Este documento presenta conceptos básicos sobre relaciones y órdenes. Define relaciones, relaciones de equivalencia y órdenes parciales. Explica el principio maximal de Hausdorff y el principio de buen ordenamiento. Finalmente, introduce la noción de ordinales numerables y no numerables, y construye un conjunto bien ordenado no numerable con un último elemento.

1. Universidad Nacional de la Patagonia - Facultad de Ingenier´
ıa 1
Relaciones y orden - Buena Ordenaci´n y
o
Ordinales numerables
Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca
ıa
Relaciones y orden - Buena Ordenaci´n y Ordinales numerables by Ana Mar´ Teresa
o ıa
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1 Relaciones y orden
1.1 Relaciones y Equivalencias
Dos entidades x e y pueden ser relacionadas con cualquier otra en varias
formas, como en x = y, x ∈ y, x ⊂ y, o para n´meros x < y.
u
Definici´n: Diremos que R denota una relaci´n si dados x e y, x est´
o o a
relacionado R con y (escribiendo xRy) o x no est´ en relaci´n R con y.
a o
Definici´n: Una relaci´n R se dice una relaci´n sobre un conjunto
o o o
X si xRy implica x ∈ X e y ∈ X.
Definici´n: Si R es una relaci´n sobre un conjunto X definimos el
o o
gr´fico de R como el conjunto { x, y : xRy}.
a
Puesto que consideraremos dos relaciones R y S como iguales si
xRy ↔ xSy,
cada relaci´n sobre un conjunto X est´ un´
o a ıvocamente determinada por su
a ıprocamente, cada subconjunto de X ×X es el gr´fico de alguna
gr´fico y, rec´ a
relaci´n sobre X. As´ podemos, si nos agrada, identificar una relaci´n sobre
o ı o
X con su gr´fico y definir una relaci´n como un subconjunto de X × X. En
a o

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ıa
algunos tratamientos m´s formales de teor´ de conjuntos una relaci´n es
a ıa o
definida simplemente como un subconjunto de pares ordenados.
Definici´n: Una relaci´n R se dice transitiva en un conjunto X si:
o o
(xRy ∧ yRz → xRz), ∀ x, y, z ∈ X.
Ejemplo 1.1 = y < son relaciones transitivas en el conjunto de los n´meros
u
reales.♦
Definici´n: Una relaci´n R se dice sim´trica en un conjunto X si:
o o e
(xRy → yRx), ∀ x, y ∈ X.
Definici´n: Una relaci´n R se dice reflexiva en un conjunto X si:
o o
xRx, ∀ x ∈ X.
Definici´n: Una relaci´n R que es transitiva, reflexiva y sim´trica en
o o e
un conjunto X se dice relaci´n de equivalencia en el conjunto X.
o
Supongamos que ≡ es una relaci´n de equivalencia sobre un conjunto X.
o
Para un x ∈ X dado, sea Ex el conjunto de elementos equivalentes a x; esto
es,
Ex = {y : y ≡ x}.
Observaciones:
1. Si y, z ∈ Ex , entonces y ≡ x, y z ≡ x, y por la simetr´ y la transitivi-
ıa
dad de la relaci´n ≡ tenemos z ≡ y. As´ dos elementos cualesquiera
o ı,
de Ex son equivalentes.
2. Si y ∈ Ex y z ≡ y, entonces z ≡ y e y ≡ x, de donde z ≡ x, y
as´ z ∈ Ex . Luego, cualquier elemento de X que sea equivalente a un
ı
elemento de Ex es ´l mismo un elemento de Ex .
e

