1. ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS CANALES Y PUERTOS
O.3^5 lU
ESTUDIO DEL CONVERTIDOR
MAGNETOHIDRODINAMICO
DE INDUCCIÓN Y DE LA
SUPRESIÓN DE SUS EFECTOS
DE BORDE
Tesis doctoral presentada
por
JOSÉ R. WILHELMI AYZA
Bajo la dirección
del
Prof. Doctor Vicente Rogiá Altet
MADRID, OCTUBRE 1972

2. - X
,iS^
Este trabajo ha sido realizado en la Sección de Investiga™
eión Básica del Gabinete de Aplicaciones Nucleares del Cen_
tro de Estudios y Experinienteición de Obras Publicas, y ña
sido el origen de la patente de invención N- 4027^^! "Pei'-
f'eccionaaiientos en Convertidores de Inducción Lineales",
a nombre de este Centro.
El autor desea expresar su agradecimiento al personal del
Gabinete, y en especial:
. A su Director, Prof, Dr, Vicente Roglá Altet que ha diri-
gido este trabajo, y cuyas enseñanzas y consejos han he-
i •
cho posible su terminación.
. A D. Fernando Flores Sintas, I)r. Ing. de Caminos, Canales
y Puertos, cuya gran experiencia en el tema ha supuesto
una ayuda de inestimable valor en la recopilación e intei_
pretación del material existente, asjf como en la exposi-
ción de los conceptos fundamentales,
. A I). Manuel Casanova Valcázar, Ing. de Caminos, Canales y
Puertos,cuyos comentarios han facilitado extraordinaria-
n'ente la estructuración del material contenido en los úl-
timos capítulos.

3. II
A D. Jaime Tamarit Rodríguea, Licenciado en Ciencias FÍsi_
casj que ha leído el manuscrito, y cuyos consejos y obse£
vaciones han contribuido a dar ma3'^or claridad a la exposi^
ción de algunos conceptos.
A D. Carlos Castro Esteban, Licenciado en Ciencias Físicas,
cuya gran experiencia en el manejo de metales líquidos, ha
supuesto una eficaz ayuda en la redacción del Pioyecto -
que se incluye en el Apéndice.
J.R. Wilheimi
Madrid, 18 Sept. 1.972

4. ~ J. ..L X
Í N D I C E
Pag.
Capítulo I, El convertidor MID de inducción .= 6
1.1 Descripción del convertidor .........o.. 7
1.2 Convertidor de anchura infinita 12
Capítulo II. Estudio del comportamiento hidráulico
Ci.eJL Xi-Uxdo ................o.*..«.••*.. ^w
II. i Longitud de entrada .................<>. 21
II.2 Perfil de velocidades ............o,... 24
Capítulo IXI. El catüpo mag-nético en un convertidor
de pequeño entrehiexro 29
III.1 Creación del campo; devanados......... 3^
III. 2 Estudio del canspo magnético ........t. 39
Capítulo IV. Análisis del convertidor- de longitud
in
IV. 1 Resolución simplificada de las ecuacio^
ne s
IV. 2 Rendimiento eléctrico 6l
Capítulo V. El convertidor de longitud finita: Efe£
tos de borde y me todos propuestos para su
V.1 Descripción de los efectos de borde ,„,. 66
V.2 Método de los polos de compensación .... 69
V,3 Método de compensación internet ......o.. 80

5. Capítulo VI. El Método de Superposición ..o.»...o»» 97
VI.1 Descripción del Método 9^
VI.2 Rendimiento eléctrico ,,.,.....,...,... 109
Capítulo VII, cálculo del rendimiento global de un
convertidor 24IiD de inducción compen-
sado por Superposición .............. Ií5
VII.1 Perdidas adicionales ................. il6
a) Pérdidas de las paredes del canal .... Il6
b) Pérdidas en los devanados ............ 119
c) Pérdidas en el hierro ................ 123
d) Pérdidas hidráulicas 131
VII,2 Rendimiento global ................... 132
Apéndice. Proyecto de un convertidor .MHD de induc-
ción compensado por Supeiposición ....... ikG

6. - I N T R O D U C C I Ó N -

7. La generación, magnetohidrodinámica (MHD) de energ-fa eléc-
trica, con metales líquidos, constituye actualmente el ob
jeto de los trabajos de numerosos grupos de investigadores.
En una central nuclear, que utilice un reactor de elevada
potencia específicas los metales líquidos pueden resolver
él problema de la extracción de la energía térmica del nu
( 1 )
cleo y como es el caso de los reactores rápidos, en los
que se emplea con ese fin el sodio líquido»
Se han propuesto diversos'^ sistemas de utilizar el ¡nismo
metal líquido que sirve como refrigerante del núcleo del
reactor, para producir directamente energía eléctrica me_
diante un generador magnetohidrodináraico. ^ 5 •< •'•
El metal líquido,a la salida del núcleo del reactor, pasa
por un dispositivo que ti^ansforma su energía térmica en
energía mecánica, la cual se convierte a su vez en energía
eléctrica en el generador MliD,
En la generación MHD de energía elécti-ica, no se utilizan
elementos con pieaas ; móviles (tales como turbinas, alter;
nadoress etc.), lo cual x-educe al mínimo, la conservación
de la instalación, y el procedimiento resulta ser también
muy atractivo para la producción de energía eléctrica en
los vehículos espaciales.

8. El estudio de los convertidores MHD de corx-iente c,ont£nua
y de corriente alterna tnonofásica, se encuentra actualmen-
te en un estado muy avanzado ' » ' ,
El presente trabajo se refiere al convertidor MHD de induc_
ÍH )
ción, que fué propuesto en 19^2 pai'a la generación MED
de energía eléctrica.
Las ventajas que presenta "a priori" este tipo de converti_
dor son dos, esencialmentes
- Permite la obtención de energía eléctrica, en forma de -•
corriente trifásica, a tensiones ele''ad.as.
I
- La corriente eléctrica no es extraída del metal líquido
mediante electrodos, sino del propio devanado de excita_
ción»
Su funcionamiento obedece al mismo principio que las máqui^
ñas asincronas convencionales, pero con una diferencia ~
esencial. La geometría de estas últimas es cilindrica, mieri^
tras que la del convertidor de inducción es lineal, y en -•
los extremos se producen unas corrientes a través del metal
líquido que se encuentra aguas arriba y aguas abajo del --
convertidor, que dan lugar a una disipación adicional de -
energía por efecto Joule. Además, estas corrientes, al re_
tornar por el interior del convertidor, perturban su funci£
namiento, desequilibrando las corrientes en las fases del
devanado y provocando un fuerte descenso en el rendimiento»

9. Al aumentar la longitud del convertidor, la importancia re_
lativa de los efectos de borde disminuye progresivamente,
y nos acercamos a la.s condiciones de funcionamiento que ->
tienen lugar en las máquinas rotatorias^ alcanzándose este
límite, cua.ndo la longitud es infinita.
Se ha dedicado mucho esfuerzo en los últimos años, a buscar
un procedimiento de compensar los efectos.de borde, y ele- ,
var así el rendimiento del convertidor lineal.
En este trabajo, se expone vn procedimiento original de com
pensa.cións denominado "Método de Superposición"¡i qué en -
nuestra opinión, reúne ventajas importantes respecto a los
' ya conocidos.
Conviene señalar que los r'esultados de este trabajo, son -
aplicables no sólo al convertidor MHD de inducción, sino
también, al motor lineal de inducción ^cuya. posible uti-
lización en tracción eléctrica de FoF«C.C„, está siendo e_s
tudiada actualmente ' ' '" „ La disposición méCs clásica
consiste en colocar sobre la. vía una placa metálica vertical
(que haría el papel del metal líquido en ios convertidoies
HHD ), mientras que los núcleos mag-néticos y los deva.nados
son solidarios de los vehículos.

10. En el capítulo Ijse describe en términos generales el con-
vertidor MHI) de inducción» incluyendo los detalles constru£
ti vos más importantes.
El capítulo IX, constituye un estudio, del comportamiento
hidráulico del metal líquidojen las condiciones que tienen
lugar en un convertidor de interés práctico.
En el capítulo III, se anali:aa la distíribución del campo ~
magnético en un convertidor de pequeño entrehierro, y se
justifican las apoximaciones que, en este sentido, se harán
en el resto del trabajo.
En el capítulo IV?se estudia el convertidor de longitud -
infinita, que marca el límite hacia el cual debe tender
cualquier método de compensación aplicado a un convertidor
real»
En el capítulo V,se discuten los procedimientos más impor-
tantes de compensación, propuestos hasta ahora.
El capítulo VI,describe el nuevo procedimiento de compensa-
ción, denominado "Método de Superposición".
En el capítulo VII, se analiza el convertidor MHD de in.du£
ción compensado por Superposición, incluyendo todas las pl£
didas, y determinando los criterios de dimensionamiento en

11. los cuales se debe basar un proyecto de esta máquina, para
que su comportamiento sea óptimo.
En el Apéndice, se aplica todo lo expuesto anteriormente a
un caso concreto.

12. CAPITULO I.
EL CONVERTIDOR MHD DE IITOUCCION '

13. I» 1 Descripción del convertidor
Consideremos un metal líquido jal que se ie ha comunicado
una cierta energía mecánica, que fluye por un conducto de
sección rectangular,con velocidad media v (fig. lol).
Supondremos que el fluido es incompresible , que el movi-
miento es permanente, y que la sección del conducto es -
constante; entonces, la velocidad del fluídoju, en cada -
punto de la sección, va dirigida según el eje del conducto
(eje Z ) , y es independiente del tiempo y de la coordenada
z, .
Imaginemos que en una zona del conducto, de longitud 2L,
existe un campo magnético, dirigido según el eje X, y con
la forma de una onda senoidal, que avanza en el sentido
positivo del eje Z, a la velocidad v , (fig. lol). Esta
situación es enteramente análoga a la de las máquinas asiTn^
cronas convencionales , en donde el rotor en jau-
la de ardilla, ha sido sustituido por el metal líquido.
Para orear el campo magnético deslizante, se utilizan dos
núcleos magnéticos paralelepipédicos, dispuestos como indi-
ca la fig. lol, en los que se practican imas ranuras en la
dirección del eje Y, para alojar los devanados, que son to-
talmente análogos a los de las máquinas asincronas conven
cionaleso

14. íí 1
í3'3i»sf?í»3»«;i35»inEiRS«itsi;^jii3w;.-5ijí

15. ™ Q
En la fig'« l.Zjse aprecia una sección del convertidor por
un plano paralelo ai XZ. En virtud de la velocidad relati-
va del fluido conductor respecto al campo magnético: -
u =u~v 5 se inducen corrientes en el fluido- cuyo vector ™
r s
densidad de corriente, g, es proporcional a la conductivi-
dad del fluido y a u ,A B. El metal líquido, en estas cir-
cunstanciasj experimenta una fuersa por unidad de volumen,
de valor f =g A B ^^3sl5jl ¡^ g^^ j^^^ velocidad del fluido es
superior a la del campo, u y g, van dirigidosj como ae in^
dica en la parte izquierda de la fig. 1.2, y el fluido tien
de a ser fienado por el campo magnético, entregando su ener_
gía a las fuentes de este último, -,es decir, a los devanados
(funcionamiento como generador ). Para que el fluido circule
en régimen permanente, es necesaria una aportación continvia
de energia mecánica al fluido, que se transformarjí en ener-
gía eléctrica en los devanados.
vSi la velocidad del fluido es inferior a la del carapo ma.g-
nético, se tiene la situación que se indica en la parte áe_
recha de la fig. 1.2: El fluido tiende a ser acelerado por
el campo magnético (funcionamiento como bomba ) ^ En régimen
permanente, hay una transferencia continua de energia elec-
tromagnética, desde las fuentes del campo magnético (los de_
vanados), hacia el fluido, dond.e aquella aparece en forma
de. energía mecánica, que se emplea en vencer las resisten--
cias que se oponen al movimiento del fluido.

