Dibujo Técnico

1. GEOMETRÍA
AREAS Y EQUIVALENCIA

2. CONCEPTO DE ÁREA
El área es un concepto métrico que permite
asignar una medida a la extensión de una
superficie. expresada en matemáticas como
unidades de medida denominadas unidades de
superficie.
Se dice que cualquier polígono (superficie plana
de lados rectos) puede triangularse, y se puede
calcular su área como suma de las áreas de los
triángulos en que se descompone.

3. ALGUNOS TEOREMAS IMPORTANTES
Para resolver gran parte de los ejercicios es necesario
considerar varios teoremas:
1º) proporcionalidad: la altura de un triángulo
rectángulo divide a este en otros dos proporcionales:
En la figura hay 3 triángulos proporcionales (de igual
forma pero distinto tamaño): el mayor ADG, el medio
CFG y el menor: ABE
El triángulo mayor ADG es igual de forma (proporcional)
al menor ABE pues como los 2 son rectángulos (tienen
un ángulo de 90º) y el ángulo A es común a los dos, el
otro ángulo (en rojo) es igual B=G. El medio CFG
también es igual (proporcional) a ambos, pues tiene el
G (en rojo) común y otro de 90º, por lo tanto C=A.

4. 2º) Teorema de Thales. Todos los ángulos inscritos
periféricos comprendidos en el arco de una
semicircunferencia son rectos.
Como el arco comprende una semicircunferencia, los
ángulos inscritos que inciden en los extremos del
diámetro son siempre rectos (valen 90°) y valen la
mitad del ángulo llano (de 180°) de la
semicircunferencia.

5. 3º) Teorema de la altura. En un triángulo (en gris) un
cateto C es a otro A como en el otro triángulo (en rojo
dentro del cuadrado), B es a C.
C/A =B/C, de ello se desprende que C.C =A.B
Por tanto, el rectángulo verde es equivalente al
cuadrado rojo.
“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la altura
sobre la hipotenusa es igual al producto de las
proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa”
El lado del cuadrado es media proporcional entre los
lados del rectángulo: el lado menor del rectángulo es
al lado del cuadrado como el lado del cuadrado es al
lado mayor del rectángulo.

6. 4º) Teorema del cateto: a.a = b. (b+c)
El cuadrado del cateto a es igual al rectángulo
determinado por la proyección b del cateto a sobre la
hipotenusa y la hipotenusa b+c.
El segmento a es a b, como b+c es a a, ya que los dos
triángulos son proporcionales, según se vio en el primer
ejercicio. Por tanto, el rectángulo rojo es equivalente al
cuadrado verde.
“En todo triángulo rectángulo cada uno de los catetos
es media proporcional entre la Hipotenusa del triángulo
y su proyección sobre ella.”

7. 5º) Figuras equivalentes Si dividimos doce cuadrados en cuatro partes iguales dado que las cuatro partes de los cuadrados son iguales de área,
tenemos que las figuras interiores son equivalentes, de esta forma todas las figuras azules son iguales entre sí, las rojas también, así como las
amarillas y las verdes. Y como cada una de estas es un cuarto del cuadrado, se tiene también que las azules son iguales a las rojas, a las
amarillas y a las verdes, en definitiva que todas son iguales de área o equivalentes.
En el cuadrado uno a lo dividimos con dos segmentos ortogonales que pasan por el centro y no hay duda de que los cuatro cuadrados internos
son iguales. Si giramos estos dos segmentos con un ángulo cualquiera estando el centro en el del cuadrado, tendremos un caso particular
como el de C4, en que las partes siempre saldrán iguales. Un caso particular de éste es el A2. En el A3 tenemos que los cuatro triángulos
tienen la misma base y la misma altura, al igual que en el A4. Combinado con este último y el A1, tenemos el B1. En el B2 tomamos la mitad de
la figura roja, que tiene por base un cuarto del cuadrado y por altura otro cuarto, con lo que la figura es la mitad, sumando otro trozo igual
tenemos la figura completa que es por tanto un cuarto del cuadrado. Lo mismo sucede con la siguiente, la B3. La B4 tiene a figuras con la
misma base y la misma altura al igual que la c2. En la C1 tenemos la mitad del caso anterior y la otra mitad dividida entre dos, mientras que en
la C3 tenemos la mitad dividida en dos partes y la otra mitad dividida en un rombo azul que se puede fragmentar en los cuatro triángulos
amarillos.

