04197201tt

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS CANALES Y PUERTOS
O.3^5 lU
ESTUDIO DEL CONVERTIDOR
MAGNETOHIDRODINAMICO
DE INDUCCIÓN Y DE LA
SUPRESIÓN DE SUS EFECTOS
DE BORDE
Tesis doctoral presentada
por
JOSÉ R. WILHELMI AYZA
Bajo la dirección
del
Prof. Doctor Vicente Rogiá Altet
MADRID, OCTUBRE 1972

- X
,iS^
Este trabajo ha sido realizado en la Sección de Investiga™
eión Básica del Gabinete de Aplicaciones Nucleares del Cen_
tro de Estudios y Experinienteición de Obras Publicas, y ña
sido el origen de la patente de invención N- 4027^^! "Pei'-
f'eccionaaiientos en Convertidores de Inducción Lineales",
a nombre de este Centro.
El autor desea expresar su agradecimiento al personal del
Gabinete, y en especial:
. A su Director, Prof, Dr, Vicente Roglá Altet que ha diri-
gido este trabajo, y cuyas enseñanzas y consejos han he-
i •
cho posible su terminación.
. A D. Fernando Flores Sintas, I)r. Ing. de Caminos, Canales
y Puertos, cuya gran experiencia en el tema ha supuesto
una ayuda de inestimable valor en la recopilación e intei_
pretación del material existente, asjf como en la exposi-
ción de los conceptos fundamentales,
. A I). Manuel Casanova Valcázar, Ing. de Caminos, Canales y
Puertos,cuyos comentarios han facilitado extraordinaria-
n'ente la estructuración del material contenido en los úl-
timos capítulos.

II
A D. Jaime Tamarit Rodríguea, Licenciado en Ciencias FÍsi_
casj que ha leído el manuscrito, y cuyos consejos y obse£
vaciones han contribuido a dar ma3'^or claridad a la exposi^
ción de algunos conceptos.
A D. Carlos Castro Esteban, Licenciado en Ciencias Físicas,
cuya gran experiencia en el manejo de metales líquidos, ha
supuesto una eficaz ayuda en la redacción del Pioyecto -
que se incluye en el Apéndice.
J.R. Wilheimi
Madrid, 18 Sept. 1.972

~ J. ..L X
Í N D I C E
Pag.
Capítulo I, El convertidor MID de inducción .= 6
1.1 Descripción del convertidor .........o.. 7
1.2 Convertidor de anchura infinita 12
Capítulo II. Estudio del comportamiento hidráulico
Ci.eJL Xi-Uxdo ................o.*..«.••*.. ^w
II. i Longitud de entrada .................<>. 21
II.2 Perfil de velocidades ............o,... 24
Capítulo IXI. El catüpo mag-nético en un convertidor
de pequeño entrehiexro 29
III.1 Creación del campo; devanados......... 3^
III. 2 Estudio del canspo magnético ........t. 39
Capítulo IV. Análisis del convertidor- de longitud
in
IV. 1 Resolución simplificada de las ecuacio^
ne s
IV. 2 Rendimiento eléctrico 6l
Capítulo V. El convertidor de longitud finita: Efe£
tos de borde y me todos propuestos para su
V.1 Descripción de los efectos de borde ,„,. 66
V.2 Método de los polos de compensación .... 69
V,3 Método de compensación internet ......o.. 80

Capítulo VI. El Método de Superposición ..o.»...o»» 97
VI.1 Descripción del Método 9^
VI.2 Rendimiento eléctrico ,,.,.....,...,... 109
Capítulo VII, cálculo del rendimiento global de un
convertidor 24IiD de inducción compen-
sado por Superposición .............. Ií5
VII.1 Perdidas adicionales ................. il6
a) Pérdidas de las paredes del canal .... Il6
b) Pérdidas en los devanados ............ 119
c) Pérdidas en el hierro ................ 123
d) Pérdidas hidráulicas 131
VII,2 Rendimiento global ................... 132
Apéndice. Proyecto de un convertidor .MHD de induc-
ción compensado por Supeiposición ....... ikG

La generación, magnetohidrodinámica (MHD) de energ-fa eléc-
trica, con metales líquidos, constituye actualmente el ob
jeto de los trabajos de numerosos grupos de investigadores.
En una central nuclear, que utilice un reactor de elevada
potencia específicas los metales líquidos pueden resolver
él problema de la extracción de la energía térmica del nu
( 1 )
cleo y como es el caso de los reactores rápidos, en los
que se emplea con ese fin el sodio líquido»
Se han propuesto diversos'^ sistemas de utilizar el ¡nismo
metal líquido que sirve como refrigerante del núcleo del
reactor, para producir directamente energía eléctrica me_
diante un generador magnetohidrodináraico. ^ 5 •< •'•
El metal líquido,a la salida del núcleo del reactor, pasa
por un dispositivo que ti^ansforma su energía térmica en
energía mecánica, la cual se convierte a su vez en energía
eléctrica en el generador MliD,
En la generación MHD de energía elécti-ica, no se utilizan
elementos con pieaas ; móviles (tales como turbinas, alter;
nadoress etc.), lo cual x-educe al mínimo, la conservación
de la instalación, y el procedimiento resulta ser también
muy atractivo para la producción de energía eléctrica en
los vehículos espaciales.

El estudio de los convertidores MHD de corx-iente c,ont£nua
y de corriente alterna tnonofásica, se encuentra actualmen-
te en un estado muy avanzado ' » ' ,
El presente trabajo se refiere al convertidor MHD de induc_
ÍH )
ción, que fué propuesto en 19^2 pai'a la generación MED
de energía eléctrica.
Las ventajas que presenta "a priori" este tipo de converti_
dor son dos, esencialmentes
- Permite la obtención de energía eléctrica, en forma de -•
corriente trifásica, a tensiones ele''ad.as.
I
- La corriente eléctrica no es extraída del metal líquido
mediante electrodos, sino del propio devanado de excita_
ción»
Su funcionamiento obedece al mismo principio que las máqui^
ñas asincronas convencionales, pero con una diferencia ~
esencial. La geometría de estas últimas es cilindrica, mieri^
tras que la del convertidor de inducción es lineal, y en -•
los extremos se producen unas corrientes a través del metal
líquido que se encuentra aguas arriba y aguas abajo del --
convertidor, que dan lugar a una disipación adicional de -
energía por efecto Joule. Además, estas corrientes, al re_
tornar por el interior del convertidor, perturban su funci£
namiento, desequilibrando las corrientes en las fases del
devanado y provocando un fuerte descenso en el rendimiento»

Al aumentar la longitud del convertidor, la importancia re_
lativa de los efectos de borde disminuye progresivamente,
y nos acercamos a la.s condiciones de funcionamiento que ->
tienen lugar en las máquinas rotatorias^ alcanzándose este
límite, cua.ndo la longitud es infinita.
Se ha dedicado mucho esfuerzo en los últimos años, a buscar
un procedimiento de compensar los efectos.de borde, y ele- ,
var así el rendimiento del convertidor lineal.
En este trabajo, se expone vn procedimiento original de com
pensa.cións denominado "Método de Superposición"¡i qué en -
nuestra opinión, reúne ventajas importantes respecto a los
' ya conocidos.
Conviene señalar que los r'esultados de este trabajo, son -
aplicables no sólo al convertidor MHD de inducción, sino
también, al motor lineal de inducción ^cuya. posible uti-
lización en tracción eléctrica de FoF«C.C„, está siendo e_s
tudiada actualmente ' ' '" „ La disposición méCs clásica
consiste en colocar sobre la. vía una placa metálica vertical
(que haría el papel del metal líquido en ios convertidoies
HHD ), mientras que los núcleos mag-néticos y los deva.nados
son solidarios de los vehículos.

En el capítulo Ijse describe en términos generales el con-
vertidor MHI) de inducción» incluyendo los detalles constru£
ti vos más importantes.
El capítulo IX, constituye un estudio, del comportamiento
hidráulico del metal líquidojen las condiciones que tienen
lugar en un convertidor de interés práctico.
En el capítulo III, se anali:aa la distíribución del campo ~
magnético en un convertidor de pequeño entrehierro, y se
justifican las apoximaciones que, en este sentido, se harán
en el resto del trabajo.
En el capítulo IV?se estudia el convertidor de longitud -
infinita, que marca el límite hacia el cual debe tender
cualquier método de compensación aplicado a un convertidor
real»
En el capítulo V,se discuten los procedimientos más impor-
tantes de compensación, propuestos hasta ahora.
El capítulo VI,describe el nuevo procedimiento de compensa-
ción, denominado "Método de Superposición".
En el capítulo VII, se analiza el convertidor MHD de in.du£
ción compensado por Superposición, incluyendo todas las pl£
didas, y determinando los criterios de dimensionamiento en

los cuales se debe basar un proyecto de esta máquina, para
que su comportamiento sea óptimo.
En el Apéndice, se aplica todo lo expuesto anteriormente a
un caso concreto.

CAPITULO I.
EL CONVERTIDOR MHD DE IITOUCCION '

I» 1 Descripción del convertidor
Consideremos un metal líquido jal que se ie ha comunicado
una cierta energía mecánica, que fluye por un conducto de
sección rectangular,con velocidad media v (fig. lol).
Supondremos que el fluido es incompresible , que el movi-
miento es permanente, y que la sección del conducto es -
constante; entonces, la velocidad del fluídoju, en cada -
punto de la sección, va dirigida según el eje del conducto
(eje Z ) , y es independiente del tiempo y de la coordenada
z, .
Imaginemos que en una zona del conducto, de longitud 2L,
existe un campo magnético, dirigido según el eje X, y con
la forma de una onda senoidal, que avanza en el sentido
positivo del eje Z, a la velocidad v , (fig. lol). Esta
situación es enteramente análoga a la de las máquinas asiTn^
cronas convencionales , en donde el rotor en jau-
la de ardilla, ha sido sustituido por el metal líquido.
Para orear el campo magnético deslizante, se utilizan dos
núcleos magnéticos paralelepipédicos, dispuestos como indi-
ca la fig. lol, en los que se practican imas ranuras en la
dirección del eje Y, para alojar los devanados, que son to-
talmente análogos a los de las máquinas asincronas conven
cionaleso

íí 1
í3'3i»sf?í»3»«;i35»inEiRS«itsi;^jii3w;.-5ijí

™ Q
En la fig'« l.Zjse aprecia una sección del convertidor por
un plano paralelo ai XZ. En virtud de la velocidad relati-
va del fluido conductor respecto al campo magnético: -
u =u~v 5 se inducen corrientes en el fluido- cuyo vector ™
r s
densidad de corriente, g, es proporcional a la conductivi-
dad del fluido y a u ,A B. El metal líquido, en estas cir-
cunstanciasj experimenta una fuersa por unidad de volumen,
de valor f =g A B ^^3sl5jl ¡^ g^^ j^^^ velocidad del fluido es
superior a la del campo, u y g, van dirigidosj como ae in^
dica en la parte izquierda de la fig. 1.2, y el fluido tien
de a ser fienado por el campo magnético, entregando su ener_
gía a las fuentes de este último, -,es decir, a los devanados
(funcionamiento como generador ). Para que el fluido circule
en régimen permanente, es necesaria una aportación continvia
de energia mecánica al fluido, que se transformarjí en ener-
gía eléctrica en los devanados.
vSi la velocidad del fluido es inferior a la del carapo ma.g-
nético, se tiene la situación que se indica en la parte áe_
recha de la fig. 1.2: El fluido tiende a ser acelerado por
el campo magnético (funcionamiento como bomba ) ^ En régimen
permanente, hay una transferencia continua de energia elec-
tromagnética, desde las fuentes del campo magnético (los de_
vanados), hacia el fluido, dond.e aquella aparece en forma
de. energía mecánica, que se emplea en vencer las resisten--
cias que se oponen al movimiento del fluido.

&
2af= 2a
Ix
=S3-
n n n n n
^
2L
HJ
Bj yg
a.fgíurwaif «imtrormtyarMtmgA rrtKM-»air^icatgEV>;aaBJ35tMfiT:'aTiBí»T7r-jm?pa«K5if.f^^
I
o

'Conviei-se señala-Tj que las paredes del conducto paralelas
al, plano YZ j "ven" moverse al campo magnético a la velo-
cidad V (superior, en geiieralj a u )s y que por tanto, se
inducen corrientes en eliass proporcionales a la conducti^
vidad, y a V ^ B, con lo que aujnentan las perdidas pox' efec
s •"
to Joule en el convertidor».
Para disnixnuir .la importancia relativa de estas corrienteSf
es necesario que la conductividad de dichas paredes y su ~
espesor total, 2(p~í)a (figc 1.2), sean mucho menores que
los correspondientes al metal líquido.
Esto plantea un grave problema, pues los mater-iales resis-
tentes al ataque químico del metal líquido, y a las eleva™
das presiones que pueden presentarse, son metálicos, y por-
(17 )
tanto, con una conductividad elevada. .
Uno de los más apropiados es el 1-Jastelloy C, aleacic'n a ba
se de Niquel {Gk'fo), Crorao (íG'Jo), Molibdeno (159^) '7 Hierro
(5/¿-)s l'Je tiene una gran resistencia mecánica, y una conduc_
tividad eléctrica relativamente baja, aproximadamente la n.ii_
tad de la del acero inoxidable, y en cualquier caso inferior
'a la de los metales líquidos de interés práctico. Por otra
parte, su espesor puede ser pequeño, del orden de 05,5 rr-m, ,
por ir apoyada directamente contra el núcleo mafjnético co-
rrespondiente, a quien transmite las presiones, sin flectar^

-12
Io2 Convertidor de anchura infinita
Supongamos que el ancho jZbjdeJ- convertidor, es infinito» En^
toncos, el campo magnético creado por las corrientes del -
devanado»es independiente de la coordenada y, y esta con-
tenido en el plano XZ ' -^'
Si la velocidad,u, del líquido'es diferente de v , el fiu~
, s
jo magnético abrazado por un circuito cerrado elemental -
que se mueve con el fluido, variará en virtud de la velo-
cidad relativa existente entre éste, y la onda de campo
magnético,
* • -
Evidentemente,en los circuitos elementales, cuyo plano es
paralelo al XZ, el flujo es constantemente nulo, y lo dicho
anteriormente, es válido solo para circuitos tales que
el versor de la normal a su plano, tenga componente no nu-
la sobre el eje X, o sobre el Z,
Consideremos un circuito elemental cuyo plano es paralelo
al YZ (figo I.3a).
Debido a la variación del flujo magnético abrazado, apare-
f cera una corriente eléctrica en el circuito,dada por la -
ley de Faraday, Como el campo magnético es independiente
de la coordenada y, la intensidad inducida es la misma -
en todos los circuitos idénticos al anterior, y situados

nV
'
o
S
,,
' Y
z
a«a;iÉUi-4JUHi;-,rtm^.Wl.iií
(a)
-Esa-
V
n ol o
(b)
Y
Esaagaga^aíüaaa

ík
en una paralela ai eje Y, que pase por el primer circuito.
Si consideramos el conjunto de todos estos circuitos, las
intensidades en las ramas contiguas y paralelas al eje !¿,
se anulan; por lo tantojpodemos afirmar que las corrien-
tes inducidas en el líquido no tienen componente según el
eje Z, Haciendo un razonamiento análogo con los circuitos
elementales de la fig» 1.3b, cuyo plano es paralelo al XT,
se deduce que la componente según X de las cori'ientes en
el fluido también se anula, y la única componente no nula
de e'stas, es la correspondiente al eje Y. Por otra parte,
esta componente es independiente de la coordenada y, y en
i
consecuencia, el campo magnético creado por las corrientes
en el líquido (reacción de inducido ) estará contenido en
el plano X'Z, y será independiente de y. Conviene señalar,
que al considerar en la fig. I,3a . los circuitos conti-
guos en la dirección Z, (o en la fig. 1.3b, en la direc-
ción X), no se anularán>en general, las intensidades en
las ramas paralelas al eje Y', puesto que el campo magné-
tico, y por tanto la corriente inducida, varian con las
coordenadas x:,z,
'Las mismas conclusiones siguen siendo válidas para las co-
rrientes inducidas en las paredes del canal, paralelas al
plano YZ,

1-?
El v e c t o r densidad dé corr-iente en e l l í q u i d o s e r á de l a
forma! -
g (O, gyixiz.ty, O) ( I . í )
y la inducción magnética total en el entrehierro
B (B (x, z, t), O, B^ (x, z, t)) --••(1.2)
X Z
El campo eléctrico,E, en el líquido se deduce de los ante-
en-)
rieres mediante la ley de Ohm, que se escribe :
g = Cr (E 4 u A B) (i.3)
donde O^es la conductividad eléctrica del metal líquido»
El campo E, que según la ecuación anterior, tiene de comp£
nentess
E (O, E^ (xjZjt), O) (I.Í.0
J
es el que mediría un observador en reposo respecto a los
núcleos magnéticos del convertidor» Las partículas del ^
fluidoj que se mueven a la velocidad u j con respecto a aque_
líos, "ven" un campo eléctrico que es igual al ánteriorj
más el término U A B (se desprecian efectos relativistas)
(13, 15, l6)e

- 16
En la práctica, el anchojZVj, es finito, y las corrientes in_
ducidas van dirigidas según el eje Y, solamente en la par-
te central, ya que al ser div g = ü , las lineas de co-=
rriente deben ser cerradas, y en las zonas próximas a las
caras y = Í b, predomina la componente '^' de las corrien-
tes {fig. 1'h),
Sin embargo,las condiciones de ancho infinito son fácil-'
mente alcanzables en la práctica, disponiendo en las caías
y = _ b unas placas de cobre ' > cuya conductividad
es mucho mayor de la del metal lí^quido (del orden de 2Ü ve^
ees mayor), (Fig. 1.5)*
En estas condiciones, la continuidad de la componente tan^
gencial del campo eléctrico, en las superficies y = _ b,
da (13,15,16)^
p = (g ) ^
^'x ^^x 'Cu -^- c^ o
Xu
(1.5)
Cu
donde los valores sin subíndice, se refieren al metal lí-
quido, y los que llevan el subíndice Cu, son los relativos
a las placas de cobre.

ü t
{Ss-Z
2L
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
2b
5«Trasi«>irr.*ir.-«[»Mi» gMgMJOfcBUW-üJiaM-www »nm'.gjaia;'yg-w»ajr^-'ggr-'gaoHg>.'jnj'jfcmjrj»3«3K« ffTECSTtía-esMb
1

Í8

Por tanto, en y = i b» las corrientes van dirig^idas también
según el eje Y, cerrándose a través de las placas de cobre.
En cuanto a las corrientes inducidas en las paredes del ca^
nal paralelas al plano YZ, valen las mismas conclusiones -
poniendo u = Ü, y sustituyendo C por tí t conductividad -
c
eléctrica de dichas paredes, que es mucho menor que la del
cobre.
Conviene señalar, que para asegurar la validez de este razo_
namiento, es necesario además, que la anchui^a, 2b, del con-
vertidor sea lo suficientemente grande, para que las caxdas
de tensión, que se producen al circular las corrientes in-
ducidas por el interior del canal, sean mucho mayores que
las que se producen en los electrodos, pues en caso contra^
rio, no se podría ignorar la existencia de éstos.
Teniendo en cuenta que el recorrido de las corrientes in-
ducidas, a través de dichos electrodos, es del orden de -
magnitud de una semilongitud de onda, Á¡2, esta condición
se expresa:
.5o X/k
Por otra parte, el campo magnético tiene prácticamente -
la misma distribución que en el modelo de anchura infini-
ta, pues el entrehierro, 2a í3 , es -mucho menor que el ancho,

~ 19
25, y los efectos de la dispersión del campo magnético ~
son despreciables.
En adelante,nos referiremos exclusivamente a este caso, en
el que,con suficiente aproximación, son válidas todas las
conclusiones que se obtengan para el modelo de anchura in-
finita.

CAPITULO II
ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO HIDRÁULICO DEL FLUIDO

21
II»1 Longitud de entrada
Cuando el fluido entra en el convertidor, y se ve sometido
a la acción del campo magnético deslizante, las fuerzas
electromagnéticas que actúan sobre él, g A B, tienden a uni"
formizar el perfil de velocidades, pues en las zonas próxi-
mas a las paredes, donde la velocidad es menor, se tiene
que u « V , y el Ixquido es bombeado fuertemente, £1 proce
so de transición del perfil inicial, hasta el perfil final,
en equilibrio bajo el campo magnético, requiere una cierta
longitud, cuya importancia relativa frente a la longitud
total del convertidor, es un dato que hay que tener en cuen^
ta en el análisis del mismo.
La longitud de entrada es sólo conocida cuando el régimen
1 . , (20)
es laminar, y vale s
áRe
^^'^'^^"^ m^
{M»l ) (II.i )
donde s
P vD^
Re = -L- 2 (11,2) ( ^?^- viscosidad dinámica del fluido)
(21)
es el numero de Reynolds , referido al diámetro hidráu-
lico , y;
M = a B
o
(11,3) ( cr= conductividad eléctrica del
fluido )

22"
el número de Hartmann ' * , cuyo cuadrado mide la rela_
ción entre las fuerzas electromaf^neticas y las viscosas.
Cuando el régimen es turbulentos no existe ninguna fórmula
teórica o experimental para calcular la longitud de entrada,
y los ensayos en los que se ha determinado, han sido hechos
en condiciones bastante diferentes de las que tienen lugar
en el convertidor MIíD de inducción.
Solamente disponemos de información indirecta, como los re-
(23)
sultados de las experiencias de Cerini y Elliott en -
un generador MHD de inducción de h',^? cm, de longitud total,
y con un canal de 0,2^4' cm, de altura.
En estos ensají^os, el movimiento del fluido era turbulento,
piiés los valores de Re y M estaban comprendidos en los in-
tervalos :
2.10^ < Re, < 3.10^
20 < M < 37,5
, - (Zk) ,
y, según el criterio de Murgatroyd , el régimen turbulen^
to es estable cuando
Re > 90Ü M (11,4)

- 23
Para calcular la potencia total entregada al generador, se
vio que era necesario añadir al término correspondiente a
la caída de presión, la disminución de la energía cinética
media' del fluido, debida a látransici'ón de un perfil de vel£
5
cidades que,para Re^^lO , viene dado por la conocida ley
de exponente l/7» a uno prácticamente uniforme,que corres-
ponde al régimen de equilibrio en el campo magnético ,
Si admitimos que, en régimen turbulento, la longitud de eri
trada es (11.1 ), afectada de un coeficiente C:
I - r ? Re
M, turb ~ T " ^,2
' M
podemos obtener una cota superior de C, teniendo en cuenta
que en estas experiencias tuvo lugar la transición, en una
longitud igual o menor que la total del generador:
2
r - ^^^ hl^k . Ü,2875^ . lü^ . k,57 . 10"^ ^ ,, .
^^^ 0,12 . 10 "^ . 25 . 10^
y por tanto tomaremos;
Vtu..^-i-tfl <"-^'
El hecho de que L, . , ^ L., , ,es por otra parte pre-
^ ^1, turb^ M, lam. ''^
visible, si tenemos en cuenta que el perfil de velocid<ades
en equilibrio bajo un campo magnético, es prácticamente uni

2k
formej y que el perfil inicial tiene una forma más aplanada
en régimen turbulentoj que en régimen laminar.
La expresión (11.5)? da unas longitudes de transición mucho
menores que la longitud de onda del campo deslizante en los
convertidores de interéiS práctico, por lo que en lo sucesi_
t
vo despreciaremos este efecto en los calculoso
II»2 Perfil de velocidades
Para efectuar un análisis detallado del convertidor, es ne-
cesario conocer también el perfil de velocidades del fluido,
en equilibrio bajo el campo magnético deslizante.
En primer lugar, conviene señalar que, en este caso, el pei^
fil de velocidades debe ser prácticamente el mismo que en
el caso de campo magnético constante, pues la frecuencia se-
gún la cual varían las magnitudes eléctricas, es mucho mayor
que la frecuencia propia de oscilación del fluido, por lo -
que solamente intervienen los valores medios en un periodo
, (Lt. )
jde las fuerzas electromagnéticas . Únicamente, hay que te^
ner en cuenta, que el cálculo del número de Hartmarm se debe
hacer a partir del valor eficaz de la inducción magnética.

