Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y proporciona cuatro formas de describirlos: por extensión, comprensión, diagramas de Venn y descripción verbal. También define conceptos clave como subconjuntos, conjuntos vacíos, universales, finitos e infinitos. Finalmente, introduce operaciones básicas con conjuntos como la unión y la intersección.
El documento describe conceptos básicos sobre conjuntos. Define un conjunto como un grupo de elementos u objetos especificados de tal forma que se puede determinar si un objeto dado pertenece o no al conjunto. Explica cuatro formas de expresar conjuntos: por enumeración, comprensión, diagramas de Venn y descripción verbal. También define subconjuntos, cardinalidad de conjuntos, operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia.
Este documento presenta conceptos básicos sobre relaciones y órdenes. Define relaciones, relaciones de equivalencia y órdenes parciales. Explica el principio maximal de Hausdorff y el principio de buen ordenamiento. Finalmente, introduce la noción de ordinales numerables y no numerables, y construye un conjunto bien ordenado no numerable con un último elemento.
Este documento presenta un índice general de la asignatura de Matemáticas I. Se divide en 4 unidades principales que cubren los temas de Conjuntos, Elementos de Lógica Matemática, Los Números Reales y Aplicaciones. Cada unidad contiene entre 3 y 4 módulos que profundizan en subtemas específicos. El documento provee una introducción general a cada unidad y ofrece ejemplos ilustrativos de los conceptos clave tratados en cada módulo.
El documento presenta información sobre diagramas de Venn, probabilidades, permutaciones y combinaciones. Explica que los diagramas de Venn fueron creados por John Venn y se usan para representar relaciones lógicas entre conjuntos. Describe los tipos básicos de diagramas de Venn, incluidos diagramas de intersección, complemento y diferencia de conjuntos. También define conceptos como probabilidad, permutación y combinación, y proporciona ejemplos para ilustrar cada uno.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y cómo se pueden expresar o denotar. Explica conceptos básicos como subconjuntos, conjuntos vacíos, universales, finitos e infinitos. Describe operaciones entre conjuntos como unión, intersección, complemento y diferencia. Finalmente, presenta un ejemplo para ilustrar estas operaciones.
El documento define conceptos clave del cálculo de predicados como:
1) Un predicado puede tener una o más variables que toman valores de un dominio específico.
2) El cálculo de predicados permite representar proposiciones con estructura interna mediante el uso de relaciones y cuantificadores.
3) Las fórmulas se construyen a partir de predicados, constantes, variables, operaciones lógicas y cuantificadores universal y existencial.
El documento introduce el concepto fundamental de conjunto en matemáticas y su aplicación a la probabilidad. Explica que un conjunto es una colección de objetos con características bien definidas y presenta los métodos para definir conjuntos. También describe operaciones básicas como unión, intersección y diferencia, y leyes como la conmutativa y asociativa. Finalmente, relaciona los conjuntos con la teoría de probabilidad al definir conceptos como experimento, espacio muestral y eventos.
Este documento discute las derivadas parciales de funciones reales de varias variables. Define la derivada parcial de una función f con respecto a la variable xi como el límite de (f(a + tei) - f(a))/t cuando t tiende a cero, donde ei es el vector unitario en la dirección de la variable xi. Explica que el dominio adecuado para la derivación es un subconjunto abierto de Rn y que la notación ∂if(a) es equivalente a ∂f/∂xi.
El documento describe conceptos básicos sobre conjuntos. Define un conjunto como un grupo de elementos u objetos especificados de tal forma que se puede determinar si un objeto dado pertenece o no al conjunto. Explica cuatro formas de expresar conjuntos: por enumeración, comprensión, diagramas de Venn y descripción verbal. También define subconjuntos, cardinalidad de conjuntos, operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia.
Este documento presenta conceptos básicos sobre relaciones y órdenes. Define relaciones, relaciones de equivalencia y órdenes parciales. Explica el principio maximal de Hausdorff y el principio de buen ordenamiento. Finalmente, introduce la noción de ordinales numerables y no numerables, y construye un conjunto bien ordenado no numerable con un último elemento.
Este documento presenta un índice general de la asignatura de Matemáticas I. Se divide en 4 unidades principales que cubren los temas de Conjuntos, Elementos de Lógica Matemática, Los Números Reales y Aplicaciones. Cada unidad contiene entre 3 y 4 módulos que profundizan en subtemas específicos. El documento provee una introducción general a cada unidad y ofrece ejemplos ilustrativos de los conceptos clave tratados en cada módulo.
El documento presenta información sobre diagramas de Venn, probabilidades, permutaciones y combinaciones. Explica que los diagramas de Venn fueron creados por John Venn y se usan para representar relaciones lógicas entre conjuntos. Describe los tipos básicos de diagramas de Venn, incluidos diagramas de intersección, complemento y diferencia de conjuntos. También define conceptos como probabilidad, permutación y combinación, y proporciona ejemplos para ilustrar cada uno.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y cómo se pueden expresar o denotar. Explica conceptos básicos como subconjuntos, conjuntos vacíos, universales, finitos e infinitos. Describe operaciones entre conjuntos como unión, intersección, complemento y diferencia. Finalmente, presenta un ejemplo para ilustrar estas operaciones.
El documento define conceptos clave del cálculo de predicados como:
1) Un predicado puede tener una o más variables que toman valores de un dominio específico.
2) El cálculo de predicados permite representar proposiciones con estructura interna mediante el uso de relaciones y cuantificadores.
3) Las fórmulas se construyen a partir de predicados, constantes, variables, operaciones lógicas y cuantificadores universal y existencial.
