Dibujo Técnico

1. GEOMETRÍA
PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

2. RAZÓN DE UNA PROPORCIÓN
Uno de los valores más importantes de la Geometría es el
concepto de medida. Utilizamos números reales para cuantificar
la magnitud de dichas medidas, o lo que es lo mismo, establecer
una relación con una magnitud fija tomada como unidad.
La comparación de 2 figuras, tamaños o cantidades a y b, queda
expresada matemáticamente como a/b (leemos a es a b) y se
conoce como razón entre dos magnitudes.
Podemos poner como ejemplo un dibujo a escala 1/10 que indica
que la comparación de un dibujo realizado con el tamaño real del
objeto indica que este último es diez veces mayor , es decir, que
nuestro dibujo es una decima parte más pequeño respecto a la
realidad (escala de reducción)
Si nuestra escala fuera 1/30.000 se trata de un plano donde las
formas reales son muy grandes y nuestro dibujo entonces tiene
una escala de gran reducción.
Una escala real seria 1/1 y una escala donde el dibujo sea mayor
que el objeto (caso de un tornillo por ejemplo) tendrá el
numerador mayor que el denominador (escala de ampliación)

3. PROPORCIÓN MATEMÁTICA
Al comparar entre sí cuatro magnitudes a, b, c y
d, dos a dos, comprobamos que se trata de una
igualdad de 2 razones.
Entonces se dice que a es a b como c es a d y se
cumple una relación de igualdad, por tanto
existe una proporción matemática.
A los términos de la primera razón a y b se les
llama antecedentes y a los de la segunda razón
c y d, consecuentes. A los términos cruzados
a y d se le llaman extremos y a los otros dos b y
c se le llaman medios.
Se dice que el producto de los términos medios
es igual al producto de los extremos

4. TEOREMA DE TALES
Tales de Mileto fue filósofo, matemático, físico y
legislador griego. Considerado uno de los grandes
sabios de la antigua Grecia y con aportaciones
especialmente importantes en el campo de la geometría.
Uno de sus teoremas dice: “ Sí dos restas coplanarias
son cortadas por un haz de paralelas, los segmentos
determinados sobre una de las dos rectas son
proporcionales a los determinados sobre la otra”
La proporcionalidad se demuestra cuando a segmentos
iguales corresponden segmentos iguales, a mayores y
menores también mayores y menores y a la suma de varios
la suma de sus correspondientes

5. 1.- DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES PROPORCIONALES O IGUALES
Divisiones iguales: Por un extremo del segmento se traza
una semirrecta auxiliar y se transportan tantas divisiones
con la misma unidad de medida como queremos dividir el
segmento.
Por las subdivisiones de esta recta auxiliar y con ayuda de
la escuadra y el cartabón trazamos paralelas a la recta que
une la última división con el extremo libre del segmento.
Divisiones proporcionales: Para dividir un segmento en
partes proporcionales a tres magnitudes dadas a, b y c
haremos lo siguiente:
1.- Sobre una semirrecta r trazada por un extremo del
segmento dado se llevan las tres magnitudes a, b y c
dadas.
2.-el extremo del último segmento se une con el extremo
libre del segmento dado y se trazan paralelas por los
extremos de las magnitudes dadas.
-

6. 2.- SEGMENTO CUARTO PROPORCIONAL A TRES SEGMENTOS DADOS
Conocidos los segmentos a, b y c , un segmento x
es
cuarto proporcional con respecto a los otros tres
cuando se verifica que:

7. 3.- SEGMENTO TERCERO PROPORCIONAL A DOS SEGMENTOS DADOS
Conocidos los segmentos a y b hablamos de
proporción continua cuando los medios o bien los
extremos son iguales.
El extremo que buscamos como tercero
proporcional es uno de los términos no repetidos.

