Este documento presenta información sobre los números enteros. Explica que los números negativos fueron rechazados por matemáticos en el pasado y cómo surgieron de necesidades comerciales y de medición. Luego define los números enteros como el conjunto Z que incluye todos los números naturales y sus opuestos, y describe propiedades básicas como la suma, resta, multiplicación, división y exponenciación de números enteros.

1. LOS NUMEROS

2. NUMEROS ENTEROS
Por muchos, muchos años en tiempos
pasados, hasta los más famosos
matemáticos en Europa se negaron a aceptar
la existencia de números negativos. Los
llamaban números absurdos.
La necesidad de los números negativos
pudo haber surgido por pérdidas en el
comercio y…

3. NUMEROS ENTEROS
Por dividir la Tierra en pedacitos:

4. NUMEROS ENTEROS
Medir el ángulo de inclinación de la Tierra
que da origen a las estaciones:

5. NUMEROS ENTEROS
Por medir las temperaturas en desiertos,
mares, montañas, ….

6. NUMEROS ENTEROS
Se fijó el nivel del mar para realizar
medidas submarinas y sobre la tierra.

7. NUMEROS ENTEROS
Todo número natural tendrá un simétrico
en el conjunto de los números enteros. (Z)
Z = { ∞, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … ∞}

8. NUMEROS ENTEROS
El conjunto de los números enteros se
describe como:
Z = { ∞, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … ∞}
Representación gráfica de los números
enteros:

9. NUMEROS ENTEROS
¿Qué existe entre el -3 y el -2?
¿Qué existe entre el 3 y el 4?
No existe nada

10. NUMEROS ENTEROS
Con los números enteros se cumple:
La igualdad =
Se pueden ordenar:
El antecesor de un número es el menor (<)
Así -5 < -4, -4 < -3, 2 < 3, 1 < 2 y 0 < 1
El sucesor de un número es el mayor (>)
Así -4 > -5, -3 > -4, 3 > 2, 2 > 1 y 1 > 0

11. NUMEROS ENTEROS
Suma (+) de números enteros:
Al sumar juntamos varios valores en uno
solo.
Cantidades del mismo signo se suman
manteniendo su signo.

12. NUMEROS ENTEROS
Suma (+) de números enteros:
Al sumar juntamos varios valores en uno
solo.
La suma de dos números enteros es siempre
un número entero.
-8, 8 y 2
pertenecen a los
enteros

13. NUMEROS ENTEROS
Suma (+) de números enteros:
Propiedades: CONMUTATIVA
Al sumar dos números enteros da lo mismo
colocar primero el uno o el otro

14. NUMEROS ENTEROS
Suma (+) de números enteros
Propiedades: ASOCIATIVA
Para sumar tres o más números enteros
podemos hacerlo agrupándolos de formas
diversas, obtendremos el mismo resultado.

15. NUMEROS ENTEROS
Suma (+) de números enteros
Propiedades: ELEMENTO NEUTRO
Existe un número entero 0, que al ser sumado
a cualquier otro número entero da como
resultado ese mismo número.
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/naturales1/propieda.htm

16. NUMEROS ENTEROS
Multiplicación (*) de números enteros
Al multiplicar sumamos reiteradamente la
primera (multiplicando) tantas veces
como indica la segunda (multiplicador)
dando un solo resultado (producto).
4 * 3 = 4 + 4+ 4
A la operación multiplicar también se le
llama producto.
La multiplicación está asociada al concepto de
área geométrica. A

17. NUMEROS ENTEROS
Multiplicación (*) de números enteros
Al multiplicar dos números de signo
contrario el resultado es un número
negativo.
(+)(-) = (-)
Al multiplicar dos números del mismo
signo el resultado es un número positivo.
(-)(-) = (+)

18. NUMEROS ENTEROS
Producto (*) de números enteros
Propiedades:
La Multiplicación de dos números enteros es
siempre un número entero.
4 * 7 = 28
28 pertenece a N
-9 * 5 = -45
-45 pertenece a N

19. NUMEROS ENTEROS
Producto (*) de números enteros
Propiedades: CONMUTATIVA
Al multiplicar dos números enteros da lo
mismo colocar primero el uno o el otro
4 * 7 = 28
7 * 4 = 28
-2 * 5 = -10
5 * -2 = -10
-2 * -8 = 16
-8 * -2 = 16

20. NUMEROS ENTEROS
Producto (*) de números enteros
Propiedades: ASOCIATIVA
Para multiplicar tres o más números enteros
podemos hacerlo agrupándolos de formas
diversas, obtendremos el mismo resultado.
3 * (4 * 7) = 3 * 28 = 84
(3 * 4) * 7 = 12 * 7 = 84
6 * (9 * 5) = 6 * 45 = 270
(-6 * 9) * (-5) = -54 * (-5) = 270

21. NUMEROS ENTEROS
Producto (*) de números enteros
Propiedades: ELEMENTO NEUTRO
Existe un número entero 1, que al ser
multiplicado a cualquier otro número
natural da como resultado ese mismo
número.
4 * 1 = 4 -25 * 1 = -25

22. NUMEROS ENTEROS
Propiedad Distributiva del producto
respecto de la suma
Se multiplica el multiplicando por cada uno
de los sumandos y se simplifica.
-4 * (1 + 4) = -4 * 1 - 4 * 4 = -4 - 16 = - 20
(3 + 5) * 2 = 3 * 2 + 5 * 2 = 6 + 10 = 16

23. NUMEROS ENTEROS
Producto (*) de números enteros
Ejercicios:

24. NUMEROS ENTEROS
Exponenciación
Una potencia es un modo abreviado de escribir un
producto de un número por sí mismo
3*3*3*3*3 = 35
(-3)(-3)(-3)(-3)(-3) = (-3)5
En la expresión de la potencia de un número
consideramos dos partes:
1. La base es el número que se multiplica por sí
mismo (en este caso: 3 ó -3)
2. El exponente es el número que indica las veces
que la base aparece como factor. (en este caso 5)