8. 6º) Teorema de las cuerdas: Según la potencia de un
punto O respecto a una circunferencia se tiene que el
producto a.b=c.d es siempre constante,
independientemente de la posición de las secantes:
OM.OM'=OF.OF´=K.
Por tanto OM es a OF como OF´ es a OM´, esto es, son
proporcionales, de lo que se deduce que siendo las
secantes proporcionales entre sí, los rectángulos son
siempre equivalentes.

9. 7º) Teorema de Ptolomeo:
En un cuadrilátero ABCD que se pueda
inscribir en una circunferencia, el producto
de sus diagonales f.e es igual a la suma de los
productos de cada par de lados opuestos del
cuadrilátero (a.b)+(c.d).
La suma de los rectángulos obtenidos es
equivalente al rectángulo formado por sus
diagonales.

10. 8º) Teorema de Pitágoras:
La hipotenusa al cuadrado es igual a un
cateto al cuadrado más el otro cateto al
cuadrado.
Según esto, el área del cuadrado mayor es
igual (o equivalente) a la suma de los otros
dos. De igual forma el área del cuadrado
mayor menos el de otro cuadrado menor es
igual al otro cuadrado, etc.
De la misma forma los círculos inscritos en
los cuadrados cumplen la misma condición
que los cuadrados en el teorema: el área
sumada de los dos círculos menores B C es
igual al área del círculo mayor A.

11. Demostración gráfica: En el caso número uno, si al cuadrado ABCD le restamos cuatro triángulos (en el dibujo en color violeta)
tenemos dos cuadrados que en el dibujo aparecen en color azul y rojo.
En el caso número dos, si el mismo cuadrado le restamos los mismos triángulos violetas pero según esta otra disposición,
tenemos otro cuadrado que en el dibujo aparece en color amarillo.
En los dos casos como hemos restado únicamente cuatro triángulos violetas al mismo cuadrado hemos obtenido primero dos
cuadrados azul y rojo y luego otro cuadrado amarillo, con lo que tenemos que los dos primeros cuadrados y el segundo son
equivalentes.
En el caso número tres observamos gráficamente la representación del teorema de Pitágoras que dice que la hipotenusa al
cuadrado es igual a un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado, o lo que es lo mismo, que el área del cuadrado azul
más el área del cuadrado rojo es igual al área del cuadrado amarillo. En el dibujo verificamos que es cierto, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los catetos, dejando ver en el centro de los tres triángulos el
triángulo rectángulo en color blanco.

12. 9º) El teorema de Pitágoras por Dudeney:
Si hacemos dos rectas perpendiculares que pasen por el centro del cuadrado
amarillo y las cuatro partes en que lo dividen las disponemos como en el
cuadrado azul, el cuadrado interno que queda en violeta es tal que sumada su
área al área del amarillo es igual al área del azul.

13. 10º) Teorema de Pappus: Dado un triángulo amarillo
a, se trata de construir sobre dos de sus lados, dos
paralelogramos bc y obtener otro m cuya área sea la
suma de los dos anteriores. Dibujamos los
paralelogramos, y prolongamos sus lados superiores
rs hasta que se corten en un punto T, por éste
trazamos una recta que pase además por V, vértice
superior del triángulo a.
Por la base del triángulo trazamos en sus extremos JK
rectas paralelas a la anterior VT, donde éstas cortan a
los lados sr del paralelogramo, obtenemos YL por
donde pasa el lado superior m del paralelogramo que
queríamos obtener. Unimos sus extremos YL con JK y
ya tenemos la figura m.
La figura m es equivalente a la suma de los
paralelogramos bc.
“Si en un par de rectas se escogen tres puntos al azar
en cada una y se unen dos a dos, las intersecciones de
las rectas que los unen estarán en una línea recta.