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ıa 3
Consecuentemente, para cualesquiera dos elementos x, y ∈ X, los conjuntos
Ex y Ey son id´nticos (si x ≡ y) o disjuntos ( si no ocurre x ≡ y).
e
Los conjuntos de la colecci´n {Ex : x ∈ X} son los conjuntos o clases
o
de equivalencia de X respecto de la relaci´n ≡.
o
Observaciones:
• El conjunto X es la uni´n disjunta de las clases de equivalencia respecto
o
de ≡.
• Dado que x ∈ Ex , ninguna clase de equivalencia es vac´
ıa.
Llamaremos cociente de X respecto de ≡ a la colecci´n de clases de
o
equivalencia respecto de ≡, y lo denotaremos X/ ≡. La aplicaci´n x → Ex
o
es llamada aplicaci´n natural de X sobre X/ ≡.
o
Una operaci´n binaria sobre un conjunto X es una aplicaci´n del
o o
producto cartesiano X × X en X.
Diremos que una relaci´n de equivalencia ≡ es compatible con una
o
operaci´n binaria + si:
o
x ≡ x ∧ y ≡ y → (x + y) ≡ (x + y ).
En este caso + define una operaci´n en el cociente Q = X/ ≡ como sigue:
o
Si E, F ∈ Q, elegidos x ∈ E, y ∈ F , definimos: E + F = Ex+y .
Observaci´n: Puesto que ≡ es una relaci´n de equivalencia, E + F s´lo
o o o
depende de E y de F , y no de la elecci´n de x e y.
o
1.2 ´
Ordenes Parciales y el Principio Maximal
Definici´n: Una relaci´n R se dice antisim´trica en un conjunto X si:
o o e
(xRy ∧ yRx → x = y), ∀ x, y ∈ X.
Una relaci´n se dice un orden parcial de un conjunto X si es tran-
o
sitiva y antisim´trica sobre X.
e
Ejemplo 1.2 ≤ es un orden parcial de los n´meros reales. ⊂ es un orden
u
parcial de P(X). ♦

4. 4 Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca
ıa
Definici´n: Un orden parcial
o de un conjunto X se dice un orden
lineal (o simplemente un orden) de X si para dos elementos cualesquiera
x, y ∈ X tenemos:
x y ∨ y x.
Ejemplo 1.3 ≤ ordena parcialmente al conjunto de los n´meros reales. ⊂
u
no es un orden lineal sobre P(X). ♦
Si es un orden parcial sobre X y si a b diremos que a precede a b,
o que b sigue a a. Algunas veces diremos que a es menor que b, o que b es
mayor que a.
Definici´n: Si E ⊂ X, diremos que un elemento a ∈ E es el primer
o
elemento de E si:
(x ∈ E ∧ x = a) → a x.
An´logamente se define el ultimo elemento.
a ´
Definici´n: Un elemento a ∈ E se dice elemento minimal de E si no
o
existe x ∈ E con x = a y x a.
An´logamente se define el elemento maximal de E.
a
Ejemplo 1.4 En el conjunto {3, 5, 7, 11} con el orden usual, el primer ele-
mento es 3 y el ultimo elemento es 11. ♦
´
Ejemplo 1.5 Consideremos el conjunto X = {a, b, c, d, e, f, g} con el orden
indicado en el diagrama:

5. Universidad Nacional de la Patagonia - Facultad de Ingenier´
ıa 5
X no tiene primer elemento pero sus elementos minimales son a y c.
Si consideramos A = {b, d, f, g}, A no tiene primer elemento y sus ele-
mentos minimales son b y f .
Si consideramos B = {a, b, d, g}, B tiene como primer elemento a a, y
´ste es a la vez elemento minimal de B. ♦
e
De estos ejemplos podemos deducir que si un conjunto tiene primer el-
emento entonces ´ste es elemento minimal. Si es un orden lineal, un ele-
e
mento minimal es primer elemento, pero en general es posible tener elemen-
tos minimales sin que exista primer elemento.
Nuestra definici´n de orden parcial no afirma nada acerca de la posibil-
o
idad de que sea x x.
Definici´n: Un orden parcial
o de un conjunto X se dice un orden
parcial reflexivo si:
x x, ∀ x ∈ X.
Si esto nunca ocurre, es un orden parcial estricto.
Ejemplo 1.6 < es un orden parcial estricto para los n´meros reales. ≤ es
u
un orden parcial reflexivo para los n´meros reales. ♦
u
A un orden parcial cualquiera est´ asociado un unico orden parcial
a ´
estricto y un unico orden parcial reflexivo que coincide con
´ para todo
x, y tal que x = y. Si < es un orden parcial, usaremos ≤ para denotar al
orden parcial reflexivo asociado.
El siguiente principio es equivalente al Axioma de Elecci´n y es usado
o
frecuentemente dada la conveniencia de su aplicaci´n.
o
Principio Maximal de Hausdorff: Sea un orden parcial en un
conjunto X. Entonces existe un subconjunto maximal linealmente ordenado
S de X; esto es, un subconjunto S de X que est´ linealmente ordenado por
a
y que tiene la siguiente propiedad:
S ⊂ T ⊂ X ∧ T linealmente ordenado por → S = T.
1.3 Buena Ordenaci´n y Ordinales Numerables
o
Definici´n: Diremos que un orden lineal estricto en un conjunto X es un
o
buen orden para X o un buen ordenamiento de X si todo subconjunto
no vac´ de X posee primer elemento.
ıo