- 25
Como en el caso de la longitud de entrada, las determinacio-
nes experimentales que se han realizado, corresponden a unas
condiciones diferentes de las que nos interesan aqui, y en
consecuencia, utilizaremos los resultados teóricos deducidos
por líarris para régimen turbulento, en conductos de -
paredes lisas y sección rectangular, con a « b (figo lol).
No consideraremos el caso de régimen laminar, por carecer -
de interés práctico en el convertidor de inducción»
Según Harris, el perfil de velocidades en la dirección del -
eje X (fig. I.1 ) es 5
u"* — ( ' R*
•-- = 5,657 log^^^ ( 8 ^ p + 6,í5k 4 F^ (íi-^) (11.6)
donde :
u z valor medio (temporal) de la componente Z de la veloci-
dad del fluido.
n = l/'Xr /P ~ velocidad de corte ( tT es la tensión tan-
gencial en la pared del conducto)
m fu-a.
R = — ^ — - número de Reynolds, referido a la velocidad
Vd,
de corte y a la semialtura del canal.
^= 1 " •—- : ü < S"<1 (x > O)

26
El coeficiente de fricción se obtiene a partir de (II.6),
calculando la velocidad media v!
= 2 log,,, R'^ 4 1,307 4
fu 2f^ n^ "'^
Si tenemos en cuenta que a <<C b, resulta;
V^d '""^ ^ ^d " 8 XTF
con lo que II.7 se puede escribir:
2 logj^ (Re
^'-"'^^JTf/^'^^F (II. 7")
Cuando M = ü, se tiene: F (O) = O (2i^)
, y (II.7') coincide
con la ley universal de fricción de Prandtl, para conduc-
' (2125)
tos de paredes lisas ' | por tanto:
1
{i
'M=0
D R =:ctec
R
^
Sr/R^
2 v^M^ y^
2 / Fj, (x) dx (II.8)

¿f
A partir de las medidas de f^. realizadas por Murgatroyd, y
por Hartmann y Lázarus, para valores de M^/R" comprendidos
entre ü y 10, se puede obtener una curva, que representa el
segundo miembro de (II.8) en función de M /R 5 liarris ha en^
centrado una expresión analítica aproximada de dicha curva,
válida para M /R >Ü,6s
^ ' 2
Jf^{x)dx ^0,135 - 2 logj^ ( ™ - ) -
2 "{zi^J^ ^ . ^^ R
R* M^
; (JL^.>o,6) (II.9)/2M^ R^
que 5 según este mismo autor, puede utilizarse para extiapc^
lar los resultados experimentales, cuando M /R ^ 1 0 .
Ue (II.9) se deduce ;
2 2 2
F (-^) =-2,07 - 5,657 log,^, ( i ^ ) ; ><>0,^) (II.10)
y por tanto:
u = -ll,3íi^ log {—-) 4 i^,08¿4.; (^-^>ü,6) (II. n )
u^ ^ R* R^
i- = 4 logj,^ (-|p) 4 l,i^í^2 Jir^; (±^».>o,6) (II.Í2)
?¡ ^^ ^^ ' 2^^-" R*

28
La expresión (11,11), nos dice que el perfil de velocidades
es unif'ortiie en la zona: y>Ü,6 —— , que en los convertido-
res de interés práctico equivale a más del 95?*^ de toda la
sección I por tanto, en lo sucesivo, admitiremos la simplifi^
cación de suponer el perfil de velocidades uniforme en toda
la sección.
La expresión (11,12), nos permite calcular el coeficiente de
fricción f^» en fuención de Re y M, habiéndose representado
los resultados en la fig. 11,1,

7 8 , 9 1(y
10»-
9 -
8 -
7 -
6 '
5 •
9 - 4
10^
9
8
7
6
5
1Q«
9
3
7
6
3
- 2
R@x 10
9 10^
saiiiinq , „ . . . ,„„„ Einho!t „„ „„
i-^^Sar. oi,ision/ ^"'00 ""d 1-1000 ^.^..^ | 83,..3 mm
Ed.,Aern:-Leuch, Bern Nr, 552 OS

CAPITULO I I I
£L CAMPü FiAGWETICO EN UN CONVERTIDOR DE PEQUEÑO
ENTREHIERRO

- 30
III.1 Creación del campo; devanados
Ya hemos dicho anteriormente, que los devanados en este ti-
po de convertidor son análogos a los de las máquinas rotat£
rias convencionales I es decir, que están formados por bobi-
nas, o coni^untos de espiras conectadas en serie, cuyos con-
ductores se alojan en ranuras.
^^^ Ji. ^^ longitud de onda del devanado ( ¡2 sería el pa-
so polar) y vamos a considerar la función Nía), que represeri
ta el número de conductores por unidad de longitud, en el ca^
so en que el devanado este constituido por bobinas de paso
d ^ J-/2 y ancho c <i< J./2. Supondremos que cada bobina con£
ta de N espiras conectadas en serie.
La función N(z), que es periódica, de período A., se repre-
senta en la fig. IIl.-l,
Desarrollemos N{z ) en serie de Fourier:
N(z ) = 2 N , eos -^ kz
donde V es e l orden d e l armónico c o r r e s p o n d i e n t e y k=2J?/j[

<^^- e ^ ^
d
7"^
7= A
O ^ Ñ V
z = 0 z=X/2

- 32
Los coeficientes del desariollo son:
N, -—— I N{z ) eos O kzdz
N
_o k_
c n
Ijk - d/2 4 c/2
eos ^ kzdz
^/k - d/2 - c/2
N
o_
c
k
TI
^/k 4 d/2 4 c/2
eos ^ kzdz
^k 4d/2 - c/2
No k
3 ^/i^ _ d/2 4 c/2
N
n
eos ? kzdz 4 o k
3 ^/íí- - d/2 - e/2
3 Jí /44d/24e/2
eos )? kzdz =
3 Jl/í+4d/2-e/2
2No
;íe' sen( ? k -y-);cos ? k{ —¡^ - - y - )
n ( >? k - | - ) eos ? k (-T^- 4 - 4 - ) . -
sen ( v7 k •—-) eos ? k ( - ^
ir 2" ) 4
4 sen ( ,7 k -%-) eos N? k ( 4 r - •«• " 4 - )

- 33
r (-)
{?-i
2 sen ( ? k -ó") sen. {^7k ~2~^ ( V's impar)
{ v*, par)
Las amplitudes N^, para v?»!, tienden a cero con í/^ $ y no
las tendremos en cuenta. En los primeros términos de la se-
rie, se ptads tomar s
sen N? k -—- c;,;k -|-
ya que c « ^/2, y resulta:
fkN k ^-1
-jf- (-) 2 sen { V? k - | - ) ( / , imp a r )
^^7 = •
( 5 , par)
El devanado anterior queda caracterizado por su paso d, -
que es más cómodo expresarlo en función de la distancia angii
laroá-, desde los puntos z=0, ^/2, ^,..al lado de bobina -
mas próximo.
d = 1 Oól

- 3k
de donde:
sen ( s) k —^) - sen >?k = (- ) 2 eos ) oC .
y resulta finalmente:
4N k
—^^— eos /cs¿ ( vj) , impar)
N
( ^ , par)
Si el devanado consta de q bobinas por polo, con N espiras
en serie cada una de ellasj y caracterizadas por los ángulos
oL.i o6o9 » ^ s las amplitudes correspondientes serání
r 4N ko
q
71 " C?
^ =
^.( v, impar)
O ( v^ > par)
donde 9 /; e s e
al armónico de orden / :
1 "factor de devanado" correspondient

^•1 r^
q
^^ = _i_ Z^ eos OoC^
En los devanados que se construyen para las máquinas rota^
torias convencionales , se tiene: ¿'.'íül, y ¿ o "í^í O, -
para ^^ /: 1 .
Por tanto, el considerar solamente el término fundamental
de la serie, no debe introducir errores apreciables si el
devanado está bien diseñado. En la referencia (26), se hace
un análisis del efecto de los armónicos del devanado sobre
el comportamiento del convertidor, y se confirma esta con~
clusión.
i
En consecuencia 5 en el resto del trabajo supondremos que la
función N(z) que da el numero de conductores del devanado,
por unidad de longitud. , es:
N(z ) = N. eos kz
donde s
^N k ^ i^N k
N, = — - — q, Y . ^-^ q
1 ]1 C 1 TI
Supongamos ahora que en los núcleos del convertidor (fig.
I.1 ) se disponen sendos devanados trifásicos, idénticos,

» 36
estando formado cada uno de ellos por tres devanados anál£
gos al anterior, desplazados entre sí l/3 <ie la longitud -
(i)
de onda. Llamando N (z) (i = 1,2,3) a la densidad de condu£
tores en la fase i, tendremos en cada núcleo:
(1)
N (z ) = N eos kz
N (z ) = Nj eos (kz - -—-)
, (3) ¿!,;Í
N (z) = Nj eos (kz — )
Como en cualquier máquina de corriente alterna, todas las
magnitudes dependientes del tiempo varían con este senoi-
dalmente, con frecuencia angvjilar u) , Por comodidad, se adO£
4 - 4 - - i T , , . -t- (13*15^16)
ta entonces el simbolismo complejo » -^» ^ y estas mag-
nitudes (intensidad, inducción magnética, campo eléctrico
etc.) vienen representadas, a menos que se indique explica
tamente su dependencia temporal, por números complejos in-
dependientes del tiempo, cuyo módulo es el valor eficaz de
dicha magnitud. Por ejemplo, la intensidad en la fase (l)
de cada devanado la representaremos por el número complejo
I , y su expresión en función del tiempo es:
Reí,/2-I^V^ eJ^n

" 37
Admitiendo que las intensidades en las fases forman un si¿
tema equilibrado, se tienes
1^^^= 15 I^ ' = I e"'' 3 ; I = I e"-' 3
La corriente total por unidad de longitud en cada devanado
trifásico, se obtiene sumando las contribuciones debidas a
las tres fases s
(1) (1) (2) (2) (3) (3)
i(z) = N (z) I 4 N (z ) I 4 KMz ) I
N^I
(eJ^^^^ 4: e-J^^) 4 (¿^(^^^"271/3);^ ^-j (kz-2-n/3}^^.J2;T/3
^ ^^j(kz-/^n/3.)_^^-j.(k2_4n/3)^^-ji4-;i/3
-|- N^ 1 e'J'^^
= X e
o
-jkz
Siguiendo el criterio utilizado en la mayor parte de los
trabajos que se han realizado sobre el teraaj asimilaremos
los devanados a distribuciones superficiales de corrientes,
( 27 ) 4
situadas en los planos x = [1 a [3 (fig. 111.2), con den_
sidad i(z )y .
La expresión en función del tiempo de esta densidad de co-
rriente , es :

Ix
i ( 2 ) y o
2L
tis,3m:m!:w:fíí~iHíii!Sgjt;í^iíím'¿avMs»e:.ir,ms!3k^^^^
2a (b 2a
mm^mfixmmss^í'!í!msmm»^mmisi»»eisimi«ii»rsíits».
i(z)y„
r^
I

39
i{z,t) = Re Í N / F Í ^ ^j(c-t.kz)j
que representa una onda de amplitud f2 ¡í. / y longitud, de
onda 2'n/ki, que se desplaza en el sentido positivo del eje Z
a la velocidad de sincronismo; v =0o/ko
s '
IIIo2 Estudio del campo magnético
En este apartado vamos a estudiar la distribución del campo
magnético en el entrehierro del convertidor, especialmente
en el caso en que su longitud, Zapi , sea mucho menor que -
la longitud de onda Ji , que es el caso de mayor interés
práctico,^^'''^^^
Para ello, hemos de resolver el conjunto de ecuaciones MKD ,
, . . , • V. (U,2Ü,22),
que, con las aproximaciones usuales, se escriben ..s
rot H = g
div B = Ü V (III.l )
rot E = -
B =•J^/^^n
g = (T {E4u A B) ,
(111.2)
siendo ^Á.^í en el metal líquido y en las paredes del condU£
to.
Según las concusiones del apartado 1.2 y del capítulo II,

en el íMuxdo se t i e n e ;
ií-Ü
B = Re j f2B^(xsZ ) e"^"^^! x^ 4 Re í sfz B^{x,z) e^^H z J
E = Re I /¥ E (X, z )
g = Re
jujt
í^/2-g(x,z) e J " ^ | 7 ^
U = V Z
Km. 3)
Introduzcamos un potencial vector del campo solenoidal B
(28,29 ):
A (X , z , t ) = ReÍJTMX,Z) eJ'^^jy^
B = ~™ ; B = _
X ¿) z ' z J) X
(XjZ ) e"
dA (111.4)
La primera ecuación (111.2) se puede escribir entonces
v/donde p es el potencial escalar (13*15,16,30)

- 4i
Proyectando sobre los ejes coordenados y utilizando (IIIc3)j
se obtiene ;
Ü -
E = -
O = -
joDÁ 2Á.
dv
de donde sé deduce que Ufluy es una constantej que supon_
dremos incluida en A„
Teniendo en cuenta la primera ecuación (III.l), las (IIIoS),
y que d.x.-vi~0^ resulta la siguiente ecuación diferencial
en A : .
9 "A , t) A ,1 ^ o A , 1 ^ . r
(IIX.5)
válida para ~ a -^ x -^ a, es decir, en el interior del fluido.
Si suponemos que la longitud 2L del convertidor es infinita,
e introducimos la transformada de Fourier del potencial ve£
(3í).tor A
•co
6 J2nj~0o
llegamos a la siguiente ecuación en Fs

A^2
d F
^-^¡ yo^^'jp/oC j ú) ) F = ü (III.5' )
Definiendo el deslizamiento s en la misma forma que en las
* . ^ . , (I3i,i^)
maquinas asincronas convencionales %
1 4 s = V K {iii„6)
e introduciendo el número de Reynolds magnético ' * *" ,
que mide la importancia relativa de las corrientes induci-
das en el fluido:
R =
/^o^^
(111.7)
l a e c u a c i ó n ( I I I . 5 ' ) se puede e s c r i b i r ;
2!l _ Y^rr := o ( I I I » 5 "
s i e n d o ;
2 . 2
k^ ( F/k)^ -I- jñ I (14s) f/k 4 l|

„ k'

En las paredes del canal paralelas al plano YZ, obtendríamos
ecuaciones análogas a (III.5 )> (I1I«5') y (I1I.5")> ponien-
do s=-l (paredes en reposo) y modificando el número de Rey-
nolds magnético, de acuerdo con la conductividad eléctrica
de dichas paredeso
La solución de (III.5") es de la forma:
F = C ch X X 4 C„ sh ?c Xhx X 4- C sh X
y las condiciones límites que debe cumplir, corresponden a
un salto en la componente Z del campo magnético, debido a las
distribuciones de corrientes en superficie que existen en
los planos x=Iañ . » -^» -^ » s < <_ 5¿ tenemos en cuenta que
para /x,/>a/3,el campo magnético es prácticamente nulo por
ser muy elevada la permeabilidad magnética de los núcleos
resulta:
^ "íx=ía^ i ^ " i x^ia^ - ^ ^ °
de donde se deduce que CJA/ JX es antrmétri'cá en x, y por
tanto que A y F son simétricas en x: la solución de (111^5")
e s entonce s :

- kk
F = C chx Xhx
siendo C proporcional a la transformada de Fourier de la
función e~'^'^^s que ess [2R ^ (k4 p ) , donde J(k4 ^ ) es la
conocida función Delta de Dirac (31 )
El p o t e n c i a l v e c t o r se o b t i e n e a p l i c a n d o a F la transforma-
ción i n v e r s a de F o u r i e r s
A (X 5 z ) =
[2ñ
•oo
F ( x , ) oH
•Oo
I ( I I I ,,8 )
y se deduce f'a.cilmente que l a dependencia de A con x es de
la forma:
cb k (1-j R s ) ^ ' ^ X
y que la dependencia con z corresponde al factor:
-jkz
Por tanto ,1a inducción magnética en el entrehierro tiene la
forma de una onda senoidalj de longitud de onda 2J/k.¡ que

~ í^S
se propaga en el sentido positivo del eje Z a la velocidad
de sincronismo; v =Ctj/k (campo deslizante ),
s
I^ componente X de la inducción magnética varía con x según
el factor :
ch j^k (1 - jRs)^'^^ x ]
y la componente Z según el factor;
1/2
sh fk (1 - jRs')^'^ x ]
Para conseguir el máximo aprovechamiento energético, intere-
sa que B se distribuya lo más uniformemente posible en el
entrehierro de la máquina, lo cual implica que kaA-íSsí. 1 j ya
1/2
que generalmente él valor modular de (l-jRs)" es del or~
den de la unidad..
El convertidor de pequeño entrehierro es, por tanto, el más
interesante desde el punto de vista práctico, y además su -
estudio se simplifica enormemente, debido a que B es prácti
camente constante con x, y como debe ser continúa al atrave_
sar la superficie de separación del líquido con las paredes
del canal paralelas al plano YZ, se deduce que toma el mis-
m.o valor en el fluido }'• en dichas paredes.- Por otra partes

k6
la componente Z varía con x aproxi'madamente en forma lineal ^
siendo ademas de un orden de magnitud mucho menpr que el de
la componente X, según se deduce de la condición div S ~ O,

CAPITULO IV
ANALISIwS DEL CONVERTIDOR DE LONGITUD INFINITA.