16. &
2af= 2a
Ix
=S3-
n n n n n
^
2L
HJ
Bj yg
a.fgíurwaif «imtrormtyarMtmgA rrtKM-»air^icatgEV>;aaBJ35tMfiT:'aTiBí»T7r-jm?pa«K5if.f^^
I
o

17. 'Conviei-se señala-Tj que las paredes del conducto paralelas
al, plano YZ j "ven" moverse al campo magnético a la velo-
cidad V (superior, en geiieralj a u )s y que por tanto, se
inducen corrientes en eliass proporcionales a la conducti^
vidad, y a V ^ B, con lo que aujnentan las perdidas pox' efec
s •"
to Joule en el convertidor».
Para disnixnuir .la importancia relativa de estas corrienteSf
es necesario que la conductividad de dichas paredes y su ~
espesor total, 2(p~í)a (figc 1.2), sean mucho menores que
los correspondientes al metal líquido.
Esto plantea un grave problema, pues los mater-iales resis-
tentes al ataque químico del metal líquido, y a las eleva™
das presiones que pueden presentarse, son metálicos, y por-
(17 )
tanto, con una conductividad elevada. .
Uno de los más apropiados es el 1-Jastelloy C, aleacic'n a ba
se de Niquel {Gk'fo), Crorao (íG'Jo), Molibdeno (159^) '7 Hierro
(5/¿-)s l'Je tiene una gran resistencia mecánica, y una conduc_
tividad eléctrica relativamente baja, aproximadamente la n.ii_
tad de la del acero inoxidable, y en cualquier caso inferior
'a la de los metales líquidos de interés práctico. Por otra
parte, su espesor puede ser pequeño, del orden de 05,5 rr-m, ,
por ir apoyada directamente contra el núcleo mafjnético co-
rrespondiente, a quien transmite las presiones, sin flectar^

18. -12
Io2 Convertidor de anchura infinita
Supongamos que el ancho jZbjdeJ- convertidor, es infinito» En^
toncos, el campo magnético creado por las corrientes del -
devanado»es independiente de la coordenada y, y esta con-
tenido en el plano XZ ' -^'
Si la velocidad,u, del líquido'es diferente de v , el fiu~
, s
jo magnético abrazado por un circuito cerrado elemental -
que se mueve con el fluido, variará en virtud de la velo-
cidad relativa existente entre éste, y la onda de campo
magnético,
* • -
Evidentemente,en los circuitos elementales, cuyo plano es
paralelo al XZ, el flujo es constantemente nulo, y lo dicho
anteriormente, es válido solo para circuitos tales que
el versor de la normal a su plano, tenga componente no nu-
la sobre el eje X, o sobre el Z,
Consideremos un circuito elemental cuyo plano es paralelo
al YZ (figo I.3a).
Debido a la variación del flujo magnético abrazado, apare-
f cera una corriente eléctrica en el circuito,dada por la -
ley de Faraday, Como el campo magnético es independiente
de la coordenada y, la intensidad inducida es la misma -
en todos los circuitos idénticos al anterior, y situados

19. nV
'
o
S
,,
' Y
z
a«a;iÉUi-4JUHi;-,rtm^.Wl.iií
(a)
-Esa-
V
n ol o
(b)
Y
Esaagaga^aíüaaa

20. ík
en una paralela ai eje Y, que pase por el primer circuito.
Si consideramos el conjunto de todos estos circuitos, las
intensidades en las ramas contiguas y paralelas al eje !¿,
se anulan; por lo tantojpodemos afirmar que las corrien-
tes inducidas en el líquido no tienen componente según el
eje Z, Haciendo un razonamiento análogo con los circuitos
elementales de la fig» 1.3b, cuyo plano es paralelo al XT,
se deduce que la componente según X de las cori'ientes en
el fluido también se anula, y la única componente no nula
de e'stas, es la correspondiente al eje Y. Por otra parte,
esta componente es independiente de la coordenada y, y en
i
consecuencia, el campo magnético creado por las corrientes
en el líquido (reacción de inducido ) estará contenido en
el plano X'Z, y será independiente de y. Conviene señalar,
que al considerar en la fig. I,3a . los circuitos conti-
guos en la dirección Z, (o en la fig. 1.3b, en la direc-
ción X), no se anularán>en general, las intensidades en
las ramas paralelas al eje Y', puesto que el campo magné-
tico, y por tanto la corriente inducida, varian con las
coordenadas x:,z,
'Las mismas conclusiones siguen siendo válidas para las co-
rrientes inducidas en las paredes del canal, paralelas al
plano YZ,

21. 1-?
El v e c t o r densidad dé corr-iente en e l l í q u i d o s e r á de l a
forma! -
g (O, gyixiz.ty, O) ( I . í )
y la inducción magnética total en el entrehierro
B (B (x, z, t), O, B^ (x, z, t)) --••(1.2)
X Z
El campo eléctrico,E, en el líquido se deduce de los ante-
en-)
rieres mediante la ley de Ohm, que se escribe :
g = Cr (E 4 u A B) (i.3)
donde O^es la conductividad eléctrica del metal líquido»
El campo E, que según la ecuación anterior, tiene de comp£
nentess
E (O, E^ (xjZjt), O) (I.Í.0
J
es el que mediría un observador en reposo respecto a los
núcleos magnéticos del convertidor» Las partículas del ^
fluidoj que se mueven a la velocidad u j con respecto a aque_
líos, "ven" un campo eléctrico que es igual al ánteriorj
más el término U A B (se desprecian efectos relativistas)
(13, 15, l6)e

22. - 16
En la práctica, el anchojZVj, es finito, y las corrientes in_
ducidas van dirigidas según el eje Y, solamente en la par-
te central, ya que al ser div g = ü , las lineas de co-=
rriente deben ser cerradas, y en las zonas próximas a las
caras y = Í b, predomina la componente '^' de las corrien-
tes {fig. 1'h),
Sin embargo,las condiciones de ancho infinito son fácil-'
mente alcanzables en la práctica, disponiendo en las caías
y = _ b unas placas de cobre ' > cuya conductividad
es mucho mayor de la del metal lí^quido (del orden de 2Ü ve^
ees mayor), (Fig. 1.5)*
En estas condiciones, la continuidad de la componente tan^
gencial del campo eléctrico, en las superficies y = _ b,
da (13,15,16)^
p = (g ) ^
^'x ^^x 'Cu -^- c^ o
Xu
(1.5)
Cu
donde los valores sin subíndice, se refieren al metal lí-
quido, y los que llevan el subíndice Cu, son los relativos
a las placas de cobre.

23. ü t
{Ss-Z
2L
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
2b
5«Trasi«>irr.*ir.-«[»Mi» gMgMJOfcBUW-üJiaM-www »nm'.gjaia;'yg-w»ajr^-'ggr-'gaoHg>.'jnj'jfcmjrj»3«3K« ffTECSTtía-esMb
1

24. Í8
Por tanto, en y = i b» las corrientes van dirig^idas también
según el eje Y, cerrándose a través de las placas de cobre.
En cuanto a las corrientes inducidas en las paredes del ca^
nal paralelas al plano YZ, valen las mismas conclusiones -
poniendo u = Ü, y sustituyendo C por tí t conductividad -
c
eléctrica de dichas paredes, que es mucho menor que la del
cobre.
Conviene señalar, que para asegurar la validez de este razo_
namiento, es necesario además, que la anchui^a, 2b, del con-
vertidor sea lo suficientemente grande, para que las caxdas
de tensión, que se producen al circular las corrientes in-
ducidas por el interior del canal, sean mucho mayores que
las que se producen en los electrodos, pues en caso contra^
rio, no se podría ignorar la existencia de éstos.
Teniendo en cuenta que el recorrido de las corrientes in-
ducidas, a través de dichos electrodos, es del orden de -
magnitud de una semilongitud de onda, Á¡2, esta condición
se expresa:
.5o X/k
Por otra parte, el campo magnético tiene prácticamente -
la misma distribución que en el modelo de anchura infini-
ta, pues el entrehierro, 2a í3 , es -mucho menor que el ancho,

25. ~ 19
25, y los efectos de la dispersión del campo magnético ~
son despreciables.
En adelante,nos referiremos exclusivamente a este caso, en
el que,con suficiente aproximación, son válidas todas las
conclusiones que se obtengan para el modelo de anchura in-
finita.

26. CAPITULO II
ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO HIDRÁULICO DEL FLUIDO

27. 21
II»1 Longitud de entrada
Cuando el fluido entra en el convertidor, y se ve sometido
a la acción del campo magnético deslizante, las fuerzas
electromagnéticas que actúan sobre él, g A B, tienden a uni"
formizar el perfil de velocidades, pues en las zonas próxi-
mas a las paredes, donde la velocidad es menor, se tiene
que u « V , y el Ixquido es bombeado fuertemente, £1 proce
so de transición del perfil inicial, hasta el perfil final,
en equilibrio bajo el campo magnético, requiere una cierta
longitud, cuya importancia relativa frente a la longitud
total del convertidor, es un dato que hay que tener en cuen^
ta en el análisis del mismo.
La longitud de entrada es sólo conocida cuando el régimen
1 . , (20)
es laminar, y vale s
áRe
^^'^'^^"^ m^
{M»l ) (II.i )
donde s
P vD^
Re = -L- 2 (11,2) ( ^?^- viscosidad dinámica del fluido)
(21)
es el numero de Reynolds , referido al diámetro hidráu-
lico , y;
M = a B
o
(11,3) ( cr= conductividad eléctrica del
fluido )

28. 22"
el número de Hartmann ' * , cuyo cuadrado mide la rela_
ción entre las fuerzas electromaf^neticas y las viscosas.
Cuando el régimen es turbulentos no existe ninguna fórmula
teórica o experimental para calcular la longitud de entrada,
y los ensayos en los que se ha determinado, han sido hechos
en condiciones bastante diferentes de las que tienen lugar
en el convertidor MIíD de inducción.
Solamente disponemos de información indirecta, como los re-
(23)
sultados de las experiencias de Cerini y Elliott en -
un generador MHD de inducción de h',^? cm, de longitud total,
y con un canal de 0,2^4' cm, de altura.
En estos ensají^os, el movimiento del fluido era turbulento,
piiés los valores de Re y M estaban comprendidos en los in-
tervalos :
2.10^ < Re, < 3.10^
20 < M < 37,5
, - (Zk) ,
y, según el criterio de Murgatroyd , el régimen turbulen^
to es estable cuando
Re > 90Ü M (11,4)

29. - 23
Para calcular la potencia total entregada al generador, se
vio que era necesario añadir al término correspondiente a
la caída de presión, la disminución de la energía cinética
media' del fluido, debida a látransici'ón de un perfil de vel£
5
cidades que,para Re^^lO , viene dado por la conocida ley
de exponente l/7» a uno prácticamente uniforme,que corres-
ponde al régimen de equilibrio en el campo magnético ,
Si admitimos que, en régimen turbulento, la longitud de eri
trada es (11.1 ), afectada de un coeficiente C:
I - r ? Re
M, turb ~ T " ^,2
' M
podemos obtener una cota superior de C, teniendo en cuenta
que en estas experiencias tuvo lugar la transición, en una
longitud igual o menor que la total del generador:
2
r - ^^^ hl^k . Ü,2875^ . lü^ . k,57 . 10"^ ^ ,, .
^^^ 0,12 . 10 "^ . 25 . 10^
y por tanto tomaremos;
Vtu..^-i-tfl <"-^'
El hecho de que L, . , ^ L., , ,es por otra parte pre-
^ ^1, turb^ M, lam. ''^
visible, si tenemos en cuenta que el perfil de velocid<ades
en equilibrio bajo un campo magnético, es prácticamente uni

30. 2k
formej y que el perfil inicial tiene una forma más aplanada
en régimen turbulentoj que en régimen laminar.
La expresión (11.5)? da unas longitudes de transición mucho
menores que la longitud de onda del campo deslizante en los
convertidores de interéiS práctico, por lo que en lo sucesi_
t
vo despreciaremos este efecto en los calculoso
II»2 Perfil de velocidades
Para efectuar un análisis detallado del convertidor, es ne-
cesario conocer también el perfil de velocidades del fluido,
en equilibrio bajo el campo magnético deslizante.
En primer lugar, conviene señalar que, en este caso, el pei^
fil de velocidades debe ser prácticamente el mismo que en
el caso de campo magnético constante, pues la frecuencia se-
gún la cual varían las magnitudes eléctricas, es mucho mayor
que la frecuencia propia de oscilación del fluido, por lo -
que solamente intervienen los valores medios en un periodo
, (Lt. )
jde las fuerzas electromagnéticas . Únicamente, hay que te^
ner en cuenta, que el cálculo del número de Hartmarm se debe
hacer a partir del valor eficaz de la inducción magnética.

31. - 25
Como en el caso de la longitud de entrada, las determinacio-
nes experimentales que se han realizado, corresponden a unas
condiciones diferentes de las que nos interesan aqui, y en
consecuencia, utilizaremos los resultados teóricos deducidos
por líarris para régimen turbulento, en conductos de -
paredes lisas y sección rectangular, con a « b (figo lol).
No consideraremos el caso de régimen laminar, por carecer -
de interés práctico en el convertidor de inducción»
Según Harris, el perfil de velocidades en la dirección del -
eje X (fig. I.1 ) es 5
u"* — ( ' R*
•-- = 5,657 log^^^ ( 8 ^ p + 6,í5k 4 F^ (íi-^) (11.6)
donde :
u z valor medio (temporal) de la componente Z de la veloci-
dad del fluido.
n = l/'Xr /P ~ velocidad de corte ( tT es la tensión tan-
gencial en la pared del conducto)
m fu-a.
R = — ^ — - número de Reynolds, referido a la velocidad
Vd,
de corte y a la semialtura del canal.
^= 1 " •—- : ü < S"<1 (x > O)

32. 26
El coeficiente de fricción se obtiene a partir de (II.6),
calculando la velocidad media v!
= 2 log,,, R'^ 4 1,307 4
fu 2f^ n^ "'^
Si tenemos en cuenta que a <<C b, resulta;
V^d '""^ ^ ^d " 8 XTF
con lo que II.7 se puede escribir:
2 logj^ (Re
^'-"'^^JTf/^'^^F (II. 7")
Cuando M = ü, se tiene: F (O) = O (2i^)
, y (II.7') coincide
con la ley universal de fricción de Prandtl, para conduc-
' (2125)
tos de paredes lisas ' | por tanto:
1
{i
'M=0
D R =:ctec
R
^
Sr/R^
2 v^M^ y^
2 / Fj, (x) dx (II.8)

33. ¿f
A partir de las medidas de f^. realizadas por Murgatroyd, y
por Hartmann y Lázarus, para valores de M^/R" comprendidos
entre ü y 10, se puede obtener una curva, que representa el
segundo miembro de (II.8) en función de M /R 5 liarris ha en^
centrado una expresión analítica aproximada de dicha curva,
válida para M /R >Ü,6s
^ ' 2
Jf^{x)dx ^0,135 - 2 logj^ ( ™ - ) -
2 "{zi^J^ ^ . ^^ R
R* M^
; (JL^.>o,6) (II.9)/2M^ R^
que 5 según este mismo autor, puede utilizarse para extiapc^
lar los resultados experimentales, cuando M /R ^ 1 0 .
Ue (II.9) se deduce ;
2 2 2
F (-^) =-2,07 - 5,657 log,^, ( i ^ ) ; ><>0,^) (II.10)
y por tanto:
u = -ll,3íi^ log {—-) 4 i^,08¿4.; (^-^>ü,6) (II. n )
u^ ^ R* R^
i- = 4 logj,^ (-|p) 4 l,i^í^2 Jir^; (±^».>o,6) (II.Í2)
?¡ ^^ ^^ ' 2^^-" R*

