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Números enteros
Los números enteros son elementos de un conjunto de números que reúne a
los positivos (1, 2, 3,...), a los negativos opuestos de los anteriores: (..., −3, −2, −1)
y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres»,
etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para
resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un
signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al
número se asume que es positivo. Si se considera ℕ = { 1,2,3,...} 1 , entonces un
entero natural es un entero positivo y el conjunto ℕ es parte propia de conjunto ℤ.
El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2,
−1, 0, +1, +2, +3, ...}, letra inicial del vocablo alemán Zahlen («números»,
pronunciado [ˈtsaːlən]).
Al igual que los números naturales, los números enteros
pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los
primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también
el signo del resultado.
Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar
cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80
alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último
curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos
menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100
= −20 alumnos.
También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores
por debajo del cero. La altura del Everestes 8848 metros por encima del nivel del
mar, y por el contrario, la orilla del mar Muerto está 423 metros por debajo del
nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.
Operaciones con números enteros:
Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que
puede hacerse con los números naturales.
Suma:
En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el
tamaño del círculo y su color. En la suma de dos números enteros, se determina
por separado el signo y el valor absoluto del resultado.
Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del
resultado del siguiente modo:
 Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del
resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los
sumandos.
 Si ambos sumandos tienen distinto signo:
 El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor
absoluto.
 El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor
absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.
Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) +
(−28) = −61
La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de
números naturales:
La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:
 Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las
sumas(a + b) + c y a + (b + c) son iguales.
 Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las
sumas a + b y b + a son iguales.
 Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al
sumarles 0: a + 0 = a.
Resta:
La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular
de la suma.
La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se
realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo.
Ejemplos
(+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15
(−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13
(−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4
(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7
Multiplicación:
La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar
por separado el signo y valor absoluto del resultado.
En la multiplicación (o división) de dos números enteros se determinan el valor
absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera:
 El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.
 El signo es «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son
distintos.
Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:
Regla de los signos
 (+) × (+)=(+) Más por más igual a más.
 (+) × (−)=(−) Más por menos igual a menos.
 (−) × (+)=(−) Menos por más igual a menos.
 (−) × (−)=(+) Menos por menos igual a más.
Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) =
+18.
La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la
de números naturales:
La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades:
 Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, los
productos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales.
 Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, los
productos a × b y b × a son iguales.
 Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al
multiplicarlos por 1: a × 1 = a.
La división de números enteros: es la operación inversa de la multiplicación.
Dividendo: divisor = cociente.
Divisor · cociente = Dividendo
Dividir es hallar el número por el que se debe multiplicar al divisor para obtener
el dividendo. En la división de números enteros se cumple la misma norma de
signos que en la multiplicación.
(+) : (+) = +
(+) : (-) = -
(-) : (+) = -
(-) : (-) = +
La división no es una operación interna en el conjunto de los números enteros.
Es decir, al dividir dos números enteros puede ser que no resulte otro número
entero. Además nunca se puede dividir por el número 0. No obstante, en estos
ejercicios aparecen siempre divisiones posibles y que dan de resultado números
enteros.
Números de fracciones:
En matemáticas, una fracción, número fraccionario, es la expresión de una
cantidad dividida entre otra cantidad; es decir que representa un cociente no
efectuado de números. Por razones históricas también se les llama fracción
común, fracción vulgar o fracción decimal. El conjunto matemático que contiene a
las fracciones es el conjunto de los números racionales, denotado ℚ. De manera
más general, se puede extender el concepto de fracción a un cociente cualquiera
de expresiones matemáticas (no necesariamente números).

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  • 1. Números enteros Los números enteros son elementos de un conjunto de números que reúne a los positivos (1, 2, 3,...), a los negativos opuestos de los anteriores: (..., −3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo. Si se considera ℕ = { 1,2,3,...} 1 , entonces un entero natural es un entero positivo y el conjunto ℕ es parte propia de conjunto ℤ. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, letra inicial del vocablo alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]). Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado. Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos. También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero. La altura del Everestes 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m. Operaciones con números enteros: Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse con los números naturales.
  • 2. Suma: En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el tamaño del círculo y su color. En la suma de dos números enteros, se determina por separado el signo y el valor absoluto del resultado. Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:  Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.  Si ambos sumandos tienen distinto signo:  El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.  El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos. Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61 La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales: La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:  Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas(a + b) + c y a + (b + c) son iguales.
  • 3.  Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a son iguales.  Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a + 0 = a. Resta: La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma. La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo. Ejemplos (+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 (−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 (−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4 (+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7 Multiplicación: La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor absoluto del resultado. En la multiplicación (o división) de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera:  El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.  El signo es «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son distintos.
  • 4. Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos: Regla de los signos  (+) × (+)=(+) Más por más igual a más.  (+) × (−)=(−) Más por menos igual a menos.  (−) × (+)=(−) Menos por más igual a menos.  (−) × (−)=(+) Menos por menos igual a más. Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18. La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números naturales: La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades:  Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, los productos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales.  Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, los productos a × b y b × a son iguales.  Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al multiplicarlos por 1: a × 1 = a. La división de números enteros: es la operación inversa de la multiplicación. Dividendo: divisor = cociente. Divisor · cociente = Dividendo Dividir es hallar el número por el que se debe multiplicar al divisor para obtener el dividendo. En la división de números enteros se cumple la misma norma de signos que en la multiplicación.
  • 5. (+) : (+) = + (+) : (-) = - (-) : (+) = - (-) : (-) = + La división no es una operación interna en el conjunto de los números enteros. Es decir, al dividir dos números enteros puede ser que no resulte otro número entero. Además nunca se puede dividir por el número 0. No obstante, en estos ejercicios aparecen siempre divisiones posibles y que dan de resultado números enteros. Números de fracciones: En matemáticas, una fracción, número fraccionario, es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad; es decir que representa un cociente no efectuado de números. Por razones históricas también se les llama fracción común, fracción vulgar o fracción decimal. El conjunto matemático que contiene a las fracciones es el conjunto de los números racionales, denotado ℚ. De manera más general, se puede extender el concepto de fracción a un cociente cualquiera de expresiones matemáticas (no necesariamente números).