48
^^^' ^ Re so3-ucÍQn simp lAJti ca.da_d^e 1a. s..„ggjjaciones MrID
Limitándonos a l e s t u d i o d e l c o n v e r t i d o r de pequeño entrehie_
r r o , y teniendo en cuenta l o s r e s u l t a d o s d e l c a p í t u l o a n t e -
r i o r , admitiremos que e l campo magnético en e l enti~ehierro
es de la forma:
B ( z , t ) = Re f2 B{z) e
j w t
XQ 5 / x / < ; í.a ( i v „ i )
A partir de la primera ecuación de (III.2) y la segunda de
(III«3)s resulta que el campo eléctrico es independiente de
la coordenada x, y por continuidad de su componente tangen,
cial al atravesar los planos x-iaj se deduce que toma el mi^
mo valor en el fluido y en las paredes del canal paralelas
al plano YZ„ Por consiguiente, será de la forma!
£ (Zjt) = Re fl E{z} e j^t -T,y^; / x/ < ag, 5IQ, 5 (IV.i')
Según la segunda ecuación de (III.2) y la última de (111 = 3 },
las densidades de corriente en el fluido y en las paredes -
del canal paralelas al plano YZ son, respectivamente!

g
U-9
{z,t) = Re í/zTeCa) e«^"M y^
(IVol'O
(z,,t) = Re í [2 g^(z ) e-^'^^J
Consideremos una sección del convertidor por un plano para-
lelo al XZ {figo ly»1 ) ; vamos a calcular la circulación del
campo magnético ^' a lo largo del camino cerrado C, que
tiene la forma de un rectángulo, cu3''Os lados paralelos al
eje 'I, tienen de longitud, áz, y están situados en el in.te~
rior de cada uno de los núcleos magnéticos 5 los otros dos
' , lados son paralelos al eje Xo Como en el raaterial magnético
H^ííOj la circulación vale;
2a|3 [B(..,M=.) - H(z,)] = S a £ 1 1 - ,
A
( ?7 )
Según el teorema de Stokes, y teniendo en cuenta la ley
de Ampere (primera ecuación de (IIIol)}, esta circulación es
igual a la intensidad eléctrica que atraviesa una superficie
cualquiera que se apoya en la linea C» Dicha intensidad es,
por vin lado, la que corresponde al flujo de los vectores g
3' g s densidades de corriente en el fluido y en las paredes
del canal i^e spec ti vamente 5 a través de las superficies raya
das -en la figura, y por otro, la d.ebid,a a las distribuciones

rxj
X -'SS-
.í3S^-
8^0 2
-~g»
í " ^
S=<3

" 51
superficiales de corrientes de densidad i(s)y , que repre-
sentan los devanados.
P.or tanto í
2 a £ _¿B__ ^ 2gadz 4 2g a C f i - U d z -I- 2 i ( z ) d z , o b i e n :
U dZ - e l ^ ' >A
d B / ^ b , / * 0 / „ . A , / o Í ( Z . ) / T-ir r^
——— = tj- X —~_—_ ( M --j 1 ! .«y J. —««—— _-J-_™i. ( I V . / i
dz A ^ * |3 'I c p a xM,...j
Según se deduce de esta vlltima ecuación j el aumento en la
longitud del entrehierro, debido a las paredes del canai^
se traduce en una disminución de su permeabilidad magnética
al valor :
r - Y ^''•^'
T e n i e n d o en c u e n t a l a s e c u a c i o n e s ( 1 1 1 . 2 ) , ( I V . i ) , ( I V . l M
y ( I V , i " ) s t e n e m o s :
e = cr (E4vB) . (IV. 5)
g^ = cr^.E (IV» 5 ' )

- 'í?
que, junto, con (IV.2) y (IV,3), d-an la. siguiente ecuación di-
ferencial en E:
dTE
d z
yt^crv 1 4 ( f . - l ) ^ ^
P £
Ao j w i ( z ) (IV,6 )
U t i l i z a n d o e l d e s l i z a m i e n t o S5 dado por (XIIo6)si y e l núme-
ro de Reynolds magnéticos r e f e r i d o a la peirnieabilidíid. magné-
t i c a f i c t i c i a ( I V . 3 ) :
R'
.C5'CJ
k
la ecuación (IV., 6) se puede escribir:
(IV. 7 )
¿JL
^ 2
dz
R' (Í4s) k 4 ? - - JH'k^ ^.(p- • 1 ) , "
(T
r' jw i (2 ) ( I V . 6 ' )
En l a s c o n d i c i o n e s d e l a p a r t a d o I I I » i
i (z ) íkz

y por tan te :
irj
dz
0 2
/ • »
a "^ o
lHf>~i) - ^ E
~jkz (XV. 6")
La s o l u c i ó n de e s t a ecuación difex'encial es l a solución ge-
n e r a l de la honioírénea E « mas una s o l u c i ó n p a r t i c u l a r E o
g , P
La primera e s :
íTjkz
E
g
Cj e A Cg e
"ií^kz
(1¥»8}
siendo
^ i 5 2 2
I 5 *-•
R^ ( 1 4 s ) . (Tcl
^i4(p».l)-^J
( I V . 8 ' )
Una solución p a r t i c u l a r es de la forma;
E = E e
P o
•jfcs

5k
donde E es una constante que se determina por sustitución
o ^
en (rv»6" ) 5 dando ;
o " ao'ís'-ij/HM (I¥o9)
En (IV.9)si s' es ei de sllaaruiento í'ict.iciOj que se diferen-
cia del definido en {II1„6)3 en la inclusión de los efectos
de las corrientes inducidas en las paredes del canal paaral^
las al plano YZ j
(IV,10)
El campo eléctrico en el fluido es, por tanto
E = C, e 4 C,^ e 4 E e -^
1 2 o
En ei convertidor de longitud infinita, las constantes C
y C se determinan con la condición de que E sea finito en
z ^ iOO o

Teniendo en cuenta que:
- 55
Re
R'^(14s)^. 4 jR' l 4 ( / 3 - l ) , - ^ l ( =
R:W!,,,aj:„(^..,^] ,Rl!¿^^
R M 1 4 S )
2
r e s u l t a :
s i g Re
[^A sxg Re
{^^
y las condiciones límites en z = _CX) » dan
S =^2 = °
de donde :
E = E - e
o
-jkz
(IV. U )

•se
La inducción magnética se deduce de (IV,^) y (IV, 11), resul^
tando:
B = B e"^^^ (IV.12)
o
. i
B = _ - ^ E = - -4--zT-TT^-nrrr (iv.13)
o U) o cJ a<r(s'+j/R')
Las densidades de corriente en el fluido y en las paredes
del canal paralelas al plano YZ, se obtienen de (IV,5) y
(IV,5*) teniendo en cuenta que £ y B son ya conocidos.
_^,„ vk „ V -jkz _^ „ -jkz
(IV.1^)
g = <r E e-J^^^c c o
Es interesante señalar, que las magnitudes obtenidas: campo
eléctrico, inducción magnética y densidad de corriente, tie-
nen la forma de ondas senoidales que se propagan en el senti^
do positivo del eje Z, a la velocidad de sincronismo v =<^/k.

- 57
Por otra parte, las condiciones que se refieren a los cir-
cuitos eléctrico y magnético son satisfechas automáticamen-
te por la solución dada. En efecto, debido a que ambos cir-
cuitos son abiertos, la intensidad total a través de un pla^
no paralelo al XZ y el flujo magnético total a través de un
(33 )plano paralelo al YZ, deben ser nulos* , y de la forma de
la solución que hemos encontrado para la inducción magnéti-
ca y para la densidad de corriente, se deduce inmediatamen^
te que su integral, extendida a la longitud del convertidor,
es nula.
Vamos a calcular ahora las fem en los devanados. Si conside-
T 4. í 1 in (13>15,l6)ramos solamente una espira, la fem es * -'> ^» j
c) í- - ^ /- - /- - ^*^
•Ty^ / B, n ds = - -TV^ Ú) A di f - i ^ (f) A,di
-4 Jh '• Jh
donde S es una superficie cualquiera que se apoya en la lí-
nea cerrada L, soporte de la espira, y A es un potencial vec^
tor de B.
De la primera ecuación de (III.2) se obtiene:
rot (j -£-) = B
LO
{^) Por comodidad en la escritura se omite el símbolo Re( ]

- 58
y tomandos
A = j
60
resulta que la fem en la espira es;
Si tenemos en cuenta que en la fase (i) de cada devanado el
número de conductores por unidad de longitud es N* (z), y
que E sólo tiene componente sobre el eje Y, la fem total en
^ • • i . , - •
esa misma fase, sera: '
(fem)^^^ = 2b/ N^^^z) E;(z )dz
donde 2b es el ancho del convertidor (fig. I.l).
Esta integral se extiende solamente a una fracción, 2L=mX ,
de la longitud total del convertidor (fig. IV.1), que com-
prenda un número entero de longitudes de onda, pues el com
portamiento del resto es totalmente análogo, y asx se evita
el obtener resultados que no son finitos.
Según viraos en III.1, en cada devanado se tiene:

-59
jj(2)^^j = Nj eos ( k z - M _ ) (IV.15)
j j ( 3 ) ( , ) = Nj eos ( k z - M _ )
y por t a n t o :
(fem)(l^ = 2b / - ^ (eJ^^ + e"J*^" ) E^ e-J^" dz =
(IV.16)
= 2bL N, E = (^
l o <-
y a n á l o g a m e n t e :
(fem)^2^= 2bL N, E e-J2/r/3 = C e - J 2 K / 3 ( I V . l 6 ' ¡
l o *—
(fem)^5^= 2bL N, E e ~ J ^ " / 3 = f e ' ^ ^ ^ H (IV. l 6 "
l o "^
Las fem en las fases de cada devanado constituyen, por tan-
to, un sistema trifásico equilibrado y de secuencia p£

- 60
sitiva, de igual forma que las intensidades (ver apartado
III.1 ), que son 5
l(l) = 1
(2) ^ ^ g-j2n/3 (IV.17)
donde :
(3) . :, ^-3knh
I =
2i
c
3N,
(IV. 18)
Dé (IV.9), (IV.16) y (IV.18), se deduce:
I = - ^ ^ (s' + j/RM ^
3bLNj
Dado el carácter teórico de este capítulo, no tendremos en
cuenta las caídas de tensión en el devanado, debidas a la
resistencia óhmica y a la reactancia de dispersión, con lo
que c. se confunde con la tensión en los terminales de este,
La componente activa de la intensidad que el convertidor -
entrega a la red, es proporcional al deslizamiento y tiene
el mismo signo que éste; para s*>'Ü, la máquina funciona -
entregando potencia a la red, y para s*-C Ü, absorbiéndola.

- 61
La componente reactiva es independiente del deslizamiento,
y es la intensidad, cambiada de signo, que el convertidor
absorbe de la red, cuando no hay corriente neta en el en-
trehierro (s* = O ó' Cf= Cf = O ) , es decir, la corrien-:
c
te de magnetización , retrasada 90 con respecto a
la tensión, que es necesaria para crear el campo magnético
en el entrehierro.
El factor de potencia del convertidor es, por tanto;
;os V^= (1 + — 5 - ^ ) " ^ / ^ (IV. 19)
R'^s»^
IV.2 Rendimiento eléctrico
Denominaremos rendimiento eléctrico del convertidor, al que
resulta de considerar solamente las pérdidas inherentes al
fluido, sin tener en cuenta las que se producen por otras
causas, como son el rozamiento con las paredes del conduc-r
to, el calentamiento de los devanados y de las paredes del
canal, etc. -
La fuerza que actúa sobre la unidad de volumen del fluido,
debida a la interacción de las corrientes en el mismo con
el campo magnético, es gA B, y varfa senoidalmente con el
tiempo con frecuencia angular 2cu ' . Gomo la
frecuencia propia de las oscilaciones del fluido es mucho
menor que uj , solamente tiene interés el valor medio de di

- 62
cha fuerza en un periodo. Si tene'mos en cuenta {IV. 1) y -
(IV.l')s este valor medio es:
j^g(z) B*{z)| z^- Re ,... . _ , ., ^
La potencia entregada por la unidad de volumen del Ixquido,
será:
2
(gAB)v = g(vAB) = g(-gr- - £) = -^ g E
Si descontamos las pérdidas por efecto Joule en el fluido,
que por unidad de volumen valen g /or, queda la potencia que
se extrae del mismo, que es -g.E por unidad de volumen.
Los valores medios en un período, de todas estas magnitudes,
son:
(gAB)v = Re (vg(z) B*(z )|
- g E = - Re íg(z) E*(z)| y (IV.20)
g2/^ = Re [^i£^)]

- 63
Integrando estas expresiones en el volumen del fluido com-
prendido en el convertidor, obtenemos los valores totales:
Potencia entregada por el fluidos
s P = kskh He vg(z )B {z )dz
-L
Potencia extraída del fluido =
s P = Uab Re
e
.-g(z)E^(z)dzl >(IV.20M
-L
Potencia disipada en el fluido =
P^ = kAh Re dz
g(z)g^(z)
donde 2L = m J. , t i e n e el mismo s i g n i f i c a d o que e l a p a r t a d o
a n t e r i o r .
U t i l i z a n d o l o s r e s u l t a d o s (IV.11) y ( I V . l 4 ) , se t i e n e :
P^, = -kahj v t r s E^ B* dz = B a b L C / E ^ / s ( 1 4 s ) (IV.21)
P = Í4-ab (Ts E E dz
o o 8abL C /E / s (IV.22)
- L
P = kah I cTs^ E E^ dz = SabLcr/E / 2 2
o o
(IV,23)
- L

- 64
El rendimiento eléctrico, según que el convertidor funcione
como generador o como bomba, es, respectivamente:
7eg = •P7 = IÍ7 <«>^> }^^'^''^
7 eb = T^ = 14s (s ^ 0 ) (IV.24' )
expresiones idénticas a las correspondientes a las máquinas
_, (13l4)
asincronas convencionales * .
Conviene señalar que estas ultimas se comportan de la misma
forma que un convertidor de longitud infinita, ya que, debi-
do a su geometría cilindrica, no presentan efectos de borde
en la dirección del movimiento de la onda de campo (eje Z ) ,

CAPITULO V
EL CÜNVERriDOR DE LONGITUD FINITA; EFECTOS DE BORDE
Y MÉTODOS PROPUESTOS PARA SU COMPENSACIÓN

- 66:^
V.1 Descripción de los efectos de borde
Cuando la longitud 2L del convertidor es finita (fig. V.l),
las constantes C y C que intervienen en la solución gene-
ral de la ecuación (IV.6"), no pueden determinarse como en
el capítulo anterior mediante condiciones en el infinito,
sino que hay que utilizar las que se refieren a los circui-
tos magnético y eléctrico (ver pag. 57)» El primero se limi^
ta simplemente a la zona ocupada por los núcleos magnéticos
y los devanados, ya que fuera de ella el campo magnético es
despreciable.
Sin embargo, la intensidad eléctrica no lo es, pues el metal
líquido y el conducto se extienden fuera del convertidor en
una longitud que,!, a los efectos de cálculo, se puede suponer
infinita, y por continuidad del campo eléctrico en z=ÍL, se
originan corrientes en el exterior, de intensidades I , e
si
1^2 (fig- V.l).
Las condiciones que determinan C, y C son, por tanto:
B dz = O
X
g d z + I , + I ^ = Ü
y si s2
(V.l)

x>
Í M u/íí
mmmmmmmm.V ^
•—V
%
•
V//////////////M
'
W/////////////Á
2L
Y
T
ls1
]}) '
Fia.V-1

68o
En esta situación, el campo eléctrico, la inducción magné-
tica y la densidad de corriente no tienen ya la forma de on^
das senoidales, lo que tiene como consecuencia que las in-
tensidades en las fases del devanado no formen un sistema
trifásico equilibrado, apareciendo componentes de las distiji
(35)
tas secuencias . Las de secuencia nula carecen de inte-
rés porque no contribuyen a la corriente de excitación. Las
de secuencia positiva dan lugar a una capa de corriente -
que se propaga en el mismo sentido que el fluido, tal como
se vio en el apartado III. 1 , Por último, las de secuencia ne^
gativa engendran una capa de corriente que se superpone a
la anterior y que se mueve en sentido contrario al del flü¿^
do. Los deslizamientos correspondientes a esta última son
muy elevados (superiores a la unidad), y por tanto, las péjr
didas por efecto Joule en el entrehierro del convertidor -
sufren un fuerte aumento (ver ec. (IV.23))» A esto hay que
añadir la disipación de energía que tiene lugar en el ex-
terior, debida a las corrientes I , o I ' •
si s2
En resumen! en un convertidor de longitud finita, los efec-
tos de borde son la causa fundamental de que los rendimien-
tos que se pueden alcanzar con él, sean considerablemente -
inferiores a los de las máquinas asincronas convencionales.
Esta es la razón por la que los investigadores se han esfo£
zado en encontrar algún procedimiento de compensar dichos

- es
efectos de borde, de forma que el comportamiento del conver;
tidor lineal esté lo más próximo posible al de las máquinas
rotatorias.
A continuación exponemos los dos métodos de compensación
más importantes entre los que han sido propuestos hasta ah£
ra.
V.2 Método de los polos de compensación
Este procedimiento, debido a D.G. Elliott ' i fué presen-
tado en el Tercer Symposium Internacional sobre generación
MíK) de energía eléctrica (Salíburg, I966), y su fundamento
es el siguiente.
Si la longitud 2L del convertidor es igual a un número ent£
ro de longitudes de onda y las intensidades I . e I ^ son
si s2
nulas, las ecuaciones (V,1 ) dan inmediatamente:
C, = C3 = O
con lo cual estamos en las mismas condiciones que en el caso
de longitud infinita.

- 70
Sin embargo, el campo eléctrico en los extremos toma el va-
lor :
E(L) = E e'J"^^ =-E,
o o
(V.2)
E(-L)= E e-^*^^ = -E^
o o
y las intensidades I . e I „ ho pueden ser nulas, viniendo
fijadas por la tensión que se deduce de (V.2) y por la re-
sistencia eléctrica del metal líquido y del conducto situa^
(22)
desaguas arriba y aguas abajo del convertidor
Supongamos que en los dos extremos de los núcleos magnéticos
se añaden unos polos compensadores de longitud L , y que en
_ 4.
^ ~ - L se colocan unos conductores recorridos por las co-
rrientes Ij e !„ (fig. V.2).
Los flujos magnéticos correspondientes o) 1 y y ?' ^®'^®'^ "^®~
rificar la condición:
para que no se altere la distribución de la inducción magné^
tica en la parte central.
El valor del campo de compensación queda determinado por las
corrientes I. e I , y por las que induce dicho campo en el
liquido y en las paredes del conducto. Estas últimas se pue

X
O
CNI
2L= 2n/^
^faa.ii..H?.¡Mn».i.aKm.M«M.-,isnii.jga..
B(-L)
L
4)C2
VW.aBH-J.aW'fAg!M'.->ja'''WW;Hfe'i;¿aaB5£a
B(L)i
={> V
Bc2
„»UnJlvijiMü^imij.ai^»ii,i.ik:jj.i^iivi«tiB.'WA«,ariM«)^«M!.H?.Mr.^^^^^^
I I I
-s^» /

72'
den disminuir considerablemente, colocando en el interior
del canal unos tabiques aislantes de longitud L y parale-
los al plano XZ.
Aunque no es posible reducirlas a cero, admitiremos que
lo son en el análisis simplificado que sigue a continuación.
En este supuesto, la inducción magnética en los polos de -
compensación es constante, y vales
Bel " 2bL '
c
B
§c2
c2 2bL
(V.Í+)
Por tanto, el campo eléctrico varía linealmente en estas zo-
nas, según la ley:
dE . „
—— = j coB
dz '' c
Si queremos que en z = + (L + L ) sea nulo, con lo cual no
habría corrientes adicionales en el exterior, se debe veri-
ficar:
E(--L) = . ^ B . E(L)
J60B
c2 {V.5)

73
de donde, con la misma notación del capítulo anterior!
B
el c ' ju:> ~ ~^ •5 B „L' c2 c
o_
B
= 3 {V.6)
y se cumple la condición (V.3).
Teniendo en cuenta que B (__ L) = - B , resulta que el campo
compensador está en cuadratura con el campo en z = _ L (Fig.
V.3).
El salto finito que experimenta B en z = _ L es debido a las
corrientes I. e I„ que por tanto, deben verificar:
2a P [B(-L) -B,J.= 2ijyA^
2a fi [B^2 - B(L)] = 21^^^^
de donde:
a A B
' /"o 'kL
a flB
/o c
{V.7)
con lo cual, queda definido el devanado compensador.

75
Es interesante destacar; que las corrientes I , e I „ se pue
si s2 —
den reducir considerablemente sin utilizar polos compensad^
res,colocando aguas arriba y aguas abajo del convertidor
unos tabiques aislantes análogos a los que se ha descrito
anteriorniente.
Pero en este caso la longitud de dichos tabiques debe ser -
mayor, y las pérdidas hidráulicas aumentan. Por tanto, la ~
ventaja del..método de Elliott reside principalmente en con-
centrar los efectos de borde en unas zonas de extensión re-
ducida.
* • • •
Los razonamientos precedentes no se alteran en esencia, cuati
do la longitud 2L es igual a un número entero arbitrario de
longitudes de onda.
El cálculo teórico, teniendo en cuenta las corrientes engen^
dradas en la zona de compensación y su retorno por la parte
central, no ha sido realizado hasta el momento, por lo que
no es posible prever los rendimientos que se pueden lograr
con este método de compensación.
En la referencia 37 se expone, sin desarrollar el plantea-
miento general del cálculo de un convertidor MHD de induc-
ción, que es aplicable al modelo de Elliott, aunque no tie^
ne en cuenta la presencia de tabiques aislantes en las zonas
de compensación.

- 76
En las referencias 36 y 38 se analiza un convertidor MHD de
inducción con polos compensadoress teniendo en cuenta todas
las pérdidas| algunas de ellas, debido a la dificultad de
llegar a expresiones analíticas correctas, se estiman me~
diante fórmulas aproximadas» Aunque el estudio se refiere
a un generador de velocidad variable, el método de optimi-
zación es igualmente válido para velocidad constante»
Sin embargo, en la paite central se admiten las condiciones
de funcionamiento del generador infinito, sin tener en cuen^
ta los efectos perjudiciales de las corrientes engendradas
en las zonas de compensación, que nunca Eegan a anularse -
totalmente.
Por otra parte, las pérdidas en los extremos se identifican
con las de un conductor rectangular con corrientes de Fou-
cault, lo cual puede ser una estimación optimista en exceso.
Los valores que se obtienen presentan gran interés, pues -
dentro de la incertidumbre debida a las hipótesis de partida,
indican que sería posible la generación MHD de energía eléc_
trica en centrales de ík a 270 Mw, 6ü Hz., con rendimientos
superiores al SO"";;?).
En la referencia 39 se presenta un análisis comparativo de
dos convertidores MHD de inducción de la misma potencia y
similar geometría: uno compensad o,de una longitud de onda,

- 77
y el otro sin compensar, pero de cuatro longitudes ele onda
donde los efectos de borde presentan menor importancia.
Los resultados indican mayor rendimiento eléctrico para el.
compensados pero cuando se tienen en cuenta las perdidas -
hidráulicas el rendimiento es mayor en el no compensado^
Sin embargo, la valides de estos resultados es dudosa debi-
do a las simplificaciones introducidas ,a saber:
, No se consideran en el primero las pérdidas en la zona
de compensación .
. Tampoco se tienen en cuenta en éste, desviaciones del
comportamiento de la parte central, respecto al caso
de longitud infinital
. Se desprecian en el segundo las perturbaciones debidas
a los efectos de borde.
En ausencia de resultados de algún cálculo completo,
sólo disponemos: de la infoi-macion obtenida en las expe-
riencias realizadas en modeles construjfdos al efecto.
En la referencia 3 se comentan los primeros ensayos de un
generador de ^kW, que emplea NaK como fluido conductor, y
que va provisto de polos compensadores con sl^e tabiques
aislantes a cada lado.

•- 78
A una potencia de 180 V/. con campo magnético reducido
(0,21 T. ), el rendimiento eléctrico fué el 8 0'iíü del valor ted
(ií-3 ) 'rico. En otros ensayos del'mismo generador , también a
baja potencia (del orden dei 5^^^) W, ), se han medido rendi-
mientos próximos a los valores previstos, pero no se obser-
varon diferencias apreciables en su comportamiento al fun-
cionar con los polos de compensación excitados o sin excitar.
Destaquemos el hecho de que en este último caso, por conti-
nuidad del campo magnético en z = í L, el flujo total en
la parte central no puede ser cero, con lo cual nos aparta-
mos de las condiciones de funcionamiento teóricas.
• i
Posteriormente se han realizado experiencias en un genera-
í ?T )
dor de 1 Kw - 700 líz, con NaK como flufdo conductor .
Se emplearon polos compensadores y tres tabiques aislantes
en cada extremo. El conjunto fué montado verticalmente y
previamente a los ensayos, se efectuaron medidas llenando
de NaK solamente la parte inferior del canal, lo cual per-
mitió determinar la energía que se disipa por corrientes
Foucault en los polos de compensación.
La potencia extraída del fluido fué evaluada sumando los
siguientes términos:
, Las lecturas de los vatímetros conectados en las tres
fases y en el devanado compensador.