El documento introduce el concepto fundamental de conjunto en matemáticas y su aplicación a la probabilidad. Explica que un conjunto es una colección de objetos con características bien definidas y presenta los métodos para definir conjuntos. También describe operaciones básicas como unión, intersección y diferencia, y leyes como la conmutativa y asociativa. Finalmente, relaciona los conjuntos con la teoría de probabilidad al definir conceptos como experimento, espacio muestral y eventos.
Este documento discute las derivadas parciales de funciones reales de varias variables. Define la derivada parcial de una función f con respecto a la variable xi como el límite de (f(a + tei) - f(a))/t cuando t tiende a cero, donde ei es el vector unitario en la dirección de la variable xi. Explica que el dominio adecuado para la derivación es un subconjunto abierto de Rn y que la notación ∂if(a) es equivalente a ∂f/∂xi.
El documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define un conjunto como un grupo de elementos donde se puede determinar si un objeto pertenece o no. Explica cuatro formas de enunciar conjuntos: por extensión, comprensión, diagramas de Venn y descripción verbal. Luego presenta la simbología básica utilizada en teoría de conjuntos y seis propiedades fundamentales de las operaciones entre conjuntos.
El documento introduce el concepto fundamental de conjunto en matemáticas y su aplicación a la probabilidad. Explica que un conjunto es una colección de objetos con características bien definidas y presenta los diferentes tipos de conjuntos como finitos, infinitos y el conjunto vacío. También define operaciones básicas entre conjuntos como unión, intersección y diferencia y representaciones como diagramas de Venn. Finalmente, relaciona los conjuntos con la probabilidad al referirse a experimentos que conducen a resultados posibles llamados eventos.
1) La lógica de primer orden estudia la inferencia en lenguajes formales con cuantificadores que alcanzan sólo a variables de individuo. 2) En los cálculos de predicados se tienen elementos más simples para formar expresiones atómicas que en proposiciones simples. 3) La lógica de primer orden tiene el poder expresivo suficiente para definir prácticamente todas las matemáticas.
1) La lógica proposicional describe las operaciones lógicas entre proposiciones como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. Se definen mediante tablas de verdad.
2) La teoría de conjuntos describe conceptos como el conjunto vacío, la pertenencia, las operaciones entre conjuntos como la unión e intersección, y la correspondencia entre conjuntos y proposiciones lógicas.
3) El documento también introduce conceptos como los números naturales, el principio de inducción, familias de
Este documento presenta un resumen sobre la teoría de la probabilidad. Introduce conceptos como experimentos aleatorios y determinísticos, espacio muestral, eventos, operaciones con eventos, tablas de contingencia, diagramas de árbol y definiciones de probabilidad desde enfoques frecuentista y clásico. También expone algunos teoremas y la regla de adición para el cálculo de probabilidades.
El documento presenta una introducción a conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica términos como variable aleatoria, promedio ponderado, varianza, desviación estándar, coeficiente de variación, experimento aleatorio, espacio muestral, probabilidad condicionada, entre otros. Define diferentes tipos de sucesos como sucesos aleatorios, imposibles, seguros, elementales y compuestos.
1. El documento describe los números naturales, enteros y racionales. Los números naturales son los que se usan para contar y forman un conjunto infinito. Los números enteros incluyen los naturales y sus opuestos. Los números racionales son parejas de números enteros que se dividen entre sí.
2. También habla sobre los números reales, que forman un conjunto más amplio que incluye números irracionales como pi. El conjunto de los números reales es infinito y cerrado bajo las cuatro operaciones.
3. Finalmente, explica que la representación gr
La formula de Euler (modificada) combina en una sola formulación una escala natural con una escala fractal, tridimensional. La combinación: una relación en la cuarta dimensión.
Este documento presenta definiciones y ejemplos relacionados con la convergencia de sucesiones en espacios métricos. Introduce conceptos como sucesiones, convergencia, subsucesiones y conjuntos acotados y cerrados. Explica que para que una sucesión converja a un punto x, x debe pertenecer a la clausura del conjunto donde está definida la sucesión.
Este documento describe las funciones y sus características. Define una función como una relación especial entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto. Clasifica las funciones como inyectivas, suprayectivas y biyectivas dependiendo de la correspondencia entre los elementos de los conjuntos. También clasifica las funciones según su regla de correspondencia como algebraicas, trascendentes, pares e impares.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y cómo se representan. Explica diferentes formas de expresar conjuntos como extensión y comprensión. Luego describe operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. Finalmente, introduce conceptos como proposiciones, tablas de verdad y tautologías.
1) El documento presenta nociones básicas sobre conjuntos, incluyendo la definición de conjunto propuesta por Cantor, la paradoja de Russell, y las nociones de pertenencia, igualdad e inclusión de conjuntos.
2) Explica que un conjunto puede definirse por extensión o comprensión y presenta ejemplos de conjuntos como el conjunto vacío, de los números naturales y otros.
3) Describe la igualdad entre conjuntos como aquellos que tienen los mismos elementos y la inclusión como cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen a
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define qué es un conjunto y sus elementos. Explica las diferentes formas de determinar conjuntos (por extensión y por comprensión) y tipos de conjuntos basados en la cantidad de elementos (unitario, vacío). También describe relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, diferencia; y operaciones como unión, intersección, diferencia y complementación. Finalmente, provee ejemplos para ilustrar estos conceptos teóricos.
1) El documento trata sobre la sintaxis y semántica de la lógica proposicional. Define el lenguaje proposicional y las fórmulas bien formadas.
2) Presenta ejercicios sobre identificación de fórmulas bien formadas, eliminación de paréntesis innecesarios, construcción de árboles de análisis y tablas de verdad.
3) Explica conceptos como valuación, satisfacción de fórmulas, tautologías, contradicciones y contingencias. Propone ejerc
Este documento introduce conceptos básicos sobre conjuntos y sistemas numéricos. Explica que un conjunto es una colección de objetos que comparten una o más propiedades, y que pueden representarse de forma explícita o implícita. Define términos como pertenencia, cardinalidad, conjuntos equivalentes e igualdad. También describe clases de conjuntos como unitarios, finitos, infinitos y vacíos. Por último, explica operaciones entre conjuntos como unión e intersección.
