Este documento explica los números naturales y enteros. Define los números naturales como el conjunto N que incluye los números 0, 1, 2, 3, etc. Explica sus propiedades como la conmutatividad, asociatividad y modularidad para la suma y multiplicación. Luego introduce los números enteros Z, que incluyen números positivos y negativos, y explica cómo se representan en la recta numérica. Finalmente, describe las propiedades de las operaciones básicas como la suma, resta, multiplicación, división y potenciación para los números enteros.

1. Gustavo A Gaines *NÚMEROS NATURALES *NÚMEROS ENTEROS

2. GRADO SEXTO NÚMEROS NATURALES NÚMEROS ENTEROS

3. NÚMEROS NATURALES Representado por el símbolo N, y su conjunto se define como: N = ( 0,1,2,3,4,5,6…… ) REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA Se traza una semirrecta, cuyo origen corresponde al punto cero, colocando a cierta distancia el número 1,luego el 2,3 y así sucesivamente. 0 1 2 3 4 5 6 7 8

4. PROPIEDADES DE LA SUMA. * PROPIEDAD CONMUTATIVA: El orden de los sumandos, 102+36=36+102 no altera o cambia el resultado. 138 *PROPIEDAD ASOCIATIVA: En la suma se pueden agrupar ( 38+12)+10 o 38+(12+10) o asociar varios términos en la 50+10 38+22 forma que desee y el resultado 60 = 60 no cambia. *PROPIEDAD MODULATIVA: Si a un número le sumamos el 380+0 = 0+380 número cero nos da el mismo 380 = 380 número.

5. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN * PROPIEDAD CONMUTATIVA: El orden de los factores no 4x3 o 3x4 altera el producto. 12 = 12 *PROPIEDAD ASOCIATIVA: Para multiplicar varios números 25x8x7 naturales podemos agruparlos (25x8)x7=25x(8x7) o asociarlos en la forma que desee 200x7=25x56 y el resultado no cambia. 1400=1400 *PROPIEDAD MODULATIVA: Al multiplicar cualquier número 45x1 = 1x45 natural por 1 nos da el mismo número. 45 = 45

6. DIVISIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES La división es la operación inversa a la multiplicación. TÉRMINOS DE LA DIVISIÓN *DIVIDENDO: Es el número que va a dividir. *DIVISOR: Indica la cantidad de partes en que va a dividir. *COCIENTE: Indica la cantidad que posee cada una de las partes. *RESIDUO: Representa la cantidad que sobra. DIVIDENDO 215 8 DIVISOR 55 25 RESIDUO 15 COCIENTE

7. POTENCIACIÓN Es una multiplicación abreviada. 2x2x2x2 = 2 4 :Donde 2 es la base, 4 el exponente y 2 4 la potencia *BASE: Número que se multiplica por si mismo n veces. *EXPONENTE: Número de veces que se multiplica el número por si mismo. *POTENCIA: Resultado de multiplicar un número por si mismo. EXPONENTE 3 4 = 81 =3x3x3x3 BASE POTENCIA

8. PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN * PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE: El producto de potencias de igual base, cuya base es la misma de los factores y el exponente es la suma de los exponentes. 2 3 x 2 2 =(2x2x2)x (2x2) =32 *POTENCIA DE UNA POTENCIA: Al hallar la potencia se obtiene una potencia que tiene la misma base y por exponente el producto de los exponentes. ( 2 3 ) 4 = 2 3 x 2 3 x 2 3 x 2 3 = 2 12

9. RADICACIÓN Es la operación inversa a la radicación que consiste en hallar la base cuando se conoce la potencia y el exponente. En forma de raíz inversa la potenciación es: INDICE RAIZ 4 81 = 3 SUBRADICAL *RAIZ CUADRADA: Cuando el índice es 2, raíz se llama raíz cuadrada y no se escribe tal índice. EJ: raíz cuadrada de 36 es 6 ( 36 =6 ) *RAIZ CÚBICA: En forma de raíz se escribe 3 8 =2 y se lee “raíz cúbica de 8 es 2.

10. LOGARITMACIÓN Consiste en hallar el exponente cuando se conoce la base y la potencia. Log 2 16 = 4 porque 2 4 = 16 El término desconocido es el exponente de la expresión y se calcula hallando el logaritmo en base 2 de 16, éste número es 4 porque se debe buscar un número tal que 2 elevado a dicho número de 16 como potencia.

11. ACTIVIDADES ¿Al sumarse cualquier natural con el cero, el resultado da el mismo natural? FALSO VERDADERO

12. INCORRECTO

13. MUY BIEN

14. ¿Esta operación cumple la propiedad conmutativa? 24 + 80 = 80 + 24 104 104 FALSO VERDADERO

15. INCORRECTO

16. MUY BIEN

17. 3. Cuando se multiplica el natural por cero da como resultado a. El mismo natural b. Cero

18. INCORRECTO

19. MUY BIEN

20. 4. Los términos de la división son: a. Dividendo, divisor, cociente, residuo. b. Minuendo, sustraendo, diferencia.