- 79
o Las pérdidas en los núcleos magnéticos y en los deva-
nados, medidas con el canal sin NaK.
. Las pérdidas en cada polo compensador que, estimadas
en la forma antedicha, son mucho menores que las ante_
riores.
La potencia entregada por el fluido se midió hallando la va_
rxación producida en la caída de presión, según que el deva^
nado de excitación estuviese o no conectado.
Be esta forma, el rendimiento eléctrico del generador:
?
~ Po^^ncia extraxda del fluxdo
e •
Potencia que entrega el, fluxdo
alcanzó un valor máximo de 0,5^ para un deslizamiento de
^í55) que equivale a un 83''/^ del correspondiente al genera-
dor infinite
Al tener en cuenta las pérdidas debidas a la excitación y
a los polos compensadores, el rendimiento máximo fué u¡Zk
y, por último, al incluir las pérdidas hidráulicas, resultó
un máximo de 0,09.
En la referencia ^0 se señala que las discrepancias entre
los rendimientos que se han medido experimentaimente y los

6ü
correspondientes valores teoricoss aunque no son excesivas,
obedecen a razones que no son bien conocidas»
Una causa podría ser la forma no exactamente senoidal de la
(?3)
onda de campo , pero esto no explica totalmente las di¿
. (^0)
crepancias .
Otra causa sería, la repetida tantas veces hasta ahoras el-
no haber tenido en cuenta las corrientes que -retornan por"
la zona central que, aunque son menores que en el genera-
dor no compensado, nunca llegan a anula.rse totalmente, y
su efecto puede tener importancia en el rendimiento el<3ctri_
I
co. . '. •
V, 3 Método de compensación interna
Este método, debido a R. N. Sudan , se basa en el anali;^
sis del modelo de la fig. V.4 en el que los núcleos magné-
ticos se extienden hasta el infinito en ambos sentidos
del eje Z, mientras que la capa de corriente ocupa una lon^'
gitud finita, 2L. ün estudio de.este mismo modelo puede -
verse en la referencia k3, aunque sin introducir compensa^
ción.
Es interesante destacar que en ninguna de las referencias
(33) '
kk y ií-5 9 se exponen claramente las dos condiciones

82
(Vol) que caracterizah al convertidor lineal.
En este modelo se supone que las placas conductoras situa-
das lateralmente en y = _ b se extienden hasta el infinito,
y no se tienen en cuenta las paredes del canal paralelas al
plano YZ; esto último no es esencial en la descripción de
este método de compensación.
Vamos a realizar un análisis paralelo al del trabajo origi-
nal , aunque incluiremos una discusión de las dos condi-
ciones mencionadas anteriormente.
En el apartado 111,2 dedujimos que la transformada de Fou-
rier del potencial vector A, es de la formas

/ • • .
F{x,^) = Cj oh-¡ex + Cg shxx (V,8 )
siendo !?C^ = k^ [(!/k)^ 4 j R [{1+s ) ?/k 4 l}J (V.9 )
Pero en aquel caso, la capa de corriente de excitación se
extendía hasta el infinito, y su transformada de Fourier -
era proporcional a la función Delta de Dirac ; sin embargo,
ahora se tiene :
1 /i. e--^*^^ e-J^ dz = 4 ^ / i e-J^^^-^P^ d:
(V.IO)
J 1
fin" (k+ p
2 (l-e^j^^*f^^) e~J^'^-^P^

- 83
y l a s c o n d i c i o n e s l í m i t e s son:
dF
de
y
don(
re su
yx=ía ^
íe :
I t a ;
(1-e ^JÍ^^P) e-J^-^^rS C = O
r(^" ) _ A - ^ ^ o _ c ^ x ( i _ e 2 J ( k + ^ ) L ) g-J(k+^)L ( V . l l )
C [2ñ(k+f') ncshxa
Para pequeños e n t r e h i e r i o s /7Ca/<<l , y podemos p o n e r :
7'
6 í' V2^ a X (k4r)
(V.ll')
de donde se obtiene el potencial vector:
oo
A(z) 2n a / J .,2 ,. ...: ^^-^ C ) d^ -
OO
r '"f

- 84
oo • oo
2 n a
-jkL j|-(/.-L)
e e
/-oo
/ '^Y
(k4r)
d r 4 / - j
'f
. e
- Oo
f
/ o o
2n a
J-00 J- oo
(V,12)
siendo
%^P'.^
-jkL ^ j | ( z - L )
/ "-^f'
:/2<p = -i
y
(V.13)
Vamos a calcular las integrales (V.12) por el método de los
residuos.
Las funciones Ji (^) y j-p^J^ tienen un polo simple en cada
uno de los puntos:
?=-• !'-h-' l-H
siendo :
. kR
f o = J 2 - ^^^^^ ^ V ^^^^^ + > j / H
r
W ( Í 4 s ) ^ 4 kilR

- 85
como se deduce f á c i l m e n t e de {V,9)» Además se t i e n e s
Re ( 1 4 s ) 4 kj/R
V ( 1 4 S ) S I 6 / R ^ 4 ( 1 4 S ) ^ ^ , .1 — ^ 14 s
y por t a n t o ( f i g . V.5 )
m ih] > O;
¡fo]l „ ( T . K o
Los r e s i d u o s c o r r e s p o n d i e n t e s son
Res
im'} ..
-jkz
= J
t-=-k k " { l - j R s )
Res
fy. 'P}
. e-J'^'-ei r ° " - ' - '
Ír!o^' 'f°*^"fo-f¿
¡lMRes^AT)
t!o
,-JkLgJf¿(z-L)
^ i?:+io(>:-o
Res ^^{
í^ J ir= -k k-^^d-i
?
- j k a
( 1 - j R s )

- 87
i kG )
Para calcular el valor t>rincipal de Cauchy de las inte-
grales (V.12), basta considerar el camino C o el C' de la
fig. V.5> de forma que se cumplan las condiciones de los -
lemas de Jordán.
Los resultados que se obtienen son los siguientes:
y^oK . e^h-A(z) = _ .^-i^ j (y^4k)(r'-/ ) sen (k4|-¿)L (z<-L) (V.l4)
Ac^) = ^ ó jjr^rnj^-p -" ^^'^^"^ ^^>^^ Z^-^^)
k (l-jRs) '(fo '¿o (fo'
60 Co ¿o'

88
Vamos a comprobar si esta solución cumple las dos condicio-
nes a las que hemos hecho antes referencia:
Flujo total = ü
Intensidad total = O
La primera se cumple automáticamente puéss
/ B dz = / - - ^ dz = A (-00) - A (00) = ü
J ~oc> J-00
La segunda se expresa (ver c a p í t u l o I I I )
00 (X> ^00
g dz = / crÍE 4 vB )dz = / CTE dz
y y X / y
• 00 J- 00 J-00
.00
í- J-^]Crl- jwA I dz = o
' - 00
Vamos a c a l c u l a r :
00
Ada
'-00

~ 89
CO /- OO
2 Jl a
/ o o
271 a
j e--' ('^^^^^e J P (l-eJ2^^^-*f^)
' _ CO y -oo / "'^Z*
d r d z =
oo
^-j(k4f; L
o £ - ^ — i - (l-e-S^'-<"Y')
¿c./'-'t
OO 1
.^Pdz
/ - C O
^?
-Oo
/o^o / . e'^'^^-^P^
-oo
(k4?)
{ 1-e
j2L(k4
/'"^í
f )S(f)d^ =
M i - J k L , , J2kL.
/ o o e ^ (1-e^ )3
donde se han u t i l i z a d o l a s p r o p i e d a d e s de l a función Delta
(31 ) •
de Dirac .
Por tanto, para que se cumpla la segunda condición se ha de
tener:
2 k L = 2 n 7 I (n = l , 2 , 3 j . . . )
o bien :
1 _ 2J[_ _ 2L
• ^ " k ~ n
lo que quiere decir que el devanado de excitación, debe con^
tener un número entero de longitudes de onda.

- 90
Conviene señalar que este modelo no es rauy apropiado para
el análisis de los convertidores de inducción reales, pues
en estos los núcleos magnéticos son finitos, y el campo -
magnético en los bordes decrece fuertemente, siendo prácti^
camente nulo muy cerca de ellos. For esto es razonable su-
poner que los rendimientos del modelo analizado serán infe^
riores a los de un convertidor real.
Sin embargo, este estudio tiene gran interés, pues permite
averiguar las modificaciones que habría que efectuar en el
devanado de excitación para eliminar los efectos de borde.
Estos se manifiestan debido a la existencia de los polos
En efecto, si L >• o o , en la solución (V.l6) para -L'^z-^L
desaparecen los dos últimos sumandos y obtenemos el resulta^
do conespondiente al convertidor infinito.
Por otro lado, si la transformada de Fourier de la corrien-
2
te de excitación contine el factor X en el numerador, desa_
parecen también los mencionados polos y A es sólo distinto
de cero en la región -L<:z-álL,
Pero la existencia de la transformada inversa exige que el
denominador contenga un término en ?" • Teniendo en cuenta
que la forma de trabajo óptima para el convertidor es la

- 91
(kk) •
senoidal, R, M. Sudan piopuso la siguiente expresión pa-
ra la capa de corriente de excitacions
"^ 2 -j(k 4r)L j/z
) d ^ (V.17)
' ^
'-CXO
Resolviendo la integral (V.17) por el mismo procedimiento
que las (V.12), se obtiene:
i (z. ) = i
2^(l-jR2S2)e"^^2^ seník^-k^JL
k^^(l-jR^s^)e""''^3^ sen(kj-k^)L
__ j (kj-k^íkg-k^)
(V.18)
(z<-L)
i(z) = i.
jk2^{l-jR2S2)e~J^2^sen{kj-k2)L
fkj-k^) (k^-kg)
(V.i9)
jk^^(l-jR^s^)e"'^^3^sen{k^-k )L
_ ("k^-k^) (kg-k^) (z > L)

r 92
i { z ) = i .
2 1 3 1 1 2 ' ' 3 2
k^^(l-jR^s^)e"'^'^3^ cos(k^-k )L
(kj-k 1 Tk -k )
( - L ^ z ^ L )
( V . 2 Ü )
siendo :
« i =
/ < o ^ CiJ
( i = 1 , 2 , 3 )
vk.
1 + s. = — i
1 UJ?
( i = 1 , 2 , 3 )
Para que la e x t e n s i ó n de la capa de c o r r i e n t e de e x c i t a c i ó n
sea f i n i t a , b a s t a con queí
( k j - k ^ ) L = n n n, n - _ 1, _ 2 , - 3j ••
(k -k )L = n ' n n /¿ n

93
ya que en este caso se tiene s
i (E )=i
o ;|2
~ ~ ~ ^— " ""•'• 4 .
n n n (n-n' )
{-l)"'k^{l-jR.^S3)e""-^^3^
n' (n'-n)
(V.2i)
(-L^z ^L)
i(z ) = 0 ( /z/ > L ) (V.22)
La excitación dada por (V.2l) y (V.22) se puede conseguir
en la práctica mediante tres devanados de distinta longitud
de onda, situados en la zona central del convertidor de ex-
tensión 2Lí
.-j^, ^ -jk,z -jk-j^i(z) = i^j e-^'^j/ + i^2 e ^^^2- 4 i^^ «-^^^3^ (V.23)
siendo l a s a m p l i t u d e s de cada uno de e l l o s :

^2 kj (1-jRjSj)
ol o n2 s
•" n n
- 9'-f'
L2 ( - l A c ^ ' d - J R g S , )
"o2 o )i2
1 ^ = 1
) ^ n (n-n' )
^ (-l)"'k^^(l-jR^s^)
o3 o ^2
n' ^n'-n)
(V,2k)
En la referencia k2, muy posterior al trabajo original, se
da una discusión muy completa de este procedimiento de com
pensación y se llega a las siguientes conclusioness
a) Las amplitudes y las fases de las corrientes de excita_
ción (V.2if') son funciones de la velocidad del fluido,
lo cual hace que el procedimiento sea muy difícil de -
llevar a la práctica.
b) Los rendimientos alcanzables pueden no representar veri
tajas sustanciales respecto del convertidor no compen-
sado»
Estas son, sin duda, las razones por las que los esfuerzos
de los investigadores se han encaminado, en general, en -
otras direcciones.

95
Sin embargo, en lo que respecta al párrafo a) es muy fácil
demostrar que un diseño apropiado de los devanados y la c£
nexión en paralelo de los mismos, da automáticamente las -
corrientes de excitación requeridas en amplitud y fase, -
con independencia d.e la velocidad del fluido. No daremos ~
aquí esta demostración, por ser totalmente análoga a la que
se hace en el capítulo siguiente para el caso de dos deva-
nados.
El párrafo b) requiere una discusión más amplia: En el COÍT,
vertidor de longitud, infinita, la potencia extraída del -
fluido es proporcional al deslizamiento s (ec.(IV.22)), -
mientras que la que se disipa en él por efecto Joule, varía
con s (ec.{IV.23 ) ). En consecuencia, para conseguir rendi-
mientos altos, es necesario que el valor absoluto de s sea
lo menor posible.
Este razonamiento es aplicable al método de compensación -
que estamos comentando, pues no existe acoplamiento mutuo
entre los distintos devanados, por ser ortogonales en el -
intervalo (-L, L) las funciones que representan las magni-
tudes relevantes en el comportamiento de cada uno de ellos.
Ya que los valores s,, s„, s„ han de ser forzosamente dife
1 2 j —
rentes entre sí, es evidente que el rendimiento del conjun_
to es inferior al de un convertidor de longitud infinita -
que funcionase con un deslizamiento igual al más bajo de -
los tres.

96
..•!f"- '
Por io tanto, este procedimiento de compensación introduce
unas pérdidas suplementarias a cambio' de anular los eí'ec_
tos de borde, y de ahí que, en cuanto al rendimiento, no ha^
ya diferencias importantes respecto a un convertidor no com
pensado. Subsiste sin embargo, la enorme ventaja del funci£
namiento sin desequilibrios en las intensidades, que es muy
importante desde el punto de vista práctico.
Es evidente entonces, que un procedimiento de compensación
que anule totalmente los efectos de borde y que ocasione; -
iunas pérdidas suplementarias inferiores a las que sé tienen
con el método de Sudan, reúne grandes ventajas respecto al
convertidor no compensado, Jiste es el "Método de Superposi_
cien" que se expone con todo detalle en los capítulos si-
guientes. .

CAPITULO VI
EL MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

- 98
El Método de Superposición que vamos a exponer a continua-
ción, proviene de las investigaciones llevadas a cabo en -
el Gabinete de Aplicaciones Nucleares a las Obras Publicas
del Centro de Estudios y Experimentación de Obras Públicas,
sobre generación MKD de energía eléctrica.
Es interesante señalar que, actualmente, el esquema de Elliott
es el que más se tiene en cuenta en la literatura científica
sobre convertidores de inducción compensados» Las razones
por las que se prefiere este procedimiento al de Sudan, han'
sido expuestas en el capxtulo anterior. La mas importante
es la referente al ajuste de las amplitudes y de las fases
de las corrientes de excitación, al variar la velocidad del
líquido. Si, como vamos a demostrar, este ajuste es posible
hacerlo de manera automática, son evidentes las ventajas -
del método de Sudan sobre el de Elliott. Por otro lado,el
Método de Superposición es más ventajoso que el de Sudan,
por emplear sólo dos devanados.
VI.1 Descripción del Método
Consideremos el modelo de longitud infinita, que hemos ana-
lizado en el capítulo IV, y supongamos que los devanados,
situados en los planos x = i aP, , tienen diferente longitud
de onda, siendo las densidades superficiales de corriente
(fig. VI.l ):

|^^"!:ífe.^t^¿^-^'.-iJ^ltVt.WA.¿afets;^nP!Pg?tit^44^'--Lv.!i?w-a^^^v.rff.^.^^^^
í>" o
im^z^y:
^gi^W!:>v^y..|;"<^,iJi¡!.-ac»jaftvai?r>j'>.!as:-a.'M->'^'i'w?ri-A>>r.A
B(z)' B { z + d 2 )
- ® j -
V Y>
B*FtTf^'^iJ^-J^«^¿^-<^4if^5^^^?KS^
!n(z)^
dz
Htsa-
2L = myl^ = nlp|

- 1 GU
i ( z ) = i e
m om
-J5íh,z
i :(¿) = i e"J'^"^
on
X = a
e
( V I o l )
^3£ = - a
Las l o n g i t u d e s de onda l a s e l e g i r e m o s de raanera ques
m X = n Xm 1
n i j n — I j 2 j 3 } » " " ° * *
(VI.2)
m f n
De la misma forma que en el capítulo IV, consideraremos s£
lamente el caso dé pequeños entrehierros. Calculando la ci£
culación del campo magnético a lo largo del camino de pun-
tos en la íig. VI.1, obtenemos la, siguiente: ecuaciónj an£
loga a la (IV,2):
donde /^' viene dado por (IV.3).
'A
Sustituyendo en (VI.3) las relaciones
B = 1 d£ (IV,4)

-101
g = CÍE + vB) (IV.5 i
^c = ^c ^ {IV.5' )
resulta :
d^F
dzI - / > -S- -/¿«"1 + 'r''^J ji =
7^¿j u;
2a m(i (a) +
4 i„(z))
(VI.U)
Vamos a introducir ahora los siguientes parámetros adimen-
sionales, referidos a uno y otro devanado:
- Deslizamientos
vk
1 4 s = ;
vk
1 4 s =
n oo
(VI.5)
- Deslizamiento ficticio:
O-r.
s = s
m m - ^P-^^ - ^ ' ^n = ^n -^^-^^
Cr
(VI.6)
- Numero de Reynolds magnético ficticio:
R' = ¿_o .
m , 2 '
m
n , ¿
k
(VI.7)

102
Teniendo en cuenta estas definiciones y las ecuaciones
(VI.l), se obtiene inmediatamente la siguiente solución
particular de (VI.^):
E = £ e~J^m^ 4 E e'-'^n'' (VI.8)
om on
siendo j
X 1
om ^ on„ _ uní üíl__, í VT Q )
^ — ~ 2ao'(s'4j/R' ) ' ^on ~ 2acr( S'MT/'R'T ^vx,y;om
' m " ' m ' " n " ' n
La solución general de la homogénea de (VL^J-), que depende
de dos constantes arbitrarias, no interviene en este caso
por la misma razón que en el capítulo IV, es decir, por -
tratarse de un convertidor de longitud infinita.
El resto de las magnitudes se obtiene a partir de (Vl«8) y
(VI,9), empleando otra vez las relaciones (IV.^), (IV.5) y
(IV.5'):
B = B e~"^'^ni=^ 4 B e"^"^^"^ (VI. 10)
om on

con :
- 103
B
oni
k i
m om _j
^^ m ^' m
k i
n on
n n
(VI.lí)
g = -(7(3 E e'^^"^'^ 4 s E e'^^n^ ) (VI. 12)
m om n on
g = CT (E e ^ m. ,4 E e ^ n )
'^c c om on (VI.13)
Vamos a fijarnos ahora en una fracción del convertidor, de
extensión (fig. VI.l):
2L = m i = n A
m n
(VI.Ik)
que comprende un numero entero de longi tudes efe onda en ambos
devanados.
El flujo magnético y la intensidad eléctrica correspondien-
tes a esta zona son nulos, por tratarse en ambos casos de
ondas senoidales completas.

~ ÍOk
Si suprimimos el resto de los núcleos magnéticos con los
devanados correspondientes y las placas conductoras situa-
das lateralmente 5 el funcionamiento del convertidor en la
zona considerada, no se altera, con tal que se cumplan las
condiciones límites en el campo magnético y en el campo -
eléctrico.
Debido a la pequenez del entrehierro frente a las longitu-,
des de onda, el flujo de dispersión que se crea en los bor_
des por continuidad del campo magnético, es completamente
despreciable y no altera sensiblemente las condiciones de
trabajo en el interior.
La continuidad del campo eléctrico (ver apartado V,1) oca-
siona perturbaciones importantes, porque no es posible su-
primir fuera de la zona consideradar, los elementos que fa-
cilitan el recorrido de las líneas de campo eléctrico, co-
mo se hizo antes con los núcleos magnéticos, ya que en es-
te caso se trata del metal líquido y del conducto que nece^
sariamente se encuentran aguas arriba y aguas abajo del -
convertidor.
Sí. queremos que en el exterior el campo eléctrico sea nu-
lo para que no se engendren corrientes perturbadoras, he-
mos de conseguir que lo sea en los extremos del convertidor,

- 1Ü5
Evidentemente empleando un solo devanado esto no es posible,
pero sí lo es al utilizar dos, ajustando convenientemente -
las arapiitudes E y E . En efecto, en los extremos del con
• om -^ on —
vertidor el campo eléctrico (VI.8) es, teniendo en cuenta
(VI.U')!
fe] = (E] = E (-1)™ 4 E {-1}"
I / _, '^ •' _ T. ora • on
y para que sea nulo basta con que:
E = E (-1 )
om on
n-ra41
(VI.15)
Vamos a demostrar a continuación que esta condición se al-
canza fácilmente en la práctica, diseñando en forma adecua-
da ambos devanados.
El número de.conductores por unidad de longitud, en las fa-
ses de cada devanado es, en general (ver apartado III.l)j
(1)
(2)
N (z ) = N, eos (k z +o¿
m Im m m 3
2n
(3) kflN (z) = N. eos (k z 4o6 —-)
ra Im m m 3
V (VIoí6)
J

- í 06
, (1)
W^(z) = N^^ eos {k^z 4 06J
N (z) = N, eos {k z 4roC .. - ----) V (VI, l6'
n In n n 3
N (z) = N, eos (k z 4 o¿ - • — )
n In n n 3
y la fern que se induce en la fase (1 ) del devanado m, resu¿
ta (ver eapítulo IV):
(1 ) /'^ (1 ) /^^
(fem) = 6 = 2b/ N (z ) E dz = bN, / (e^ ^^^"'^^'^f» ^ 4
V 'rn m I m Im /
7-L y-L
4 e-J^'^m^-^'ln^íE e'J^rn^' 4 E e-J^n^ ) dz =
om on
= 2bL N, E e-^"^ (VI, 1?)
Im om
Las fem que se inducen en las otras fases de este mismo de_
vanado no es necesario calcularlas, pues evidentemente to-
das ellas forman un sistema trifá?jico equilibrado.