34. 28
La expresión (11,11), nos dice que el perfil de velocidades
es unif'ortiie en la zona: y>Ü,6 —— , que en los convertido-
res de interés práctico equivale a más del 95?*^ de toda la
sección I por tanto, en lo sucesivo, admitiremos la simplifi^
cación de suponer el perfil de velocidades uniforme en toda
la sección.
La expresión (11,12), nos permite calcular el coeficiente de
fricción f^» en fuención de Re y M, habiéndose representado
los resultados en la fig. 11,1,

35. 7 8 , 9 1(y
10»-
9 -
8 -
7 -
6 '
5 •
9 - 4
10^
9
8
7
6
5
1Q«
9
3
7
6
3
- 2
R@x 10
9 10^
saiiiinq , „ . . . ,„„„ Einho!t „„ „„
i-^^Sar. oi,ision/ ^"'00 ""d 1-1000 ^.^..^ | 83,..3 mm
Ed.,Aern:-Leuch, Bern Nr, 552 OS

36. CAPITULO I I I
£L CAMPü FiAGWETICO EN UN CONVERTIDOR DE PEQUEÑO
ENTREHIERRO

37. - 30
III.1 Creación del campo; devanados
Ya hemos dicho anteriormente, que los devanados en este ti-
po de convertidor son análogos a los de las máquinas rotat£
rias convencionales I es decir, que están formados por bobi-
nas, o coni^untos de espiras conectadas en serie, cuyos con-
ductores se alojan en ranuras.
^^^ Ji. ^^ longitud de onda del devanado ( ¡2 sería el pa-
so polar) y vamos a considerar la función Nía), que represeri
ta el número de conductores por unidad de longitud, en el ca^
so en que el devanado este constituido por bobinas de paso
d ^ J-/2 y ancho c <i< J./2. Supondremos que cada bobina con£
ta de N espiras conectadas en serie.
La función N(z), que es periódica, de período A., se repre-
senta en la fig. IIl.-l,
Desarrollemos N{z ) en serie de Fourier:
N(z ) = 2 N , eos -^ kz
donde V es e l orden d e l armónico c o r r e s p o n d i e n t e y k=2J?/j[

38. <^^- e ^ ^
d
7"^
7= A
O ^ Ñ V
z = 0 z=X/2

39. - 32
Los coeficientes del desariollo son:
N, -—— I N{z ) eos O kzdz
N
_o k_
c n
Ijk - d/2 4 c/2
eos ^ kzdz
^/k - d/2 - c/2
N
o_
c
k
TI
^/k 4 d/2 4 c/2
eos ^ kzdz
^k 4d/2 - c/2
No k
3 ^/i^ _ d/2 4 c/2
N
n
eos ? kzdz 4 o k
3 ^/íí- - d/2 - e/2
3 Jí /44d/24e/2
eos )? kzdz =
3 Jl/í+4d/2-e/2
2No
;íe' sen( ? k -y-);cos ? k{ —¡^ - - y - )
n ( >? k - | - ) eos ? k (-T^- 4 - 4 - ) . -
sen ( v7 k •—-) eos ? k ( - ^
ir 2" ) 4
4 sen ( ,7 k -%-) eos N? k ( 4 r - •«• " 4 - )

40. - 33
r (-)
{?-i
2 sen ( ? k -ó") sen. {^7k ~2~^ ( V's impar)
{ v*, par)
Las amplitudes N^, para v?»!, tienden a cero con í/^ $ y no
las tendremos en cuenta. En los primeros términos de la se-
rie, se ptads tomar s
sen N? k -—- c;,;k -|-
ya que c « ^/2, y resulta:
fkN k ^-1
-jf- (-) 2 sen { V? k - | - ) ( / , imp a r )
^^7 = •
( 5 , par)
El devanado anterior queda caracterizado por su paso d, -
que es más cómodo expresarlo en función de la distancia angii
laroá-, desde los puntos z=0, ^/2, ^,..al lado de bobina -
mas próximo.
d = 1 Oól

41. - 3k
de donde:
sen ( s) k —^) - sen >?k = (- ) 2 eos ) oC .
y resulta finalmente:
4N k
—^^— eos /cs¿ ( vj) , impar)
N
( ^ , par)
Si el devanado consta de q bobinas por polo, con N espiras
en serie cada una de ellasj y caracterizadas por los ángulos
oL.i o6o9 » ^ s las amplitudes correspondientes serání
r 4N ko
q
71 " C?
^ =
^.( v, impar)
O ( v^ > par)
donde 9 /; e s e
al armónico de orden / :
1 "factor de devanado" correspondient

42. ^•1 r^
q
^^ = _i_ Z^ eos OoC^
En los devanados que se construyen para las máquinas rota^
torias convencionales , se tiene: ¿'.'íül, y ¿ o "í^í O, -
para ^^ /: 1 .
Por tanto, el considerar solamente el término fundamental
de la serie, no debe introducir errores apreciables si el
devanado está bien diseñado. En la referencia (26), se hace
un análisis del efecto de los armónicos del devanado sobre
el comportamiento del convertidor, y se confirma esta con~
clusión.
i
En consecuencia 5 en el resto del trabajo supondremos que la
función N(z) que da el numero de conductores del devanado,
por unidad de longitud. , es:
N(z ) = N. eos kz
donde s
^N k ^ i^N k
N, = — - — q, Y . ^-^ q
1 ]1 C 1 TI
Supongamos ahora que en los núcleos del convertidor (fig.
I.1 ) se disponen sendos devanados trifásicos, idénticos,

43. » 36
estando formado cada uno de ellos por tres devanados anál£
gos al anterior, desplazados entre sí l/3 <ie la longitud -
(i)
de onda. Llamando N (z) (i = 1,2,3) a la densidad de condu£
tores en la fase i, tendremos en cada núcleo:
(1)
N (z ) = N eos kz
N (z ) = Nj eos (kz - -—-)
, (3) ¿!,;Í
N (z) = Nj eos (kz — )
Como en cualquier máquina de corriente alterna, todas las
magnitudes dependientes del tiempo varían con este senoi-
dalmente, con frecuencia angvjilar u) , Por comodidad, se adO£
4 - 4 - - i T , , . -t- (13*15^16)
ta entonces el simbolismo complejo » -^» ^ y estas mag-
nitudes (intensidad, inducción magnética, campo eléctrico
etc.) vienen representadas, a menos que se indique explica
tamente su dependencia temporal, por números complejos in-
dependientes del tiempo, cuyo módulo es el valor eficaz de
dicha magnitud. Por ejemplo, la intensidad en la fase (l)
de cada devanado la representaremos por el número complejo
I , y su expresión en función del tiempo es:
Reí,/2-I^V^ eJ^n

44. " 37
Admitiendo que las intensidades en las fases forman un si¿
tema equilibrado, se tienes
1^^^= 15 I^ ' = I e"'' 3 ; I = I e"-' 3
La corriente total por unidad de longitud en cada devanado
trifásico, se obtiene sumando las contribuciones debidas a
las tres fases s
(1) (1) (2) (2) (3) (3)
i(z) = N (z) I 4 N (z ) I 4 KMz ) I
N^I
(eJ^^^^ 4: e-J^^) 4 (¿^(^^^"271/3);^ ^-j (kz-2-n/3}^^.J2;T/3
^ ^^j(kz-/^n/3.)_^^-j.(k2_4n/3)^^-ji4-;i/3
-|- N^ 1 e'J'^^
= X e
o
-jkz
Siguiendo el criterio utilizado en la mayor parte de los
trabajos que se han realizado sobre el teraaj asimilaremos
los devanados a distribuciones superficiales de corrientes,
( 27 ) 4
situadas en los planos x = [1 a [3 (fig. 111.2), con den_
sidad i(z )y .
La expresión en función del tiempo de esta densidad de co-
rriente , es :

45. Ix
i ( 2 ) y o
2L
tis,3m:m!:w:fíí~iHíii!Sgjt;í^iíím'¿avMs»e:.ir,ms!3k^^^^
2a (b 2a
mm^mfixmmss^í'!í!msmm»^mmisi»»eisimi«ii»rsíits».
i(z)y„
r^
I

46. 39
i{z,t) = Re Í N / F Í ^ ^j(c-t.kz)j
que representa una onda de amplitud f2 ¡í. / y longitud, de
onda 2'n/ki, que se desplaza en el sentido positivo del eje Z
a la velocidad de sincronismo; v =0o/ko
s '
IIIo2 Estudio del campo magnético
En este apartado vamos a estudiar la distribución del campo
magnético en el entrehierro del convertidor, especialmente
en el caso en que su longitud, Zapi , sea mucho menor que -
la longitud de onda Ji , que es el caso de mayor interés
práctico,^^'''^^^
Para ello, hemos de resolver el conjunto de ecuaciones MKD ,
, . . , • V. (U,2Ü,22),
que, con las aproximaciones usuales, se escriben ..s
rot H = g
div B = Ü V (III.l )
rot E = -
B =•J^/^^n
g = (T {E4u A B) ,
(111.2)
siendo ^Á.^í en el metal líquido y en las paredes del condU£
to.
Según las concusiones del apartado 1.2 y del capítulo II,

47. en el íMuxdo se t i e n e ;
ií-Ü
B = Re j f2B^(xsZ ) e"^"^^! x^ 4 Re í sfz B^{x,z) e^^H z J
E = Re I /¥ E (X, z )
g = Re
jujt
í^/2-g(x,z) e J " ^ | 7 ^
U = V Z
Km. 3)
Introduzcamos un potencial vector del campo solenoidal B
(28,29 ):
A (X , z , t ) = ReÍJTMX,Z) eJ'^^jy^
B = ~™ ; B = _
X ¿) z ' z J) X
(XjZ ) e"
dA (111.4)
La primera ecuación (111.2) se puede escribir entonces
v/donde p es el potencial escalar (13*15,16,30)

48. - 4i
Proyectando sobre los ejes coordenados y utilizando (IIIc3)j
se obtiene ;
Ü -
E = -
O = -
joDÁ 2Á.
dv
de donde sé deduce que Ufluy es una constantej que supon_
dremos incluida en A„
Teniendo en cuenta la primera ecuación (III.l), las (IIIoS),
y que d.x.-vi~0^ resulta la siguiente ecuación diferencial
en A : .
9 "A , t) A ,1 ^ o A , 1 ^ . r
(IIX.5)
válida para ~ a -^ x -^ a, es decir, en el interior del fluido.
Si suponemos que la longitud 2L del convertidor es infinita,
e introducimos la transformada de Fourier del potencial ve£
(3í).tor A
•co
6 J2nj~0o
llegamos a la siguiente ecuación en Fs

49. A^2
d F
^-^¡ yo^^'jp/oC j ú) ) F = ü (III.5' )
Definiendo el deslizamiento s en la misma forma que en las
* . ^ . , (I3i,i^)
maquinas asincronas convencionales %
1 4 s = V K {iii„6)
e introduciendo el número de Reynolds magnético ' * *" ,
que mide la importancia relativa de las corrientes induci-
das en el fluido:
R =
/^o^^
(111.7)
l a e c u a c i ó n ( I I I . 5 ' ) se puede e s c r i b i r ;
2!l _ Y^rr := o ( I I I » 5 "
s i e n d o ;
2 . 2
k^ ( F/k)^ -I- jñ I (14s) f/k 4 l|

50. „ k'
En las paredes del canal paralelas al plano YZ, obtendríamos
ecuaciones análogas a (III.5 )> (I1I«5') y (I1I.5")> ponien-
do s=-l (paredes en reposo) y modificando el número de Rey-
nolds magnético, de acuerdo con la conductividad eléctrica
de dichas paredeso
La solución de (III.5") es de la forma:
F = C ch X X 4 C„ sh ?c Xhx X 4- C sh X
y las condiciones límites que debe cumplir, corresponden a
un salto en la componente Z del campo magnético, debido a las
distribuciones de corrientes en superficie que existen en
los planos x=Iañ . » -^» -^ » s < <_ 5¿ tenemos en cuenta que
para /x,/>a/3,el campo magnético es prácticamente nulo por
ser muy elevada la permeabilidad magnética de los núcleos
resulta:
^ "íx=ía^ i ^ " i x^ia^ - ^ ^ °
de donde se deduce que CJA/ JX es antrmétri'cá en x, y por
tanto que A y F son simétricas en x: la solución de (111^5")
e s entonce s :

51. - kk
F = C chx Xhx
siendo C proporcional a la transformada de Fourier de la
función e~'^'^^s que ess [2R ^ (k4 p ) , donde J(k4 ^ ) es la
conocida función Delta de Dirac (31 )
El p o t e n c i a l v e c t o r se o b t i e n e a p l i c a n d o a F la transforma-
ción i n v e r s a de F o u r i e r s
A (X 5 z ) =
[2ñ
•oo
F ( x , ) oH
•Oo
I ( I I I ,,8 )
y se deduce f'a.cilmente que l a dependencia de A con x es de
la forma:
cb k (1-j R s ) ^ ' ^ X
y que la dependencia con z corresponde al factor:
-jkz
Por tanto ,1a inducción magnética en el entrehierro tiene la
forma de una onda senoidalj de longitud de onda 2J/k.¡ que

52. ~ í^S
se propaga en el sentido positivo del eje Z a la velocidad
de sincronismo; v =Ctj/k (campo deslizante ),
s
I^ componente X de la inducción magnética varía con x según
el factor :
ch j^k (1 - jRs)^'^^ x ]
y la componente Z según el factor;
1/2
sh fk (1 - jRs')^'^ x ]
Para conseguir el máximo aprovechamiento energético, intere-
sa que B se distribuya lo más uniformemente posible en el
entrehierro de la máquina, lo cual implica que kaA-íSsí. 1 j ya
1/2
que generalmente él valor modular de (l-jRs)" es del or~
den de la unidad..
El convertidor de pequeño entrehierro es, por tanto, el más
interesante desde el punto de vista práctico, y además su -
estudio se simplifica enormemente, debido a que B es prácti
camente constante con x, y como debe ser continúa al atrave_
sar la superficie de separación del líquido con las paredes
del canal paralelas al plano YZ, se deduce que toma el mis-
m.o valor en el fluido }'• en dichas paredes.- Por otra partes

53. k6
la componente Z varía con x aproxi'madamente en forma lineal ^
siendo ademas de un orden de magnitud mucho menpr que el de
la componente X, según se deduce de la condición div S ~ O,

54. CAPITULO IV
ANALISIwS DEL CONVERTIDOR DE LONGITUD INFINITA.

55. 48
^^^' ^ Re so3-ucÍQn simp lAJti ca.da_d^e 1a. s..„ggjjaciones MrID
Limitándonos a l e s t u d i o d e l c o n v e r t i d o r de pequeño entrehie_
r r o , y teniendo en cuenta l o s r e s u l t a d o s d e l c a p í t u l o a n t e -
r i o r , admitiremos que e l campo magnético en e l enti~ehierro
es de la forma:
B ( z , t ) = Re f2 B{z) e
j w t
XQ 5 / x / < ; í.a ( i v „ i )
A partir de la primera ecuación de (III.2) y la segunda de
(III«3)s resulta que el campo eléctrico es independiente de
la coordenada x, y por continuidad de su componente tangen,
cial al atravesar los planos x-iaj se deduce que toma el mi^
mo valor en el fluido y en las paredes del canal paralelas
al plano YZ„ Por consiguiente, será de la forma!
£ (Zjt) = Re fl E{z} e j^t -T,y^; / x/ < ag, 5IQ, 5 (IV.i')
Según la segunda ecuación de (III.2) y la última de (111 = 3 },
las densidades de corriente en el fluido y en las paredes -
del canal paralelas al plano YZ son, respectivamente!