El documento presenta una introducción a la lógica proposicional. Define conceptos como proposición lógica, clasificación de proposiciones, conectores proposicionales, álgebra de proposiciones y operaciones lógicas. También introduce conceptos básicos de conjuntos como elementos, subconjuntos y operaciones como unión e intersección.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y proporciona cuatro formas de expresar conjuntos (por extensión, comprensión, diagramas de Venn y descripción verbal). También explica conceptos como subconjuntos, cardinalidad, conjuntos vacíos, universales y finitos. Finalmente, describe operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección, complemento y diferencia.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y describe cuatro formas de expresar conjuntos (por extensión, comprensión, diagramas de Venn y descripción verbal). Explica conceptos como subconjuntos, cardinalidad, conjuntos vacíos, universales y finitos. Finalmente, describe operaciones básicas entre conjuntos como unión, intersección, complemento y diferencia.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y proporciona cuatro formas de expresar conjuntos: por extensión, comprensión, diagramas de Venn y descripción verbal. También define conceptos como subconjuntos, conjuntos vacíos, universales, finitos e infinitos. Explica operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección, complemento y diferencia.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y cómo se pueden expresar y denotar conjuntos de diferentes formas, incluyendo por enumeración, comprensión, diagramas de Venn y descripción verbal. También define conceptos clave como subconjuntos, cardinalidad, conjuntos vacíos, universales, finitos e infinitos. Finalmente, introduce operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección, complemento y diferencia.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y cómo se pueden expresar y representar conjuntos de diferentes formas. Explica conceptos clave como subconjuntos, uniones, intersecciones y complementos de conjuntos. También introduce tipos específicos de conjuntos como conjuntos vacíos, universales, finitos e infinitos. Finalmente, describe operaciones matemáticas básicas que se pueden realizar con conjuntos.
El documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define un conjunto como un grupo de elementos donde se puede determinar si un objeto pertenece o no. Explica cuatro formas de enunciar conjuntos: por extensión, comprensión, diagramas de Venn y descripción verbal. Luego presenta la simbología básica utilizada en teoría de conjuntos y seis propiedades fundamentales de las operaciones entre conjuntos.
El documento introduce el concepto fundamental de conjunto en matemáticas y su aplicación a la probabilidad. Explica que un conjunto es una colección de objetos con características bien definidas y presenta los diferentes tipos de conjuntos como finitos, infinitos y el conjunto vacío. También define operaciones básicas entre conjuntos como unión, intersección y diferencia y representaciones como diagramas de Venn. Finalmente, relaciona los conjuntos con la probabilidad al referirse a experimentos que conducen a resultados posibles llamados eventos.
1) La lógica de primer orden estudia la inferencia en lenguajes formales con cuantificadores que alcanzan sólo a variables de individuo. 2) En los cálculos de predicados se tienen elementos más simples para formar expresiones atómicas que en proposiciones simples. 3) La lógica de primer orden tiene el poder expresivo suficiente para definir prácticamente todas las matemáticas.
1) La lógica proposicional describe las operaciones lógicas entre proposiciones como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. Se definen mediante tablas de verdad.
2) La teoría de conjuntos describe conceptos como el conjunto vacío, la pertenencia, las operaciones entre conjuntos como la unión e intersección, y la correspondencia entre conjuntos y proposiciones lógicas.
3) El documento también introduce conceptos como los números naturales, el principio de inducción, familias de
Este documento presenta un resumen sobre la teoría de la probabilidad. Introduce conceptos como experimentos aleatorios y determinísticos, espacio muestral, eventos, operaciones con eventos, tablas de contingencia, diagramas de árbol y definiciones de probabilidad desde enfoques frecuentista y clásico. También expone algunos teoremas y la regla de adición para el cálculo de probabilidades.
El documento presenta una introducción a conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica términos como variable aleatoria, promedio ponderado, varianza, desviación estándar, coeficiente de variación, experimento aleatorio, espacio muestral, probabilidad condicionada, entre otros. Define diferentes tipos de sucesos como sucesos aleatorios, imposibles, seguros, elementales y compuestos.
1. El documento describe los números naturales, enteros y racionales. Los números naturales son los que se usan para contar y forman un conjunto infinito. Los números enteros incluyen los naturales y sus opuestos. Los números racionales son parejas de números enteros que se dividen entre sí.
2. También habla sobre los números reales, que forman un conjunto más amplio que incluye números irracionales como pi. El conjunto de los números reales es infinito y cerrado bajo las cuatro operaciones.
3. Finalmente, explica que la representación gr
La formula de Euler (modificada) combina en una sola formulación una escala natural con una escala fractal, tridimensional. La combinación: una relación en la cuarta dimensión.
Este documento presenta definiciones y ejemplos relacionados con la convergencia de sucesiones en espacios métricos. Introduce conceptos como sucesiones, convergencia, subsucesiones y conjuntos acotados y cerrados. Explica que para que una sucesión converja a un punto x, x debe pertenecer a la clausura del conjunto donde está definida la sucesión.
Este documento describe las funciones y sus características. Define una función como una relación especial entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto. Clasifica las funciones como inyectivas, suprayectivas y biyectivas dependiendo de la correspondencia entre los elementos de los conjuntos. También clasifica las funciones según su regla de correspondencia como algebraicas, trascendentes, pares e impares.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y cómo se representan. Explica diferentes formas de expresar conjuntos como extensión y comprensión. Luego describe operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. Finalmente, introduce conceptos como proposiciones, tablas de verdad y tautologías.