14. Demostración gráfica: en el dibujo uno trazamos los paralelogramos y prolongamos sus lados superiores, de
esta manera obtenemos en el dibujo número dos otros dos paralelogramos que son equivalentes a los
anteriores por tener la misma área: el amarillo es equivalente al de color rosa y el verde es equivalente al de
color azul. Por último en el apartado tres obtenemos otros dos paralelogramos en color violeta y marrón que
son respectivamente equivalentes a los dos últimos, ya que tienen la misma base y la misma altura. En
consecuencia, si sumamos las áreas de los paralelogramos amarillo y verde son exactas a los
paralelogramos violeta y marrón, que es lo que se quería demostrar.

15. FIGURAS EQUIVALENTES
Dos figuras son equivalentes cuando tienen
distinta forma pero ocupan igual superficie,
ocurriendo que una de ellas
puede tener un número de lados distinto a la
otra , pero ambas tendrán el mismo área.

16. A.- TRIÁNGULO EQUIVALENTE A OTRO DADO DE IGUAL
BASE.
Como el área de un triángulo es igual al
semiproducto de la base por la altura, y
dado que la longitud de la base nos se altera
la altura debe ser la misma para el triángulo
equivalente.
Así pues caben infinitas soluciones
1. Trazar una recta paralela al lado base del
triángulo dado (AB) por su vértice opuesto
(C).
2. Coger cualquier punto (C') de la paralela
anterior como vértice del nuevo triángulo.
3. Unir el punto anterior (C') con los vértices
del primer triángulo obteniendo así su
equivalente. en P y radio la distancia de P a
uno de los puntos.

17. B.- POLÍGONO EQUIVALENTE A OTRO DADO, CON UN
LADO MENOS.
1. Prolongar el lado base (AB) desde el
primer vértice (A) y trazar la diagonal que
pase por este vértice (A) hasta el penúltimo
(D).
2. Dibujar una paralela a la diagonal anterior
desde el último vértice del polígono (E) hasta
que corte a la prolongación en el punto A’.
3. El punto A' es el primer vértice del nuevo
polígono, los restantes vértices son: B, C y
D.

18. C.- TRIÁNGULO EQUIVALENTE A OTRO DADO DE
DISTINTA BASE.
1. Sobre la base (AB) del triángulo dado colocar a partir del
primer vértice (A) la otra base dada (AD).
2. Trazar una paralela por el vértice opuesto a la base (C), y
una perpendicular a la base por uno de sus extremos (A)
hasta que corte a la paralela anterior (E).
3. Unir mediante una recta el punto anterior (E) con el
vértice de la otra base (D) y desde el extremo de la base del
triángulo (B) trazar una paralela a recta ED hasta que corte a
la perpendicular en el punto F.
4. Trazar una paralela por el punto anterior (F) a la base AD y
tomar cualquier punto de dicha paralela como vértice del
nuevo triángulo (C’).
5. Sólo queda completar el triángulo equivalente uniendo el
anterior punto (C') con los vértices de su base (AD).

19. D.- TRIÁNGULO EQUIVALENTE A UN CUADRADO.
1. Tomar el lado base del cuadrado (AB) y centrando en
su punto medio trazar una semicircunferencia que pase
por los vértices opuestos.
2. Esta semicircunferencia cortará a la prolongación del
lado base en dos puntos (E y G); trasladar la medida del
segmento, determinado por un vértice de la base y el
extremo de la semicircunferencia más cercano a éste
(BE), dos veces sobre uno de los lados verticales del
cuadrado, obteniendo el vértice F.
3. Por el punto anteriormente hallado (F) trazar una recta
paralela a la base del cuadrado; tomando cualquier punto
de dicha paralela tendremos un vértice del triángulo
equivalente,
los otros dos serán un punto de la base del cuadrado y el
extremo más alejado de la semicircunferencia.

20. E.- TRIÁNGULO EQUIVALENTE A UN PENTÁGONO
1. Trazar las diagonales desde los vértices de la base (AB)
al vértice opuesto (D).
2. Prolongar la base en ambos sentidos y por los vértices
libres del pentágono (E y C) trazar paralelas a las
diagonales anteriores; éstas cortarán a la prolongación de
la base en dos puntos (F y G).
3. Los puntos anteriores (F y G) serán los vértices de la
base del triángulo,

21. F.- TRIÁNGULO EQUIVALENTE A UN HEXÁGONO
1. Levantar por un extremo de la base (B) una
perpendicular hasta el vértice D; prolongar
la base en ambos sentidos.
2. Por el vértice F trazar una paralela a la perpendicular
anterior hasta cortar a la prolongación
de la base (AB) en el punto G.
3. Centrar en el vértice de la base por el que pasa la
perpendicular (B) y trazar una circunferencia
que pasando por el punto G cortará a la prolongación de
la base en el punto P.
4. Éste último punto (P) es uno de los vértices del
triángulo, los otros dos serán G y D.