Análogamente se obtiene para el devanado n:
•- 107
(1)
(feín) = f = 2bL N, E
n ^n In on
.j^n (VI.I7' )
Diseñando los devanados de manera que se tengaí
im 1 n (VI.18)
06 = oc
m n (VI.19)
y conectándolos en paralelo, resulta
E = E = E
om on o
(VI.2Ü)
Que coincide con (VI,15) si m y n tienen distinta paridad.
En caso contrario bastaría con hacer la conexión en parale^
lo, invirtiendo la polaridad de uno de los devanados.

106
Es necesario señalar que, debido al carácter teórico de e¿
te capítulo, hemos prescindico en el razonamiento anterior,
de las caídas de tensión que se producen en cada devanado,
a causa de su resistencia y de su reactancia de dispersión;
pero este hecho no tiene trascendencia en la práctica, por-
que la primera es muy pequeña y la segunda se puede competí
sar totalmente, sin consumo adicional de energía, conectati
do en serie unas reactancias capacitivas de igual valor que
las de dispersión.
Este es el fundamento del Método de Superposición, que ha
sido objeto de la Patente N£ i^027^^í "Perfeccionamientos
en Convertidores de Inducción Lineales".
Hay -un aspecto de este método que puede llamar la atención |
es el siguiente! Del análisis de Sudan se deduce que el nú-
mero mínimo de devanados para conseguir la compensación es
tres. ¿A qué es debido que la compensación sea posible aquí,
utilizando solamente dos?. La respuesta está en que el raode^
lo considerado por Sudan posee núcleos magnéticos de exten-
sión infinita, y para eliminar los efectos de borde es nece^
sario anular el campo magnético y el campo eléctrico z=:_L.
Sin embargo, el modelo más real analizado por nosotros, no
necesita de la anulación del campo magnético, por interrum-
pirse el circuito magnético en z = 1 L, y ser despreciable
el campo de dispersión.

í C'9
VI.2 Rendimiento eléctrico
Del mismo modo que en el capítulo IV {fórmulas (lV.2U)y
(IV.20*))s la potencia que entrega el fluido se calcula a
partir de la fuerza g^^ B, que se ejerce sobre cada unidad
de volumen del mismo. Teniendo en cuenta (VI.8), (VI.9)»
(VI,10), (VI.11), (VI.12)j (VI.1^) y (VI.20) resulta;
P = 4ab Re V g B dz
k
n
'o' ' LO
= 4ab/ VO-/E / ^ - 4 - eJ^ni=^4 - f eJ^n^')(s e'^^m^ +
m
+ a e"*'^"^ )dz = 8abL CT/E /^ [ S {14S ) + s (1 + s ) 1 (VI.21 )
n ' o ' l , m m n n ^
Análogamente, la potencia que se extrae del fluido y la que
' • / .
se disipa en él por efecto Joule, valen respectivamente!
P = k&h Re
e -g E^ dz
= 4ab
L
a-/E^/2(eJ^rn24eJ'^n^)(s^e-J^V4s^ g-J^n^ ) dz =

no
SabLc/E /^ (s 4 s ) • {VI. 22)
o m n
n m n
= SabLc/E /^ (s ^ 4 s ^) - (VI. 23)
o m n
Las expresiones (VI.21), (VI.22) y (VI,23) confirman lo
que se dice en el apartado Vo.3 (pag. 95) sobre el funciona-
miento de un convertidor con varios devanados diferentes
entre sx. En efecto, si las comparamos con (IV.2í), (IV.22)
y (IV. 23 )» resulta evidente que los dos devanados funcionan
sin interacción mutua, y que las potencias obtenidas son
la suma de las que se obtendrían de cada uno de ellos, fun^
clonando aisladamente en las mismas condiciDnes. Por tanto,
un convertidor compensado por Superposición equivale a dos,
de diferentes longitudes de onda, que trabajan en paralelo
sobre el mismo canal MHD,
El rendimiento eléctrico como generador será (ver (IV.2Í^))!
1
P s 4 se > m n
eg " P' ~ s (lis )4s (14s ) (VIo2Í4-)
f m' m n n

- 12Í
Conviene ahora discutir como varxa n con m, n y la velo-
cidad del líquido.
En el tráfico de la fig. VI.2 se han llevado s en abcisas
y s en ordenadas,
n
Los l,.ugare.s geométricos que corresponden a n =cte, vienen
definidos por la ec.i ^
s^ 4 s^ 4 s (1- — - ) 4 s (i- - ~ ) = O
m n m n n nn n n
h t
y son por tanto circunferencias que pasan por el origen y
tienen su centro en la bisectriz del primer cuadrante,en
los puntos:
s = s
m n
y'ie,^-'
Las coordenadas d e l extremo d e l diámetro que pasa por e l
origen son:
1
s = s = - 1
m n K7
'es
^

• •
:^o^
o^ /
/ '^'^y
j 1 1 • Jr ^ / iT f
V -05 -0.7 / / " ° ' ^ / _ y v H / ^
^ "^^^^TT/
^ / /v/// /
/iwr -
f /MX P
& :
3>
T" / /
t¿^Q(
2^^^^f
T / ^ ^ . I / ^
1 ' V/
1 'Z«f " >
'le* y
1
1
/ ' / / / /
/ / / ^/ V
^ftijX 1 / / /
/ I I / / / / ^^
W--;^J_^,^l 0.3 ^ / O.S ><^ 0,7 0.S /^
7 / ' ^ . 3 0
/ ' '^'^
'-0.5 1 ^v '_^^,^- so
1 JV^-'^'^ 60
-0,7 I ^ ^ N. 70
- 0 , 9 / ^ N. 90
''^^ 100 •/.
ÍO.

1 í 2
En consecuencia 5 una manera rápida de encontrar la circun-
ferencia que corresponde a un valor dado de i^ , es dibu-
jar la curva n = T-T j como se ha hecho en el ks. cua-
¿eg 14s^^'
drante de la figura.
El valor de s que corresponde en esta curva al valor dado
de n , es la abcisa del extremo del diámetro que pasa por
el origen,de la circunferencia que se desea hallar.
En el caso de funcionamiento como bomba, todo lo anterior
es válido, excepto que el rendimiento (O es el inverso
del que hemos considerado hasta ahora (ver {IV.24'))„
Si s (<0) es la abcisa del extremo del diámetro que pasa
por el origenjde la circunferencia correspondiente- a un va^
lor dado de n ,, tendremos:
I eh'-
I
, = 1 4 s
eb m
Esta curva se ha representado en el 3 cuadrante, y nos
permite obtener de la misma forma que antes las curvas
= cte.
I eb
La r e c t a s +s =0, separa l a s r e g i o n e s de funcionamiento co-
mo g-enerador y como bomba. -

Por otro lado, los lugares geométricos de los puntos de fuii
cionamiento para m y n dados (supondremos m < n ) , son rectas
definidas por s
14-s
n n
14s m
ra
Todas ellas pasan por el punto (-1, "1) que corresponde al
Ixquido- en reposo»
En la figo VIo2 se han dibujado las que corresponden a
m = l,2,3?^s5í con n=m41. Siempre interesa que n-rñ=l, pues
i
para valores de n mayores que m-tl , el rendimiento disminu~
ye; éste será tanto mayor cuanto más cerca esté de la uni-
dad el cociente (ver la discusión al final del capítu-
m "^
lo- anterior, pag. 95)»
En cada una de estas rectas interesa fijar el punto de ren^
dimiento máximo; éste se obtiene inmediatamente de que su
distancia al punto A , intersección de la recta considera-
m'
da con s 4-s =0, coincide con la distancia de A al origena
m n m
Se dibujan así las curvas n , y O i^ » que dan los
/eg,max /eb,niax
máximos rendimientos eléctricos que se pueden conseguir en
cada caso, c

- llk
Es inteiesante señalar que para m^?;, el máximo rendimiento
eléctrico se obtiene cuando s -íi^iü. lo cual quiere decir que
m _
el convertidor está funcionando prácticamente solo con el -
devanado n, en las mismas condiciones que si su longitud -
fuera infinita.
La misión del devanado m esj pues, la de en¿'endrai' un campo
eléctrico en los extremos, igual y opuesto al que crea el
devanado n, no contribuyendo apreciablemente al intercambio
de energxa.

..#'•
C/iPITÜLO V I I
CALCULO DEL RENDIMIENTO GLOBAL DE UN CONVERTIDOR MIID
DE INDUCCIÓN COMPENSADO POP, SUPERPOSICIÓN

- 116
Vil.1 Peididas adicionales
Con esta denominación, englobamos todas aquellas perdidas
que se producen en los distintos elementos que foiman parte
del convertidor, con excepción de las que se originan en el
propio fluido. Estas últimas fueron ya evaluadas en el capi_
tulo anterior y son las únicas que intervienen en la deter-
minación del rendimiento eléctrico. Para calcular el rendi-
miento global hemos de incluir además las adicionales, que
se componen de los siguientes términos:
, • • í • •'
VII. i a ) Pérdlda^s en las paredes del canal
En las paredes del canal paralelas al plano YZ (fig. VI.í),
la densidad de corriente g ¡, viene dada por (VI. 13), y las
pérdidas correspondientes por efecto Joule son:
P^ = kah (p-1) Re fcfc^
o;
^
áz
kah -^- (p-1 ) cr/E /2 (,eJ^'n^'^4eJ^n^^)(e-Jl%^4e-J^n^)d z =
r2 Or
8 abLcr/E^/ 2 - ^ (í^-l) (VII,1)

i 1 7
En una sección z f= z de cada uno de los electrodos de co-
o
bre 5 que forman lafi paredes laterales del canal (paralelas
al plano XZ ), la intensidad elécti^ica total esj según -
(VI.12),y (VI.13):
2a dz =
2acrE m
jk
m
s(eTJk,,z^ _ ^jmn^^ _ n . (^-Jk^Zo _ JnJl ^
donde los signos 4, - corresponden a uno u otro electrodo.
El valor modular cuadrático medio, a lo largo de la longitud
2L del convertidor, de dicha intensidad, resulta!
' o'
aXTí
,>2
n
_ l / 2
k
m
s' s'
m n^
k k
ra n
(m = n - 1 )
y por t a n t o l a s p é r d i d a s en ambos e l e c t r o d o s valen
8abLcr/E„/^ b F ^
Cu '^Cu
9 9
s ' s
m n
s ' s '
m , n
, 2 "*•, 2 " k k
k k ra n
m n
( V i l . 2 )

- 118
donde S„ y CL son respectivamente la sección y la conduc-
en Cu "^
tividad eléctrica de cada electrodo.
Comparando esta expresión con (VII.l) y (VI:.23)? se deduce
inmediatamente que la importancia relativa de las perdidas
en las paredes laterales del canal MBü, es muy pequeña si se
verificaí
o k
Cu bey.
,2
m
2
,2 s'
m
k
m
n
k
n
Cu s^ 4- s^42(/3-l ) - ^
m n i (S
(Vil,3)
Pero, según las conclusiones del apartado 1,2, en un conve£
tidor de interés práctico se tiene;
C^ » C ; b > 1 /t^Cu ^ n
y la desigualdad (Vil.3) se cumple siempre.
Por tanto, en el cálculo del rendimiento global las pérdi-
das (VII,2) no serán tenidas en cuenta.

- .t i9
VII,1 b) Pérdidas en los devanados
Como ya vimos en el-apartado 111=1, en los convertidores de
inducción los devanados se alojan en ranuras practicadas en
los núcleos magnéticos, según se indicaren la figo Vil»1,
El paso de ranura es 1;^ ^í-i s V ^ representa la fracción de
' rm m r
la longitud total del convertidor ocupada por las ranuras»
La altura de éstas es h, . y la del yugo, camino por donde
dra j tj >
se cierran las líneas de campo de la inducción magnética,
h, . Para el devanado n se emplean los mismos símbolos, su£
tituyendo el subíndice m por el n. Admitiremos como simpli-
ficación que el valor de ^es el mismo para ambos devanados»
Según (VI; .1), (VI>,9) y (VI,2ü), la amplitud de la capa de
corriente m, es:
i = Zao- E (s' 4 j/R' )om o m ni
y su valor modular
/i / = 2ao-./E / (s'^ 4 l/R'^)' om ' o' m ' m
1/2
(VII.4)

X'
/ / /
"Tc&
^ h h
3
2
U-
:&
I J~l f
hm
( 1-^) T Irm ^TLrm
•»St4=If : S*|
o r m
-2ss-j
/
'dm
-íSí»» Z
•?
O

4.1
Por tanto, la intensidad total en cada ranura serás
P 1/2
Zacrr ¡E I (s*'- 4 l/R' ) (YII.5
rrn' o m ' m
y la densidad de coiriente:
2acrf ,-, c> 1/2
d - ^ ^ / E / (s*''^ 4 l/R'^) ' (VII.6)
m c h^ o ni ' ra
í dm
donde f es el factor de espaciatniento que tiene en cuene I- ^ „
ta el llenado imperfecto de laá ranuras por los conductoress
i
y que, para no complicar excesivamente los cálculosj lo su~
pondremos igual en ambos devanados.
' • • /
Las pérdidas por efecto Joule en el devanado m, se obtienen
fácilmente multiplicando la energía disipada por unidad de -
volumen y unidad de tiempo, por el volumen útil de las ranjj
ras %
2 2 2^/2
d 2bb, „ r d (s' 4 1 / R ' )
m ^. V dm o • , T _/,-^ /2 m m m ' rad e d ' o'
siendo CT, la conductividad eléctrica del material que consti
d i ~
tuye los devanados y íf un factor que tiene en cuenta el au-

122
mentó en las pérdidas que se px"oduce por dos causas í el efe£
to de piel en las ranuras, y la longitud, de las caberas de
bobina. El primero se puede estimar fácilmente, si suponemos
que dentro de las ranuras los conductores están apilados -
en capas de espesor o , que se puede suponer el mismo en am-
bos devanados. .£1 cualquier tratado especializado (ver poi"
ejemplo la referencia ^í-?. ) se da la solución de este pro-
blema j y el factor por el que se multiplican las perdidas
resulta, serí
1 4-
10^ h^ S'
óm : (h^ y> dm.
b en m„ )
cuando se trata de conductores de cobre (conductividad:
C. = ¿^'6.10 n~ m ~ ) y la frecuencia es la industrial;
50 ílz.
La longitud, de las cabezas de bobina la podemos estimar en
una semilongitud de onda, y teniendo en cuenta que en la ina^
yoría de los diseños prácticos, la sección de los conducto-
res fuera de las ranuras es doble de la interior, resulta -
finalmente la sip-uiente expresión para 2r j
m
T =
m
10« h^ S^
1 4 _ ™ . _ ^ _ _ „ 4. ni^bk
m

- Í23
En consecuencia, las pérdidas en ambos devanados valen:
= 8abL(r/E^/^ -. L ¡ r d^ (s'^-H/R'^)
1/2
1/22 2 ^/'==1
4 ?r d (s'^^+l/R'^)
n n n ' n J
(VII.7)
siendo :
m
m ^ u2 r2
10 h, á Yi
^
ilbk
^n i+bk
n
J
(h, , h, y en m,)
dm' dn
(VII.8)
Conviene señalar que en los cálculos que anteceden, no se
ha tenido en cuenta la influencia de las pérdidas en el -
hierro en la corriente de excitación, pero debido a los ba-
jos factores de potencia con los que se trabaja, este efecto
carece totalmente de importancia.
VII.1 c ) Pérdidas en el hierro
El efecto de piel en los conductores de los devanados, se de^
be al campo magnético que existe en el interior de las ranu-

- 12^
,fi::
ras a causa de la dispersión del flujo (fig. VII.l).
Además, la variación de la corriente en cada ranura con la
coordenada z, da lugar a que a lo largo del diente, la indu£
ción magnética no sea constante, sino qué varié desde el ex-
tremo hasta la raíz del mismo, a causa del flujo magnético
que se le aporta lateralmente. En las máquinas convenciona-
les este efecto no tiene gran importancia, pero en los con-
vertidores de inducción no se debe ignorar, pues debido a
que los entrehierros son mayores, la altura de los dientes
puede alcanzar valores considerables. Por esta razón, vamos
a analizar a continuación la distribución de la inducción -
magnética en los dientes»
Teniendo en cuenta que la intensidad total en una ranura,
cuyo valor modular viene dado por (VII.5), tiene una distri_
bución prácticamente uniforme, por ser c)-í^h , y tomando la
circulación del campo magnético a lo largo del camino de puti
tos en la fig. VII,1, se obtiene la componente Z de la indu£
ción magnética en el diente :
2ao-E {s'4j/R' )e"^^n»^r
Bz,dm-/o 'h^^^ r__ í^dm - '^ )
rra
(VII.9)
C dm

125
La componente X se obtiene añadiendo al campo principal, el
de dispersión, que se puede calcular fácilmente integrando
desde O a x' la derivada cambiada de signo de (VII,9) res-
pecto de z, lo cual es admisible por ser IT <í^ o
^ ' "^ rm m
B
2a M Cf E
/ o c
X ,dm
}
jk (x'
,2
-jkm^~ )(s' + j/R» ) e^^^m-
2h , ^ m ^' m
dm
(VII. 10)
1-^ 1-^ ,
donde B y B , vienen dados por (VI.11).
om on
Ya que la energía disipada en cada unidad de volumen del ma-
terial magnético, por histéresis y corrientes de xFoucault,
es proporcional al cuadrado del valor máximo de la inducción
' (9 )magnética , nos interesa calcular el valor medio de esta
magnitud, a lo largo del diente.
El resultado es: '
h
dm
dm
7 B ^ /^ 4 /B ^ /^' x,dm' ' z ,dm'
d x ' =
= o ( s » 2 4 i / R . 2 j _ ^ ¿o o ( 3 » 2 ^ ^ ^ ^ , 2 ) ^ 2 2 _
ov-'^ m ' m .^>w2 m ' m m d m
V '7

- 126
8a/i cr/E / / B / 8a/< (T/E / / B / , . i^ , „
/ o ' o ' ' om' , . / o ' o on' k h , e o s (k - k ;z -k h - —ó"v /I vrñ"^ f" *^™ n m
3^(l-jfTiF~ m dm - 3^<l-fm^
8aftcr/E / / B / B B *
{" , ° ^ . °" s'íc h^ sen (k -k )z + h °"^ ° " eos (k -k )z 4
3 ^ ( 1 - ? ) m m d m n m í i _ r ) n m
/^
/B /^ /B /^
4 2 i-OiSi^ 4 2 - ^ S _ ^ (VII.ll)
De los términos que intervienen en (VII.ll), el ks. y el 5- y
el 62, carecen de interés, pues al integrar en la longitud
del convertidor desaparecen. El 12 es del orden de magnitud
2 2 2
de k a. fi veces el penúltimo, y se puede despreciar fren_
te a éste, si;nos limitamos al caso de pequeños entrehierros.
Por último, la suma del 22 y del 3- es del orden de magni-
tud de :
k^ a Ah, ( k ^ a B h , - 1 ) (VII, 12)
m j dm m I dra
veces el penúltimo, y es aqux donde interviene la limitación
que razonablemente se debe imponer a la altura de los dien-
tes del convertidor, para que las pérdidas en el hierro no
alcancen valores inadmisibles. De hecho, en los diseños prá£
ticos, la expresión (VII.12) toma unos valores que no supe-

- 127
ran generalmente a la unidad, en cuyo caso en el cálculo -
teórico de las pérdidas en el hierro se puede prescindir
de estos términos sin cometer errores importantes, debido
al reducido valor de estas pérdidas frente a las totales.
Dicho de otro modo, si imponemos la condición:
k ^ a /i h^ (k ^ aíih, - 1 ) -=; 1
m / dm ra ( dm
( V I I . 13)
2 2
k a A h^ (k a ft h^ - 1 ) ^ 1
n I dn n j dn
las pérdidas en los dientes se pueden calcular tomando sola-
mente los dos últimos términos de (VII.11), sin que los err£
res que se cometan se reflejen en forma apreciable en el va-
lor final del rendimiento. De acuerdo con este criterio, la
finalidad de la condición (VII.13)» más que la simplificación
de (VII,11), es la de conseguir que las pérdidas en el hie-
rro no aumenten desmesuradamente.
Por lo tanto, cuando se verifica (VII.13),y a los efectos -
del cálculo de las pérdidas en los dientes, supondremos que
el valor máximo de la inducción magnética en los mismos es
constante, y vale:

- 128
^I^JB. = TT-^ //B / ^ 4 / B / ^ = ,, ?, Jk ^4k ^ (VILÜ^)
d ,med (1-7) V om' ' on' u)(l-¿^) y m n
donde se han u t i l i z a d o l a s r e l a c i o n e s {VI.9) y ( V I , 1 1 ) .
Teniendo en cuenta ( V I I . l 4 ) , e s t a s p é r d i d a s r e s u l t a n f i n a l -
mente :
„ (1-r) /!, P. B^ , 2
SabLcr/E-/^ / •'^^ ^ ( 1l'"f ) (h^ 4h^ ) (VII. 15)
' o ' 2 a cr ^ / ü / ^ dm dn
donde P es la potencia en W. disipada en IKg. de hierro mag-
nético, sometido a una inducción alterna de frecuencia 50 Hz,
con un valor máximo de 1 T. , y P es la densidad de dicho
material.
Es interesante conocer además, el valor máximo de la induc-
ción magnética en ei diente más saturado, que de acuerdo con
los criterios anteriores, es:
/2/E /
B, = n—TT (k 4 k ) (VII.16)
d uj{,l-n m n

- 129
Si queremos obtener las pérdidas en el hierro en su totali-
dad, tenemos que añadir a (VII.15) la aportación correspon-
diente a los yugos. En una sección z = z de uno de estos,
la inducción magnética media es:
J _ Í£- (e-J^m^o 4 e - J V o ) (VII.17 )
como se deduce fácilmente de la relación (IV,if). El cuadra-,
do de su valor máximo resulta:
^—x (1 + eos (k -k ) z ) (VI-I.18)
^2 2 / ^ n m' o
hm
y las pérdidas en los yugos:
2
J F e ^ h
8a.hLcr/Ej^ -^^^^^ ( - ^ 4 ri-) ( V l l . 19 )
o 2 'h^ h^
a era; hm hn
Comparando esta última expresión con (VII.15)» se deduce
que si :
^hm»7, ,, 2 i:^d,med,2. ^ (VII.20)
(i-pcj-(~^^f^rh dm