1) El documento presenta nociones básicas sobre conjuntos, incluyendo la definición de conjunto propuesta por Cantor, la paradoja de Russell, y las nociones de pertenencia, igualdad e inclusión de conjuntos.
2) Explica que un conjunto puede definirse por extensión o comprensión y presenta ejemplos de conjuntos como el conjunto vacío, de los números naturales y otros.
3) Describe la igualdad entre conjuntos como aquellos que tienen los mismos elementos y la inclusión como cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen a
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define qué es un conjunto y sus elementos. Explica las diferentes formas de determinar conjuntos (por extensión y por comprensión) y tipos de conjuntos basados en la cantidad de elementos (unitario, vacío). También describe relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, diferencia; y operaciones como unión, intersección, diferencia y complementación. Finalmente, provee ejemplos para ilustrar estos conceptos teóricos.
1) El documento trata sobre la sintaxis y semántica de la lógica proposicional. Define el lenguaje proposicional y las fórmulas bien formadas.
2) Presenta ejercicios sobre identificación de fórmulas bien formadas, eliminación de paréntesis innecesarios, construcción de árboles de análisis y tablas de verdad.
3) Explica conceptos como valuación, satisfacción de fórmulas, tautologías, contradicciones y contingencias. Propone ejerc
Este documento introduce conceptos básicos sobre conjuntos y sistemas numéricos. Explica que un conjunto es una colección de objetos que comparten una o más propiedades, y que pueden representarse de forma explícita o implícita. Define términos como pertenencia, cardinalidad, conjuntos equivalentes e igualdad. También describe clases de conjuntos como unitarios, finitos, infinitos y vacíos. Por último, explica operaciones entre conjuntos como unión e intersección.
El documento presenta una introducción a la lógica proposicional. Define conceptos como proposición lógica, clasificación de proposiciones, conectores proposicionales, álgebra de proposiciones y operaciones lógicas. También introduce conceptos básicos de conjuntos como elementos, subconjuntos y operaciones como unión e intersección.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y proporciona cuatro formas de expresar conjuntos (por extensión, comprensión, diagramas de Venn y descripción verbal). También explica conceptos como subconjuntos, cardinalidad, conjuntos vacíos, universales y finitos. Finalmente, describe operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección, complemento y diferencia.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y describe cuatro formas de expresar conjuntos (por extensión, comprensión, diagramas de Venn y descripción verbal). Explica conceptos como subconjuntos, cardinalidad, conjuntos vacíos, universales y finitos. Finalmente, describe operaciones básicas entre conjuntos como unión, intersección, complemento y diferencia.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y proporciona cuatro formas de expresar conjuntos: por extensión, comprensión, diagramas de Venn y descripción verbal. También define conceptos como subconjuntos, conjuntos vacíos, universales, finitos e infinitos. Explica operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección, complemento y diferencia.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y cómo se pueden expresar y denotar conjuntos de diferentes formas, incluyendo por enumeración, comprensión, diagramas de Venn y descripción verbal. También define conceptos clave como subconjuntos, cardinalidad, conjuntos vacíos, universales, finitos e infinitos. Finalmente, introduce operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección, complemento y diferencia.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y cómo se pueden expresar y representar conjuntos de diferentes formas. Explica conceptos clave como subconjuntos, uniones, intersecciones y complementos de conjuntos. También introduce tipos específicos de conjuntos como conjuntos vacíos, universales, finitos e infinitos. Finalmente, describe operaciones matemáticas básicas que se pueden realizar con conjuntos.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y cómo se pueden expresar y representar conjuntos de diferentes formas. Explica conceptos clave como subconjuntos, uniones, intersecciones y complementos de conjuntos. También introduce tipos específicos de conjuntos como conjuntos vacíos, universales, finitos e infinitos. Finalmente, describe operaciones matemáticas básicas que se pueden realizar con conjuntos.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y sus elementos, y describe cuatro formas de expresar conjuntos: por extensión, comprensión, diagramas de Venn y descripción verbal. También define operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección, complemento y diferencia. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta conceptos básicos de teoría de conjuntos. Define un conjunto como un grupo de objetos con una o más propiedades en común. Explica formas de representar conjuntos como extensión, comprensión y diagramas de Venn. También cubre conceptos como subconjuntos, conjuntos vacíos, universales, cardinalidad, operaciones como intersección, unión y diferencia.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y sus diferentes formas de expresión, como por extensión, comprensión y diagrama de Venn. También define conceptos como subconjunto, conjunto universal, conjunto finito e infinito, igualdad y equivalencia de conjuntos. Finalmente, explica operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección, complemento y diferencia.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos. Explica que un conjunto es una colección de objetos o elementos, y describe formas de representar conjuntos como por extensión, comprensión o gráficamente. También define relaciones entre conjuntos como pertenencia, contenencia e igualdad, y tipos de conjuntos como finitos, infinitos, vacíos y unitarios.
El documento presenta información sobre conjuntos matemáticos. Define qué es un conjunto, cómo se representan y expresan los conjuntos (por extensión, comprensión, diagramas de Venn y descripción verbal). Luego explica las operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia, y tipos específicos de conjuntos como vacío, universal, finito e infinito. Finalmente, introduce conceptos sobre números reales, desigualdades matemáticas y sus propiedades.
Este documento presenta un resumen sobre conjuntos y números reales. Introduce los conceptos básicos de conjunto, como elementos, pertenencia a un conjunto, formas de expresar conjuntos, subconjuntos y operaciones entre conjuntos. Luego explica los diferentes tipos de números reales, como naturales, enteros, racionales e irracionales, y cómo se representan en la recta numérica. Finalmente, define desigualdades matemáticas y sus propiedades.
