Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y cómo se representan. Explica diferentes formas de expresar conjuntos como extensión y comprensión. Luego describe operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. Finalmente, introduce conceptos como proposiciones, tablas de verdad y tautologías.

1. TEORIA DE CONJUNTOS
Esp.. Gloria Alejandra Rubio Vanegas

2. CONJUNTO
•conjunto se puede entender como una colección o agrupación bien definida de objetos de cualquier clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos del conjunto
NOTACION
•Se representa con las letras del alfabeto en Mayúscula y los elementos entre llaves {} y en minúscula
Ejemplo:
L={a,b,c….,z}

3. EXPRESIÓN DE CONJUNTOS
EXTENSION
•Cuando se nombran todos sus elementos
Ejemplo:
A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
COMPRENSIÓN
•Cuando se nombra una propiedad o regla o características de los elementos del conjunto
Ejemplo:
A: { x ЄN / x >0 y x <11}

4. DEFINICION DE CONJUNTOS
CONJUNTOS
INFINITOS
•A={x ЄR / 0 ≤x < 9}
•B={ x ЄN / x es par}
CONJUNTOS
FINITOS
•A= { x / x es una letra del alfabeto}
•B= { x / x son impares hasta el 20}

5. DEFINICION DE CONJUNTOS
CONJUNTOS
INFINITOS
•A={x ЄR / 0 ≤x < 9}
•B={ x ЄN / x es par}
CONJUNTOS
FINITOS
•A= { x / x es una letra del alfabeto}
•B= { x / x son impares hasta el 20}

6. GRAFICO DE CONJUNTOS
DIAGRAMA DE VENN

7. Números Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....}
Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}
Números Racionales (Q)
Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....}
Números Irracionales ( I ) I={...; 2 ; 3 ;  ;....}
Números Reales ( R )
R={...;-2;-1;0;1; 2 ; 3 ;2;3;....}
1
2

1
5
1
2
4
3
Números Complejos ( C )
C={...;-2; ;0;1; 2 ; 3 ;2+3i;3;....}
1
2

CONJUNTOS NUMÉRICOS

8. CONJUNTOS ESPECIALES
CONJUNTO
UNIVERSAL
•Es un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular, generalmente se le representa por la letra U
U

9. CONJUNTOS ESPECIALES
CONJUNTO
VACIO
•Es un conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los símbolos: Ø o { }
•A = Ø o A = { }se lee: “A es el conjunto vacío” o “A es el conjunto nulo “
U
A

10. CONJUNTOS ESPECIALES
CONJUNTO
UNITARIO
•Es el conjunto que tiene un solo elemento
•Ejemplo: F = { x / 2x + 6 = 0 } G ={ x / x es un número primo}
U
A
-3

11. RELACION ENTRE CONJUNTOS
INCLUSIÓN
• Un conjunto A esta incluido en otro conjunto B ,sí y
sólo sí, todo elemento de A es también elemento de
B, NOTACIÓN :
• Se lee : A esta incluido en B, A es subconjunto de B,
A esta contenido en B , A es parte de B.
AB
B
A

12. EJEMPLO DE INCLUSION DE CONJUNTOS

13. RELACION ENTRE CONJUNTOS
DIFERENTES
•Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes.

14. OPERACIÓN ENTRE CONJUNTOS
UNION
•Si A y B son dos conjuntos no vacíos, se define la unión entre A y B como el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Simbólicamente la unión se define así:
•AUB = {x / xЄA, v , xЄ B}, donde el símbolo “v” se lee “o”.
U
A
B

15. EJEMPLO UNION DE CONJUNTOS

16. OPERACIÓN ENTRE CONJUNTOS
INTERSECCION
•Se define la intersección entre dos conjuntos A y B como el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen simultáneamente al conjunto A y al conjunto B. Simbólicamente la intersección se expresa así:
•A ∩ B = {x / x ЄA, ^ , x ЄB} el símbolo “∩” se lee intersección y el símbolo “^” se lee “i”.
U
A
B