6. 6 Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca
ıa
Ejemplo 1.7 N con la relaci´n “menor que” es bien ordenado. R no es
o
bien ordenado por la relaci´n “menor que”. ♦
o
El siguiente principio claramente implica el Axioma de Elecci´n y puede
o
demostrarse que es equivalente a ´ste y al Principio de Hausdorff.
e
Principio de Buen Ordenamiento: Todo conjunto X puede ser bien
ordenado; esto es, existe una relaci´n que bien ordena a X.
o
Proposici´n 1.3.1 Existe un conjunto no numerable X que es bien orde-
o
nado por una relaci´n de forma tal que:
o
i. Existe un ultimo elemento Ω en X;
´
ii. Si x ∈ X y x = Ω entonces {y ∈ X : y x} es numerable.
Dem: Sea Y no numerable. Por el Principio del Buen Orden
Y puede ser bien ordenado por .
Si Y tiene ultimo elemento nada haremos.
´
Si Y no tiene ultimo elemento, sea α tal que α ∈ Y . Exten-
´ /
damos el orden haciendo y α, ∀ y ∈ Y , y reemplacemos Y por
Y ∪ {α}. As´ podemos suponer que Y posee ultimo elemento.
ı ´
Consideremos el conjunto
A = {y ∈ Y : {z ∈ Y : z y} es no numerable}.
A = ∅ pues α ∈ A.
Como A ⊂ Y , con Y bien ordenado, entonces A posee primer
elemento (por definici´n de buen orden). Sea Ω ese primer ele-
o
mento.
Consideremos X = {x ∈ Y : x Ω ∨ x = Ω}.
Veamos que cumple las condiciones del teorema:
• Ω es primer elemento de A, entonces {x ∈ Y : x Ω} es no
numerable, de modo que X es no numerable.
• Ω es el ultimo elemento de X (por definici´n de X)
´ o
• Sea x ∈ X y x = Ω. Entonces x Ω, por lo que x ∈ A.
/
Luego, x ∈ {y ∈ Y : {z ∈ Y : z y} es no numerable}. Por
/
lo tanto, x ∈ {y ∈ X : {z ∈ X : z y} es no numerable }(X ⊂
/
Y ), y as´ {z ∈ X : z x} es numerable.♦
ı
El conjunto bien ordenado X dado en la proposici´n ser´ util para la
o a ´
construcci´n de ejemplos. Puede ser probada su unicidad en el siguiente
o

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ıa 7
sentido: si Y es otro conjunto bien ordenado con las mismas propiedades,
entonces existe una correspondencia uno a uno que preserva el orden entre
X e Y.
El ultimo elemento Ω en X es el primer ordinal no numerable y a X
´
se lo llama el conjunto de ordinales menores o iguales que el primer ordinal
no numerable. Los elementos x Ω son los ordinales numerables. Si el
conjunto {y : y x} es finito diremos que x es un ordinal finito. Si ω
es el primer ordinal no finito entonces {x : x ω} es el conjunto de
ordinales finitos y es equivalente, como conjunto ordenado, al conjunto N de
los enteros positivos.
Bibliograf´
ıa:
• Royden, H. L. (1968) Real Analysis. Second Edition, The Macmillan
Company, New York.
• Kolman - Busby - Ross (1997) Estructuras de matem´ticas discretas
a
para la computaci´n. Prentice Hall.
o