22. G.- RECTÁNGULO EQUIVALENTE A UN TRIÁNGULO DADO.
1. Trazar la mediatriz a la altura de la base del
triángulo y por los extremos A y B de dicha base
levantar perpendiculares, las cuales cortarán a la
mediatriz anterior en dos puntos (D y E).
2. Los puntos anteriores (D y E) junto con los vértices
de la base del triángulo (A y B) forman los cuatro
vértices del paralelogramo rectángulo.
Si la base es la misma la altura debe ser la mitad.
Si la altura es la misma la base debe ser la mitad.

23. H.- RECTÁNGULO EQUIVALENTE A UN CUADRADO DADO,
CONOCIDO UN LADO
1. Sobre el lado AB del cuadrado se
transporta la magnitud del lado del
rectángulo dado y se une mediante una recta
el extremo de este segmento con el vértice D
del cuadrado.
2. Se traza la mediatriz al segmento anterior
que cortará a la prolongación del lado AB en
el punto O
3. Centrando en este punto (O) se traza una
semicircunferencia que pasará por D y por el
extremo del lado b, cortando a la
prolongación y determinando el lado del
rectángulo equivalente, sólo queda
transportar ortogonalmente el lado b dado.

24. I.- RECTÁNGULO EQUIVALENTE A OTRO DADO CONOCIDA
LA BASE.
Primer procedimiento:
1. Colocar la longitud de la base dada (MN) sobre la base del rectángulo conocido (AB).
2. Tomado como altura del rectángulo el lado AD, unir mediante una recta el extremo de la
base dada (N) con el vértice de la altura (D)
3. Trazar una paralela al segmento anterior (DN) por el vértice de la base del rectángulo
conocido (B) hasta que corte a la lado Ad en un punto (Q).
4. El segmento MQ es el lado del rectángulo buscado.
Segundo procedimiento:
1. Sea el rectángulo ABCD y b la base del rectángulo equivalente que se desea construir,
se prolonga la base del rectángulo dado y se le suma la otra base (b) obteniendo
el punto E.
2. Se prolonga el lado AD y se une mediante una recta los vértices E y C hasta que
corte a la prolongación anterior en el punto F.
3. El segmento DF es la altura del rectángulo equivalente, trazando una perpendicular
por E a la base del rectángulo y prolongando el lado DC se obtiene el punto G.
4. Sobre la base CG se construye el rectángulo equivalente.

25. J.- RECTÁNGULO Y CUADRADO EQUIVALENTES A UN ROMBO
DADO.
1.Trazar las diagonales al rombo dado.
2. La diagonal mayor se corresponde con el lado
mayor del rectángulo.
3. El lado menor del rectángulo se corresponde
con la mitad de la diagonal menor.
4. El lado del cuadrado se obtiene prolongando
desde A la diagonal mayor perpendicularmente y
hallando el punto medio de D a S. Después se
coge como lado del cuadrado la distancia de A
hasta el arco que tracemos con centro en ese
punto medio.

26. K.- CUADRADO EQUIVALENTE A UN RECTÁNGULO.
1. Trazar una semicircunferencia de centro la mitad
de la base del rectángulo
y que pase por los extremos (AB).
2. Trazar un arco que pase por el vértice C y de
centro el vértice B de la base, hasta que corte a ésta
en un punto (F).
3. Por el punto anterior (F) levantar un perpendicular
que cortará a la semicircunferencia anterior en un
punto (E).
4. Prolongar el lado (BC) del rectángulo y centrar en
su vértice B trazando un arco que pase por el punto
anterior (E) hasta que corte a la prolongación
en G.
5. El segmento BG (lado del cuadrado) es la media
proporcional entre la base del rectángulo y su altura.