17. EJEMPLO INTERSECCION DE CONJUNTOS

18. OPERACIÓN ENTRE CONJUNTOS
DIFERENCIA
•Si A y B son dos conjuntos no vacíos, entonces se define la diferencia entre A y B así
•Es decir son los elementos que posee el primer conjuntos que no pertenecen al segundo conjunto
U
A
B

19. EJEMPLO DIFERENCIA DE CONJUNTOS

20. OPERACIÓN ENTRE CONJUNTOS
DIFERENCIA
SIMETRICA
•Se define la diferencia simétrica entre dos conjuntos no vacíos A y B, como el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, pero no pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos.
U
A
B

21. EJEMPLO DIFERENCIA SIMETRICA DE CONJUNTOS

22. OPERACIÓN ENTRE CONJUNTOS
COMPLEMENTO
•Si A es un conjunto no vacío, el complemento de A, simbolizado por A’, está formado por todos los elementos que no pertenecen al conjunto A, es decir,
U
A
B

23. EJEMPLO COMPLEMENTO DE CONJUNTOS

24. PROPOSICIONES•Una proposición lógica es un enunciado lingüístico que debe cumplir con la condición de ser susceptible de poder ser verdadero o falso. Ejemplo: “Hoy es miércoles 21 de marzo” Puede ser verdadero o falsoV FLas proposiciones se representa en letras minúsculas como p,q,r,s,qEjemplo: p= Hoy es miércolesq= Es de NocheMs. Carmen Emilia Rubio V.

25. p : Hoy es Jueves q : es de Noche
p ^ q
p v q
¬ p
¬q
p q
p qEsp. Alejandra Rubio V.
PROPOSICIONESProposición Atómica o SimpleProposición Compuesta
Es cuando no posee conectores lógicos
Es una o mas proposiciones atómicas unidad con términos de enlace o conectores lógicos

26. EJERCICIOS RESUELTOS DE PROPOSICIONES
•7415 es un numero par
•RTA: SI es una proposición puesto que el 7415 no es un numero par, por lo tanto tiene una valor de verdad FALSO
•Que hora es?
•RTA: NO es una proposición puesto que a una oración interrogativa no se le puede determinar un valor de verdad.
•!Pare por favor!
•RTA: No es una proposición, puesto que una oración admirativa, no se le puede determinar un valor de verdad.
•El atardecer en la playa es romántico
•RTA: No es una proposición, puesto que es un enunciado Ambiguo por lo cual no se puede determinar un valor de verdad.
•La edad de Diana es 17 años
•RTA: SI es una proposición, puesto que el enunciado tiene un solo valor de verdad, o es verdadero o es falso para Diana

27. EJERCICIOS RESUELTOS DE PROPOSICIONES
•45+18
•RTA: NO es una proposición es un enunciado incompleto
•El amanecer es bello
•RTA: NO es una proposición puesto que es un enunciado Impreciso
•퐱ퟐ+ퟐ퐱+ퟏ=ퟎ
•RTA: NO es una proposición, puesto que es una oración en la cual no se precisa el valor de x, por lo cual no se precisa el valor de verdad
•El sabor del color es dulce
•RTA: NO es una proposición, puesto que es una oración ambigua.
•Disparen al ladrón
•RTA: Es una oración que indica una orden, la cual no tiene un valor de verdad por lo tanto NO es una proposición
•Mi banca es Gris
•RTA: SI es una proposición, puesto que es una oración Afirmativa. Esp. Alejandra Rubio V.

