturbación se propaga en el espacio – tiempo conservando su forma.

La descripción de la Onda ⇒ el “estado” de los puntos P(x,y) ⇒ (x,t)



La ecuación que describe la perturbación deberá expresar esta
dependencia (x, t) conjuntamente con la velocidad v, la cual dependerá de
las características del sistema (medio).

  m 
v = v  µ = λ = , T   ← “Ondas en cuerda”
  L 

Por lo tanto, para caracterizar a la cuerda (el medio, sus puntos) según la
perturbación, usaremos un sistema (x,y,t), donde,

 y : representa el estado del medio

 x : localiza al medio( P)
t : det er min a el tiempo de observacion


Estas funciones “y” tendrán la forma,

y ≡ y ( x, t ) = f ( x ±vt ) → v: velocidad de propagación

+ ← x-
- → x+

ii) La velocidad de propagación, v.

Esta v esta vinculada a las características del medio.

→ Ondas Mecánicas: OM, v = v (µ=λ, densidad lineal de masa; T, tensión
que soporta la cuerda)

→ Os Electromagnéticas: OEM, v = c = v (ε0, µ0) ∼ 3 x 108

No depende de las condiciones iniciales de la onda.



8.4) Ondas Armónicas viajeras

i) Ecuación de ondas armónicas viajeras

De todos los pulsos serán estudiados aquellos de perfil armónico.

P t=0
y

v t
x
x

λ

y ≡f ( x − ) =ym sen {kx −wt + }
vt φ

ym =A :amplitud

2π
k= = # de ondas
λ

λ = longitud de onda, “duración espacial de la perturbación”

2π
w = frecuencia angular, w =
T

T: periodo, “duración temporal de la perturbación”

φ : Desfasaje

λ 1
v= = λν ;ν : Frecuencia lineal, ν=
T T

w
v= : Velocidad de propagación
k

2π 2π 
y ( x, t ) = ym sen { kx − wt +φ} = ym sen  x− t +φ
λ T 



ii) Ecuación de onda

y = y (x,t): onda mecánica cualquiera, por ejemplo.

∂2 y 1 ∂2 y
=
∂x 2 v 2 ∂t 2
← y ≡ y ( x, t ) = f ( x ±vt )

Esta es la ecuación que deben de satisfacer todo tipo de Onda, incluso las
OEM.

→ 2da ley dinámica:
r r r r r
FR = ma → a → v → r √

∂2 y 1 ∂2 y
Análogamente→ = → y = y ( x, t ) √
∂x 2 v 2 ∂t 2

8.5) Fenómenos Ondulatorios

i) Superposición de Os

y1 y2 y1 + y2

Dos Os y1 y y2 superponen sus efectos si coexisten en el espacio-tiempo, como
indica la figura.



ii) Reflexión y transmisión

j) Reflexión de Os

Móvil Fijo

Oi Oi

OR

OR

Oi : Onda incidente
OR : Onda reflejada

La O reflejada en el extremo móvil en fase con la O incidente mientras que
la O reflejada en el extremo fijo se desfasa π.



jj) Transmisión de Os

λ1 λ2 λ2 λ1 λ2 < λ1

Oi Oi

Oi
AOi Oi

OR ORE=OT ORE
AOR
AORE

OR
ν ν

(*)

OT ≡ ORE : Onda Trasmitida o refractada

La O transmitida o refractada se encuentra en fase con la O incidente, para
ambos casos. Lo que ocurre con las Os reflejadas es análogo al caso
anterior, es decir, la cuerda menos densa se comporta, en la interfase,
como extremo móvil y la cuerda más densa como extremo fijo.



Recordando desfase de Os: Puede expresarse en φ =λ = T.

OR
λ T
φ= π , ,
2 2 Imaginemos reflexión:
extremo fijo

Oi

Interfase

φ

Como las νs de las Os son las mismas, por lo tanto:

ν ≡ OR ≡ OT =RE
OI ν ν

Además, si consideramos conservación de la energía,

EOI ≡EOR +EOT =RE

y asumiendo: EO α A2 w2 λ, w = 2πν

(*) λAO ≡λAO +λ AO
1
2
I 1
2
R 2
2
T

¿Es posible mejorar esta relación?



iii) Interferencia

y1 y2
y

x

∃ R3 - t de O1 ∧ O2

Los fenómenos de interferencia pueden producirse por el ESPACIO o por el
TIEMPO.