Este documento presenta conceptos básicos sobre teoría de conjuntos. Define qué es un conjunto y cómo se representan, incluyendo la notación de conjuntos entre llaves. Explica las relaciones de pertenencia e inclusión entre conjuntos usando símbolos matemáticos. También introduce subconjuntos, conjuntos complementarios y el conjunto vacío.
Este documento presenta conceptos básicos sobre teoría de conjuntos. Define qué es un conjunto y cómo se representan, incluyendo representaciones gráficas. Explica las relaciones de pertenencia e inclusión entre conjuntos, cómo definir conjuntos, y conceptos como subconjuntos, conjuntos complementarios y el conjunto vacío.
Este documento describe conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo la definición de conjunto, relación de pertenencia, conjunto universal, formas de definir conjuntos (extensión y comprensión), conjuntos finitos e infinitos, cardinal de un conjunto, diagramas de Venn, tipos de conjuntos (vacío, disjuntos, unitario, subconjunto), propiedades de los subconjuntos, relación de inclusión y conjunto complementario. Explica estos conceptos con ejemplos claros.
Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos matemáticos como elementos, pertenencia, notación, cardinalidad, subconjuntos, operaciones como unión e intersección, y representaciones gráficas. Define conjuntos, elementos, notaciones para denotar conjuntos y pertenencia. Explica cómo representar conjuntos de manera enumerativa y por descripción, y cómo calcular la cardinalidad. Introduce subconjuntos, conjuntos universales, vacíos y complementos. Describe operaciones entre conjuntos como unión, intersección y disyunción. Presenta ejemp
El documento explica los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo: (1) la definición de un conjunto como un grupo de elementos con características comunes, (2) las dos formas de definir un conjunto (extensión y comprensión), y (3) las relaciones entre conjuntos como pertenencia e inclusión.
Este documento presenta los elementos fundamentales de la teoría de conjuntos. Introduce el concepto de conjunto como una colección de objetos llamados elementos. Explica cómo representar conjuntos mediante símbolos y notación. Define conceptos clave como pertenencia, subconjuntos, conjuntos finitos e infinitos. Finalmente, describe operaciones básicas entre conjuntos como la unión, intersección y diferencia.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define conceptos básicos como conjunto, elemento, pertenencia, inclusión, subconjunto e igualdad de conjuntos. Explica las notaciones matemáticas utilizadas para representar conjuntos y relaciones entre ellos. Además, menciona que la teoría de conjuntos fue desarrollada por matemáticos como Georg Cantor y George Boole.
1. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de conjuntos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
MATEMÁTICAS BÁSICAS
TEORÍA DE CONJUNTOS
DEFINICIÓN DE CONJUNTO
Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con
certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan
letras mayúsculas.
Cuando un elemento x1 pertenece a un conjunto A se expresa de forma simbólica como: x1 ∈ A . En
caso de que un elemento y1 no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación: y1 ∉ A
Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:
1) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por
comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves.
2) Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece
entre llaves. En este caso se emplea el símbolo | que significa “tal que". En forma simbólica es:
A={ x P (x ) } = { x1 , x 2 , x3 ,⋅ ⋅ ⋅ , x n }
que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición P(x ) es
1
verdadera, como x1 , x 2 , x3 , etc .
3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un
2
conjunto o las relaciones entre conjuntos .
4) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los
elementos.
Ejemplo.
Dada la descripción verbal “el conjunto de las letras vocales”, expresarlo por extensión, comprensión y
por diagrama de Venn.
Solución.
Por extensión: V = { a ,e ,i ,o ,u }
a i
Por comprensión: V = x { x es una vocal }
Por diagrama de Venn: o
e u
V
1
La notación P(x ) no representa un producto, es una condición que deben satisfacer los elementos para pertenecer a un
conjunto.
2
En el caso particular de que un conjunto tenga un sólo elemento numérico, a menos de que se haga la distinción, no representa el
número de elementos que posee el conjunto.
1
2. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de conjuntos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
Ejemplo.
Expresar de las tres formas al conjunto de los planetas del sistema solar.
Solución.
Por extensión: P = { Mercurio ,Venus ,Tierra , Marte, Júpiter , Saturno ,Urano , Neptuno , Plutón }
Por comprensión: P = x { x es un planeta del sistema solar }
Por diagrama de Venn:
Urano
Neptuno
Marte
Saturno
Plutón
Júpiter
Mercurio
Venus
Tierra
P
Si cada elemento de un conjunto A es también un elemento del conjunto B , se dice que A es un
subconjunto de B . La notación A ⊂ B significa que A está incluido en B y se lee: “ A es subconjunto
de B ” o “ A está contenido en B ”.
Si no todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B , se dice que A no es
subconjunto de B . En este caso la notación A ⊄ B significa que A no es un subconjunto de B .
Gráficamente, esto es:
B B B
A
A A
A⊂ B A⊄ B A⊄ B
B⊄ A B⊄ A B⊄ A
En los ejemplos anteriores, si F = { a ,e ,o } es el conjunto de las vocales fuertes y
S = { Mercurio,Venus } es el conjunto de planetas que no poseen satélites, entonces se cumple que:
F ⊂ V y que S ⊂ P . De la misma forma, nótese como: F ⊄ P , S ⊄ V , F ⊄ S y S ⊄ F .
La cardinalidad de un conjunto se define como el número de elementos que posee. Se denota por medio
de los símbolos η o # .
De los conjuntos anteriores: η(V ) = 5 , η(F ) = 3 , η(P ) = 9 y η(S ) = 2 .
2
3. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de conjuntos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
CONJUNTOS CON NOMBRES ESPECÍFICOS
• Un conjunto vacío o nulo es aquel que no posee elementos. Se denota por: φ o bien por { } . El
conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto.
Ejemplos.
φ ={ x x son los dinosaurio s que viven en la actualidad }
{ }= { x x son los hom bres mayores de 300 años }
φ ={ x x son números positivos menores que cero }
• Un conjunto universal es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Se denota por
U . Gráficamente se le representará mediante un rectángulo.