56. g
U-9
{z,t) = Re í/zTeCa) e«^"M y^
(IVol'O
(z,,t) = Re í [2 g^(z ) e-^'^^J
Consideremos una sección del convertidor por un plano para-
lelo al XZ {figo ly»1 ) ; vamos a calcular la circulación del
campo magnético ^' a lo largo del camino cerrado C, que
tiene la forma de un rectángulo, cu3''Os lados paralelos al
eje 'I, tienen de longitud, áz, y están situados en el in.te~
rior de cada uno de los núcleos magnéticos 5 los otros dos
' , lados son paralelos al eje Xo Como en el raaterial magnético
H^ííOj la circulación vale;
2a|3 [B(..,M=.) - H(z,)] = S a £ 1 1 - ,
A
( ?7 )
Según el teorema de Stokes, y teniendo en cuenta la ley
de Ampere (primera ecuación de (IIIol)}, esta circulación es
igual a la intensidad eléctrica que atraviesa una superficie
cualquiera que se apoya en la linea C» Dicha intensidad es,
por vin lado, la que corresponde al flujo de los vectores g
3' g s densidades de corriente en el fluido y en las paredes
del canal i^e spec ti vamente 5 a través de las superficies raya
das -en la figura, y por otro, la d.ebid,a a las distribuciones

57. rxj
X -'SS-
.í3S^-
8^0 2
-~g»
í " ^
S=<3

58. " 51
superficiales de corrientes de densidad i(s)y , que repre-
sentan los devanados.
P.or tanto í
2 a £ _¿B__ ^ 2gadz 4 2g a C f i - U d z -I- 2 i ( z ) d z , o b i e n :
U dZ - e l ^ ' >A
d B / ^ b , / * 0 / „ . A , / o Í ( Z . ) / T-ir r^
——— = tj- X —~_—_ ( M --j 1 ! .«y J. —««—— _-J-_™i. ( I V . / i
dz A ^ * |3 'I c p a xM,...j
Según se deduce de esta vlltima ecuación j el aumento en la
longitud del entrehierro, debido a las paredes del canai^
se traduce en una disminución de su permeabilidad magnética
al valor :
r - Y ^''•^'
T e n i e n d o en c u e n t a l a s e c u a c i o n e s ( 1 1 1 . 2 ) , ( I V . i ) , ( I V . l M
y ( I V , i " ) s t e n e m o s :
e = cr (E4vB) . (IV. 5)
g^ = cr^.E (IV» 5 ' )

59. - 'í?
que, junto, con (IV.2) y (IV,3), d-an la. siguiente ecuación di-
ferencial en E:
dTE
d z
yt^crv 1 4 ( f . - l ) ^ ^
P £
Ao j w i ( z ) (IV,6 )
U t i l i z a n d o e l d e s l i z a m i e n t o S5 dado por (XIIo6)si y e l núme-
ro de Reynolds magnéticos r e f e r i d o a la peirnieabilidíid. magné-
t i c a f i c t i c i a ( I V . 3 ) :
R'
.C5'CJ
k
la ecuación (IV., 6) se puede escribir:
(IV. 7 )
¿JL
^ 2
dz
R' (Í4s) k 4 ? - - JH'k^ ^.(p- • 1 ) , "
(T
r' jw i (2 ) ( I V . 6 ' )
En l a s c o n d i c i o n e s d e l a p a r t a d o I I I » i
i (z ) íkz

60. y por tan te :
irj
dz
0 2
/ • »
a "^ o
lHf>~i) - ^ E
~jkz (XV. 6")
La s o l u c i ó n de e s t a ecuación difex'encial es l a solución ge-
n e r a l de la honioírénea E « mas una s o l u c i ó n p a r t i c u l a r E o
g , P
La primera e s :
íTjkz
E
g
Cj e A Cg e
"ií^kz
(1¥»8}
siendo
^ i 5 2 2
I 5 *-•
R^ ( 1 4 s ) . (Tcl
^i4(p».l)-^J
( I V . 8 ' )
Una solución p a r t i c u l a r es de la forma;
E = E e
P o
•jfcs

61. 5k
donde E es una constante que se determina por sustitución
o ^
en (rv»6" ) 5 dando ;
o " ao'ís'-ij/HM (I¥o9)
En (IV.9)si s' es ei de sllaaruiento í'ict.iciOj que se diferen-
cia del definido en {II1„6)3 en la inclusión de los efectos
de las corrientes inducidas en las paredes del canal paaral^
las al plano YZ j
(IV,10)
El campo eléctrico en el fluido es, por tanto
E = C, e 4 C,^ e 4 E e -^
1 2 o
En ei convertidor de longitud infinita, las constantes C
y C se determinan con la condición de que E sea finito en
z ^ iOO o

62. Teniendo en cuenta que:
- 55
Re
R'^(14s)^. 4 jR' l 4 ( / 3 - l ) , - ^ l ( =
R:W!,,,aj:„(^..,^] ,Rl!¿^^
R M 1 4 S )
2
r e s u l t a :
s i g Re
[^A sxg Re
{^^
y las condiciones límites en z = _CX) » dan
S =^2 = °
de donde :
E = E - e
o
-jkz
(IV. U )

63. •se
La inducción magnética se deduce de (IV,^) y (IV, 11), resul^
tando:
B = B e"^^^ (IV.12)
o
. i
B = _ - ^ E = - -4--zT-TT^-nrrr (iv.13)
o U) o cJ a<r(s'+j/R')
Las densidades de corriente en el fluido y en las paredes
del canal paralelas al plano YZ, se obtienen de (IV,5) y
(IV,5*) teniendo en cuenta que £ y B son ya conocidos.
_^,„ vk „ V -jkz _^ „ -jkz
(IV.1^)
g = <r E e-J^^^c c o
Es interesante señalar, que las magnitudes obtenidas: campo
eléctrico, inducción magnética y densidad de corriente, tie-
nen la forma de ondas senoidales que se propagan en el senti^
do positivo del eje Z, a la velocidad de sincronismo v =<^/k.

64. - 57
Por otra parte, las condiciones que se refieren a los cir-
cuitos eléctrico y magnético son satisfechas automáticamen-
te por la solución dada. En efecto, debido a que ambos cir-
cuitos son abiertos, la intensidad total a través de un pla^
no paralelo al XZ y el flujo magnético total a través de un
(33 )plano paralelo al YZ, deben ser nulos* , y de la forma de
la solución que hemos encontrado para la inducción magnéti-
ca y para la densidad de corriente, se deduce inmediatamen^
te que su integral, extendida a la longitud del convertidor,
es nula.
Vamos a calcular ahora las fem en los devanados. Si conside-
T 4. í 1 in (13>15,l6)ramos solamente una espira, la fem es * -'> ^» j
c) í- - ^ /- - /- - ^*^
•Ty^ / B, n ds = - -TV^ Ú) A di f - i ^ (f) A,di
-4 Jh '• Jh
donde S es una superficie cualquiera que se apoya en la lí-
nea cerrada L, soporte de la espira, y A es un potencial vec^
tor de B.
De la primera ecuación de (III.2) se obtiene:
rot (j -£-) = B
LO
{^) Por comodidad en la escritura se omite el símbolo Re( ]

65. - 58
y tomandos
A = j
60
resulta que la fem en la espira es;
Si tenemos en cuenta que en la fase (i) de cada devanado el
número de conductores por unidad de longitud es N* (z), y
que E sólo tiene componente sobre el eje Y, la fem total en
^ • • i . , - •
esa misma fase, sera: '
(fem)^^^ = 2b/ N^^^z) E;(z )dz
donde 2b es el ancho del convertidor (fig. I.l).
Esta integral se extiende solamente a una fracción, 2L=mX ,
de la longitud total del convertidor (fig. IV.1), que com-
prenda un número entero de longitudes de onda, pues el com
portamiento del resto es totalmente análogo, y asx se evita
el obtener resultados que no son finitos.
Según viraos en III.1, en cada devanado se tiene:

66. -59
jj(2)^^j = Nj eos ( k z - M _ ) (IV.15)
j j ( 3 ) ( , ) = Nj eos ( k z - M _ )
y por t a n t o :
(fem)(l^ = 2b / - ^ (eJ^^ + e"J*^" ) E^ e-J^" dz =
(IV.16)
= 2bL N, E = (^
l o <-
y a n á l o g a m e n t e :
(fem)^2^= 2bL N, E e-J2/r/3 = C e - J 2 K / 3 ( I V . l 6 ' ¡
l o *—
(fem)^5^= 2bL N, E e ~ J ^ " / 3 = f e ' ^ ^ ^ H (IV. l 6 "
l o "^
Las fem en las fases de cada devanado constituyen, por tan-
to, un sistema trifásico equilibrado y de secuencia p£

67. - 60
sitiva, de igual forma que las intensidades (ver apartado
III.1 ), que son 5
l(l) = 1
(2) ^ ^ g-j2n/3 (IV.17)
donde :
(3) . :, ^-3knh
I =
2i
c
3N,
(IV. 18)
Dé (IV.9), (IV.16) y (IV.18), se deduce:
I = - ^ ^ (s' + j/RM ^
3bLNj
Dado el carácter teórico de este capítulo, no tendremos en
cuenta las caídas de tensión en el devanado, debidas a la
resistencia óhmica y a la reactancia de dispersión, con lo
que c. se confunde con la tensión en los terminales de este,
La componente activa de la intensidad que el convertidor -
entrega a la red, es proporcional al deslizamiento y tiene
el mismo signo que éste; para s*>'Ü, la máquina funciona -
entregando potencia a la red, y para s*-C Ü, absorbiéndola.

68. - 61
La componente reactiva es independiente del deslizamiento,
y es la intensidad, cambiada de signo, que el convertidor
absorbe de la red, cuando no hay corriente neta en el en-
trehierro (s* = O ó' Cf= Cf = O ) , es decir, la corrien-:
c
te de magnetización , retrasada 90 con respecto a
la tensión, que es necesaria para crear el campo magnético
en el entrehierro.
El factor de potencia del convertidor es, por tanto;
;os V^= (1 + — 5 - ^ ) " ^ / ^ (IV. 19)
R'^s»^
IV.2 Rendimiento eléctrico
Denominaremos rendimiento eléctrico del convertidor, al que
resulta de considerar solamente las pérdidas inherentes al
fluido, sin tener en cuenta las que se producen por otras
causas, como son el rozamiento con las paredes del conduc-r
to, el calentamiento de los devanados y de las paredes del
canal, etc. -
La fuerza que actúa sobre la unidad de volumen del fluido,
debida a la interacción de las corrientes en el mismo con
el campo magnético, es gA B, y varfa senoidalmente con el
tiempo con frecuencia angular 2cu ' . Gomo la
frecuencia propia de las oscilaciones del fluido es mucho
menor que uj , solamente tiene interés el valor medio de di

69. - 62
cha fuerza en un periodo. Si tene'mos en cuenta {IV. 1) y -
(IV.l')s este valor medio es:
j^g(z) B*{z)| z^- Re ,... . _ , ., ^
La potencia entregada por la unidad de volumen del Ixquido,
será:
2
(gAB)v = g(vAB) = g(-gr- - £) = -^ g E
Si descontamos las pérdidas por efecto Joule en el fluido,
que por unidad de volumen valen g /or, queda la potencia que
se extrae del mismo, que es -g.E por unidad de volumen.
Los valores medios en un período, de todas estas magnitudes,
son:
(gAB)v = Re (vg(z) B*(z )|
- g E = - Re íg(z) E*(z)| y (IV.20)
g2/^ = Re [^i£^)]

70. - 63
Integrando estas expresiones en el volumen del fluido com-
prendido en el convertidor, obtenemos los valores totales:
Potencia entregada por el fluidos
s P = kskh He vg(z )B {z )dz
-L
Potencia extraída del fluido =
s P = Uab Re
e
.-g(z)E^(z)dzl >(IV.20M
-L
Potencia disipada en el fluido =
P^ = kAh Re dz
g(z)g^(z)
donde 2L = m J. , t i e n e el mismo s i g n i f i c a d o que e l a p a r t a d o
a n t e r i o r .
U t i l i z a n d o l o s r e s u l t a d o s (IV.11) y ( I V . l 4 ) , se t i e n e :
P^, = -kahj v t r s E^ B* dz = B a b L C / E ^ / s ( 1 4 s ) (IV.21)
P = Í4-ab (Ts E E dz
o o 8abL C /E / s (IV.22)
- L
P = kah I cTs^ E E^ dz = SabLcr/E / 2 2
o o
(IV,23)
- L