28. VALOR DE VERDAD
•Es la cualidad de veracidad que describe apropiadamente a una proposición , esta puede ser verdadera o falsa. Esp. Alejandra Rubio V.
TABLA DE VERDAD
•Es una representación de los posibles valores de Verdad que podría tomar una proposición

29. CONECTIVOSEsp. Alejandra Rubio V.

30. CONJUNCIÓN “^” Esp. Alejandra Rubio V.
p ^ q
p:Lasperassonrojas
q:lasperassonfrutas
Las peras son rojas Yson frutas
F ^ V = F
p
q
p ^ q
V
V
V
V
F
FFVF
F
F
F

31. DISYUNCIÓN “v” Esp. Alejandra Rubio V.
p v q
p:Lasperassonrojasq:lasperassonfrutas
Las peras son rojas oson frutas
Fv V= V
p
q
p v q
V
V
V
V
F
VFVV
F
F
F

32. NEGACIÓN “¬” Esp. Alejandra Rubio V.
¬p
p:Lasperassonrojas
Las peras no son rojas
V = F
p
¬p
V
F
F
V

33. CONDICIONAL “” Esp. Alejandra Rubio V.
p q
p:Lasperassonrojasq:lasperassonfrutas
Si las peras son rojas entonces las peras son frutas
F V = V
p
q
p q
V
V
V
V
F
FFVV
F
F
V

34. BICONDICIONAL “” Esp. Alejandra Rubio V.
p q
p:Lasperassonrojas
q:lasperassonfrutas
Las peras son rojas si y solo si las peras son frutas
F V = F
p
q
p q
V
V
V
V
F
FFVF
F
F
V

35. TABLAS DE VERDADEsp. Alejandra Rubio V.
Seconstruyendeacuerdoalnúmerodeproposicionesquetieneelejercicio.
Esdecir2n,dondeneselnúmerodeproposiciones
EJEMPLO:
¬p
p
¬p
V
F
F
V

36. TABLAS DE VERDADEsp. Alejandra Rubio V.
EJEMPLO:
¬pvq
p
q
¬p
¬pvq
V
V
F
V
V
F
F
v
F
V
V
V
F
F
V
V

37. TABLAS DE VERDADEsp. Alejandra Rubio V.
EJEMPLO:
p^¬q
p
q
¬q
p^¬q
V
V
F
F
V
F
V
v
F
V
F
F
F
F
V
F

38. TABLAS DE VERDADEsp. Alejandra Rubio V.
EJEMPLO:
¬pq
p
q
¬p
¬pq
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F

39. TABLAS DE VERDADEsp. Alejandra Rubio V.
EJEMPLO:
p¬q
p
q
¬q
p ¬q
V
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
F

40. TAUTOLOGIAS
•Son las llamadas proposiciones compuestas EJEMPLO: [(p v ¬q) ¬p] Esp. Alejandra Rubio V.
p
q
¬q
(p v ¬q)
¬p
[(p v ¬q)  ¬p]
V
V
V
F
F
V
F
F

41. TAUTOLOGIASProposiciones Equivalentes
•Dos proposiciones compuestas se consideran lógicamente equivalentes, si tienen los mismos valores de verdad para cada caso en su tabla de verdad. Ejemplo Demostrar que las proposiciones p q y la proposición ¬p v q son lógicamente equivalentes: Esp. Alejandra Rubio V.

42. TAUTOLOGIASDoble NegaciónEsp. Alejandra Rubio V.

43. TAUTOLOGIASDoble Negación
•Consideremos la proposición simple:
p: Hoy es Jueves
¬p: Hoy no es Jueves
¬(¬p): Hoy es JuevesEsp. Alejandra Rubio V.

44. TAUTOLOGIASImplicación Directa, Contraria, Recíproca y ContrarecíprocaEsp. Alejandra Rubio V.

45. TAUTOLOGIASImplicación Directa, Contraria, Recíproca y Contrarecíproca
EJEMPLO: Dadas las proposiciones
p: Las Ballenas son mamíferos q: Viven en el mar
Implicación Directa :
Implicación Contraria:
Implicación Recíproca:
Implicación Contrarecíproca:
Si las ballenas son mamíferos viven en el mar
Si las ballenas no son mamíferos no viven en el mar
Si vive en el mar entonces es ballena
no vive en el mar entonces no es ballena