O1: y1(x,t) ≡ A sen {kx - wt}
O2: y2(x,t) ≡ A sen {kx -wt - φ}
↑

Observar que se están “ESCOGIENDO” Os con la misma amplitud,
frecuencia y longitud de O.

yR ≡ y1 + y2

y R ≡2 Asen {kx −wt − / 2} cos {φ/ 2}
φ

En esta expresión el factor cos (φ/2) describe la interferencia de las Os.

¿Como se describiría la interferencia en el tiempo?

→ w1∼ w2…”pulsaciones”…?

8.6) Ondas Estacionarias, OE



Las ondas estacionarias OE se producen por interferencia de dos ondas
(Os) de la misma amplitud y frecuencia que viajan en sentidos contrarios.

m
y λ≡ ;T
L
T
v≡
λ≡µ
0 L x

yR ≡ yest ≡ y1 + y2

≡ Asen {kx - wt} + Asen {kx + wt}

yEST ≡ 2 A sen { kx} cos { wt}
1 24 1 24
4 3 4 3

14 3
24
A( x )

Condiciones de frontera: y (x ≡ 0, L, ∀t) ≡ 0

→ sen {k(x ≡L)} ≡ 0

kL ≡ nπ ; n ≡ 1,2,3….

nπ 2π 2L
k= = → λn =
L λ n

nv
λn ⇒ νn : v = λν ⇒ νn =
2L



Modos de normales de vibración:

1er armónico
n ≡1

n ≡2
2do armónico 1er sobretono

3er armónico 2do sobretono
n ≡3

.
.
.

n ……………………………… n-ésimo armónico {n-ésimo-1} sobretono

8.7) Ondas sonoras



Caso particular e importante de ondas mecánicas longitudinales.

→ Múltiples aplicaciones

Metrología

Medicina

Música

Prospección minera

Paleontología

Comunicaciones

Militar

Tecnología

Negocios

“Afectivo”

“Desarrollo de la inteligencia”

…

Estas ondas se pueden clasificar de diversas formas:

→ ν: Frecuencia

→ I: Intensidades

→ β : Nivel de I

Mostraremos estas correlaciones en el siguiente grafico,



ν(Hz) I(w/m2) β(dB)

O supersónicas Umbral Superior
20x103 1 120

O sonoras Umbral Inferior
20 10-12 ≡ I0 0

O subsónicas

Definición: Nivel de intensidad, β

I 
β ≡ 10 log  
 I0 

u [β] ≡ decibel ≡ dβ

El Tema de Contaminación Ambiental: Contaminación por sonido



Componentes de contaminación:

→…

→…

→…

→La componente acústica: Nivel recomendado por las entidades de Salud
Ambiental…60-70 dB!

8.8) Energía y potencia

Caso de O en la cuerda,

v
m
µ≡
L

i) Energía por unidad de longitud

Energía 1
→ %
E≡ ≡ µ A2ω2 (J/m); A: amplitud, w: frecuencia
Longitud 2

ii) Potencia

1
→ P≡
2
µ v A2 w 2

8.9) Efecto Doppler

→ Reportado por Christian Doppler en 1842.



→ ν: relacionado al cambio aparente de la frecuencia de una fuente sonora.

→ La generalización hecha por H Fizeau en 1848 para las OEM generara
cambios trascendentales en las concepciones del universo (Hubble-
Bigbang)

ν0 νF

Observador Fuente

O: Observador: F: fuente sonora, ampliable a cualquier O sonora.