71. - 64
El rendimiento eléctrico, según que el convertidor funcione
como generador o como bomba, es, respectivamente:
7eg = •P7 = IÍ7 <«>^> }^^'^''^
7 eb = T^ = 14s (s ^ 0 ) (IV.24' )
expresiones idénticas a las correspondientes a las máquinas
_, (13l4)
asincronas convencionales * .
Conviene señalar que estas ultimas se comportan de la misma
forma que un convertidor de longitud infinita, ya que, debi-
do a su geometría cilindrica, no presentan efectos de borde
en la dirección del movimiento de la onda de campo (eje Z ) ,

72. CAPITULO V
EL CÜNVERriDOR DE LONGITUD FINITA; EFECTOS DE BORDE
Y MÉTODOS PROPUESTOS PARA SU COMPENSACIÓN

73. - 66:^
V.1 Descripción de los efectos de borde
Cuando la longitud 2L del convertidor es finita (fig. V.l),
las constantes C y C que intervienen en la solución gene-
ral de la ecuación (IV.6"), no pueden determinarse como en
el capítulo anterior mediante condiciones en el infinito,
sino que hay que utilizar las que se refieren a los circui-
tos magnético y eléctrico (ver pag. 57)» El primero se limi^
ta simplemente a la zona ocupada por los núcleos magnéticos
y los devanados, ya que fuera de ella el campo magnético es
despreciable.
Sin embargo, la intensidad eléctrica no lo es, pues el metal
líquido y el conducto se extienden fuera del convertidor en
una longitud que,!, a los efectos de cálculo, se puede suponer
infinita, y por continuidad del campo eléctrico en z=ÍL, se
originan corrientes en el exterior, de intensidades I , e
si
1^2 (fig- V.l).
Las condiciones que determinan C, y C son, por tanto:
B dz = O
X
g d z + I , + I ^ = Ü
y si s2
(V.l)

74. x>
Í M u/íí
mmmmmmmm.V ^
•—V
%
•
V//////////////M
'
W/////////////Á
2L
Y
T
ls1
]}) '
Fia.V-1

75. 68o
En esta situación, el campo eléctrico, la inducción magné-
tica y la densidad de corriente no tienen ya la forma de on^
das senoidales, lo que tiene como consecuencia que las in-
tensidades en las fases del devanado no formen un sistema
trifásico equilibrado, apareciendo componentes de las distiji
(35)
tas secuencias . Las de secuencia nula carecen de inte-
rés porque no contribuyen a la corriente de excitación. Las
de secuencia positiva dan lugar a una capa de corriente -
que se propaga en el mismo sentido que el fluido, tal como
se vio en el apartado III. 1 , Por último, las de secuencia ne^
gativa engendran una capa de corriente que se superpone a
la anterior y que se mueve en sentido contrario al del flü¿^
do. Los deslizamientos correspondientes a esta última son
muy elevados (superiores a la unidad), y por tanto, las péjr
didas por efecto Joule en el entrehierro del convertidor -
sufren un fuerte aumento (ver ec. (IV.23))» A esto hay que
añadir la disipación de energía que tiene lugar en el ex-
terior, debida a las corrientes I , o I ' •
si s2
En resumen! en un convertidor de longitud finita, los efec-
tos de borde son la causa fundamental de que los rendimien-
tos que se pueden alcanzar con él, sean considerablemente -
inferiores a los de las máquinas asincronas convencionales.
Esta es la razón por la que los investigadores se han esfo£
zado en encontrar algún procedimiento de compensar dichos

76. - es
efectos de borde, de forma que el comportamiento del conver;
tidor lineal esté lo más próximo posible al de las máquinas
rotatorias.
A continuación exponemos los dos métodos de compensación
más importantes entre los que han sido propuestos hasta ah£
ra.
V.2 Método de los polos de compensación
Este procedimiento, debido a D.G. Elliott ' i fué presen-
tado en el Tercer Symposium Internacional sobre generación
MíK) de energía eléctrica (Salíburg, I966), y su fundamento
es el siguiente.
Si la longitud 2L del convertidor es igual a un número ent£
ro de longitudes de onda y las intensidades I . e I ^ son
si s2
nulas, las ecuaciones (V,1 ) dan inmediatamente:
C, = C3 = O
con lo cual estamos en las mismas condiciones que en el caso
de longitud infinita.

77. - 70
Sin embargo, el campo eléctrico en los extremos toma el va-
lor :
E(L) = E e'J"^^ =-E,
o o
(V.2)
E(-L)= E e-^*^^ = -E^
o o
y las intensidades I . e I „ ho pueden ser nulas, viniendo
fijadas por la tensión que se deduce de (V.2) y por la re-
sistencia eléctrica del metal líquido y del conducto situa^
(22)
desaguas arriba y aguas abajo del convertidor
Supongamos que en los dos extremos de los núcleos magnéticos
se añaden unos polos compensadores de longitud L , y que en
_ 4.
^ ~ - L se colocan unos conductores recorridos por las co-
rrientes Ij e !„ (fig. V.2).
Los flujos magnéticos correspondientes o) 1 y y ?' ^®'^®'^ "^®~
rificar la condición:
para que no se altere la distribución de la inducción magné^
tica en la parte central.
El valor del campo de compensación queda determinado por las
corrientes I. e I , y por las que induce dicho campo en el
liquido y en las paredes del conducto. Estas últimas se pue

78. X
O
CNI
2L= 2n/^
^faa.ii..H?.¡Mn».i.aKm.M«M.-,isnii.jga..
B(-L)
L
4)C2
VW.aBH-J.aW'fAg!M'.->ja'''WW;Hfe'i;¿aaB5£a
B(L)i
={> V
Bc2
„»UnJlvijiMü^imij.ai^»ii,i.ik:jj.i^iivi«tiB.'WA«,ariM«)^«M!.H?.Mr.^^^^^^
I I I
-s^» /

79. 72'
den disminuir considerablemente, colocando en el interior
del canal unos tabiques aislantes de longitud L y parale-
los al plano XZ.
Aunque no es posible reducirlas a cero, admitiremos que
lo son en el análisis simplificado que sigue a continuación.
En este supuesto, la inducción magnética en los polos de -
compensación es constante, y vales
Bel " 2bL '
c
B
§c2
c2 2bL
(V.Í+)
Por tanto, el campo eléctrico varía linealmente en estas zo-
nas, según la ley:
dE . „
—— = j coB
dz '' c
Si queremos que en z = + (L + L ) sea nulo, con lo cual no
habría corrientes adicionales en el exterior, se debe veri-
ficar:
E(--L) = . ^ B . E(L)
J60B
c2 {V.5)

80. 73
de donde, con la misma notación del capítulo anterior!
B
el c ' ju:> ~ ~^ •5 B „L' c2 c
o_
B
= 3 {V.6)
y se cumple la condición (V.3).
Teniendo en cuenta que B (__ L) = - B , resulta que el campo
compensador está en cuadratura con el campo en z = _ L (Fig.
V.3).
El salto finito que experimenta B en z = _ L es debido a las
corrientes I. e I„ que por tanto, deben verificar:
2a P [B(-L) -B,J.= 2ijyA^
2a fi [B^2 - B(L)] = 21^^^^
de donde:
a A B
' /"o 'kL
a flB
/o c
{V.7)
con lo cual, queda definido el devanado compensador.

81. z
II
e
II
o

82. 75
Es interesante destacar; que las corrientes I , e I „ se pue
si s2 —
den reducir considerablemente sin utilizar polos compensad^
res,colocando aguas arriba y aguas abajo del convertidor
unos tabiques aislantes análogos a los que se ha descrito
anteriorniente.
Pero en este caso la longitud de dichos tabiques debe ser -
mayor, y las pérdidas hidráulicas aumentan. Por tanto, la ~
ventaja del..método de Elliott reside principalmente en con-
centrar los efectos de borde en unas zonas de extensión re-
ducida.
* • • •
Los razonamientos precedentes no se alteran en esencia, cuati
do la longitud 2L es igual a un número entero arbitrario de
longitudes de onda.
El cálculo teórico, teniendo en cuenta las corrientes engen^
dradas en la zona de compensación y su retorno por la parte
central, no ha sido realizado hasta el momento, por lo que
no es posible prever los rendimientos que se pueden lograr
con este método de compensación.
En la referencia 37 se expone, sin desarrollar el plantea-
miento general del cálculo de un convertidor MHD de induc-
ción, que es aplicable al modelo de Elliott, aunque no tie^
ne en cuenta la presencia de tabiques aislantes en las zonas
de compensación.

83. - 76
En las referencias 36 y 38 se analiza un convertidor MHD de
inducción con polos compensadoress teniendo en cuenta todas
las pérdidas| algunas de ellas, debido a la dificultad de
llegar a expresiones analíticas correctas, se estiman me~
diante fórmulas aproximadas» Aunque el estudio se refiere
a un generador de velocidad variable, el método de optimi-
zación es igualmente válido para velocidad constante»
Sin embargo, en la paite central se admiten las condiciones
de funcionamiento del generador infinito, sin tener en cuen^
ta los efectos perjudiciales de las corrientes engendradas
en las zonas de compensación, que nunca Eegan a anularse -
totalmente.
Por otra parte, las pérdidas en los extremos se identifican
con las de un conductor rectangular con corrientes de Fou-
cault, lo cual puede ser una estimación optimista en exceso.
Los valores que se obtienen presentan gran interés, pues -
dentro de la incertidumbre debida a las hipótesis de partida,
indican que sería posible la generación MHD de energía eléc_
trica en centrales de ík a 270 Mw, 6ü Hz., con rendimientos
superiores al SO"";;?).
En la referencia 39 se presenta un análisis comparativo de
dos convertidores MHD de inducción de la misma potencia y
similar geometría: uno compensad o,de una longitud de onda,

84. - 77
y el otro sin compensar, pero de cuatro longitudes ele onda
donde los efectos de borde presentan menor importancia.
Los resultados indican mayor rendimiento eléctrico para el.
compensados pero cuando se tienen en cuenta las perdidas -
hidráulicas el rendimiento es mayor en el no compensado^
Sin embargo, la valides de estos resultados es dudosa debi-
do a las simplificaciones introducidas ,a saber:
, No se consideran en el primero las pérdidas en la zona
de compensación .
. Tampoco se tienen en cuenta en éste, desviaciones del
comportamiento de la parte central, respecto al caso
de longitud infinital
. Se desprecian en el segundo las perturbaciones debidas
a los efectos de borde.
En ausencia de resultados de algún cálculo completo,
sólo disponemos: de la infoi-macion obtenida en las expe-
riencias realizadas en modeles construjfdos al efecto.
En la referencia 3 se comentan los primeros ensayos de un
generador de ^kW, que emplea NaK como fluido conductor, y
que va provisto de polos compensadores con sl^e tabiques
aislantes a cada lado.

85. •- 78
A una potencia de 180 V/. con campo magnético reducido
(0,21 T. ), el rendimiento eléctrico fué el 8 0'iíü del valor ted
(ií-3 ) 'rico. En otros ensayos del'mismo generador , también a
baja potencia (del orden dei 5^^^) W, ), se han medido rendi-
mientos próximos a los valores previstos, pero no se obser-
varon diferencias apreciables en su comportamiento al fun-
cionar con los polos de compensación excitados o sin excitar.
Destaquemos el hecho de que en este último caso, por conti-
nuidad del campo magnético en z = í L, el flujo total en
la parte central no puede ser cero, con lo cual nos aparta-
mos de las condiciones de funcionamiento teóricas.
• i
Posteriormente se han realizado experiencias en un genera-
í ?T )
dor de 1 Kw - 700 líz, con NaK como flufdo conductor .
Se emplearon polos compensadores y tres tabiques aislantes
en cada extremo. El conjunto fué montado verticalmente y
previamente a los ensayos, se efectuaron medidas llenando
de NaK solamente la parte inferior del canal, lo cual per-
mitió determinar la energía que se disipa por corrientes
Foucault en los polos de compensación.
La potencia extraída del fluido fué evaluada sumando los
siguientes términos:
, Las lecturas de los vatímetros conectados en las tres
fases y en el devanado compensador.

86. - 79
o Las pérdidas en los núcleos magnéticos y en los deva-
nados, medidas con el canal sin NaK.
. Las pérdidas en cada polo compensador que, estimadas
en la forma antedicha, son mucho menores que las ante_
riores.
La potencia entregada por el fluido se midió hallando la va_
rxación producida en la caída de presión, según que el deva^
nado de excitación estuviese o no conectado.
Be esta forma, el rendimiento eléctrico del generador:
?
~ Po^^ncia extraxda del fluxdo
e •
Potencia que entrega el, fluxdo
alcanzó un valor máximo de 0,5^ para un deslizamiento de
^í55) que equivale a un 83''/^ del correspondiente al genera-
dor infinite
Al tener en cuenta las pérdidas debidas a la excitación y
a los polos compensadores, el rendimiento máximo fué u¡Zk
y, por último, al incluir las pérdidas hidráulicas, resultó
un máximo de 0,09.
En la referencia ^0 se señala que las discrepancias entre
los rendimientos que se han medido experimentaimente y los

87. 6ü
correspondientes valores teoricoss aunque no son excesivas,
obedecen a razones que no son bien conocidas»
Una causa podría ser la forma no exactamente senoidal de la
(?3)
onda de campo , pero esto no explica totalmente las di¿
. (^0)
crepancias .
Otra causa sería, la repetida tantas veces hasta ahoras el-
no haber tenido en cuenta las corrientes que -retornan por"
la zona central que, aunque son menores que en el genera-
dor no compensado, nunca llegan a anula.rse totalmente, y
su efecto puede tener importancia en el rendimiento el<3ctri_
I
co. . '. •
V, 3 Método de compensación interna
Este método, debido a R. N. Sudan , se basa en el anali;^
sis del modelo de la fig. V.4 en el que los núcleos magné-
ticos se extienden hasta el infinito en ambos sentidos
del eje Z, mientras que la capa de corriente ocupa una lon^'
gitud finita, 2L. ün estudio de.este mismo modelo puede -
verse en la referencia k3, aunque sin introducir compensa^
ción.
Es interesante destacar que en ninguna de las referencias
(33) '
kk y ií-5 9 se exponen claramente las dos condiciones

88. 2L
la.