Í30
h-:^———_-.JL,™.™_^ {VII. 20')
/ < v^ 2 j, d .mea , ¿.
se puede despreciar la aportación de los yugos a las pérdi-
das en el hierro. En la práctica, las áesig;ualda.de3 {VXIr,2ü)
y (VlXc20') se cumplen siempre j y además aseguran que la in_
ducción liíignetica no toma valores excesivos en aqueilos»
Por tanto, en el cálculo del rendimiento tomaremos para las
pérdidas en el hierro P , el valor (V11.15)s con la limita-
ción (Vilo 13),
De un examen de las expresiones que dan las perdidas en los
devanados y las pérdidas en el hierro, se deduce inmediata,-
mente que en cada núcleo magnético existe un valor óptimo -
de la altura de los dienteSf para el cual la suma de dichas
pérdidas es mxnirria» En efecto, según (VI1»6) las densidades
de corriente que figuran en (VTIe?) son inversamente propo£
clónales a las respectivas alturas de diente. Por tanto, la
parte de P, en la que no xnter'-iene el efecto de piel es
d
asimismo inversamente proporcional a éstas, mientras que la
parte restante, y P son. directamente proporcionales a
ellas»
Dichos valores óptimos sons

- 1 3 1
dm,opt
2aO'f w •? •?
/• m
2aCff
h ^
- ( 1 + i | ¿ - ) (s;;^ 4 1 / R ; ; ^ ) ( v i i . 2 1 »
d n . o p t J^ao-f^ j^,8r2 ^ „ ( 1 - ^ ) / ^ , P. B, _ . , 2
^ < ^ ;
- ^ ( s ' 2 4 1/R'^) 4 i ^ - ü ^ ^ ( ^ ^ # f ¿ ) '
9 ^ n * ' n ' 2 a o- ^ / E j '
V I I . l d ) P é r d i d a s h i d r á u l i c a s
La t e n s i ó n t a n g e n c i a l en l a s p a r e d e s d e l conducto es ' '
2 5 ) .
r^ = 4 r - F - / - ^ (VII. 22;
donde ^es la densidad del fluido y f el coeficiente de fri£
ción de Darcy-Weisbach, que viene dado por la fig. II.1.
Las pérdidas hidráulicas se obtienen fácilmente de (VII.22),
teniendo en cuenta (VI.5) y resultan:

- 132
P^= 8abLcr/E^/^(l4-f-) - ^ - ^ -3f¿72(^-*^„>'
ak-'/E /•
n o'
(Vil.23)
VII,2 Rendimiento global
La potencia en los terminales del convertidor es la que se
extrae del fluido P , descontándole las pérdidas en las pa-
e
redes del canal P , en los devanados P, y en el hierro P
Fe
P - P - P^ - P_
e c d. i Fe
La potencia que el circuito, hidráulico suministra a la má-
quina» es la suma de la entregada por el fluido P„ y las -
perdidas hidráulicas P. :
P 4 P
f h
Por tanto,el rendimiento global del convertidor funcionando
• • c
como generador, es:
2
p - p - p^ - p„
. = ^ p' 4 P ^ (VII.2/.)
e f •* h

- 133
y funcionando como bomba:
L> e c d Fe
Conviene advertir que el numerador y el denominador de • -
(VII,25) son negativos, ya que P y P lo son, cuando la má-
quina funciona como bomba.
Los valores de P, (T, ?^, (T^, P^' /Ve'^' *^c' ^e' / ' ^ ^D,
así como el espesor (ft-1 )a de las paredes del canal parale-
las al plano YZ, vienen impuestos en cada caso particular
por la naturaleza de los materiales empleados o por las con^
diciones generales del Proyecto.
Si tenemos en cuenta que, según las conclusiones del apar-
tado " V L 2, se debe tomar siempre:
m = n-í (VII.26)
resulta que para definir el convertidor, basta con los cinco
parámetros siguientes:
a, Ij^, n, b, B^ (VII.27)

- 131^
El último de ellos B , sirve para fijar el campo eléctrico
/E /, cuando se conoce Jl (ecuación ( vil» 1 6 ) ).
Considerando las expresiones (VI.21), (VI.22) y (VII.l),
que dan respectivamente P_, P y P , junto con las (VII.6),
(VII.7), (VII.lif), (VII.15), (VII.21) y (VII.21') que defi.
nen P, y P„ , se deduce inmediatamente que todas estas poten
d "^ Fe —
o
cias son proporcionales a /E / , mientras que P. , que viene
dacb por (VII. 23), es independiente de esta magnitud. En con-
secuencia, para obtener rendimientos altos, interesa que -
/E / sea lo mayor posible. Físicamente, esto significa que
al aumentar la densidad de potencia en el convertidor, que
varía con /E / , disminuye la importancia relativa de las
pérdidas debidas al rozamiento con las paredes del conducto,
que son ajenas a la interacción electromagnética.
Además, de todas las pérdidas que se producen en el converti_
dor, son estas últimas las que generalmente adquieren mayor
importancia, y de ahí el interés por conseguir materiales -
magnéticos con valores elevados del campo de saturación.
Al aumentar la longitud de onda, manteniendo constantes el
resto de las magnitudes (VII.2?), aumentan la velocidad de
sincronismo y el número de Reynolds magnético, con lo cual
las pérdidas hidráulicas (VII.23) crecen fuertemente, mien-
tras que las pérdidas en los devanados (VII.7) disminuyen en
forma notable, debido a que generalmente el término 1/R' -

- 135
2
es más importante que s' . Por tanto, la longitud de onda es
una magnitud a optimizar en cada caso.
Cuando la semialtura _a_ del canal MID3 toma valores muy peque-
ños, las alturas óptimas de los dientes (ec. (VII.21) y -
(VII.21' ))son prácticamente proporcionales a ella, y además
'' .3.
en los coeficientes X y IT influyen muy poco los términos
m n
correspondientes al efecto de piel en las ranuras.
Resulta entonces que al aumentar_a_sin variar el resto de -
los parámetros (VII.27), disminuye la importancia relativa
de P y P. (ec. (VII.l) y (VII,23)), mientras que la del re¿
C -TI '"'"
to de las pérdidas no se ve afectada sensiblemente.
Sin embargo, para valores más elevados de _aj las alturas'Ó£^
timas de los dientes dejan de crecer proporcionalmente a es-
ta magnitud, tendiendo hacia un límite finito, lo que trae -
como consecuencia que las pérdidas en los devanados varíen
2
aproximadamente con a , en vez de hacerlo con a, como ante-
riormente. Por otro lado,el factor (I4a/b) que interviene en
las pérdidas hidráulicas, comienza a tomar valores aprecia-
bles, influyendo desfavorablemente en el rendimiento. Las -
pérdidas restantes se mantienoi ahora prácticamente constan-
tes.

- 136
De todo esto se deduce que la elección del valor de a, se
debe basar en un proceso de optimización, de la misma forma
que en el caso de A .
n
El rendimiento eléctrico del convertidor aumenta con n, se-
gún se aprecia en la fig. VI.2. Evidentemente el rendimiento
global varxa de forma parecida y por tanto, la selección del
valor más apropiado de n, lleva implícita la consideración
de una serie de circunstancias muy complejas como son: eco-
nomía de la instalación a corto y largo plazo, característi^
cas del circuito hidráulico (ver Apéndice ) etc.
El ancho 2b del canal MHD influye muy poco sobre el rendi-
miento global, y se puede fijar en función de la potencia
requerida, sin olvidar la limitación;
b^I Ihn
que se estableció en el capítulo I.
Como aplicación de todo lo expuesto anteriormente, se inclij
ye en el Apéndice el proyecto de un convertidor MHD de in-
ducción compensado por Superposición para ser ensayado en
las instalaciones del Gabinete de Aplicaciones Nucleares a
las Obras Públicas del Centro de Estudios y Experimentación
de Obras Publicas, y en las de la Junta de Energía Nuclear,

- 137
En relación con el citado proyecto, conviene aclarar que la
anchura de los núcleos magnéticos 2b , que hasta ahora hemos
supuesto que coincidjfa con la anchura libre del canal 2b, es
ligeramente superior a ésta, para asegurar la estanqueidad
de las juntas laterales ^ * , No hemos hebho referencia
antes a esta posibilidad, debido por un lado al carácter -
teórico de los capítulos anteriores, y por otro a que esta
disposición no es aconsejable en todos los casos; La única
consecuencia de ésto, es que en algunas de las fórmulas fi-
gura la relación b /b, no ofreciendo ninguna dificultad su
justificación.
Por otra parte, la elección de los cinco parámetros funda-
mentales (vil,27) viene impuesta por las reducidas cáxdas
de presión disponibles, lo que trae como consecuencia que
en el proceso de optimización no se reflejen con toda exac_ ,
titud los criterios de diraensionamiento, más generales, ejc
puestos anteriormente.

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Gabinete de Aplicaciones Nucleares
a las Obras Públicas
PROYECTO D£ UN CONVERTIDOR MHD
DE INDUCCIÓN, COMPENSADO POR
SUPERPOSICIÓN
Ingeniero Autor del Proyecto
José R. Wilhelmi Ayza
Madrid, Sept. 1.972

El convertidor Magnetohidrodinámico (MHü) de inducción -
fué propuesto en el primer Symposium Internacional sobre
MHD (Newcastle, I962) para los sistemas de producción de
energía eléctrica con metales líquidos, y ha recibido -
desde entonces considerable atención por parte de los in_
vestigadores, debido a que es capaz de generar la energía
eléctrica a tensiones y frecuencias industriales, y no ne_
cesita de la conversión .de corriente continua a corriente
alterna asociada con los otros tipos de generadores MKD.
A partir de aquella fecha se fué conociendo más a" fondo es_
ta maquina, que presenta grandes analogías con las asxncro^
ñas convencionales, desempeñando el metal líquido el papel
del rotor del tipo "jaula de ardilla" en estas últimaso
En el tercer S3Tiiposium Internacional sobre MHD (Salzburg,
1966), se discutieron por primera vez las diferencias
esenciales con las máquinas asincronas convencionales; -
estas diferencias consisten principalmente, en que, debi-
do a la geometría lineal del convertidor MHD, los extre-
mos del mismo juegan un^papel decisivo en su funcionaraieii
to, que no tiene su análogo en las máquinas rotatorias por
la geometría cilindrica de estas últimas.

- 2
En los extremos del convertidor MED el campo eléctrico no
es nulo, y el metal líquido exterior al cuerpo de la máqui^
na, está sometido a una tensión que da lugar a la circula-
ción de corrientes parásitas cuyo efecto perjudicial es d.£
bles fuerte disipación de energía por efecto Joule, y per-
turbación de las condiciones de funcionamiento en el inte-
rior del convertidor, debida al retorno de las corrientes
parásitas por esta zona.
Se ha dedicado mucho esfuerzo a conseguir algún procedimien^
to que anule el campo eléctrico en los extremos del conver-
tidor, siendo el más importante el propuesto por D,G. Elliott
en 1966, que consiste en colocar unos polos compensadores -
en los extremos, cuyo flujo magnético es tal que contrarre¿
ta el campo eléctrico en el borde. Sin embargo, en las zo-
nas de los polos de compensación aparecen necesariamente co^
rrientes inducidas por efecto Foucault, que dan lugar a nu£
vas perdidas de importancia considerable, y aunque pueden
reducirse colocando tabiques aislantes en el canal, que di-
ficulten su recorrido, no se consigue con ello-elevar sensi^
blemente el rendimiento, pues simultáneamente se aumentan -
las pérdidas hidráulicas totales, que tienen de antemano un
valor elevado, debido a las altas velocidades de circulación
del metal líquido y al reducido diámetro hidráulico de la -
sección.
En el Gabinete de Aplicaciones Nucleares a las Obras Públi-
cas se ha desarrollado otro procedimiento de compensación.

"Método de Superposición", que puede tener gran interés por
los elevados rendimientos que permite alcanzar, y que ha si_
do objeto de la Patente N2 kOZjkk^ a nombre del Centro de -
Estudios y Experimentación de Obras Publicase
El fundamento del "Método de Superposición" es el siguiente;
Como en cualquier máquina eléctrica de corriente alterna, -=>
el campo eléctrico inducido por un devanado viene determina^
do por la tensión que se le aplica y por el valor máximo -
del número de conductores por unidad de longitud del mismo.
La longitud de onda, por otro lado, coincide con la del de-
vanado correspondiente o
Si en vez de colocar dos devanados-idénticos en paralelo,
como es usual, se utilizan dos, de longitudes de onda:
2 L/n y 2 L/n-1
siendo 2L la longitud total del convertidor y n un número
entero, se crearán dos ondas de campo eléctrico de la mis-
ma longitud de onda que los respectivos devanados» Si éstos
se conectan en paralelo, y se construyen de tal forma que
el valor máximo del número de conductores por unidad de lon_
gitud, es el mismo en ambos, las amplitudes de las dos ondas
de campo eléctrico serán idénticas. Si, además, los devana-
dos distan del centro del convertidor el mismo ángulo eléc-
trico, las dos ondas de campo eléctrico estarán en fase en
el centro de la máquina, y en oposición de fase en los ex-
tremos, donde, en consecuencia, el campo eléctrico será nu-
lo en todo instante.

- 4
Debido a que todas las magnitudes producidas por cada deva-
nado tienen la forma de ondas senoidales de la misma longi-
tud de onda que los respectivos devanados, se deduce que "
éstas son ortogonales dos a dos en la longitud total del -
convertidor, y que, por tanto, no existe interacción mutua
entre ambos devanados.
En consecuencia el conjunto funciona como dos convertidores
sin pérdidas suplementarias, en paralelo, actuando sobre el
mismo rotor (metal-lxquido).
Es interesante destacar la doble utilidad del "Método de
Superposición". Además de la ya mencionada aplicación a los
convertidores de inducción que trabajan con un metal líqui-
do, existe la posibilidad de su empleo en los motores de in^
ducción lineales, cuyo funcionamiento es totalmente análogo
al de aquellos, y que actualmente están siendo objeto de -
estudios teóricos y experimentales enfocados a su utiliza-
ción en la tracción eléctrica de Ferrocarriles, especialmen^
te en las realizaciones más avanzadas, tales como los Hover^
trains.
El objeto de este Proyecto es la construcción de un conver-
tidor MHD de inducción compensado por "Superposición", para
la comprobación experimental de este procedimiento, que pro^
mete ser de gran interés en la generación MKD de energía -
eléctrica, a escala industrial, en las centrales nucleares
equipadas con un reactor rápido refrigerado por un metal ií^
quido.

- 5
Existen actualmente dos instalaciones de metales líquidos
dentro del recinto de la Junta de Energía Nuclear, en las
que puede ser ensayado el convertidor» El circuito de Na,
cedido por el Gobierno de la República Federal Alemana a
la Junta de Energía Nuclear y el circuito de NaK, con el
que cuenta la Sección de Investigación Básica del Gabinete
de Aplicaciones Nucleares a las Obras Públicas.
El Proyecto se ha realizado de tal forma que el converti-
dor puede ser ensayado en ambas instalaciones. Debido -
por un lado, a que en ambas, la caída de presión disponible
está limitada a valores relativamente bajos, y por otro, a
que al ser menor la conductividad eléctrica del NaK que la
del Na, el primero necesita de menos caídas de presión, -
los ensayos se llevarían a cabo como generador en la insta^
lación de NaK, y como bomba en la instalación de Na.
De todas formas siempre es posible la ampliación en una u
otra instalación de la caída de presión disponible, bien
colocando bombas comerciales de alta presión o bien utili-
zando como bomba otro convertidor de diseño semejante al
que se trata aquí.
Los rendimientos que se espera conseguir son muy altos, si
los comparamos con los obtenidos en los convertidores con£
truídos hasta hoy.
Como generador se espera alcanzar cerca de un kíP/o global.

frente a un íSfo obtenido en el modelo de más reciente con£
trucción en el Argonne National Laboratory {U»S.Ao)o
Como bomba se espera poder llegar a un ^0% global, frente
al 20^ que alcanzan por término medio las bombas no comperi
sadas.
Las cifras que se dan para el rendimiento, aunque son rela-
tivamente altas, son muy inferiores a las que se podrían ob
tener con convertidores de mayor potencia, donde la importan_
cia relativa de las diversas pérdidas es mucho menor.
Las dimensiones del cuerpo principal del convertidor que se
proyecta construir sons
Longitud <>o«».e>e .««•••o 2L = ií'SO mra»
i ^ n C n O « • Q a • o e a o o a o o o o « e o o o « o * o ¿ - D — - 1 JJ
^ X T / U r a T ^ O v a x o e « o « e e « « » o e e a o « o O l O , ^
i^n^renxerro • • e o a e « « » o e « « « * » e « ^ $ ^
Las paredes laterales del canal son de cobre, de conductivi^
dad eléctrica mucho mayor que la de los metales líquidos, -
para favorecer el recorrido de las corrientes inducidas, l£
grando así íin reparto más uniforme de las mismas en el canal
MHD.~
Por otra parte, para evitar que en las paredes del canal
perpendiculares a la dirección del campo magnético, las co-
rrientes inducidas tengan una importancia relativa grande,
es necesario que su espesor y conductividad eléctrica"^ sean
mucho menores que los del metal líquido. Debido a la gran -
actividad química del Na y del NaK, a las temperaturas ñor-

- 7
males óe funcionamiento, dichas paredes deben ser metáli-
cas, aunque su espesor puede ser muy débil, 0,5 rnm„, por
transmitir las presiones a los núcleos magnéticos contra
los que van apoyadas» El material previsto en el Proyecto
es el de menor conductividad eléctrica entre todos los re-
sistentes al Na y al NaK, y es una aleación a base de Ní-
quel (Gk'p) con Molibdeno (15^")» Cromo (l6^¿) y Hierro iS'p) $
cuyo nombre comercial es Hastelloy C; su conductividad -
eléctrica es aproximadamente el 5^fi de la del acero inoxi_
dable, el 28,ij''7b de la del NaK, y el 8,8% de la del Na.
Los devanados constan de 3 y 2 longitudes de onda, de l60
y Zií-O mm. respectivamente. Ambos son de doble capa y paso
acortado (5/6), con 2 bobinas por polo 3'- por fase. El tipo
de conexión para ambos es en estrella, y se conectan en pa^
ralelo a la red trifásica industrial de 3x22üV. intercalain
do un autotransformador trifásico con salida variable de
O a 3x26üV.
Con objeto de compensar el bajo factor de potencia del co¡n
vertidor, se prevé la conexión en paralelo con él, de un -
grupo de condensadores de 5jl8KVAR.
Las características nominales del convertidor como genera-
dor en el circuito de NaK son las siguientes:

- o
X G n S X O n « • • « & « o » « e « « o o o o o o « » t > o e « o o
Factor de potencia .,00.0.0
xotBncxa GxGct^rxcci ...........o...
Calda de presión total .oo.oooo...
V / 3 - L 1 0 3 . X « e a « e » « e o e o o a o o e « o « « o o « o o e e
i r O ' C G n C X c l l T 1 6 C d . I l 3 . C 3 . e e o i » « f t a e e o » o e » » «
iriGno.xrnx6nX/0 o® « » o «o « « • o eo « « « «o e c o
2 ü 3 , l 6 Vo
15,üi^ A o
0,17
900,019 w.
3,¿(-Í4-8 kg/cni'
26,508 m-^/h.
2^93,090 V/.
36,l'^
El Proyecto incluye además de la presente Memoria los si-
guientes documentos;
. Anejo a la Memoria
Descripción del convertidor MIKl de inducción compensado
por Superposición.
o Planos
o Especificaciones Técnicas
o Anejo de Calculo, que incluye las curvas de funcionamien-
to del Convertidor como generador en el circuito de NaK,
y como bomba en el circuito de Na.
El Ingeniero Autor del Pzyóyecto,
V2B2
El Ingeniero Director del Gabinete
/
/"ToWe R. Wilhelmi Ayza
Vicente Roglá A l t e t
Madrid, Sept^ 1.972

'- ANEJÜ A LA MEMORIA -
Descripción del Convertidor MHD
de inducción compensado por Superposición

íü
N O T A C I Ü N
a o o e e o o Semiaitura libre del canal MUÍ)
b . . o > o > Semianchura libre del canal MHD
b i Semianchura de un núcleo magnético
h
L .o. o.. Semilongitud de la zona de trabajo del conver-
tidor
P « • • 0 9 » Relación entre la altura total del entrehierro
y la altura libre del canal MHD
V Velocidad del metal líquido
i
n . o .. o o . 'M2 de pares de polos del devanado n_
m ,..,o. W2 de pares de polos del devanado m^
n o o . o» Longitud de onda del devanado n
-^ n —
Longitud de onda del devanado m^
zn/ln
Valor máximo de la densidad lineal de conducto-
res en cada fase de un devanado
Fase de un devanado, respecto ál centro del con^
vertidor
Densidad lineal de conductores en la fase i_ del
devanado m
Densidad lineal de conductores en la fase i^ del
devanado n
Intensidad eficaz compleja en la fase i del deva^
nado m, (Para i = l, se suprime el superindice )
Intensidad eficaz compleja en la fase i del deva^
nado ri, (para i=l, se suprime el superindice)
Densidad superficial de corriente en el devana-
do m_
Densidad superficial de corriente en el devana~
do n
A™
m
n
N. . o
D¿ • 0 °
m
n
m
n
^ m * "
X e o
n
X _ o 0
om
on
o e e
• c e
• e o
e • o
• o o
• o •
e o •
e o e
• • o
e e 0
o e s
• o e
• 0 •
• o • o
Valor máximo de i en la longitud del converti-
dor.
Valor máximo de i en la longitud del converti-
dor "
Campo eléctrico en el entrehierro