ν: Frecuencia emitida por la F y detectada por el O, ambos estacionarios.
ν': Frecuencia aparente de la F detectada por O.

v0: velocidad del O
vF: velocidad de la F
v : velocidad del sonido (∼ 340 CN)

 v ± v0 
ν' =  ν
 v m vF 

S6P22)



Si ϕ (x,t) = 0,1 sen (3,14 x -1,05t + π/12) con x y ϕ en m y t en s, es la
ecuación de una onda armónica que se propaga en una cuerda de masa 300 g
y 5m de longitud. Hallar:

a) La velocidad de la onda.
b) La velocidad de la partícula situada en x = 0,3 m y en t = 3 s.
c) Los puntos más cercanos a x = 1 m cuya diferencia de fase con éste sea π/
3.
d) La aceleración de una partícula en función del tiempo situada en x = 0,8 m.
e) La tensión en la cuerda.

Solución:

y ( x, t ) = 0,1sen { π x − 1, 05t + π /12}

m = 0,3; l = 5

λ w 1, 05
a) v ≡ ≡ λν ≡ ≡
T k π

 π
b) v y ≡ −0,1x1, 05 cos π x − 1, 05t +  , x ≡ 0,3 ∧ t ≡ 3 …
 12 

c) ∀t

x2 x≡1 x1

 π  π π
x1 : π x1 − 1, 05t +  − π (1) − 1, 05t +  ≡


{ 12   {
  12  3


1 4
x1 − 1 ≡ → x1 ≡
3 3

π 2
x2 : π − π x2 ≡ → x2 ≡
3 3

 π
d) a y ≡ 0,1x ( 1, 05 ) sen π x − 1, 05t +  , x ≡ 0,8 …
2

 12 

w T m
e) v ≡ ≡ ,µ ≡ ≡ λ →T ≡
k µ l

S6P44)



La función de onda de una onda estacionaria sobre una cuerda está dada por
y(x,t) = 0,02 sen (0,3x) cos (25t) donde x y y están en centímetros y t está en
segundos,

a) Halle la longitud de onda y la velocidad de las ondas componentes
b) ¿Cuál es la longitud de la cuerda si esta función representa la tercera
armónica?
c) ¿En qué puntos es la velocidad de la partícula permanente cero?

Solución:

y ( x, t ) ≡ 0, 02 sen { 0,3x} cos { 25t}

2π 2π
a) k ≡ 0,3 ≡ →λ ≡
λ 0, 3

w 25
v≡ ≡
k 0,3

b) L ≡ ? si yest ( x, t ) → n ≡ 3
2π 2L
λ3 ≡ ≡ → L ≡?
0,3 n = 3

c)

0 L x
λ
x1 ≡ x2 ≡λ
2

¿? Hacer maqueta experimental.

S6P18) Una cuerda con densidad lineal 5 x 10-2 kg/m se someta a una tensión
de 50N.



a) ¿Cuánta potencia debe aplicarse a la cuerda para generar ondas
senoidales de frecuencia 60 Hz y una amplitud de 60 cm?
b) Deducir las relaciones que usa.

SOLUCION:

µ ≡ λ ≡ 5 ×10−2 , T ≡ 50

a) P ≡ ?/ O s :ν ≡ 60 y A ≡ 0, 6

1 1 T
µT × A2 × ( 2π v ) ← v ≡
2
P≡ µ vA2ω 2 → P ≡ y ω ≡ 2πν
2 2 µ

1 1
50 × 5 ×10−2 × ( 0, 6 ) × ( 2π × 60 )
2 2
P≡ µ vA2ω 2 → P ≡
2 2

P ≡ 40, 41 kW

E
b) P ≡ ...?
t

¿? Hacer maqueta experimental.

S6P13) Una fuente puntual emite ondas sonoras con una salida de potencia
promedio de 80,0 W,



a) Encuentre la intensidad a 3,00 m de la fuente.
b) Encuentre la distancia a la cual el sonido se reduce a un nivel de 40
dB.

SOLUCION:

P= 80
r

P P 80
a) I ≡ A ≡ 4π r 2 ≡ → I ≡ 0, 71
4π ( 3)
2

b) r ≡ ? / β ≡ 40

I 
β ≡ 10 log   ← I 0 ≡ 10−12
 I0 

 80 
  80 × 1012
40 ≡ 10 log  4π−r 2
2
→ ≡ 104 → r ≡ 2,52 ×104
 10
1
 4π r 2
 

¿? El no escuchar una fuente sonora implica que no llegan dichas ondas
a nuestro oído.


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