89. 82
(Vol) que caracterizah al convertidor lineal.
En este modelo se supone que las placas conductoras situa-
das lateralmente en y = _ b se extienden hasta el infinito,
y no se tienen en cuenta las paredes del canal paralelas al
plano YZ; esto último no es esencial en la descripción de
este método de compensación.
Vamos a realizar un análisis paralelo al del trabajo origi-
nal , aunque incluiremos una discusión de las dos condi-
ciones mencionadas anteriormente.
En el apartado 111,2 dedujimos que la transformada de Fou-
rier del potencial vector A, es de la formas
/ • • .
F{x,^) = Cj oh-¡ex + Cg shxx (V,8 )
siendo !?C^ = k^ [(!/k)^ 4 j R [{1+s ) ?/k 4 l}J (V.9 )
Pero en aquel caso, la capa de corriente de excitación se
extendía hasta el infinito, y su transformada de Fourier -
era proporcional a la función Delta de Dirac ; sin embargo,
ahora se tiene :
1 /i. e--^*^^ e-J^ dz = 4 ^ / i e-J^^^-^P^ d:
(V.IO)
J 1
fin" (k+ p
2 (l-e^j^^*f^^) e~J^'^-^P^

90. - 83
y l a s c o n d i c i o n e s l í m i t e s son:
dF
de
y
don(
re su
yx=ía ^
íe :
I t a ;
(1-e ^JÍ^^P) e-J^-^^rS C = O
r(^" ) _ A - ^ ^ o _ c ^ x ( i _ e 2 J ( k + ^ ) L ) g-J(k+^)L ( V . l l )
C [2ñ(k+f') ncshxa
Para pequeños e n t r e h i e r i o s /7Ca/<<l , y podemos p o n e r :
7'
6 í' V2^ a X (k4r)
(V.ll')
de donde se obtiene el potencial vector:
oo
A(z) 2n a / J .,2 ,. ...: ^^-^ C ) d^ -
OO
r '"f

91. - 84
oo • oo
2 n a
-jkL j|-(/.-L)
e e
/-oo
/ '^Y
(k4r)
d r 4 / - j
'f
. e
- Oo
f
/ o o
2n a
J-00 J- oo
(V,12)
siendo
%^P'.^
-jkL ^ j | ( z - L )
/ "-^f'
:/2<p = -i
y
(V.13)
Vamos a calcular las integrales (V.12) por el método de los
residuos.
Las funciones Ji (^) y j-p^J^ tienen un polo simple en cada
uno de los puntos:
?=-• !'-h-' l-H
siendo :
. kR
f o = J 2 - ^^^^^ ^ V ^^^^^ + > j / H
r
W ( Í 4 s ) ^ 4 kilR

92. - 85
como se deduce f á c i l m e n t e de {V,9)» Además se t i e n e s
Re ( 1 4 s ) 4 kj/R
V ( 1 4 S ) S I 6 / R ^ 4 ( 1 4 S ) ^ ^ , .1 — ^ 14 s
y por t a n t o ( f i g . V.5 )
m ih] > O;
¡fo]l „ ( T . K o
Los r e s i d u o s c o r r e s p o n d i e n t e s son
Res
im'} ..
-jkz
= J
t-=-k k " { l - j R s )
Res
fy. 'P}
. e-J'^'-ei r ° " - ' - '
Ír!o^' 'f°*^"fo-f¿
¡lMRes^AT)
t!o
,-JkLgJf¿(z-L)
^ i?:+io(>:-o
Res ^^{
í^ J ir= -k k-^^d-i
?
- j k a
( 1 - j R s )

94. - 87
i kG )
Para calcular el valor t>rincipal de Cauchy de las inte-
grales (V.12), basta considerar el camino C o el C' de la
fig. V.5> de forma que se cumplan las condiciones de los -
lemas de Jordán.
Los resultados que se obtienen son los siguientes:
y^oK . e^h-A(z) = _ .^-i^ j (y^4k)(r'-/ ) sen (k4|-¿)L (z<-L) (V.l4)
Ac^) = ^ ó jjr^rnj^-p -" ^^'^^"^ ^^>^^ Z^-^^)
k (l-jRs) '(fo '¿o (fo'
60 Co ¿o'

95. 88
Vamos a comprobar si esta solución cumple las dos condicio-
nes a las que hemos hecho antes referencia:
Flujo total = ü
Intensidad total = O
La primera se cumple automáticamente puéss
/ B dz = / - - ^ dz = A (-00) - A (00) = ü
J ~oc> J-00
La segunda se expresa (ver c a p í t u l o I I I )
00 (X> ^00
g dz = / crÍE 4 vB )dz = / CTE dz
y y X / y
• 00 J- 00 J-00
.00
í- J-^]Crl- jwA I dz = o
' - 00
Vamos a c a l c u l a r :
00
Ada
'-00

96. ~ 89
CO /- OO
2 Jl a
/ o o
271 a
j e--' ('^^^^^e J P (l-eJ2^^^-*f^)
' _ CO y -oo / "'^Z*
d r d z =
oo
^-j(k4f; L
o £ - ^ — i - (l-e-S^'-<"Y')
¿c./'-'t
OO 1
.^Pdz
/ - C O
^?
-Oo
/o^o / . e'^'^^-^P^
-oo
(k4?)
{ 1-e
j2L(k4
/'"^í
f )S(f)d^ =
M i - J k L , , J2kL.
/ o o e ^ (1-e^ )3
donde se han u t i l i z a d o l a s p r o p i e d a d e s de l a función Delta
(31 ) •
de Dirac .
Por tanto, para que se cumpla la segunda condición se ha de
tener:
2 k L = 2 n 7 I (n = l , 2 , 3 j . . . )
o bien :
1 _ 2J[_ _ 2L
• ^ " k ~ n
lo que quiere decir que el devanado de excitación, debe con^
tener un número entero de longitudes de onda.

97. - 90
Conviene señalar que este modelo no es rauy apropiado para
el análisis de los convertidores de inducción reales, pues
en estos los núcleos magnéticos son finitos, y el campo -
magnético en los bordes decrece fuertemente, siendo prácti^
camente nulo muy cerca de ellos. For esto es razonable su-
poner que los rendimientos del modelo analizado serán infe^
riores a los de un convertidor real.
Sin embargo, este estudio tiene gran interés, pues permite
averiguar las modificaciones que habría que efectuar en el
devanado de excitación para eliminar los efectos de borde.
Estos se manifiestan debido a la existencia de los polos
En efecto, si L >• o o , en la solución (V.l6) para -L'^z-^L
desaparecen los dos últimos sumandos y obtenemos el resulta^
do conespondiente al convertidor infinito.
Por otro lado, si la transformada de Fourier de la corrien-
2
te de excitación contine el factor X en el numerador, desa_
parecen también los mencionados polos y A es sólo distinto
de cero en la región -L<:z-álL,
Pero la existencia de la transformada inversa exige que el
denominador contenga un término en ?" • Teniendo en cuenta
que la forma de trabajo óptima para el convertidor es la

98. - 91
(kk) •
senoidal, R, M. Sudan piopuso la siguiente expresión pa-
ra la capa de corriente de excitacions
"^ 2 -j(k 4r)L j/z
) d ^ (V.17)
' ^
'-CXO
Resolviendo la integral (V.17) por el mismo procedimiento
que las (V.12), se obtiene:
i (z. ) = i
2^(l-jR2S2)e"^^2^ seník^-k^JL
k^^(l-jR^s^)e""''^3^ sen(kj-k^)L
__ j (kj-k^íkg-k^)
(V.18)
(z<-L)
i(z) = i.
jk2^{l-jR2S2)e~J^2^sen{kj-k2)L
fkj-k^) (k^-kg)
(V.i9)
jk^^(l-jR^s^)e"'^^3^sen{k^-k )L
_ ("k^-k^) (kg-k^) (z > L)

99. r 92
i { z ) = i .
2 1 3 1 1 2 ' ' 3 2
k^^(l-jR^s^)e"'^'^3^ cos(k^-k )L
(kj-k 1 Tk -k )
( - L ^ z ^ L )
( V . 2 Ü )
siendo :
« i =
/ < o ^ CiJ
( i = 1 , 2 , 3 )
vk.
1 + s. = — i
1 UJ?
( i = 1 , 2 , 3 )
Para que la e x t e n s i ó n de la capa de c o r r i e n t e de e x c i t a c i ó n
sea f i n i t a , b a s t a con queí
( k j - k ^ ) L = n n n, n - _ 1, _ 2 , - 3j ••
(k -k )L = n ' n n /¿ n

100. 93
ya que en este caso se tiene s
i (E )=i
o ;|2
~ ~ ~ ^— " ""•'• 4 .
n n n (n-n' )
{-l)"'k^{l-jR.^S3)e""-^^3^
n' (n'-n)
(V.2i)
(-L^z ^L)
i(z ) = 0 ( /z/ > L ) (V.22)
La excitación dada por (V.2l) y (V.22) se puede conseguir
en la práctica mediante tres devanados de distinta longitud
de onda, situados en la zona central del convertidor de ex-
tensión 2Lí
.-j^, ^ -jk,z -jk-j^i(z) = i^j e-^'^j/ + i^2 e ^^^2- 4 i^^ «-^^^3^ (V.23)
siendo l a s a m p l i t u d e s de cada uno de e l l o s :

101. ^2 kj (1-jRjSj)
ol o n2 s
•" n n
- 9'-f'
L2 ( - l A c ^ ' d - J R g S , )
"o2 o )i2
1 ^ = 1
) ^ n (n-n' )
^ (-l)"'k^^(l-jR^s^)
o3 o ^2
n' ^n'-n)
(V,2k)
En la referencia k2, muy posterior al trabajo original, se
da una discusión muy completa de este procedimiento de com
pensación y se llega a las siguientes conclusioness
a) Las amplitudes y las fases de las corrientes de excita_
ción (V.2if') son funciones de la velocidad del fluido,
lo cual hace que el procedimiento sea muy difícil de -
llevar a la práctica.
b) Los rendimientos alcanzables pueden no representar veri
tajas sustanciales respecto del convertidor no compen-
sado»
Estas son, sin duda, las razones por las que los esfuerzos
de los investigadores se han encaminado, en general, en -
otras direcciones.

102. 95
Sin embargo, en lo que respecta al párrafo a) es muy fácil
demostrar que un diseño apropiado de los devanados y la c£
nexión en paralelo de los mismos, da automáticamente las -
corrientes de excitación requeridas en amplitud y fase, -
con independencia d.e la velocidad del fluido. No daremos ~
aquí esta demostración, por ser totalmente análoga a la que
se hace en el capítulo siguiente para el caso de dos deva-
nados.
El párrafo b) requiere una discusión más amplia: En el COÍT,
vertidor de longitud, infinita, la potencia extraída del -
fluido es proporcional al deslizamiento s (ec.(IV.22)), -
mientras que la que se disipa en él por efecto Joule, varía
con s (ec.{IV.23 ) ). En consecuencia, para conseguir rendi-
mientos altos, es necesario que el valor absoluto de s sea
lo menor posible.
Este razonamiento es aplicable al método de compensación -
que estamos comentando, pues no existe acoplamiento mutuo
entre los distintos devanados, por ser ortogonales en el -
intervalo (-L, L) las funciones que representan las magni-
tudes relevantes en el comportamiento de cada uno de ellos.
Ya que los valores s,, s„, s„ han de ser forzosamente dife
1 2 j —
rentes entre sí, es evidente que el rendimiento del conjun_
to es inferior al de un convertidor de longitud infinita -
que funcionase con un deslizamiento igual al más bajo de -
los tres.

103. 96
..•!f"- '
Por io tanto, este procedimiento de compensación introduce
unas pérdidas suplementarias a cambio' de anular los eí'ec_
tos de borde, y de ahí que, en cuanto al rendimiento, no ha^
ya diferencias importantes respecto a un convertidor no com
pensado. Subsiste sin embargo, la enorme ventaja del funci£
namiento sin desequilibrios en las intensidades, que es muy
importante desde el punto de vista práctico.
Es evidente entonces, que un procedimiento de compensación
que anule totalmente los efectos de borde y que ocasione; -
iunas pérdidas suplementarias inferiores a las que sé tienen
con el método de Sudan, reúne grandes ventajas respecto al
convertidor no compensado, Jiste es el "Método de Superposi_
cien" que se expone con todo detalle en los capítulos si-
guientes. .

