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LOS NUMEROS
NUMEROS ENTEROS
Por muchos, muchos años en tiempos
pasados, hasta los más famosos
matemáticos en Europa se negaron a
aceptar la existencia de números negativos.
Los llamaban números absurdos.

La necesidad de los números negativos
pudo haber surgido por pérdidas en el
comercio y…
NUMEROS ENTEROS
Por dividir la Tierra en pedacitos:
NUMEROS ENTEROS
Medir el ángulo de inclinación de la Tierra
que da origen a las estaciones:
NUMEROS ENTEROS
Por medir las temperaturas en desiertos,
mares, montañas, ….
NUMEROS ENTEROS
Se fijó el nivel del mar para realizar
medidas submarinas y sobre la tierra.
NUMEROS ENTEROS
  Todo número natural tendrá un simétrico
  en el conjunto de los números enteros. (Z)

Z = { ∞, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … ∞}
NUMEROS ENTEROS
  El conjunto de los números enteros se
  describe como:

Z = { ∞, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … ∞}

Representación gráfica de los números
 enteros:
NUMEROS ENTEROS
 Con los números enteros se cumple:

 La igualdad =
 Se pueden ordenar:
El antecesor de un número es el menor (<)
Así -5 < -4, -4 < -3, 2 < 3, 1 < 2 y 0 < 1
El sucesor de un número es el mayor (>)
Así -4 > -5, -3 > -4, 3 > 2, 2 > 1 y 1 > 0
NUMEROS ENTEROS
Suma (+) de números enteros:
Cantidades del mismo signo se suman
manteniendo su signo.
NUMEROS ENTEROS
Suma (+) de números enteros:
La suma de dos números enteros es siempre
un número entero.


                            -8, 8 y 2
                            pertenecen a los
                            enteros
NUMEROS ENTEROS
  Suma (+) de números enteros:
Propiedades: CONMUTATIVA
Al sumar dos números enteros da lo mismo
  colocar primero el uno o el otro
NUMEROS ENTEROS
  Suma (+) de números enteros
  Propiedades: ASOCIATIVA
Para sumar tres o más números enteros
  podemos hacerlo agrupándolos de formas
  diversas, obtendremos el mismo resultado.
NUMEROS ENTEROS
       Suma (+) de números enteros
       Propiedades: ELEMENTO NEUTRO

   Existe un número entero 0, que al ser sumado
    a cualquier otro número entero da como
    resultado ese mismo número.



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NUMEROS ENTEROS
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Al multiplicar sumamos reiteradamente la
 primera (multiplicando) tantas veces
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 dando un solo resultado (producto).
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 Multiplicación (*) de números enteros
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  Propiedades:

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  siempre un número entero.

4 * 7 = 28                -9 * 5 = -45
28 pertenece a Z          -45 pertenece a Z
NUMEROS ENTEROS
   Producto (*) de números enteros
   Propiedades: CONMUTATIVA

 Al multiplicar dos números enteros da lo
  mismo colocar primero el uno o el otro


4 * 7 = 28     -2 * 5 = -10    -2 * -8 = 16
7 * 4 = 28     5 * -2 = -10    -8 * -2 = 16
NUMEROS ENTEROS
    Producto (*) de números enteros
    Propiedades: ASOCIATIVA

 Para multiplicar tres o más números enteros
   podemos hacerlo agrupándolos de formas
   diversas, obtendremos el mismo resultado.
3 * (4 * 7) = 3 * 28 = 84   6 * (9 * 5) = 6 * 45 = 270
(3 * 4) * 7 = 12 * 7 = 84   (-6 * 9) * (-5) = -54 * (-5) = 270
NUMEROS ENTEROS
 Producto (*) de números enteros
 Propiedades: ELEMENTO NEUTRO

Existe un número entero 1, que al ser
 multiplicado a cualquier otro número
 natural da como resultado ese mismo
 número.

   4*1=4                 -25 * 1 = -25
NUMEROS ENTEROS
  Propiedad Distributiva del producto
  respecto de la suma

Se multiplica el multiplicando por cada uno
  de los sumandos y se simplifica.


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Una potencia es un modo abreviado de escribir un
   producto (multiplicación) de un número por sí
   mismo
    3*3*3*3*3 = 35 (-3)(-3)(-3)(-3)(-3) = (-3)5
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   consideramos dos partes:
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 Producto de potencias de la misma base.
Para multiplicar varias potencias que tienen la
   misma base podemos transformarlo en una
   sola potencia.




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    Cociente de potencias de la misma base.
  Para dividir dos potencias que tienen la
     misma base podemos transformarlo en una
     sola potencia.
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potencia del
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   Potenciación Propiedades
         Potencia de una potencia.
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   Potenciación Propiedades
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La resta es la operación contraria a la suma.
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minuendo y substraendo, el resultado se
llama diferencia.
                        Minuendo
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                        Diferencia
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  Propiedades de la resta (-) de números
  enteros.
La resta no tiene las propiedades de la suma.