25. NUMEROS ENTEROS
Exponenciación
(-3)(-3)(-3) = (-3)3
(-3)3
≠ -33

26. NUMEROS ENTEROS
Exponenciación Propiedades
Producto de potencias de la misma base.
Para multiplicar varias potencias que tienen la
misma base podemos transformarlo en una
sola potencia.
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/potencia/producto.htm

27. NUMEROS ENTEROS
Exponenciación Propiedades
Cociente de potencias de la misma base.
Para dividir dos potencias que tienen la
misma base podemos transformarlo en una
sola potencia.
La potencia del
numerador debe
ser mayor o
igual a la
potencia del
denominador.

28. NUMEROS ENTEROS
Exponenciación Propiedades
Potencia de exponente 0.
Una potencia de exponente 0 vale 1.

29. NUMEROS ENTEROS
Exponenciación Propiedades
Potencia de exponente negativo.
Una potencia de exponente negativo equivale
al inverso de esa potencia con exponente
positivo.
No esta definida
dentro del conjunto
de los Naturales

30. NUMEROS ENTEROS
Exponenciación Propiedades
Potencia de una potencia.
Para elevar una potencia a otra potencia
podemos transformarlo en una sola
potencia simple.

31. NUMEROS ENTEROS
Exponenciación Propiedades
Potencia de un producto.
Un exponente afecta globalmente a un
producto de varios factores

32. NUMEROS ENTEROS
Exponenciación Propiedades
Potencia de una división.
Si a, n, m son un números naturales entonces:
(Si se dividen dos bases distintas a la misma
potencia se puede factorizar la potencia)

33. NUMEROS ENTEROS
Exponenciación Ejercicios
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/potencia/prueba.htm

34. NUMEROS ENTEROS
Exponenciación Ejercicios
Efectuar:

35. NUMEROS ENTEROS
Resta (-) de números enteros
La resta es la operación contraria a la suma.
No está completamente definida dentro del
conjunto de los números naturales
Los términos de la resta se llaman
minuendo y substraendo, el resultado se
llama diferencia.
Minuendo
- Sustraendo
Diferencia

36. NUMEROS ENTEROS
Propiedades de la resta (-) de números
enteros.
La resta no tiene las propiedades de la suma.
La resta no es una operación interna en el
conjunto de los números naturales

37. NUMEROS ENTEROS
Resta (-) de números enteros
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/naturales1/restas.htm
INTERPRETACI
ON GRAFICA DE
LA RESTA

38. NUMEROS ENTEROS
Resta (-) de números enteros
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/naturales1/3x3arn.htm

39. NUMEROS ENTEROS
Resta (-) de números enteros
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/naturales1/3x3rn3x3.htm

40. NUMEROS ENTEROS
División (/ ó :) de números enteros
La división es la operación contraria a la
multiplicación.
No está completamente definida dentro del
conjunto de los números naturales
La división es la operación que tenemos que
hacer para repartir un numero de cosas
entre un número de cosas.
NACE POR
LA
NECESIDAD
DE
REPARTIR

41. NUMEROS ENTEROS
División (/ ó :) de números enteros
 Los términos de la división se llaman dividendo
(el número de cosas) y divisor (no nulo) (se
reparten), el resultado se llama cociente (número
que le corresponde a cada cosa) y pudiera haber o
no un residuo (lo que sobra) cuando la división no
es exacta.
 Para que la división de números naturales se pueda
realizar debe cumplirse:
Dividendo > Divisor

42. NUMEROS ENTEROS
Propiedades de la División (/ ó :) de
números enteros.
La división no tiene las propiedades de la
multiplicación.
La división no es una operación interna en el
conjunto de los números naturales

43. NUMEROS ENTEROS
División (/ ó :) de números enteros
Dividendo > Divisor

44. NUMEROS ENTEROS
División (/ ó :) de números enteros
Hay que repartir 60 hojas de papel carta a 4
personas. ¿Cómo lo harías?
REPARTO
División exacta

45. NUMEROS ENTEROS
División (/ ó :) de números enteros
Hay que repartir 17 lapiceros entre 3
personas. ¿Cómo lo harías?
REPARTO
División inexacta

46. NUMEROS ENTEROS
División (/ ó :) de números enteros
Realizar la división e indicar si es exacta o
inexacta.
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/divisibilidad/division.htm

47. NUMEROS ENTEROS
Radicación ( ) de números enteros
La radicación es la operación contraria a la
exponenciación
La radicación no está completamente definida
dentro de los números naturales.
La radicación no es una operación interna en el
conjunto de los números naturales
3 5

48. NUMEROS ENTEROS
Radicación ( ) de números enteros
3 es el índice 8 es el radicando y 2 es el resultado de
la radicación.
3 5

49. NUMEROS ENTEROS
Radicación ( ) de números enteros
Propiedad distributiva.
3 5

50. NUMEROS ENTEROS
Radicación ( ) de números enteros
Tabla de potencias / radicacion.
3 5

51. NUMEROS ENTEROS

52. NUMEROS ENTEROS

53. NUMEROS ENTEROS

54. NUMEROS ENTEROS
De los números Enteros a los números
Racionales
A pesar de que muchas actividades del
Hpmbre quedaron cubiertas con los
números naturales, quedaron muchas
actividades que necesitan un nuevo
conjunto de números: los números
RACIONALES

55. NUMEROS ENTEROS
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Naturales_complejos/index1.htm

56. BIBLIOGRAFIA
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didactico
http://www.rena.edu.ve/