Ejemplos.
U ={ x x son los días de la semana } = {lunes , martes , miércoles , jueves ,viernes , sábado , domingo }
A={ x x son los días de la semana inglesa } = { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes }
B ={ x x son los días del fin de semana } = { sábado ,domingo }
C ={ x x son los días de la semana con menos de siete letras } = { lunes, martes, jueves, sábado }
Nótese cómo: A ⊂ U , B ⊂U, C ⊂U
• Un conjunto finito es aquel cuyos elementos pueden ser contados.
Ejemplos.
J ={ x x es el número de un día del mes de junio }
K= {x x2 = 4 }
L ={ x x es la cantidad de autos en la ciudad de México }
• Un conjunto infinito es aquel cuyos elementos no pueden ser contados, es decir, su cardinalidad no
está definida.
Ejemplos.
N = {1,3,5,7 ,9,11,⋅ ⋅ ⋅ }
M = { 2 , 4 ,6 ,8,10,12,⋅ ⋅ ⋅ }
Q={ x x es la cantidad de puntos en una línea }
• Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo = .
Ejemplo.
R = {1, 2,3, 4,5,6,7 ,8,9 ,0 }
S ={ x x es un dígito }
R=S
• Dos conjuntos son desiguales si por lo menos difieren en un elemento, es decir, si no tienen
exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo ≠ .
3
4. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de conjuntos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
Ejemplo.
D= x { x2 = 9 }
E = { − 2, 2 }
D≠E
• Dos conjuntos son equivalentes si tienen la misma cantidad de elementos, es decir, si poseen la
misma cardinalidad. Se denota por el símbolo ≈ .
Ejemplos.
W = {x x son las estaciones del año }
Z = {x x es un punto cardinal }
η (W ) = 4
η (Z ) = 4
W ≈Z
Cuando los conjuntos son equivalentes existe una correspondencia uno a uno o biunívoca. Esto significa
que se puede establecer una relación que asocie a cada elemento del primer conjunto con un único
elemento del segundo conjunto sin que sobren elementos en ningún conjunto.
En el ejemplo anterior:
Primavera Norte
Verano Sur
Otoño Este
Invierno Oeste
W Z
OPERACIONES CON CONJUNTOS
• La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los
elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A ∪ B . Esto es:
A∪ B ={ x x∈ A o x∈B}
Gráficamente:
4
5. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de conjuntos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
A∪ B U
A B
Ejemplo.
A = { mango ,ciruela ,uva , naranja , manzana , sandía }
B = { durazno ,melón ,uva ,naranja , sandía , plátano }
A ∪ B = { mango ,ciruela ,uva , naranja , manzana , sandía , durazno, melón, plá tan o }
• La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también
pertenecen a B y se denota como A ∩ B . Esto es:
A∩ B ={ x x∈ A y x∈B }
Gráficamente:
A∩ B U
A B
Ejemplo.
A = { mango ,ciruela ,uva , naranja , manzana , sandía }
B = { durazno , melón ,uva , naranja , sandía , plátano }
A ∩ B = { uva , naranja , sandía }
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6. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de conjuntos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, es decir, que no tienen
nada en común. Por ejemplo:
A = { mango ,ciruela ,uva , naranja , manzana , sandía }
E = { limón, fresa, pera, mandarina,cereza }
A∩ E = φ
• El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos los
elementos de U que no están en A y se denota como A' . Esto es:
A' = { x ∈ U x∉ A}
Gráficamente:
U
A'
A
Ejemplo.
U = { mango,kiwi,ciruela,uva, pera,naranja,cereza,manzana, sandía,durazno,limón,melón, plátano }
A = { mango ,ciruela ,uva , naranja , manzana , sandía }
A' = { kiwi , pera ,cereza , durazno ,limón, melón , plátano }
En este ejemplo se puede notar como η( A ) + η( A' ) = η(U )
De esta definición, se puede advertir que se cumplen las siguientes expresiones:
( A' ) ' = A
φ' = U
U' =φ
• La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que
pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A − B . Esto es:
A− B ={ x x∈ A y x∉B}
Gráficamente:
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7. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de conjuntos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
A−B U
A B
Ejemplo.
A = { mango ,ciruela ,uva , naranja , manzana , sandía }
B = { durazno ,melón ,uva ,naranja , sandía , plátano }
A − B = { mango , ciruela , manzana }
B − A = { durazno ,melón , plátano }
Se puede advertir como A − B ≠ B − A .
Del diagrama de Venn anterior se deducen las siguientes expresiones:
A − B = A ∩ B'
A − B = φ, sí y sólo sí : A ⊂ B
A − B = B − A, sí y sólo sí : A = B
A − B = A, sí y sólo sí : A ∩ B = φ
(A − B) ⊂ A
A−φ = A
A − B = B' − A'
Los conjuntos A − B , A ∩ B , B − A son mutuamente ajenos (su intersección es el conjunto vacío).
Ejemplo.
Sean los conjuntos:
U = { a ,b , c , d , e , f , g , h , i , j , k , l , m , n}
A = { a , d ,e , g , h , k ,l , n}
B = { a , c , f , g , k ,l , m }
Obtener:
a) A ∪ B b) A∩B c) A'
d) B' e) A− B f) B−A
g) A' ∪ B h) A ∩ B ' i) A' ∩ B '
j) A' − B' k) (A ∪ B)' l) ( A ∩ B ) '
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Solución.
a) A ∪ B = { a , c , d ,e , f , g , h , k ,l , m , n} b) A ∩ B = { a , g , k ,l }
c) A' = { b , c , f , i , j , m } d) B ' = { b , d , e , h ,i , j , n}
e) A − B = { d ,e , h , n } f) B − A = { c , f , m }
g) A' ∪ B = { a ,b ,c , f , g ,i , j , k ,l , m } h) A ∩ B ' = { d , e , h , n }
i) A' ∩ B ' = { b ,i , j } j) A' − B ' = { c , f , m }
k) ( A ∪ B ) ' = {b ,i , j }
l) ( A ∩ B ) ' = { b ,c , d , e, f , h ,i , j , m , n}
De acuerdo con las definiciones de unión, complemento y diferencia, se puede establecer que sus
respectivas cardinalidades se pueden obtener a través de:
η( A ∪ B ) = η( A ) + η(B ) − η( A ∩ B )
η( A' ) = η(U ) − η( A )
η( A − B ) = η( A ) − η( A ∩ B )
Ejemplo.