104. CAPITULO VI
EL MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

105. - 98
El Método de Superposición que vamos a exponer a continua-
ción, proviene de las investigaciones llevadas a cabo en -
el Gabinete de Aplicaciones Nucleares a las Obras Publicas
del Centro de Estudios y Experimentación de Obras Públicas,
sobre generación MKD de energía eléctrica.
Es interesante señalar que, actualmente, el esquema de Elliott
es el que más se tiene en cuenta en la literatura científica
sobre convertidores de inducción compensados» Las razones
por las que se prefiere este procedimiento al de Sudan, han'
sido expuestas en el capxtulo anterior. La mas importante
es la referente al ajuste de las amplitudes y de las fases
de las corrientes de excitación, al variar la velocidad del
líquido. Si, como vamos a demostrar, este ajuste es posible
hacerlo de manera automática, son evidentes las ventajas -
del método de Sudan sobre el de Elliott. Por otro lado,el
Método de Superposición es más ventajoso que el de Sudan,
por emplear sólo dos devanados.
VI.1 Descripción del Método
Consideremos el modelo de longitud infinita, que hemos ana-
lizado en el capítulo IV, y supongamos que los devanados,
situados en los planos x = i aP, , tienen diferente longitud
de onda, siendo las densidades superficiales de corriente
(fig. VI.l ):

106. |^^"!:ífe.^t^¿^-^'.-iJ^ltVt.WA.¿afets;^nP!Pg?tit^44^'--Lv.!i?w-a^^^v.rff.^.^^^^
í>" o
im^z^y:
^gi^W!:>v^y..|;"<^,iJi¡!.-ac»jaftvai?r>j'>.!as:-a.'M->'^'i'w?ri-A>>r.A
B(z)' B { z + d 2 )
- ® j -
V Y>
B*FtTf^'^iJ^-J^«^¿^-<^4if^5^^^?KS^
!n(z)^
dz
Htsa-
2L = myl^ = nlp|

107. - 1 GU
i ( z ) = i e
m om
-J5íh,z
i :(¿) = i e"J'^"^
on
X = a
e
( V I o l )
^3£ = - a
Las l o n g i t u d e s de onda l a s e l e g i r e m o s de raanera ques
m X = n Xm 1
n i j n — I j 2 j 3 } » " " ° * *
(VI.2)
m f n
De la misma forma que en el capítulo IV, consideraremos s£
lamente el caso dé pequeños entrehierros. Calculando la ci£
culación del campo magnético a lo largo del camino de pun-
tos en la íig. VI.1, obtenemos la, siguiente: ecuaciónj an£
loga a la (IV,2):
donde /^' viene dado por (IV.3).
'A
Sustituyendo en (VI.3) las relaciones
B = 1 d£ (IV,4)

108. -101
g = CÍE + vB) (IV.5 i
^c = ^c ^ {IV.5' )
resulta :
d^F
dzI - / > -S- -/¿«"1 + 'r''^J ji =
7^¿j u;
2a m(i (a) +
4 i„(z))
(VI.U)
Vamos a introducir ahora los siguientes parámetros adimen-
sionales, referidos a uno y otro devanado:
- Deslizamientos
vk
1 4 s = ;
vk
1 4 s =
n oo
(VI.5)
- Deslizamiento ficticio:
O-r.
s = s
m m - ^P-^^ - ^ ' ^n = ^n -^^-^^
Cr
(VI.6)
- Numero de Reynolds magnético ficticio:
R' = ¿_o .
m , 2 '
m
n , ¿
k
(VI.7)

109. 102
Teniendo en cuenta estas definiciones y las ecuaciones
(VI.l), se obtiene inmediatamente la siguiente solución
particular de (VI.^):
E = £ e~J^m^ 4 E e'-'^n'' (VI.8)
om on
siendo j
X 1
om ^ on„ _ uní üíl__, í VT Q )
^ — ~ 2ao'(s'4j/R' ) ' ^on ~ 2acr( S'MT/'R'T ^vx,y;om
' m " ' m ' " n " ' n
La solución general de la homogénea de (VL^J-), que depende
de dos constantes arbitrarias, no interviene en este caso
por la misma razón que en el capítulo IV, es decir, por -
tratarse de un convertidor de longitud infinita.
El resto de las magnitudes se obtiene a partir de (Vl«8) y
(VI,9), empleando otra vez las relaciones (IV.^), (IV.5) y
(IV.5'):
B = B e~"^'^ni=^ 4 B e"^"^^"^ (VI. 10)
om on

110. con :
- 103
B
oni
k i
m om _j
^^ m ^' m
k i
n on
n n
(VI.lí)
g = -(7(3 E e'^^"^'^ 4 s E e'^^n^ ) (VI. 12)
m om n on
g = CT (E e ^ m. ,4 E e ^ n )
'^c c om on (VI.13)
Vamos a fijarnos ahora en una fracción del convertidor, de
extensión (fig. VI.l):
2L = m i = n A
m n
(VI.Ik)
que comprende un numero entero de longi tudes efe onda en ambos
devanados.
El flujo magnético y la intensidad eléctrica correspondien-
tes a esta zona son nulos, por tratarse en ambos casos de
ondas senoidales completas.

111. ~ ÍOk
Si suprimimos el resto de los núcleos magnéticos con los
devanados correspondientes y las placas conductoras situa-
das lateralmente 5 el funcionamiento del convertidor en la
zona considerada, no se altera, con tal que se cumplan las
condiciones límites en el campo magnético y en el campo -
eléctrico.
Debido a la pequenez del entrehierro frente a las longitu-,
des de onda, el flujo de dispersión que se crea en los bor_
des por continuidad del campo magnético, es completamente
despreciable y no altera sensiblemente las condiciones de
trabajo en el interior.
La continuidad del campo eléctrico (ver apartado V,1) oca-
siona perturbaciones importantes, porque no es posible su-
primir fuera de la zona consideradar, los elementos que fa-
cilitan el recorrido de las líneas de campo eléctrico, co-
mo se hizo antes con los núcleos magnéticos, ya que en es-
te caso se trata del metal líquido y del conducto que nece^
sariamente se encuentran aguas arriba y aguas abajo del -
convertidor.
Sí. queremos que en el exterior el campo eléctrico sea nu-
lo para que no se engendren corrientes perturbadoras, he-
mos de conseguir que lo sea en los extremos del convertidor,

112. - 1Ü5
Evidentemente empleando un solo devanado esto no es posible,
pero sí lo es al utilizar dos, ajustando convenientemente -
las arapiitudes E y E . En efecto, en los extremos del con
• om -^ on —
vertidor el campo eléctrico (VI.8) es, teniendo en cuenta
(VI.U')!
fe] = (E] = E (-1)™ 4 E {-1}"
I / _, '^ •' _ T. ora • on
y para que sea nulo basta con que:
E = E (-1 )
om on
n-ra41
(VI.15)
Vamos a demostrar a continuación que esta condición se al-
canza fácilmente en la práctica, diseñando en forma adecua-
da ambos devanados.
El número de.conductores por unidad de longitud, en las fa-
ses de cada devanado es, en general (ver apartado III.l)j
(1)
(2)
N (z ) = N, eos (k z +o¿
m Im m m 3
2n
(3) kflN (z) = N. eos (k z 4o6 —-)
ra Im m m 3
V (VIoí6)
J

113. - í 06
, (1)
W^(z) = N^^ eos {k^z 4 06J
N (z) = N, eos {k z 4roC .. - ----) V (VI, l6'
n In n n 3
N (z) = N, eos (k z 4 o¿ - • — )
n In n n 3
y la fern que se induce en la fase (1 ) del devanado m, resu¿
ta (ver eapítulo IV):
(1 ) /'^ (1 ) /^^
(fem) = 6 = 2b/ N (z ) E dz = bN, / (e^ ^^^"'^^'^f» ^ 4
V 'rn m I m Im /
7-L y-L
4 e-J^'^m^-^'ln^íE e'J^rn^' 4 E e-J^n^ ) dz =
om on
= 2bL N, E e-^"^ (VI, 1?)
Im om
Las fem que se inducen en las otras fases de este mismo de_
vanado no es necesario calcularlas, pues evidentemente to-
das ellas forman un sistema trifá?jico equilibrado.

114. Análogamente se obtiene para el devanado n:
•- 107
(1)
(feín) = f = 2bL N, E
n ^n In on
.j^n (VI.I7' )
Diseñando los devanados de manera que se tengaí
im 1 n (VI.18)
06 = oc
m n (VI.19)
y conectándolos en paralelo, resulta
E = E = E
om on o
(VI.2Ü)
Que coincide con (VI,15) si m y n tienen distinta paridad.
En caso contrario bastaría con hacer la conexión en parale^
lo, invirtiendo la polaridad de uno de los devanados.

115. 106
Es necesario señalar que, debido al carácter teórico de e¿
te capítulo, hemos prescindico en el razonamiento anterior,
de las caídas de tensión que se producen en cada devanado,
a causa de su resistencia y de su reactancia de dispersión;
pero este hecho no tiene trascendencia en la práctica, por-
que la primera es muy pequeña y la segunda se puede competí
sar totalmente, sin consumo adicional de energía, conectati
do en serie unas reactancias capacitivas de igual valor que
las de dispersión.
Este es el fundamento del Método de Superposición, que ha
sido objeto de la Patente N£ i^027^^í "Perfeccionamientos
en Convertidores de Inducción Lineales".
Hay -un aspecto de este método que puede llamar la atención |
es el siguiente! Del análisis de Sudan se deduce que el nú-
mero mínimo de devanados para conseguir la compensación es
tres. ¿A qué es debido que la compensación sea posible aquí,
utilizando solamente dos?. La respuesta está en que el raode^
lo considerado por Sudan posee núcleos magnéticos de exten-
sión infinita, y para eliminar los efectos de borde es nece^
sario anular el campo magnético y el campo eléctrico z=:_L.
Sin embargo, el modelo más real analizado por nosotros, no
necesita de la anulación del campo magnético, por interrum-
pirse el circuito magnético en z = 1 L, y ser despreciable
el campo de dispersión.

116. í C'9
VI.2 Rendimiento eléctrico
Del mismo modo que en el capítulo IV {fórmulas (lV.2U)y
(IV.20*))s la potencia que entrega el fluido se calcula a
partir de la fuerza g^^ B, que se ejerce sobre cada unidad
de volumen del mismo. Teniendo en cuenta (VI.8), (VI.9)»
(VI,10), (VI.11), (VI.12)j (VI.1^) y (VI.20) resulta;
P = 4ab Re V g B dz
k
n
'o' ' LO
= 4ab/ VO-/E / ^ - 4 - eJ^ni=^4 - f eJ^n^')(s e'^^m^ +
m
+ a e"*'^"^ )dz = 8abL CT/E /^ [ S {14S ) + s (1 + s ) 1 (VI.21 )
n ' o ' l , m m n n ^
Análogamente, la potencia que se extrae del fluido y la que
' • / .
se disipa en él por efecto Joule, valen respectivamente!
P = k&h Re
e -g E^ dz
= 4ab
L
a-/E^/2(eJ^rn24eJ'^n^)(s^e-J^V4s^ g-J^n^ ) dz =

117. no
SabLc/E /^ (s 4 s ) • {VI. 22)
o m n
n m n
= SabLc/E /^ (s ^ 4 s ^) - (VI. 23)
o m n
Las expresiones (VI.21), (VI.22) y (VI,23) confirman lo
que se dice en el apartado Vo.3 (pag. 95) sobre el funciona-
miento de un convertidor con varios devanados diferentes
entre sx. En efecto, si las comparamos con (IV.2í), (IV.22)
y (IV. 23 )» resulta evidente que los dos devanados funcionan
sin interacción mutua, y que las potencias obtenidas son
la suma de las que se obtendrían de cada uno de ellos, fun^
clonando aisladamente en las mismas condiciDnes. Por tanto,
un convertidor compensado por Superposición equivale a dos,
de diferentes longitudes de onda, que trabajan en paralelo
sobre el mismo canal MHD,
El rendimiento eléctrico como generador será (ver (IV.2Í^))!
1
P s 4 se > m n
eg " P' ~ s (lis )4s (14s ) (VIo2Í4-)
f m' m n n

118. - 12Í
Conviene ahora discutir como varxa n con m, n y la velo-
cidad del líquido.
En el tráfico de la fig. VI.2 se han llevado s en abcisas
y s en ordenadas,
n
Los l,.ugare.s geométricos que corresponden a n =cte, vienen
definidos por la ec.i ^
s^ 4 s^ 4 s (1- — - ) 4 s (i- - ~ ) = O
m n m n n nn n n
h t
y son por tanto circunferencias que pasan por el origen y
tienen su centro en la bisectriz del primer cuadrante,en
los puntos:
s = s
m n
y'ie,^-'
Las coordenadas d e l extremo d e l diámetro que pasa por e l
origen son:
1
s = s = - 1
m n K7
'es
^

119. • •
:^o^
o^ /
/ '^'^y
j 1 1 • Jr ^ / iT f
V -05 -0.7 / / " ° ' ^ / _ y v H / ^
^ "^^^^TT/
^ / /v/// /
/iwr -
f /MX P
& :
3>
T" / /
t¿^Q(
2^^^^f
T / ^ ^ . I / ^
1 ' V/
1 'Z«f " >
'le* y
1
1
/ ' / / / /
/ / / ^/ V
^ftijX 1 / / /
/ I I / / / / ^^
W--;^J_^,^l 0.3 ^ / O.S ><^ 0,7 0.S /^
7 / ' ^ . 3 0
/ ' '^'^
'-0.5 1 ^v '_^^,^- so
1 JV^-'^'^ 60
-0,7 I ^ ^ N. 70
- 0 , 9 / ^ N. 90
''^^ 100 •/.
ÍO.