11
B .o».. Inducción magnética en el entrehierro
(jü . . . c . Frecuencia angular de la corriente
M o o o . . Permeabilidad magnética del vacío
Q* poooo» Conductividad eléctrica del metal líquido
(T «,«=» Conductividad eléctrica media de las paredes
superior e inferior del canal Miíü
g
&c
Densidad volumétrica de corriente en el metal
líquido
Densidad volumétrica media de corriente en las
paredes superior e inferior del canal MHD
XoT^o/p
A o... o Potencial vector de B
(i)
m
: (i
' n
Eo
s
m
s;
n
)
•
e o
o •
• 0
0
•
e
o
o •
o »
s e
9 e
r o.eo f.e.m» eficaz compleja en la fase i del devana-
do m (i-ara i=l, se suprime el superinaice ;
f.é.m. eficaz compleja en la fase i del devana_
do 11 (Para i = l 5, se suprime el superi^nd/ice )
Amplitud, eficaz compleja de la onda de campo eléc_
trico
Deslizamiento del líquido, respecto al devanado m^
Deslizamiento del líquido, respecto al devanado n^
R' .o.o. Numero de Reynolds magnético ficticio
s' ,.oío Deslizamiento ficticio
P„ ..o.» Potencia mecánica entregada al fluido
P .««o. Potencia eléctrica extraída del fluidoe
P .«o.. Potencia disipada en las paredes superior e infe-
rior del canal MED
t' «ooo Paso de ranura correspondiente al devanado m
rm ^ —
tr .o»« Paso de ranura correspondiente al devanado in
f . o o . « o Fracción de la longitud, total de los núcleos ma.g_
néticos, ocupada por las ranuras

~ i 2
h, ..«o Altura de las ranuras del' devanado m
dm —
h, ».o. Altura de las ranuras del devanado n
d.n ~
f ,oe.« Factor de espaciamiento
e
d .0.00 Densidad de corriente en el devanado m
m ~
d .000. Densidad de corriente en el devanado n
n —
Q~d •'
Conductividad eléctrica de los conductores de un
devanado
Y ..00, Relación entre la i'esistencia total en corriente
alterna de un conductor del devanado m_j y la re-
sistencia en corriente continua del tramo compren_.
dido en la anchura libre
r„ o e o ft o Relación entre la resistencia total en corriente
alterna de un conductor del devanado ri^s Y ia- r'^™
sistencia en corriente continua del tramo compgen_
dido en la anchura libre
A o > . o o o Espesor de una capa de cond^uctores del devanado
^
D' . O O O O Diámetro útil de un conductor del devanado
P, «.6«o Potencia disipada en el devanado
d
djined , Valor cuadrático medio a lo largo del convertidor
de la inducción magnética máxima en los dientes
B ,«.»o Valor máximo de la inducción magnética en el -
diente más saturado
P^ oco o Potencia disipada en el hierro
Fe "^
-f-j-, . .'o o Densidad del material magnético
p, Potencia disipada en 1 kg de hierro magnético;
para una inducción máxima de ÍT
^^ Tensión tangencial en las paredes del canal MlíD
P, o o o a o Pérdidas hidráulicas
n
f o . o . . Coeficiente de fricción de Darcy-Weisbach
•w^ e o o . o . Densidad del metal liquido
y Rendimiento del convertidor (generador)
10, „.oo. Rendimiento del convertidor (bomba)
Q .•<<<. Caudal

- Í3
^ ..oec Caída de presión en el com-ertidor
h, o o . o Altura del yuffO del núcleo magriético m
h . » » o Altura del y'-igo del núcleo magnético n_
S„ ...c Sección de cada electrodo de cobreCu
n~p o«.. Conductividad eléctrica a la corriente alterna
de cada electrodo de cobre

- ik
A, L-nstruccion
El convertidor" está constituido en esencia (fig. 1) por un
canal de sección rectangular, por donde el metal líquido -
circula a la velocidad v, que se fiede suponer constante en
toda la sección, debido al aplanamiento del perfil de velo^
cidades causado por el campo magnético» Este se crea median^
te dos núcleos magnéticos de forma, paralelepípedicaj en uno
de los cuales (el inferior por ejemplo) se dispone un deva-
nado trifásico de n pares de polos, y longitud de onda:
^ =2L/n5 cuyos conductores se alojan en ranuras practica-
das en el núcleo en la dirección del eje Y» Despreciando
los armónicos^ la densidad lineal de conductores en cada -
fase es í
N^^ ^ = N, eos (k z 4o¿ )
n i n
N^^^ = N, eos (k z 4od- ~ )
n 1 n 3 (1)
N^^^ = N, eos (k z 40C- - ~ )
n 1 n 3
En el otro núcleo { el superior) se dispone un devanado -
trifásico, análogo al anterior, pero con m pares de polos
y longitud de onda ^ =2L/m; los valores de N. y c¿. se -
mantienen para este devanado, y las densidades lineales -
de conductores en las fases son;

^¿2zzz:
• s ^ r - íSK^-^ííS^ -í^rs
gg;jaaMiaKjgi.-».iafc«ag3najiJCi i'i.JC.Ji>

16
N^^ ^ = N, eos (k z 4 (DC )
m i ra
"A
N^^^ = N, eos (k z 4 CX.
in 1 m
zn (2)
^P^ = N, eos (k z 4 o6 ~ - ^ )
ra m J
Arabos devanados se conectan en paralelo.
Las paredes laterales del canal son dos electrodos de co-
bre, cuya elevada conductividad obliga a las corrientes
inducidas en el liquido a penetrar en ellos según la di-
rección del eje Y, lo cual permite tratar el problema bi-
dirnensionalmente, en el plano XZ.
Por otra parte, en los convertidores de interés práctico,
se verifica:
Kl^ a « 1
(3)
k /3 a « 1
•r^P
y se puede suponer que, en el entrehierro, las magnitudes
no dependen de la coordenada x, quedando el problema redju
cido a una dimensión.

17
Bo Fun c i onamlento
Supongamos que las intensidades en cada devanado foimen un
sistema trifásico equilibrado» Utilizando ei simbolismo com'
piejo para las magnitudes alternas, que las expresaremos
siempre en valores eficaces, se tiene;
(U
m
= I
m' mm m ' m rxí
I^^) = 1 ; 1^2^ = I e-^2n/3 ,(3)., ,-á^^/3
n n n n n n
y l a s d e n s i d a d e s s u p e r f i c i a l e s de c o r r i e n t e (figo l ) van
d i r i g i d a s según e l eje Y, y v a l e n í
1 = <. N^^^ I^^^
"^ i = l , 2 , 3 "^
_ - j k : . 2
" i = i , 2 , 3 "
= 1 e non "
2 1 m
-3~ N. I e-J^V-^^)
2 1 n
{>^)
siendo J
ora
N, I e
1 m
•3<^l
on 2
N, I e
1 n
• joc (5)

-18
De acuerdo con el tratamiento unidimensional los vectores
E y B son de la forma:
E (O5 E(z,t), O ) ; B (B (s,t). O, ü)
j'' están relacionados por la. ley de Faradayá
rot E = - -^-4^
Ya que las corriente inductoras varían senoidalmente en
el tiempo con frecuencia angular Oj 5 E y B lo harán en la
misma forma, y ütilisando los valores eficaces complejos,
la ley de Faraday se reduce as
^^ = jcOB (6)
dz
Tomando la circulación de E a lo largo de la línea de pun^
tos de la fig» Ij cuya anchura es dz. $ se obtiene:
• ^ - ~ dz = 2agdz 4. 2a{f3-l) g^dz 4- (i 4i ) dz (?)
y u^ ' c m n
donde se ha supuesto que la permeabilidad magnética de los
núcleos magnéticos es mucho mayor que la del metal líquido,
H í que prácticamente coincide con la del vacíoo
En la ecuación (7)j g Y g son^ respectivamente, las den-
sidades volumétricas de las corrientes inducidas en el lí-
quido, y en las paredes superior e inferior del canal, y

v i en ai dadas pors
- 19
g = CT (E 4- va) g. (T E (8)
Combinando ( 6 ) , ( 7 ) y ( 8 ) se o b t i e n e s
d^E d£
da ^ -^
—:r—— ( i e ^ m 4 x e n j
2 a oni on
•1) CT/O^ )
(9)
Una s o l u c i ó n p a r t i c u l a r de e s t a ecuación e s :
= L e'^m + E e ^ n ; ( i i . y
om on om on
constantes) (í O)
de donde;
B = - —-— li e m
LO om
k
u;
t e *^ non (11)
Esta solución cumple las dos condiciones fundamentales, de
que el flujo magnético total, y la corriente eléctrica to-
tal sean nulos; si, además, el campo eléctrico en z =•• ^ L
es nulo, la solución es válida; la solución general de la
homogénea, que depende de dos constantes arbitrarias, sólo
interviene en los convertidores no compensados, en los que
el campo eléctrico z, = _ L, no es nulo.

- 20
Para ver que el campo eléctrico en los extremos es nuioj.
hay que hallar las f.e«ra. inducidas en cada uno de los dos
devanados que se conectan en paralelo.
La f.ecníe inducida en una espira es el flujo de -x) B¡ f) t ^
o la circulación de -€> A/Oto
De la ecuación (6)5 se deduce que la circulación de - C A / O Í
coincide con la circulación de Ej bien entendido que E no
es el campo eléctrico en los conductores del devanado, sino
en el entrehierro; ambos vectores no coinciden, debido a la
capa de dipolos eléctricos que aparecen en el aislante.
Es evidente, que las f.eem,, inducidas en cada fase de un
devanado 5 forman un sistema trifásico equilibrado, y en -
consecuencia bastará con bailar las correspondientes a la
fase 1 de ambos devanados»
em
2b I x^fJ co s (k 2 4-OC } E d z = 2b L N, E em 1 om
j°¿
f = 2b / N, eos (k z 4 06 ) E d z = 2b L N, E e
^ n / 1 n 1 on
oc
(12)
Las tensiones en los terminales difieren de las f.eenio en
las caídas de tensión, debidas a la resistencia y a la
reactancia de dispersión; la primera es muy pequeña, y la
segunda es fácil de compensar, sin consumo adicional de
energía, introduciendo las reactancias adecuadas; por tan

2 i
to5 la conexión en paralelo de ambos devanados implica
E = E -- £
ora on o
y el campo eléctrico en los bordes serás
o o
z=-Lí E=E ( e r n 4 - e n ; = E e ( 1 + e )
o o
anulái-tdose si m y n son de distinta paridad; en general se
elige m=n"i <,
La solución anterior por tanto es válidaj y las magnitu-
des relevantes para el funcionamiento del convertidor soní
E = E le "* m 4 e ^ n (lüM
E .,
UJ» m n
(11')
g = (T B,
vk VK
(1 ~ ——") e ^ m 4- (1 - — ™ ) e ^ n
= -Cr rc -jk z, -jk a
ni n
(13)
g^ = (7 E e^ c o
•jk z , -jk z
"^ m 4- e ^ n (1^)

- 2;
donde se han introducido los deslizamientos del líquido,
respecto a ambos devanados, que se definen;
vk vk
i + 3 = _ i í i . i + 3 = > _ a (15)
y están relacionados entre sí por
1+s i+s
ra _ n
m ~ n
De la ecuación (9) se deduce inmediatamente:
i = 2 a cr E (s» 4 j/R* )om "^ o m *" m
i = 2 a ÍT E (s' + j/R' )
on o * n *" n
si e nd o :
1,2 ,2
k , km 1 n
(16)
(17)
(18)
-; = - m - </^- ' ^ A > > n = - ^P>- '^ ^c/cr t^9)
R' y R' son los números de Reynolds magnéticos ficticios ,
que coinciden con los usuales excepto en el factor/i, que
tiene en cuenta que no todo el entrehierro es útil, a los
efectos de intercambio de erargía.

23
s* y s', son deslizamientos ficticios, caracterizados por
tn -^ n'
la inclusión de los efectos de disipación de energía en las
paredes conductoras, superior e inferior del canal.
De las ecuaciones (5) y (17) obtenemos:
m 3N. "^ "• mm "• m
ka. CT'E .O¿
I =
n 3N
^ e ^ (s¿4á/R-)
(20)
C, Rendimiento
. La potencia mecánica entregada al líquido es:
^f = í^*
•t' S (1 -i-
n
ií-ab / g B vdz / = GabLíZ/E / fs (1 + s ) +
••']
(21)
la potencia eléctrica extraída del mismo es:
P = Be H a b
e -g E dz i = 8abL
'í-L
<//E /2 fs 4¡s T
' o m * n I
(22)
y la potencia disipada en las paredes superior e inferior
del canal es:

zk
P = Re i k&hip
<
c c
dz
^ , , t 2 ( p - i ) ( r
= 8abLCr/E / . i2'})
o' g-
El devanado se a l o j a en r a n u r a s de paso ¿ , anchura v- i ,
y a l t u r a h ( f i g . 2)
k X' K m
y////////.
.?«;
- Í B 5 > J 1 1 1 I 1 ^
TT
2 ^ (^-pT,
• - • . I . . . . i ^ y
77//////A
y^f
rrr
2 1
h T,
-•J
r m
^am
>f'-0
-*— z
El v a l o r e f i c a z de la densidad s u p e r f i c i a l de c o r r i e n t e en
un devanado t i e n e un v a l o r modular, que es i n d e p e n d i e n t e
de z y v a l e :
/ i / = 2 a ( r / E ^ / V V ^ 4 j / R ' 2m ' ' o' V m *" m
por tanto, la corriente total en una ranura debe ser;
/ im / T ^ = 2a(rr, i^J a'^ 4 j/R' m ^ rm rm o' y m ' i
>2 j^ Wri»2
m

25
Si llamamos f al factor de espaciamiento, la altura de la
e
ranura será:
h
dm
f 2a CT/E /
e "
d . m •" m
m '
{2ií)
donde d:: es la densidad de corriente
m
Análogamente se tienes
dn (/• á- V n *" n
Y
,2 (25)
Las perdidas en los devanados son, por tanto
" n n | n " J
-»2 ,.2s- + I/R''^ -I-
m ' m
(26)
donde (7Í es la conductividad eléctrica de los conductores
d
del devanado, y los factores o y Y tienen en cuenta el
" m "n
aumento de pérdidas,debido por un lado al efecto de piel
en las ranuras, y por otro, a la longitud de las cabezas
de bobina. Aproximadamente vienen dados por:
r=m
^r.-
i * f-^j
r,, -/r
h , Am
b 8b
h , ^ n
b 8b
^^dm' ^'dn y^^" ™'^
(27)

26
siendo ¿ el espesor de cada capa de conductores en la ranu-
ra; si se trata de conductores cilindricos colocados al -
tresbolillo, de diámetro útil D', se tienes ^ = D' yT/2.
En las fórmulas (27)j se ha supuesto que, fuera de la raniJ
ra, la sección de cada conductor es doble de la interior,
con objeto de aprovechar al máximo el espacio disponible.
La inducción magnética en los dientes de un devanado au-
menta progresivamente al alejarnos del entrehierro, debido
al flujo de dispersión de ranura (fig. 2 ) ; pero se puede -
ver fácilmente, que este efecto carece de importancia en
los convertidores de interés práctico, en los que se veri-
fica:
k a/f3h^ ( k a/3h^ - 1)<1
(28)
k ajfih^ { k^ arth^ - 1 ) < 1n I dn n I" dn
El valor máximo de la inducción en los dientes varía, ade-
más, concia coordenada z, y se deduce inmediatsmiente que
su valor cuadrático medio es:
d, med. ,.,^j^ y j V m n
B^ ^ = — —^-¡a'^ + k' (29)
y que en e l d i e n t e más s a t u r a d o , toma e l v a l o r :
f2"/E /
B, = - - — — ^ (k + k ) (3u)

Las p e r d i d a s en e l h i e r r o r e s u l t a n :
- 27
P^ = 8abL
Fe
^/L-> /2 ^^"rV Fe^h ,^d,med )'
' o'
(h, 4h, )
dm d n (3í )
Comparando (26) y (31 )> se deduce que la altura óptima de
las ranuras es:
dm,opt
^^''^e . , 2
o-^y b ob m m (32)
2a Cff 1 o'
e
(A, >5 9b
>
8 2
^ ^h , ,2, 1 . , ^^~?^JFePh ,^d,med
m j^,^
m
2 a (T TTT'
dn,opt
2a ¿T-f b. T
^d!^ 8b n n (33)
^ - ^ ^ e ^ ^ V . , 2 , 1 ' (^-yjFePh ,^d,med.^
n
^d?
Por último, si llamamos f al coeficiente de fricción de
Darcy-Weisbach, la tensión tangencial en las paredes del
conducto es: '
rj-^ _ D 1 -f '
í-o - T T " 2 " - ' ^ (3^)
y las pérdidas hidráulicas:

n^ o'
« O- ak3/E /
n' o'
El rendimiento como generador, resulta finalmente;
p - p - p, _ p
'g -f - -^
y como bomba:
2.-
p + p
f * hP - p - p _ p
e c d Fe
D. Datos adicionales para el proyecto
El caudal es:
y la caída de presión total:
n
•28
f f 3
P^ = 8abLCr/E /^ (14 - ^ ) - ^ ~ r — ~ ^ — ^ - ( l + s 9 (35)
/ - e c d fe ír,(:
(37)
Q = i<-ab -7^^ (14-s ) (38)
K n
n
A f h 2 A n f h /oo
En el cálculo del rendimiento que se ha hecho más arriba,
se han ignorado deliberadamente dos causasmás de pérdidas;
las que tienen lugar en los electrodos de cobre, y en los
yugos del circuito magnético. La razón estriba en que, ge-
neralmente, tienen poca importancia, y en que se pueden re^
ducir tanto como se quiera, dimensionando adecuadamente es

- 29
tos elementos; en efectos
En una sección z =z , del yugo m^, el valor medio de la indu£
cion magnética es:
h^ b
hm
E
Bdz =
m'^h J ^
o , -jk z , -jk z >
— ( e ^ m o 4 e ' ^ n o )
y l a s p é r d i d a s de l o s y u g o s s o n :
h a(7<jü hm hn
Por t a n t o se d e b e t o m a r :
. ^ _ b _ i ¡ _
^ h ( l - p - j t ^ ( d ,med )
TET~ "dm' o'
{ ^ 0 )
n»T: s , , 2j2 ^ d>med
<i-T)-''<fff' V
La intensidad eléctrica en una sección z=z de un electro-
o
do de cobre es:
- ZaO^E
= 2aC7'E
-L
-s'
{s^-(l3-l) -jr-) e ^ m n ^ (7^
.1)4^) e-JV dz

- 30
y su v a l o r m o d u l a r c u a d r á t i c o m e d i o , a l o l a r g o d e l e l e c -
t r o d o e s :
( m = n - l )
o
. 2
s s
m n
k k
ra n
s s
ni n
k k
m n
Por consiguiente las pérdidas en los electrodos valen
Cu Cu
s s s s
m r n m n
, 2 , 2 " k k
k k m n
m n
y se elegirá:
s s s s
m , n ni n
k 2 i c 2 " k k
m "^n m nS ^ -J5-?l
Cu'V bcr,- 2 , 2 , ^ , ^ , , (/c
Cu s + s 4- 2(6-1 ) •^'—^r-
ikí )
Conviene aclarar, por último, que al calcular las pérdidas
en los devanados no se ha tenido en cuenta, por ser muy pe^
quena, la variación de la corriente en los mismos, debida
a las pérdidas en el hierro.

A. Canal MHD
Las paredes superior e inferior del canal, serán de chapa
laminada en frío y recocida de la aleación denominada -
"Hastelloy C", cuya composición es la siguiente:
Ni 6h%
Cr 16^/¿
Mo 15%
Fe 5%
Las paredes laterales serán de cobre electrolxtico.
B. Núcleos magnéticos
Serán de chapa extrasuperior de lj5 w«/Kg.
C. Arrollamientos
Se empleará cobre de bobinar de diámetro exterior l,5nim.
y diámetro útil 1,3 mm.

- 2
D. Aislamientos
En las ranuras se empleará Celisolj con los espesores que
se indican en los planos.
En la separación de los núcleos magnéticos con el canal
se utilizará mica de 0,15 rom, de espesor.
E. Otros materiales
Las tuberías y bridas, así como los tornillos y tuercas,
serán de acero inoxidable 18/8.
Las soldaduras serán ejecutadas a tope, por fusión, emplean^
do gas Argón.

• " ^
Como ya se dijo en la Memoria, la condición más limitativa
para el diseño de un generador MKÜ de inducción, es la ca^
da de presión disponible en el circuito donde se proyecta
realizar los ensayoso
Debido a la menor conductividad eléctrica del Nalí, las ca£
das de presión requeridas cuando se emplea este metal lí-
quido, son menores que cuando se utiliza Na, por lo que el
convertidor se ha proyectado para funcionar como generador
en el circuito de NaK, y como bomba en el circuito de Na,
En el primero, la bomba impulsora es centrífuga y ha sido
construida especialmente para metales líquidos, por "POM-
PES GUINARD". La curva caracterísbica de esta bomba, a su
velocidad nominal, 2900 r.p.m., es la señalada con ^Pi.^ en
la fig. 1 ; en esta misma figura, se ha representado también
la caída de presión en el circuito, ¿Xp . , obtenida a
c X rc •
partir de datos experimentales y teniendo en cuenta los
aumentos de longitud del circuito, que serían necesarios
para acoplarle el convertidor. La diferencia entre ambas
curvas, da la caída de presión disponible, ZXp, que se ha
representado en la fig. 2.
Para seleccionar el convertidor óptimo en esta instalación,

|Ap(^gw)
6 -
5 •-
CURVAS CARCTERISTICAS DEL CIRCUITO DE NaK
Ap,^( 2.900 r.p.m.)
Q(%)
^
10 20 26,508 30
Fiq. 1iiiiw — > t f L — — — — — I — —
40 50

„ 4
se han elegido cinco parámetros fundamentales que lo defi-
nen completamente!
, - ; .
a ...... Semialtura libre del canal MHD
) Loneitud de onda del devanado n.
n Numero de pares dé polos del devanado n.
b Semianchura libre del canal MHD.
B Valor máximo de la inducción magnética en el -
* diente más saturado
El resto de las magnitudes, o bien son constantes, o bien
función de las cinco fundamentales.
Las constantes toman los valores que se dan a continuación
en el Sistema Giorgi Racionalizado, (Ver notación en el -
Anejo a la Memoria).
/= 850 kg/m^ (NaK)
0-= 2 , 2 . 1 0 a~^ m~^ (NaK)
CTj = kG.íO Xl"-^ m"^ ( C o b r e )
fjj = 0 , 0 2 5 ^^
3Jj^ = 7600 kg/m
, p^ = 1,5 li^./kg T'.2
cü = 100 ;i s"^
o* = 0,if8l.lO^ n~^ m"^
c
{^) Este valor se ha estimado por exceso, debido a las fuertes
limitaciones de caída de presión y a la incertidumbre de -
los datos experimentales.