En una unidad habitacional viven 120 familias y se sabe que 70 de ellas tienen automóvil, que 30
poseen un reproductor de DVD y que 17 tienen ambas cosas. Se desea conocer: a) ¿cuántas familias
tienen exclusivamente automóvil?, b) cuántas familias son dueños exclusivamente de un reproductor
DVD, c) ¿cuántas familias son propietarias de un automóvil o de un reproductor DVD?, y d) ¿cuántas
familias no poseen ni automóvil ni reproductor DVD?
Solución.
Identificando los datos por su cardinalidad:
Número de familias del conjunto universal, η(U ) = 120
Número de familias con automóvil, η( A ) = 70
Número de familias con reproductor DVD, η(D ) = 30
Número de familias con automóvil y con reproductor DVD, η( A ∩ D ) = 17
U
A
D
17
70 − 17 30 − 17
( A ∪ D )'
Del diagrama en donde se muestran el número de elementos de los conjuntos se aprecia que:
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a) El número de familias que exclusivamente tienen automóvil es:
η( A ) − η( A ∩ D ) = 70 − 17 = 53
b) El número de familias que son dueños exclusivamente de un reproductor DVD es:
η(D ) − η( A ∩ D ) = 30 − 17 = 13
c) El número de familias que son propietarias de un automóvil o de un reproductor DVD es: η( A ∪ B ) ,
así que: η ( A ∪ D ) = η ( A ) + η (D ) − η ( A ∩ D ) = 70 + 30 − 17 = 83
d) El número de familias que no poseen ni un automóvil ni un reproductor DVD es: η ( A ∪ B )' , por lo que:
η ( A ∪ D )' = η (U ) − η ( A ∪ D ) = 120 − 83 = 37
PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS
Sean los conjuntos A, B , C dentro del universo U . Las seis propiedades que rigen las operaciones con
esos conjuntos son las siguientes:
1. Propiedades de identidad:
A∪φ = A
A ∪U = U
A ∩U = A
A∩ φ = φ
2. Propiedades de idempotencia:
A∪ A = A
A∩ A = A
3. Propiedades de complemento:
A ∪ A' = U
A ∩ A' = φ
4. Propiedades asociativas:
( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )
5. Propiedades conmutativas
A∪ B = B ∪ A
A∩ B = B ∩ A
6. Propiedades distributivas
A ∪ (B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )
A ∩ (B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
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LEYES DE D’MORGAN
Estas leyes establecen los complementos de la unión e intersección entre conjuntos:
Primera ley. El complemento de la unión de dos conjuntos es la intersección de sus complementos.
( A ∪ B )' = A' ∩ B'
( A ∪ B )' A' ∩ B '
U U
A B = A B
A ∪ B viene dada por la región en blanco y ( A ∪ B ) ' está representado
En el diagrama de la izquierda,
por el área sombreada verticalmente. Por su parte en el diagrama de la derecha, A' es la región
sombreada horizontalmente, B ' es el área sombreada verticalmente, por lo que A' ∩ B' está
representado por la superficie cuadriculada. Las regiones resultantes son iguales.
Segunda ley. El complemento de la intersección de dos conjuntos es la unión de sus complementos:
( A ∩ B )' = A' ∪ B'
( A ∩ B )' A' ∪ B '
U U
A B = A B
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En el diagrama de la izquierda, A ∩ B está dada por la región sombreada horizontalmente y ( A ∩ B )'
está representado por el área sombreada verticalmente. Por su parte, en el diagrama de la derecha, A'
es la región sombreada horizontalmente, B ' es el área sombreada verticalmente, por lo que A' ∪ B' está
representado por la superficie que no es blanca. Las regiones resultantes son iguales.
Ejemplo.
Dados los siguientes conjuntos:
U = {1, 2 ,3, 4 ,5,6 ,7 ,8,9,10,11,12 }
A = {1,3, 4, 7 ,9, 11 }
B = {1, 2 , 5, 7 , 9 ,11,12 }
Comprobar las leyes de D’Morgan:
Solución.
A ∪ B = {1, 2 , 3, 4 , 5, 7 , 9 ,11,12 }
A ∩ B = {1,7 ,9,11}
A' = { 2 ,5, 6 ,8,10 ,12 }
B' = { 3, 4 , 6 ,8,10 }
( A ∪ B ) ' = { 6,8,10 } _ (1)
A ' ∩ B ' = { 6 ,8 ,10 } _ (2 )
Como (1) = (2 ) ⇒ ( A ∪ B )' = A' ∩ B'
( A ∩ B)' = { 2,3,4,5,6,8,10,12 } _(3)
A' ∪ B ' = { 2,3, 4,5, 6,8,10,12 } _ (4)
Como (3) = (4 ) ⇒ ( A ∩ B ) ' = A' ∪ B '
PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS Y SU GRÁFICA
Uno de los principios básicos para hacer un análisis matemático es el concepto de parejas ordenadas:
dos objetos, personas, símbolos o cosas mencionados en un orden definido por su posición, es decir,
primero uno y luego el otro. Si este orden cambiara, es decir, primero el otro y luego el uno, se tendrá
como resultado una nueva pareja ordenada y diferente a la inicialmente considerada.