8. 4.- SEGMENTO MEDIO PROPORCIONAL (MEDIA GEOMÉTRICA) A DOS
SEGMENTOS DADOS
Cuando los medios o los extremos de una proporción de cuatro magnitudes son iguales, se definen como
medios proporcionales de los otros dos.
La media proporcional o geométrica x es igual a la raíz cuadrada del producto de las magnitudes a y b.
Teorema de la altura
“ en todo triángulo
rectángulo, la altura
es el segmento
medio proporcional
entre los segmentos
en los que divide la
hipotenusa”
Teorema del cateto
“ cada cateto de un
triángulo rectángulo
es media proporcional
entre la hipotenusa y
su proyección sobre
ella”

9. 6.- DIVINA PROPORCIÓN, SECCIÓN O PROPORCIÓN AUREA
El número áureo (también llamado número de oro, razón extrema y media,​ razón áurea, razón
dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) es un número irracional, representado​
por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias.
La ecuación se expresa de la siguiente manera:
A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de
arquitectura y otras artes y ha sido utilizado por artistas de todas las épocas en sus
composiciones. (espiral aurea, rectángulo áureo, estructura de templos griegos, relación
entre la diagonal y el lado del pentágono…)
“Un segmento se dice que está dividido en su razón extrema y media cuando el total del
segmento es a la parte mayor como la parte mayor a la menor.” (Euclides)
“Se dice que un segmento recto ha sido dividido en media y extrema razón cuando
queda dividido en dos partes , de modo que una de ellas (el áureo) es la media
proporcional entre todo el segmento y la parte restante” (Euclides)
Artistas del Renacimiento como Leonardo da Vinci, el arquitecto romano Vitrubio entre
otros, establecen relaciones en el cuerpo humano en busca de la perfección , la belleza y
proporción ideales. Consideran relaciones entre partes del cuerpo que consideran
armónicas : “entre la altura y la distancia del ombligo al suelo”

10. 7.- RECTÁNGULO ÁUREO Y ESPIRAL ÁUREA
Conocemos muchas formas rectangulares de nuestra actividad cotidiana que tienen relación áurea entre sus lados (tarjetas
de crédito, de identidad, puertas y ventanas, formatos de papel…).
Conociendo la magnitud del lado menor de un rectángulo podemos obtener la magnitud del lado mayor para que su relación
sea áurea. Se procede así:
1.- Se traza un cuadrado de lado u=AD y con centro en el punto medio M y radio ME determinamos un punto B sobre la
prolongación del lado AD del cuadrado
2.- El segmento AB constituye el lado mayor del rectángulo áureo, esto es, el segmento total s del áureo AD dado.
Podemos dividir el rectángulo áureo en ilimitados rectángulos
semejantes y también áureos hasta obtener una espiral
logarítmica (esquema base del molusco Nautilo)

11. 9.- HALLAR LA SECCIÓN ÁUREA DE UN SEGMENTO DADO
Figura 12, sección áurea de AB. Figura 13, AB dado es sección áurea de AF. Figura 14, rectángulo áureo
Cálculo de la sección áurea de un segmento AB
Dado el segmento AB, le trazamos una perpendicular en el extremo y trazamos un arco de radio BM hasta cortar en C a la perpendicular (M es
punto medio de AB). Unimos C con A y trazamos un arco de radio CB hasta cortarlo en E. Haciendo centro en A trazamos el arco AE hasta
cortar a AB en F. AF es sección áurea de AB (Fig. 12).
Dado el segmento AB, buscar un segmento AF de modo que AB dado sea su división áurea.
Se dibuja y prolonga AB. Le trazamos una perpendicular por su extremo B. Obtenemos su punto medio M. Trazamos desde B un arco de radio
BM hasta cortar la perpendicular en D. Unimos A con D y prolongamos. Trazamos un arco de radio DB hasta cortar a la prolongación en E. Con
centro en A y radio AE trazamos un arco que corta a la prolongación de AB en F. AF es el segmento buscado –el extremo o mayor–, AB la
sección Áurea y FB el segmento menor. (Fig. 13).