Las relaciones b /b y y se han estimado de forma que re-
sulten adecuadas para un diseño prácticOo
El valor de (/ . se ha obtenido a partir de la conductivi~
c
dad eléctrica del Hastelloy C; 0,625» 10 -0-~ m~ , tenien^
do en cuenta que el espesor de la chapa de este material
es 0,50 mm. y el del aislante, 0,15 mm.5 el espesor total
de la pared es, entonces, 0,65 mm. , y Cf resulta:
c
cr = 0,625.10^. ^4# = o.kQi.io^sir^ m"^
c 0,05
Basándose en estos datos, se ha confeccionado un programa
de cálculo electrónico, cuyos resultados esenciales se ad^
juntan. Todas las magnitudes vienen dadas en el Sistema •-
Giorgi Racionalizado, excepto la caida de presión total,
que coincide con la disponible en el circuito, que viene
dada en kg/cm , y el caudal en m /h. En cada grupo de da-
tos se puede apreciar la variación de las características
más importantes del convertidor, cuando se modifican, uno
a uno, los cinco parámetros fundamentales. Estos se han
elegido con los valores que se dan a continuación!
a
K
n
b
^d
= 0,0035 m.
= 0,16 m.
= 3
= 0,0ií m.
= 1,0 T.

a(m.) A (m.) h b(m.) B^(T.) ^dm^"^-^ h^^Cm.) a lo
c n
Ap(Kg/cm'') 0(m'^/h)
000200
.00250
.00300
.00350
.00400
.16000
.16000
.16000
.15000
.15000
3.0
3.0
3.0
3.0
3.0
.040
.040
.040
.040
.040
1.00
1.00
1.00
1.60
1.00
.1104
.1286
.1454
.1608
.1750
.1979
.2188
.2351
.2475
.2575
2185
2185
2185
2185
2185
.7100
.7100
.5900
.5450
.5050
.3110
.3438
.3540
.3732
.3752
4.3898
4.1455
3.8522
3.4484
3.1144
15.7457
;I9.5822
23.3424
26.5077
29.5578
.00350
.00350
.00350
.00350
.18000
.17000
.16000
.15000
3.0
3.0
• 3.0
3.0
.040
.040
.040
.040
1.00
1.00
1.00
. 1.00
.1498
.1549
.1508
.1575
.2399
.2437
.2475
.2515
.2185
.2185
.2185
.2185
.5100
.5700
.5450
.7500
.3454
.3633
.3732
.3761
3.3620
3.3935
3.4484
3.5848
27.3738
26.8803
26.5077
26.4372
.00350
.00350
.00350
.00350
16000
15000
16000
15000
2.0
3.0
4.0
5.0
.040
.040
.040
.040
1.00
1.00
1.00
1.00
.1141
.1608
.1820
.1931
.2555
.2475
.2423
.2391
.2185
.2185
.2185
.2185
8300
6450
5150
,4250
.3167
.3732
.3751
.3569
3.0885
3.4484
3.6832
3.8480
29.4888
26.5077
24.4128
22.9525

a(m.) A (m.) n
n
b(m.) B^(T.)
^dm^"^-^
h^^(m.) a /a
c n
Ap(Kg/cm ) QCm-'/h)
,00350 .16000 3.0 .050
.00350 .16000 3.0 .040
.00350 .16000 3.0 .030
1.00
1.00
1.00
.154U
.1508
,1713
.2394 .2185 .5500 ,3475 2.8282
.2476 .2185 , .645'o .3732 3.4484
,2503 ,2185 , .7350 .3796 4.0516
31.2 211
26,5077
20.9684
00350
00350
00350
00350
.16000
.16000
.16000
.16000
3.0
3.0
3.0
3.0
.040
.040
.040
.040
1.20
1,10
1.00
.90
.1605
,1606
,1608
.1613
.2453
.2459
,2475
.2485
.2185
.2185
.2185
.2185
.5300
.5850
.6450
.7150
.3575
.3708
.3732
.3654
3.5367
3.5692
3.4484
3.3042
24.5546
25.5408
25,5077
27.5357
i

_ 8
por las siguientes razonesí
1 ) El valor de a es el limite superior por encima del cual,
deja de ser válida la aproximación empleada en el cálcii
• lo de las pérdidas en el hierro, según la cual el campo
de dispersión de ranura, es despreciable frente al campo
principal, si se verifica:
k^ a/3 h, (k^ a/? h, - 1 )< 1ra J dm va. J am
k a/3 h^ {k"^ a/? h, - 1 ) < 1
n y dn n / dn
En efecto, para a=0,0035 m» se tienes
f ^dm (^m V^ ^dm-1 ^'^'^n f n K ^P ^an"' ^=^'^2
mientras que para a=0,üüi<'ü m. , resulta:
kf SLl3 h, {kf a;3 h , -1 ) < k ^ a/3h, (k^ a/? h . -1 )=1 ,56
m y" dm m y dm n 7 ^" " y dn '
2) El valor de y[ elegido corresponde al límite inferior
por debajo del cual, la aproximación que se^ cita en el
apartado l) deja de ser válida; en efecto:
Para Xn = ^'^5 m.

k ^ a/?h, (k ^ a/3h^ -í )<: k„^ a/?h, (k„^ a/? h, ~1 ) = í,51m y dm ' m y*^ dtn '^^ n J dn n y dn
3) Cuando se varía n, el rendimiento óptimo está cerca de
los valores n=39 n=4,habiéndose elegido n=3j por repre-
sentar una economía importante en el costo del converti_
dor, con una disminución en el rendimiento de sólo -
/
0,19'?í'j respecto al valor n=h^
^) El valor de b es el límite inferior ( /í / ^ ) . por deba-
jo del cual, las caídas de tensión que producen las co-
rrientes inducidas en el líquido, al circular por los
electrodos, no son despreciables frente a las que se -
producen en el canal MílD,
5 ) El valor de B, es óptimo.
d
Ambos devanados se han elegido de paso acortado (5/6),
en doble capa, y con dos bobinas por fase y por polOo
La anchura de las ranuras para cada devanado resultaí
2 . 4 i r ^ = 10 mm.; 2 -|f- "^ = 6.6?mm,
El numero de conductores en serie en las bobinas de uno y
otro devanado es:
1 ^m 1 An
1 6 '•> 16

vo
debiendo hallarse por tanto en la misma relación que 3 y 2
respectivamente.
Para que la tensión nominal sea del mismo orden de magnitud
que las que se utilizan normalmente en la industria, se han
elegido los valores:
—TT ^^' ~T6~" - 3^
con lo que resulta N. = 36OO,
El campo eléctrico en el entrehierro , vale?
/£ / = Ü l i l ^ í L ^ = .,..0^1.100.^1^0 ^ i,697V/m.
° NTF (k + k ) {T {2K /0,2k4-2rt/0tí6)
' m n '
y l a foC.m. por f a s e :
8= 2bLNj /EJ = 2.0,Oii-.0,2^.3600.1,697 = 117,3 V.
Conectando los devanados en estrella la tensión nominal re_
sulta: 117s3. jT = 203,16V.
En el punto de funcionamiento nominal se tiene:
s = 0,6ij-500; s = 0,09667
s ' = 0,60ij.ii.2; s ' = 0,05609
n ' ' m " -^ ^

íl
y las intensidades en los devanados son (tomando como ori~
gen de fases la foe»n3.);
^m = > ' 5 ^ /86,57° A. = 0,2716 4 j 4,5319 A,
I^ = 10,60 /73,9B° A„ = 2,9253 4 j 10,l88íf A.
Estos resultados indican que el devanado m tiene casi ex-
clusivamente la misión de crear el campo eléctrico compen-
sador, ya que el líquido circula prácticamente en sincroni^
mo con él (s ^ ü ) , mientras que la transferencia de enB~gxa
se debe casi en su totalidad al devanado n.
Los conductores que forman las bobinas de cada devanado,
deben tener una sección tal, que las alturas de diente que
resulten, difieran poco de ios valores óptimcs obtenidos en
el cálculo electrónico5
• h^ .=Ü,l608ffio; h_, ^ =0,2il76 m.
dm,opto * ' dn,opt. '
Las intensidades I e l circulan a través de 6 y 9 conduc
m n •' > _
tores en paralelo, respectivamente, de hilo de cobre esmal-
tado de diámetro exterior D = 1 ,5 nun, y diámetro útil D= l,3
mm. ; el valor de ¿= D' "^f ^ = 1,1258 mm. coincide con el -
que se ha empleado en el cálculo electrónico; los factores,
de espaciamiento que resultan, y las alturas de diente co-

12
rrespondientes5 difieren muy poco de los valores en que se
basa el cálculo electx'ónicoá
Devanado m ; f = 1,86: h, = Ü,l600 m.
—— e ' ' dm ^
Devanado n i f = 1 5.925 h, = 0,2^80 m.
B. Rendimiento
Las perdidas en el hierro de uno y otro núcleo magnético
son í
„ ( 1 - "9)7^. p^ B, ^ 2
P^ = 8abLcr/E /2 ^ I j i l e J l ( d^rnedj = i 8 , l 8 8 w .
Fe,™ ' o ' 2 a (T /E^/ den '
_ ( 1 - ^)T^ p, B , , 2
P^ = 8 a b L c r / E / ^ / ^^^ ^ ( - 4 ^ 2 1 1 ) h = 2 8 , 1 8 5 w.
Fe^n ' o ' 2 a C7- l^o' ^"
que dan lugar a que por los devanados circuí era unas corriera
tes suplementarias de valores?
18^188
3.117,3
= - 0,0517 A.;
28,185
3oll7,3
- 0,0801 A.
que son muy pequeños frente a los calculados anteriormente
para I e I , de acuerdo con lo que se había supuesto»m n

13
Las perdidas en los devanados soní
P, = 8abL(r/E /dtni ' o'
2 frJ^'^-i/^"^^' h __!I1! dm '-' h
b . 8 b ^•*' 9 b
23,33J.w. -i- 5 , 3 1 3 w .
d , n
8abL CT/E /
' o'
» ^Ai / T O « 22 d s' 4.1/R'
n M n n
^ /E /
"b" -^ TtT^-^
8,_2 j;.
dn ^^h
10 h
9 b
= 7^íl83xv -i- ^5,7^3 w
y se han descompuesto en dos sumandos, para averiguar en -
cuanto difieren las pérdidas totales en la excitación {en
el devanado 4 en el hierro), del valor que tendrían si h,
y h, • fuesen exactamente las óptimas.
dn '•
Las perdidas totales en la excitación resultan ser, respe£
tivamente s
23,331 •* (5,313 •^18,188) = 23,331 4- 23,501 = ¿^6,832 w
7^4-,183 -i- {k5,7^3 + 28,185) = 7^,183 4 73,928 = li^8,lUw
y se d i f e r e n c i a n muy poco de sus v a l o r e s mínimes que son,
i"espectivamente :
i+6,832 w; 1¿^8,1Ü7 w

3.,^
El cálculo de P, se ha hecho en la. hipótesis de que los con
a ^ _
ductores, fuera de las ranuras» tienen doble sección que deíi
tro de ellas; sin embargo la influencia de P. en el rendi-
miento no es muy grande, y la consiguiente complicación con^
tructiva resulta innecesaria» Con la misma sección de los -'
conductores dentro y fuera de la ranura , tenemos:
P^ = 8abLCr/E /'d ,m ' o'
d s'^4l/R'^m M m ' m
c - d " ^ ^
I h , '^m V , dm O n
= 32,016 w 4 5»3i3 w
„ d s ' +1/R''
P^ =8abL(r/E /^ -"-^--"- "
d,n ' o'
72"
óY7%T
^n
) 4
i o , ^ / b ,
d n '^ t
9 b
= 95»385w 4 ¿4-5,7-^3"
Las pérdidas totales en la excitación serxán, ahoras
32,016 4 (5,313418,188) = 32,016 4 23,501 --= 55,517 w
95,385 4 (ij'5,7^*3428,185) = 95*385 + 73,928 = 169,313 w
En realidad las alturas de dientes óptimas no coinciden ya,
con las que dio el calculo electrónico, pero la diferencia
entre las últimas pérdidas calculadas, y sus valores míni-
mos;
5^,80'+ XV I 167,935 w
es muy pequeña.

.5
Por otra parte,la evacuación de estas perdidas esta asegu-
rada por convección natural, no siendo necesario utilizar
canales de ventilación»
Las pérdidas en las paredes superior e inferior del canal
son :
P = 8abLcr/E / Z-^ ~
c ' o ' g-
= 138,215 w
y el resto de las potencias que intervienen en, el cálculo
del rendimiento son;
P = 8abL(r/E / (s 4 s ) = 1263,06i* w
e o' m n
P^ = 8abLcr/E /^ (s 4s 4-s^4s^) = 1987,^69f ' o ' m n m n ^ > s - ' w
P. = 8abL(r/E^/^ (1+ - ^ )
^D ^ U^-^
(I4s )^ =
n' o'
= 505,621 w
con lo cual el rendimiento resulta:
I = 1263,06^-138,215--169,313-55.517 _ 9 0t 019.
g r 9 8 7 T ^ 9 4 5 ü 5 l T 2 l " ^ ~ 2lÍ93,090 = 0,3610
que difiere sólo en 1,22% del máximo alcanzable,

- IS
Es interesante destacar que un convertidor ideal (sin pér-
didas en los extremos), que funcionase con un devanado idlri
tico al n, y con el mismo valor del deslizamiento, tendría
un rendimiento del "}? i'i-9%i que supera al del convertidor -
real compensado en un 1,095o solamente, lo cual nos dice que
las pérdidas que introduce la compensación son prácticamen-
te nulaso
Ce cálculos adicionales
Para que la puesta en paralelo de los devanados implique
la coincidencia de las foe.m., es necesario conseguir que
las caldas de tensión en cada devanado sean pequeñas.Estas
son debidas a la resistencia y a la reactancia de dipersión,
Las resistencias de cada devanado sons
P P
3/1 / 3/1 /
' m' n
Las reactancias de dispersión se deben a tres causas: dis-
persión de ranura, dispersión de entrehierro y dispersión
de las cabezas de bobina, y se pueden estimar por los meto^
dos usuales; los resultados son, respectivamentes
Devanado m: 8,596 4- 0,l66 4 3,868 = 12,630-0-
Devanado ns 13s323 4 0,0?^*^ 4 1,718 = 15,115 -O-

- 17
La altura mínima de los yugos resultas
núcleo m; h,_ ^2,2^.10-
núcleo ni h ^1 j^í-ií-. í 0~n
que son valores insignificantes» Las dimensiones adoptadas
se refieren más bien a razones de rigidez mecanicao
La sección mínima de ios electrodos de cobre ess
^Cu ^ O^nZB.lü" m^
y las dimensiones se han elegido de forma que el canal ten^
ga suficiente rigidez longitudinal»
Do Funcionamiento
En el punto de funcionamiento neminál, las intensidades en
cada devanado son:
^ra " 0,2716 4 j 4,5319-0,0517 = 0,21994j i^,5319 = 4s54/87.22^Á
I^ = 2,9253 •*• jlO,1884-0,0801 = 2,84524j 1 O, 1884=1 0,58/74,40°A

Rpy^ Pl = RESISTENCIA DE LOS DEVANADOS
^ m n ~ REACTANCIA DE DISPERSIÓN DE LOS DEVANADOS
O

Í Q
En la fig. 3 se han representado gráficamente las caídas de
tensión en los devanadosj y se aprecia que, debido a la pe-
quenez de las correspondientes a las resistencias, no es ne_
cesario compensarlas con reactancias capacitivas variables
con la velocidad del líquidoj sino que basta con anular las
caídas de tensión debidas a las reactancias de dispersión?
para lograr , con suficiente aproximación la igualdad, de
foe.m. Las reactancias capacitivas necesarias en cada deva-
nado, son aproximadamente iguales a los valores estimados
antes para las reactancias de dispersión, respectivamentes
12,630X1; 15,115in
pero se pueden conocer con mayor exactitud, midiéndolas en
el convertidor ya construido.
Ya que los devanados están conectados en paralelo, la in-
tensidad total que entrega el convertidor en el punto de
funcionamiento nominal, es:
I = I^ + I = 3,0651 4 j li^,7203 = 15,ü4 /7Q,Z^°A
En este mismo punto de funcionamiento, la caída de presión
total y el caudal sons
Ap.^. = 3,'+48 kg/cra^; (i = 26,508 ra^/h,
tot

20
En las figs. k^ 5> 6, 7 y 8 se dan las características de -
funcionamiento del convertidor cosno generador en la insta-
lación de NaK5 y en las figs. 9s ^ss de funcionamiento coreo
bomba en el circuito de Na. En estas úitimasj los cálculos
se han efectuado'modificando las constantes "fy'T'que par;
el Na valen;
• a. -
f- 903 kg/m^i cr= 7sl<. l ü ' í l ' •1 -1
na
Para el coeficiente de fricción f-, se ha adoptado el misino
valor que anteriormente, pues aunque excede en menor grado
al pr'eyisibie j" no supone en este caso una limitación impor-
tante, por tratarse del funcionamiento como bomba.
(^) Aproximadamente un 25%, frente a un 5<Jji> cuando se emplea
NaK.

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T e n s i ó n : N o m i n a l
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ElQCtncQ (W.)
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T e n s i ó n : 8 0 % ÚQ la N o m i n a l
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Eléctrica (
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T e n s i ó n : 6 0 % de l a N o m i n a l
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2.500
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T e n s i ó n : 120 Vo do la Nominal
Potencia 3 000
Eléctrica (W )
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Eléctrica (W.)
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10 20 Tensión : 120% d© la Nominal
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Ap(^9/cnr?)
2.0
Tensidn : 140% de la Nominal
Q("^/h)
60
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10
1,
10 20
a(^/h)

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-15
-2 0
-25
ApC^^^W.)
0(^7^)
20 Tensión: 6 0 % de la Nominal
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CM
JÜCL ASSL
SECCIÓN A-A
GABINETE DE APLICACIONES NUCLEARES
A LAS OBRAS PUBLICAS
PROVECTO- CONVERTIDOR MHD DE INDUCCIÓN
COMPENSADO POR SUPERPOSICIÓN
PLANO: NÚCLEO MAGNÉTICO SUPERIOR
ESCALA:
1:1
FECHA:
18-IX-72
OBSERVACIONES:
INGENIERO DE CAMINOS. CANALES Y PUERTOS
D. JOSÉ-ROMÁN WlLHELMl AYZA
E:IB1 P:3
FIRMA :

480
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6,67
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36 ranuras iguales
100
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SECCIÓN A-A
PROYECTO : CONVERTIDOR MHD DE INDUCCIÓN
PLANO: NÚCLEO MAGNÉTICO INFERIOR
ESCALA :
1:1
FECHA:
18-IX-72
OBSERVACIONES:
INGENIERO DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS
D. JOSE-ROMAN WILHELMl AYZA
E:IB1 P: U
FIRMA

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SIGNOS CONVENCIONALES:
- 1,2 i3 Fase del devanado
• ,- Sentido de los conductores GABINETE DE APLICACIONES NUCLEARES
PROYECTO: CONVERTIDOR MHD DE INDUCCIÓN
PLANO: NÚCLEO MAGNÉTICO SUPERIOR. ESQUEMA
ELÉCTRICO
ESCALA:
1:1
FECHA:
18-IX-72
OBSERVACIONES:
INGENIERO DE CAMINOS, CANALES V PUERTOS:
D. JOSE-ROMAN WILHELMI AYZA
E: IB1 P : 5
FIRMA:
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SIGNOS CONVENCIONALES:
1.2 .3 Fase del devanado
• ,- Sentido de los conductores
PLANO- NÚCLEO MAGNÉTICO INFERIOR, ESQUEMA
ELÉCTRICO
ESCALA: FECHA:
1:1 18-IX-72
OBSERVACIONES:
INGENIERO DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS:
D. JOSÉ-ROMÁN WILHELMi A í Z A
E:IB 1 P: 6
FIRMA:

Fase 1
FasG 2
Fase 3
PLANO; DEVANADO NÚCLEO SUPERIOR
ESCALA:
1:1
FECHA;
18-IX-72
OBSERVACIONES:
D. JOSÉ-ROMÁN WILHELMl AY2A
E:IB1. P: 7
FIRMA

Fase 1
Fase 2
Fase 3
PLANO: DEVANADO NÚCLEO INFERIOR
ESCALA
1:1
FECHA:
18-IX-72
OBSERVACIONES
E:IB1 P: 8
D. JOSÉ-ROMÁN WILHELMl AYZA
FIRMA:

2x324 conductores 1,50
00
Csl
J
2x324 conductores 1,5^
NÚCLEO SUPERIOR NÚCLEO INFERIOR
PLANO: DETALLE RANURAS
ESCALA:
4:1
FECHA :
18-IX-72
OBSERVACIONES:
D. JOSE-ROMAN WILHELMI AYZA
E:IB1 P:9
FIRMA :
'',-L 1 /

SECCIÓN X-X PLANTA
M
10
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480
-J
-I
J
Ax
10 480
10 125
^^-s^iX^-^ xs--^^'^
' "^^^-^x^.:
10 125
in
I
SECCIÓN Y-Y GABINETE DE APLICACIONES NUCLEARES
PLANO; CANAL MHD
ESCALA:
1:1
FECHA:
18-IX-72
OBSERVACIONES:
D. JOSÉ-ROMÁN WILHELMl AYZA
E:IB1 P: 2
FIRMA:

NÚCLEO MAGNÉTICO SUPERIOR
t -
L.
I
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I-
L.
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L
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I
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PLANTA CANAL M.H.D.
NÚCLEO MAGNÉTICO INFERIOR
. . .r. í'i.»s' " ' • • y
ALZADO
"^5
I, '
wmmmm •WÉIIpP
PLANO: DE CONJUNTO
ESCALA:
1:1
FECHA:
18-IX-72
OBSERVACIONES;
INGENIERO DE CAMIN OS. CANALES Y PUERTOS:
D. JOSE-ROMAN WlLHELNi; AYZA 1
E: IB1
FIRMA :

04197201tt

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