La simbología matemática que se utiliza para representar una pareja ordenada es escribir dentro de un
paréntesis, la primera componente separada por una coma de la segunda componente, por ejemplo:
(x , y ) es la pareja ordenada, en donde x es la primera componente y y es la segunda componente.
El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los posibles pares ordenados
que se forman eligiendo como primera componente a un elemento que pertenezca a A , y como segunda
componente a un elemento que pertenezca a B .
El producto cartesiano se denota de la siguiente forma: A × B y se lee “ A cruz B ”.
A × B = { (x , y ) x∈ A y y∈B }
La definición anterior expresa que el producto cartesiano de los conjuntos A y B , son la parejas
ordenadas (x , y ) tal que x pertenece al conjunto A y y pertenece al conjunto B .
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Ejemplo.
Obtener el producto cartesiano A × B de los siguientes conjuntos:
A = {1, 2 ,3 }
B = { 2 , 4 , 6 ,7 }
Solución.
A × B = { (1, 2 ), (1, 4 ), (1, 6 ), (1, 7 ), (2 , 2 ), (2 , 4 ), (2 , 6 ), (2 ,7 ), (3, 2 ), (3, 4 ), (3,6 ), (3,7 ) }
El número de parejas ordenadas que resultan de un producto cartesiano se obtiene multiplicando sus
cardinalidades. En el ejemplo anterior, η( A) = 3 y η(B ) = 4 , el número de parejas ordenadas es:
(3)(4) = 12 .
El producto cartesiano no es conmutativo. Esto significa que A × B ≠ B × A , a menos que A = B .
Ejemplo.
Obtener el producto cartesiano B × A dados los mismos conjuntos anteriores:
A = {1, 2 ,3 }
B = { 2 , 4 , 6 ,7 }
Solución.
B × A = { (2 ,1), (2 , 2 ), (2 ,3), (4 ,1), (4 , 2 ), (4 ,3), (6 ,1), (6 , 2 ), (6 ,3), (7 ,1), (7 , 2 ), (7 ,3) }
A× B ≠ B × A
Ejemplo.
Dados los siguientes conjuntos:
P = { mango ,uva , sandía }
Q = { melón, piña,ciruela,tuna,limón }
obtener los productos cartesianos P × Q y Q × P .
Solución.
P × Q = { (mango , melón ), (mango , piña ), (mango , ciruela ), (mango ,tuna ), (mango , limón ),
(uva, melón), (uva, piña), (uva,ciruela), (uva,tuna), (uva,limón),
(sandía , melón ), (sandía , piña ), (sandía ,ciruela ), (sandía ,tuna ), (sandía ,limón )}
Q × P = { (melón, mango ), (melón,uva ), (melón, sandía ),
( piña ,mango ), ( piña ,uva ), ( piña , sandía ),
(ciruela, mango), (ciruela,uva ), (ciruela, sandía ),
(tuna ,mango), (tuna ,uva ), (tuna , sandía),
(limón, mango ), (limón, uva ), (limón, sandía )}
Un sistema de dos ejes coordenados o plano cartesiano, se define como el conjunto de todas las parejas
ordenadas de números reales, que corresponden en sí al producto cartesiano R x R.
Un sistema de ejes coordenados se construye haciendo que dos líneas rectas se corten
perpendicularmente en un punto llamado origen, quedando el plano dividido en cuatro regiones llamadas
cuadrantes. Al eje horizontal se le conoce como eje x y al eje vertical como eje y .
Esto se representa de la siguiente forma:
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y
5
4
Cuadrante II Cuadrante I
3
(-, +) (+, +)
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x
-1
-2
Cuadrante III Cuadrante IV
-3
(-, -) -4 (+, -)
-5
Dado que el conjunto R x R son todas las parejas ordenadas (x , y ) de un plano cartesiano, se tiene que:
R2=R x R = { (x , y ) x ∈R y y ∈ R }
En una pareja ordenada (x , y ) , a x se le da el nombre de abscisa y a y , el nombre de ordenada. Estos
valores sirven para localizar un punto en el plano cartesiano, y se les llama coordenadas de un punto,
que se escribe como P (x , y ) .
A cada pareja ordenada de este producto cartesiano le corresponde uno y sólo un punto sobre el plano
cartesiano, y a cada punto del plano cartesiano le corresponde una y sólo una pareja ordenada. A esto se
le llama correspondencia biunívoca.
Ejemplo.
Ubicar en el plano cartesiano los siguientes puntos: P1 (2,4) , P2 (− 4 ,5 ) , P3 (− 3,− 2) , P4 (3, − 4 )
P2 (-4,5) y
5
4 P1 (2,4)
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x
-1
-2
-3
P3 (-3,-2) -4 P4 (3,-4)
-5
13
14. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de conjuntos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
Ejemplo.
Dados los conjuntos A = { 2 ,3, 4 } y B = {1, 2 ,3 }, obtener la gráfica del producto cartesiano A × B
Solución.
El conjunto solución a este producto cartesiano son nueve puntos discretos formado por las parejas
ordenadas: A × B = { (2 ,1) , (2 , 2 ), (2 , 3), (3,1), (3, 2 ), (3,3), (4 ,1), (4 , 2 ), (4 , 3) } . Gráficamente esto es:
y
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x
-1
-2
-3
-4
-5
Ejemplo.
Sean los conjuntos A = x { 2 ≤ x ≤ 4, x ∈ R } y B = { y 2 ≤ x ≤ 5, y ∈ R } , graficar el producto
cartesiano A × B
El conjunto solución a este producto cartesiano es una superficie plana de forma rectangular limitada
tanto en x como en y . Gráficamente esto es:
y
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x
-1
-2
-3
-4
-5
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