12. SEMEJANZA
La semejanza es una correspondencia
biunívoca
entre figuras geométricas, de manera que los
segmentos homólogos (correspondientes) son
proporcionales y los ángulos homólogos son
iguales.
Hablamos de semejanza directa si se conserva
el sentido en el plano, e inversa en caso
contrario.
La razón de proporcionalidad entre segmentos
homólogos se denomina razón de semejanza.
Por tanto, dos figuras son semejantes o
proporcionales cuando tienen sus ángulos
iguales y sus lados proporcionales
Condiciones de semejanza (teoremas)
1/ Dos triángulos son semejantes:
a) cuando 2 ángulos de uno son iguales a 2 del otro.
b) cuando tienen un ángulo igual formado por lados proporcionales.
c) cuando tienen sus lados homólogos proporcionales.
2/ Dos polígonos son semejantes:
a) cuando se componen del mismo nºde triángulos semejantes de dos
en dos y con la misma disposición.
b) cuando todos los lados menos uno son de dos en dos proporcionales e iguales,
del mismo modo los ángulos en que no intervengan los lados exceptuados.
c) cuando sabemos que todos los ángulos menos uno del primero son
iguales respectivamente a otros tantos del segundo y que los la-
dos Que forman estos ángulos, menos los del exceptuado, son proporcionales.

13. HOMOTECIA PLANA
Se denomina homotecia de centro O ( un punto
dado) y de razón k también conocida, a la
transformación que hace corresponder a un
punto A cualquiera del plano, otro punto
homólogo A', situado en lo recta OA, tal que la
razón simple (OA´ A)=k, es decir:
OA´/OA =k
Es también una correspondencia del plano
consigo mismo. Los puntos A y A' son puntos
homólogos en la transformación y se llaman
homotéticos siendo k la razón de homotecia.
Se designa como H (O, k). (homotecia de
centro O respecto de una razón de homotecia
k.
Dos figuras homotéticas son siempre
semejantes
propiedades:
1. O, A y A´ están en línea recta.
2. Si k > O, los puntos A y A' estarán o un lado de O. (homotecia directa)
3. Si k < O, A y A' están a uno y otro lodo de O. (homotecia inversa)
4. Si k = 1, lo homotecia es una identidad.
5. Si k=-1, la homotecia es uno simetría central, donde A y A´ son simétricos
respecto de O.
6. Las rectas que pasan por O son dobles, pero no así sus puntos (si k es distinto
de 1).
7. Las rectas que no pasan por O son paralelas. ' -
8. Los ángulos homólogos son iguales.

14. CONCEPTO DE ESCALA
Al representar un objeto sobre el papel para tener el “plano
industrial” del mismo, ocurre que por su tamaño, grande o
pequeño, de acuerdo al formato utilizado, su
representación no se puede hacer con las medidas reales.
Según esto, se tienen que reducir o ampliar las medidas
reales en una misma proporción.
Proporción o escala del dibujo es la relación que existe
entre las medidas del dibujo y las medidas reales del
objeto.
Se llama también razón o proporción a la relación que
existe entre los valores numéricos de dos segmentos
rectilíneos, o lo que es lo mismo, el número que expresa el
valor de un segmento cuando el otro se toma como unidad.
La escala es el valor de un cociente:
medidas gráficas /del dibujo
escala= ----------------------------------------- = G/R
medidas del objeto real
Si G/R >1 (si el coeficiente obtenido es mayor que 1) escala ampliación
Si G/R <1 (si el coeficiente obtenido en menor que 1) escala reducción
Si G/R= 1 (si el coeficiente obtenido es igual a 1) escala natural
Para dibujar un objeto a una escala determinada bastará multiplicar por el coeficiente obtenido las
medidas correspondientes.
La escala a elegir para un dibujo, depende de la complejidad del objeto a representar y de la
finalidad de la representación. Por ej. las escalas utilizadas en topografía y cartografía son de gran
reducción.
Las escalas normalizadas en dibujo son:
Natural 1:1
Reducción 1/2, 1/5, 1/10, 1/20, 1/50, 1/100, 1/200, 1/500, 1/1000 ….. (múltiplos de 10)
Ampliación 2/1, 5/1, 10/1, 20/1, 50/1,…………..
Algunas veces necesitamos pasar un dibujo realizado a una determinada escala a otra escala
diferente. Para evitar retroceder a las medidas iniciales se utiliza la llamada escala intermedia:
Efinal= Edib X Einterm , de donde Einterm= Efinal/Edib
Ejemplo para pasar un dibujo de una escala 1/20 a una escala 1/25 ,
Einterm = 1/25 / 1/20 = 4/5