La resta no es una operación interna en el
  conjunto de los números naturales
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División (/ ó :) de números enteros
La división es la operación contraria a la
multiplicación.

La división es la operación que tenemos que
hacer para repartir un numero de cosas
entre un número de cosas.
NUMEROS ENTEROS
División (/ ó :) de números enteros

Los términos de la división se llaman dividendo
(el número de cosas) y divisor (no nulo) (se
reparten), el resultado se llama cociente (número
que le corresponde a cada cosa) y pudiera haber o
no un residuo (lo que sobra) cuando la división no
es exacta.
Para que la división de números naturales se pueda
realizar debe cumplirse:


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  Propiedades de la División (/ ó :) de
  números enteros.
La división no tiene las propiedades de la
  multiplicación.

La división no es una operación interna en el
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 http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didactico
 http://www.rena.edu.ve/

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Numeros enteros

  • 2. NUMEROS ENTEROS Por muchos, muchos años en tiempos pasados, hasta los más famosos matemáticos en Europa se negaron a aceptar la existencia de números negativos. Los llamaban números absurdos. La necesidad de los números negativos pudo haber surgido por pérdidas en el comercio y…
  • 3. NUMEROS ENTEROS Por dividir la Tierra en pedacitos:
  • 4. NUMEROS ENTEROS Medir el ángulo de inclinación de la Tierra que da origen a las estaciones:
  • 5. NUMEROS ENTEROS Por medir las temperaturas en desiertos, mares, montañas, ….
  • 6. NUMEROS ENTEROS Se fijó el nivel del mar para realizar medidas submarinas y sobre la tierra.
  • 7. NUMEROS ENTEROS Todo número natural tendrá un simétrico en el conjunto de los números enteros. (Z) Z = { ∞, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … ∞}
  • 8. NUMEROS ENTEROS El conjunto de los números enteros se describe como: Z = { ∞, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … ∞} Representación gráfica de los números enteros:
  • 9. NUMEROS ENTEROS Con los números enteros se cumple: La igualdad = Se pueden ordenar: El antecesor de un número es el menor (<) Así -5 < -4, -4 < -3, 2 < 3, 1 < 2 y 0 < 1 El sucesor de un número es el mayor (>) Así -4 > -5, -3 > -4, 3 > 2, 2 > 1 y 1 > 0
  • 10. NUMEROS ENTEROS Suma (+) de números enteros: Cantidades del mismo signo se suman manteniendo su signo.
  • 11. NUMEROS ENTEROS Suma (+) de números enteros: La suma de dos números enteros es siempre un número entero. -8, 8 y 2 pertenecen a los enteros
  • 12. NUMEROS ENTEROS Suma (+) de números enteros: Propiedades: CONMUTATIVA Al sumar dos números enteros da lo mismo colocar primero el uno o el otro
  • 13. NUMEROS ENTEROS Suma (+) de números enteros Propiedades: ASOCIATIVA Para sumar tres o más números enteros podemos hacerlo agrupándolos de formas diversas, obtendremos el mismo resultado.
  • 14. NUMEROS ENTEROS Suma (+) de números enteros Propiedades: ELEMENTO NEUTRO Existe un número entero 0, que al ser sumado a cualquier otro número entero da como resultado ese mismo número. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/naturales1/propieda.htm
  • 15. NUMEROS ENTEROS Multiplicación (*) de números enteros Al multiplicar sumamos reiteradamente la primera (multiplicando) tantas veces como indica la segunda (multiplicador) dando un solo resultado (producto). 4 * 3 = 4 + 4+ 4 A la operación multiplicar también se le llama producto.
  • 16. NUMEROS ENTEROS Multiplicación (*) de números enteros Al multiplicar dos números de signo contrario el resultado es un número negativo. (+)(-) = (-) Al multiplicar dos números del mismo signo el resultado es un número positivo. (-)(-) = (+)
  • 17. NUMEROS ENTEROS Producto (*) de números enteros Propiedades: La Multiplicación de dos números enteros es siempre un número entero. 4 * 7 = 28 -9 * 5 = -45 28 pertenece a Z -45 pertenece a Z
  • 18. NUMEROS ENTEROS Producto (*) de números enteros Propiedades: CONMUTATIVA Al multiplicar dos números enteros da lo mismo colocar primero el uno o el otro 4 * 7 = 28 -2 * 5 = -10 -2 * -8 = 16 7 * 4 = 28 5 * -2 = -10 -8 * -2 = 16
  • 19. NUMEROS ENTEROS Producto (*) de números enteros Propiedades: ASOCIATIVA Para multiplicar tres o más números enteros podemos hacerlo agrupándolos de formas diversas, obtendremos el mismo resultado. 3 * (4 * 7) = 3 * 28 = 84 6 * (9 * 5) = 6 * 45 = 270 (3 * 4) * 7 = 12 * 7 = 84 (-6 * 9) * (-5) = -54 * (-5) = 270