27. L.- CUADRADO EQUIVALENTE A UN TRIÁNGULO DADO.
Primer Procedimiento.
1.Construir un rectángulo equivalente al triángulo dado
2. Sólo resta construir un cuadrado equivalente a un rectángulo.
El resultado es la media proporcional entre la base del triángulo y la
mitad
de su altura.
Segundo Procedimiento
1.Construir un rectángulo equivalente al triángulo dado.
2. Prolongar la base del rectángulo por uno de sus vértices (B) y
centrando en éste trazar un arco que pase por el vértice (M) del lado
perpendicular a dicha base por dicho punto, hasta que corte a la
prolongación de la base en un punto (P).
3. El punto anterior (P) junto al otro vértice de la base (A) forman un
segmento el cual será el diámetro de una semicircunferencia.
4. Prolongar el lado del rectángulo (BM) utilizado para trazar el primer
arco, hasta que corte a la semicircunferencia anterior en un punto (D),
que será el vértice del cuadrado, siendo el lado el segmento BD. Sólo
resta construir el cuadrado utilizando el lado anterior.

28. M.- CUADRADO EQUIVALENTE A OTROS DOS DADOS
1.Se disponen dos segmentos ortogonalmente
siendo sus magnitudes igual al lado de cada uno de
los cuadrados dado (a y b).
2. Se completa el triángulo rectángulo, cuyos catetos
serán los lados anteriores y la hipotenusa el lado del
cuadrado buscado.
3. Se construye el cuadrado disponiendo el dos de los
lados perpendicularmente y otro paralelo respecto
de la hipotenusa anterior . Observa que se cumple el
teorema de Pitágoras para los triángulos rectángulos.
a2 + b2 = c2

29. N1.- CUADRADO EQUIVALENTE A UN CÍRCULO
Todos los métodos hasta ahora son aproximados, puesto
que la cuadratura del círculo no tiene solución exacta en
ningún caso.
*Primer Método:
1.Dividir el diámetro (AB) de la circunferencia en 7 partes
iguales (rectificación de la circunferencia) y centrando en
los extremos trazar arcos que pasen por la tercera división
(A3 y B3) que cortarán a la prolongación del diámetro en
los puntos D y C..
2. Trazar una semicircunferencia de diámetro CD y
construir una perpendicular a dicho diámetro por uno de
los extremos de la circunferencia (B) hasta que corte a la
semicircunferencia en el punto E. 3º) El segmento BE es el
lado del cuadrado buscado.

30. N2.- CUADRADO EQUIVALENTE A UN CÍRCULO
*Segundo Método:
1.Obtener la rectificación de la semicircunferencia
determinando el segmento MN.
2. Sumar al segmento obtenido (MN) la longitud del radio
de la circunferencia obteniendo el punto S.
3. Calcular la media proporcional a los segmentos SM y
MN, obteniendo el segmento MP.
4. El segmento anterior (MP) es el lado del cuadrado
buscado.

31. Ñ.- CUADRADO EQUIVALENTE A UN CÍRCULO
*Segundo Método:
1.Obtener la rectificación de la semicircunferencia
determinando el segmento MN.
2. Sumar al segmento obtenido (MN) la longitud del radio
de la circunferencia obteniendo el punto S.
3. Calcular la media proporcional a los segmentos SM y
MN, obteniendo el segmento MP.
4. El segmento anterior (MP) es el lado del cuadrado
buscado.

32. EJERCICIO EJEMPLO
Dado un cuadrado de lado l4 dibujar un pentágono equivalente al cuadrado.
Aunque se puede utilizar otro método más directo (perímetro y apotema)
hemos optado por construir el triangulo equivalente y el rectángulo después.
A partir del rectángulo hemos hallado un cuadrado auxiliar que nos ha servido
para construir por semejanza el definitivo con el valor del lado que nos dan y
utilizando como centro de la transformación el punto A.

33. PROPUESTA DE EJERCICIOS
1.- Dibujar un cuadrado y un círculo que tenga por área el doble, el triple, el cuádruple ,…de otro cuadrado y círculo dados
2.- Dibujar un cuadrado que tenga por área la suma de otros dos
3.- Dibujar el cuadrado que tenga por área la suma de otros tres
4.- Dibuja un círculo que tenga por área la suma de otros dos