21. INCORRECTO

22. MUY BIEN

23. 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 ¿Cuál es su potencia? a. 2 4 b. 2 8

24. INCORRECTO

25. MUY BIEN

26. 6. El logaritmo en base 10 de 10.000 ( log 10 10.000 ) es igual a: a. 4 b. 5

27. INCORRECTO

28. MUY BIEN

29. NÚMEROS ENTEROS Simbolizado con la letra Z Cada vez que un número se pueda contar o medir en dos sentidos opuestos considerado como positivo o negativo. SENTIDO POSITIVO SENTIDO NEGATIVO Hacia la derecha Hacia la izquierda Hacia arriba Hacia abajo Hacia delante Hacia atrás Ganancia Pérdida

30. REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA Tomamos como origen el número cero, a la derecha los positivos y a la izquierda los negativos -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

31. VALOR ABSOLUTO La distancia que están del punto cero se llama valor absoluto, el cual se representa encerrando su símbolo entre barras así: a o -a Por la forma en que esta la recta Z, cada entero positivo corresponde al negativo

32. ADICIÓN EN Z Si dos números son positivos, la suma se efectúa como si fueran números naturales. Si los dos enteros son negativos la suma es igual al opuesto de la suma de sus valores absolutos. (-3)+(-4)= -(3+4)= -7 La suma de dos enteros uno positivo y uno negativo tiene el mismo signo que el sumando de mayor valor absoluto. Si los dos sumandos tienen el mismo valor absoluto su suma es cero. 7 + (-5) = 7-5 = 2 (-6)+(+6)= 6 – 6 = 0

33. PROPIEDADES DE LA ADICIÓN COMMUTATIVA Cuando sumamos ( -3)+( -2) = - (3+2)= - 5 números con el mismo (-2) + ( -3) = -(2+3)= -5 signo el resultado es positivo o negativo según el caso ASOCIATIVA Si a, b y c son números naturales cumplen la misma propiedad en Z ( 5 + ( -3)) + ( -2) = 5 + (( -3) + ( -2)) 2 + ( -2) = 5 + ( -5) 0 = 0

34. SUSTRACCIÓN Para restar un número entero B de otro entero A, basta sumar el entero y el negativo de B. Si A y B son Enteros entonces: A – B = A + (-B) Cuando indicamos el opuesto de un número entero B escribimos –B y en la recta B y –B son simétricos con respecto al cero -B 0 B

35. MULTIPLICACIÓN El producto de dos enteros positivos es un entero positivo. 3 x 4 = 12 E l producto de dos enteros uno positivo y otro negativo da como resultado un número negativo. 2 x ( -5) = -10 El producto de dos enteros negativos es un entero positivo. ( -6) x ( -9) = 54 Si A es un entero negativo y B es cero es producto es cero.

36. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN CONMUTATIVA Cuando multiplicamos enteros con el mismo signo el producto es positivo Cuando multiplicamos enteros de diferentes signos se antepone al producto el signo menos ASOCIATIVA Para multiplicar varios enteros podemos agruparlos o asociarlos en la forma que desee y el resultado no cambia. (-3) x ( -2)= (-2) x (-3) 6 = 6 (-3) x 4 = -(3 x4) = -12 (3 x ( -5)) x ( -2) = 3 x ((-5) x ( -2)) ( -15) x ( -2) = 3 x 10 30 = 30

37. DIVISIÓN Para dividir dos enteros se dividen los valores absolutos de los números (si es posible) y se pone el signo mas(+) si los enteros tienen el mismo signo negativo(-) y tienen signos contrarios. 60 = -4 (-15) x 4 =60 - 15 120 = 8 15 x 8 =120 15

38. POTENCIACIÓN EN Z A n significa multiplicar el factor por si mismo n veces. PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN A n x A m = A n+m (A X B) n = A n x B n (A n )= A m x n 0 n = 0 A 0 = 1 para a = 0

39. ACTIVIDADES ¿Cuál es el número que falta en esta operación? (-7) + ( ? ) = -15 a. 14 b. -8

40. INCORRECTO

41. MUY BIEN

42. 2. ¿Cuál es el resultado de 35 x (-71) ? a. -2485 b. 36

43. INCORRECTO

44. MUY BIEN

45. 3. ¿Si a un entero le sumamos cero, se obtiene el mismo entero? FALSO VERDADERO

46. INCORRECTO

47. MUY BIEN

48. 4. El resultado de (-3) 4 x (-3) 3 es igual a: a. 3 -12 b. -3 7

49. INCORRECTO

50. MUY BIEN

51. 5. ¿Cuál es el número entero que hace falta en la división? __ 60__ = -4 a. 15 b. -4 ?

52. INCORRECTO

53. MUY BIEN

54. F I N