  • 20. NUMEROS ENTEROS Producto (*) de números enteros Propiedades: ELEMENTO NEUTRO Existe un número entero 1, que al ser multiplicado a cualquier otro número natural da como resultado ese mismo número. 4*1=4 -25 * 1 = -25
  • 21. NUMEROS ENTEROS Propiedad Distributiva del producto respecto de la suma Se multiplica el multiplicando por cada uno de los sumandos y se simplifica. -4 * (1 + 4) = -4 * 1 - 4 * 4 = -4 - 16 = - 20 (3 + 5) * 2 = 3 * 2 + 5 * 2 = 6 + 10 = 16
  • 22. NUMEROS ENTEROS Potenciación Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto (multiplicación) de un número por sí mismo 3*3*3*3*3 = 35 (-3)(-3)(-3)(-3)(-3) = (-3)5 En la expresión de la potencia de un número consideramos dos partes: La base es el número que se multiplica por sí mismo (en este caso: 3 ó -3) El exponente es el número que indica las veces que la base aparece como factor. (en este caso 5)
  • 23. NUMEROS ENTEROS Potenciación (-3)(-3)(-3) = (-3)3 (-3)3 ≠ -33
  • 24. NUMEROS ENTEROS Potenciación Propiedades Producto de potencias de la misma base. Para multiplicar varias potencias que tienen la misma base podemos transformarlo en una sola potencia. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/potencia/producto.htm
  • 25. NUMEROS ENTEROS Potenciación Propiedades Cociente de potencias de la misma base. Para dividir dos potencias que tienen la misma base podemos transformarlo en una sola potencia. La potencia del numerador debe ser mayor o igual a la potencia del denominador.
  • 26. NUMEROS ENTEROS Potenciación Propiedades Potencia de exponente 0. Una potencia de exponente 0 vale 1. 70 = 1
  • 27. NUMEROS ENTEROS Potenciación Propiedades Potencia de exponente negativo. Una potencia de exponente negativo equivale al inverso de esa potencia con exponente positivo. 7-1 = 1/7
  • 28. NUMEROS ENTEROS Potenciación Propiedades Potencia de una potencia. Para elevar una potencia a otra potencia podemos transformarlo en una sola potencia simple.
  • 29. NUMEROS ENTEROS Potenciación Propiedades Potencia de un producto. Un exponente afecta globalmente a un producto de varios factores
  • 30. NUMEROS ENTEROS Potenciación Propiedades Potencia de una división. Si a, n, m son un números naturales entonces: (Si se dividen dos bases distintas a la misma potencia se puede factorizar la potencia)
  • 31. NUMEROS ENTEROS Resta (-) de números enteros La resta es la operación contraria a la suma. Los términos de la resta se llaman minuendo y substraendo, el resultado se llama diferencia. Minuendo - Sustraendo Diferencia
  • 32. NUMEROS ENTEROS Propiedades de la resta (-) de números enteros. La resta no tiene las propiedades de la suma. La resta no es una operación interna en el conjunto de los números naturales
  • 33. NUMEROS ENTEROS División (/ ó :) de números enteros La división es la operación contraria a la multiplicación. La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de cosas.
  • 34. NUMEROS ENTEROS División (/ ó :) de números enteros Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas) y divisor (no nulo) (se reparten), el resultado se llama cociente (número que le corresponde a cada cosa) y pudiera haber o no un residuo (lo que sobra) cuando la división no es exacta. Para que la división de números naturales se pueda realizar debe cumplirse: Dividendo > Divisor
  • 35. NUMEROS ENTEROS Propiedades de la División (/ ó :) de números enteros. La división no tiene las propiedades de la multiplicación. La división no es una operación interna en el conjunto de los números naturales
  • 36. NUMEROS ENTEROS División (/ ó :) de números enteros Dividendo > Divisor
  • 37. NUMEROS ENTEROS División (/ ó :) de números enteros Hay que repartir 60 hojas de papel carta a 4 personas. ¿Cómo lo harías? División exacta REPARTO
  • 38. NUMEROS ENTEROS División (/ ó :) de números enteros Hay que repartir 17 lapiceros entre 3 personas. ¿Cómo lo harías? División inexacta REPARTO
  • 39. NUMEROS ENTEROS Radicación ( 3 5 ) de números enteros La radicación es la operación contraria a la exponenciación La radicación no es una operación interna en el conjunto de los números naturales
  • 40. NUMEROS ENTEROS Radicación ( 3 5 ) de números enteros 3 es el índice 8 es el radicando y 2 es el resultado de la radicación.
  • 41. NUMEROS ENTEROS Radicación ( 3 5 ) de números enteros Propiedad distributiva.
  • 42. NUMEROS ENTEROS De los números Enteros a los números Racionales A pesar de que muchas actividades del Hpmbre quedaron cubiertas con los números naturales, quedaron muchas actividades que necesitan un nuevo conjunto de números: los números RACIONALES