120. 1 í 2
En consecuencia 5 una manera rápida de encontrar la circun-
ferencia que corresponde a un valor dado de i^ , es dibu-
jar la curva n = T-T j como se ha hecho en el ks. cua-
¿eg 14s^^'
drante de la figura.
El valor de s que corresponde en esta curva al valor dado
de n , es la abcisa del extremo del diámetro que pasa por
el origen,de la circunferencia que se desea hallar.
En el caso de funcionamiento como bomba, todo lo anterior
es válido, excepto que el rendimiento (O es el inverso
del que hemos considerado hasta ahora (ver {IV.24'))„
Si s (<0) es la abcisa del extremo del diámetro que pasa
por el origenjde la circunferencia correspondiente- a un va^
lor dado de n ,, tendremos:
I eh'-
I
, = 1 4 s
eb m
Esta curva se ha representado en el 3 cuadrante, y nos
permite obtener de la misma forma que antes las curvas
= cte.
I eb
La r e c t a s +s =0, separa l a s r e g i o n e s de funcionamiento co-
mo g-enerador y como bomba. -

121. Por otro lado, los lugares geométricos de los puntos de fuii
cionamiento para m y n dados (supondremos m < n ) , son rectas
definidas por s
14-s
n n
14s m
ra
Todas ellas pasan por el punto (-1, "1) que corresponde al
Ixquido- en reposo»
En la figo VIo2 se han dibujado las que corresponden a
m = l,2,3?^s5í con n=m41. Siempre interesa que n-rñ=l, pues
i
para valores de n mayores que m-tl , el rendimiento disminu~
ye; éste será tanto mayor cuanto más cerca esté de la uni-
dad el cociente (ver la discusión al final del capítu-
m "^
lo- anterior, pag. 95)»
En cada una de estas rectas interesa fijar el punto de ren^
dimiento máximo; éste se obtiene inmediatamente de que su
distancia al punto A , intersección de la recta considera-
m'
da con s 4-s =0, coincide con la distancia de A al origena
m n m
Se dibujan así las curvas n , y O i^ » que dan los
/eg,max /eb,niax
máximos rendimientos eléctricos que se pueden conseguir en
cada caso, c

122. - llk
Es inteiesante señalar que para m^?;, el máximo rendimiento
eléctrico se obtiene cuando s -íi^iü. lo cual quiere decir que
m _
el convertidor está funcionando prácticamente solo con el -
devanado n, en las mismas condiciones que si su longitud -
fuera infinita.
La misión del devanado m esj pues, la de en¿'endrai' un campo
eléctrico en los extremos, igual y opuesto al que crea el
devanado n, no contribuyendo apreciablemente al intercambio
de energxa.

123. ..#'•
C/iPITÜLO V I I
CALCULO DEL RENDIMIENTO GLOBAL DE UN CONVERTIDOR MIID
DE INDUCCIÓN COMPENSADO POP, SUPERPOSICIÓN

124. - 116
Vil.1 Peididas adicionales
Con esta denominación, englobamos todas aquellas perdidas
que se producen en los distintos elementos que foiman parte
del convertidor, con excepción de las que se originan en el
propio fluido. Estas últimas fueron ya evaluadas en el capi_
tulo anterior y son las únicas que intervienen en la deter-
minación del rendimiento eléctrico. Para calcular el rendi-
miento global hemos de incluir además las adicionales, que
se componen de los siguientes términos:
, • • í • •'
VII. i a ) Pérdlda^s en las paredes del canal
En las paredes del canal paralelas al plano YZ (fig. VI.í),
la densidad de corriente g ¡, viene dada por (VI. 13), y las
pérdidas correspondientes por efecto Joule son:
P^ = kah (p-1) Re fcfc^
o;
^
áz
kah -^- (p-1 ) cr/E /2 (,eJ^'n^'^4eJ^n^^)(e-Jl%^4e-J^n^)d z =
r2 Or
8 abLcr/E^/ 2 - ^ (í^-l) (VII,1)

125. i 1 7
En una sección z f= z de cada uno de los electrodos de co-
o
bre 5 que forman lafi paredes laterales del canal (paralelas
al plano XZ ), la intensidad elécti^ica total esj según -
(VI.12),y (VI.13):
2a dz =
2acrE m
jk
m
s(eTJk,,z^ _ ^jmn^^ _ n . (^-Jk^Zo _ JnJl ^
donde los signos 4, - corresponden a uno u otro electrodo.
El valor modular cuadrático medio, a lo largo de la longitud
2L del convertidor, de dicha intensidad, resulta!
' o'
aXTí
,>2
n
_ l / 2
k
m
s' s'
m n^
k k
ra n
(m = n - 1 )
y por t a n t o l a s p é r d i d a s en ambos e l e c t r o d o s valen
8abLcr/E„/^ b F ^
Cu '^Cu
9 9
s ' s
m n
s ' s '
m , n
, 2 "*•, 2 " k k
k k ra n
m n
( V i l . 2 )

126. - 118
donde S„ y CL son respectivamente la sección y la conduc-
en Cu "^
tividad eléctrica de cada electrodo.
Comparando esta expresión con (VII.l) y (VI:.23)? se deduce
inmediatamente que la importancia relativa de las perdidas
en las paredes laterales del canal MBü, es muy pequeña si se
verificaí
o k
Cu bey.
,2
m
2
,2 s'
m
k
m
n
k
n
Cu s^ 4- s^42(/3-l ) - ^
m n i (S
(Vil,3)
Pero, según las conclusiones del apartado 1,2, en un conve£
tidor de interés práctico se tiene;
C^ » C ; b > 1 /t^Cu ^ n
y la desigualdad (Vil.3) se cumple siempre.
Por tanto, en el cálculo del rendimiento global las pérdi-
das (VII,2) no serán tenidas en cuenta.

127. - .t i9
VII,1 b) Pérdidas en los devanados
Como ya vimos en el-apartado 111=1, en los convertidores de
inducción los devanados se alojan en ranuras practicadas en
los núcleos magnéticos, según se indicaren la figo Vil»1,
El paso de ranura es 1;^ ^í-i s V ^ representa la fracción de
' rm m r
la longitud total del convertidor ocupada por las ranuras»
La altura de éstas es h, . y la del yugo, camino por donde
dra j tj >
se cierran las líneas de campo de la inducción magnética,
h, . Para el devanado n se emplean los mismos símbolos, su£
tituyendo el subíndice m por el n. Admitiremos como simpli-
ficación que el valor de ^es el mismo para ambos devanados»
Según (VI; .1), (VI>,9) y (VI,2ü), la amplitud de la capa de
corriente m, es:
i = Zao- E (s' 4 j/R' )om o m ni
y su valor modular
/i / = 2ao-./E / (s'^ 4 l/R'^)' om ' o' m ' m
1/2
(VII.4)

128. X'
/ / /
"Tc&
^ h h
3
2
U-
:&
I J~l f
hm
( 1-^) T Irm ^TLrm
•»St4=If : S*|
o r m
-2ss-j
/
'dm
-íSí»» Z
•?
O

129. 4.1
Por tanto, la intensidad total en cada ranura serás
P 1/2
Zacrr ¡E I (s*'- 4 l/R' ) (YII.5
rrn' o m ' m
y la densidad de coiriente:
2acrf ,-, c> 1/2
d - ^ ^ / E / (s*''^ 4 l/R'^) ' (VII.6)
m c h^ o ni ' ra
í dm
donde f es el factor de espaciatniento que tiene en cuene I- ^ „
ta el llenado imperfecto de laá ranuras por los conductoress
i
y que, para no complicar excesivamente los cálculosj lo su~
pondremos igual en ambos devanados.
' • • /
Las pérdidas por efecto Joule en el devanado m, se obtienen
fácilmente multiplicando la energía disipada por unidad de -
volumen y unidad de tiempo, por el volumen útil de las ranjj
ras %
2 2 2^/2
d 2bb, „ r d (s' 4 1 / R ' )
m ^. V dm o • , T _/,-^ /2 m m m ' rad e d ' o'
siendo CT, la conductividad eléctrica del material que consti
d i ~
tuye los devanados y íf un factor que tiene en cuenta el au-

130. 122
mentó en las pérdidas que se px"oduce por dos causas í el efe£
to de piel en las ranuras, y la longitud, de las caberas de
bobina. El primero se puede estimar fácilmente, si suponemos
que dentro de las ranuras los conductores están apilados -
en capas de espesor o , que se puede suponer el mismo en am-
bos devanados. .£1 cualquier tratado especializado (ver poi"
ejemplo la referencia ^í-?. ) se da la solución de este pro-
blema j y el factor por el que se multiplican las perdidas
resulta, serí
1 4-
10^ h^ S'
óm : (h^ y> dm.
b en m„ )
cuando se trata de conductores de cobre (conductividad:
C. = ¿^'6.10 n~ m ~ ) y la frecuencia es la industrial;
50 ílz.
La longitud, de las cabezas de bobina la podemos estimar en
una semilongitud de onda, y teniendo en cuenta que en la ina^
yoría de los diseños prácticos, la sección de los conducto-
res fuera de las ranuras es doble de la interior, resulta -
finalmente la sip-uiente expresión para 2r j
m
T =
m
10« h^ S^
1 4 _ ™ . _ ^ _ _ „ 4. ni^bk
m

131. - Í23
En consecuencia, las pérdidas en ambos devanados valen:
= 8abL(r/E^/^ -. L ¡ r d^ (s'^-H/R'^)
1/2
1/22 2 ^/'==1
4 ?r d (s'^^+l/R'^)
n n n ' n J
(VII.7)
siendo :
m
m ^ u2 r2
10 h, á Yi
^
ilbk
^n i+bk
n
J
(h, , h, y en m,)
dm' dn
(VII.8)
Conviene señalar que en los cálculos que anteceden, no se
ha tenido en cuenta la influencia de las pérdidas en el -
hierro en la corriente de excitación, pero debido a los ba-
jos factores de potencia con los que se trabaja, este efecto
carece totalmente de importancia.
VII.1 c ) Pérdidas en el hierro
El efecto de piel en los conductores de los devanados, se de^
be al campo magnético que existe en el interior de las ranu-

132. - 12^
,fi::
ras a causa de la dispersión del flujo (fig. VII.l).
Además, la variación de la corriente en cada ranura con la
coordenada z, da lugar a que a lo largo del diente, la indu£
ción magnética no sea constante, sino qué varié desde el ex-
tremo hasta la raíz del mismo, a causa del flujo magnético
que se le aporta lateralmente. En las máquinas convenciona-
les este efecto no tiene gran importancia, pero en los con-
vertidores de inducción no se debe ignorar, pues debido a
que los entrehierros son mayores, la altura de los dientes
puede alcanzar valores considerables. Por esta razón, vamos
a analizar a continuación la distribución de la inducción -
magnética en los dientes»
Teniendo en cuenta que la intensidad total en una ranura,
cuyo valor modular viene dado por (VII.5), tiene una distri_
bución prácticamente uniforme, por ser c)-í^h , y tomando la
circulación del campo magnético a lo largo del camino de puti
tos en la fig. VII,1, se obtiene la componente Z de la indu£
ción magnética en el diente :
2ao-E {s'4j/R' )e"^^n»^r
Bz,dm-/o 'h^^^ r__ í^dm - '^ )
rra
(VII.9)
C dm

133. 125
La componente X se obtiene añadiendo al campo principal, el
de dispersión, que se puede calcular fácilmente integrando
desde O a x' la derivada cambiada de signo de (VII,9) res-
pecto de z, lo cual es admisible por ser IT <í^ o
^ ' "^ rm m
B
2a M Cf E
/ o c
X ,dm
}
jk (x'
,2
-jkm^~ )(s' + j/R» ) e^^^m-
2h , ^ m ^' m
dm
(VII. 10)
1-^ 1-^ ,
donde B y B , vienen dados por (VI.11).
om on
Ya que la energía disipada en cada unidad de volumen del ma-
terial magnético, por histéresis y corrientes de xFoucault,
es proporcional al cuadrado del valor máximo de la inducción
' (9 )magnética , nos interesa calcular el valor medio de esta
magnitud, a lo largo del diente.
El resultado es: '
h
dm
dm
7 B ^ /^ 4 /B ^ /^' x,dm' ' z ,dm'
d x ' =
= o ( s » 2 4 i / R . 2 j _ ^ ¿o o ( 3 » 2 ^ ^ ^ ^ , 2 ) ^ 2 2 _
ov-'^ m ' m .^>w2 m ' m m d m
V '7

134. - 126
8a/i cr/E / / B / 8a/< (T/E / / B / , . i^ , „
/ o ' o ' ' om' , . / o ' o on' k h , e o s (k - k ;z -k h - —ó"v /I vrñ"^ f" *^™ n m
3^(l-jfTiF~ m dm - 3^<l-fm^
8aftcr/E / / B / B B *
{" , ° ^ . °" s'íc h^ sen (k -k )z + h °"^ ° " eos (k -k )z 4
3 ^ ( 1 - ? ) m m d m n m í i _ r ) n m
/^
/B /^ /B /^
4 2 i-OiSi^ 4 2 - ^ S _ ^ (VII.ll)
De los términos que intervienen en (VII.ll), el ks. y el 5- y
el 62, carecen de interés, pues al integrar en la longitud
del convertidor desaparecen. El 12 es del orden de magnitud
2 2 2
de k a. fi veces el penúltimo, y se puede despreciar fren_
te a éste, si;nos limitamos al caso de pequeños entrehierros.
Por último, la suma del 22 y del 3- es del orden de magni-
tud de :
k^ a Ah, ( k ^ a B h , - 1 ) (VII, 12)
m j dm m I dra
veces el penúltimo, y es aqux donde interviene la limitación
que razonablemente se debe imponer a la altura de los dien-
tes del convertidor, para que las pérdidas en el hierro no
alcancen valores inadmisibles. De hecho, en los diseños prá£
ticos, la expresión (VII.12) toma unos valores que no supe-

135. - 127
ran generalmente a la unidad, en cuyo caso en el cálculo -
teórico de las pérdidas en el hierro se puede prescindir
de estos términos sin cometer errores importantes, debido
al reducido valor de estas pérdidas frente a las totales.
Dicho de otro modo, si imponemos la condición:
k ^ a /i h^ (k ^ aíih, - 1 ) -=; 1
m / dm ra ( dm
( V I I . 13)
2 2
k a A h^ (k a ft h^ - 1 ) ^ 1
n I dn n j dn
las pérdidas en los dientes se pueden calcular tomando sola-
mente los dos últimos términos de (VII.11), sin que los err£
res que se cometan se reflejen en forma apreciable en el va-
lor final del rendimiento. De acuerdo con este criterio, la
finalidad de la condición (VII.13)» más que la simplificación
de (VII,11), es la de conseguir que las pérdidas en el hie-
rro no aumenten desmesuradamente.
Por lo tanto, cuando se verifica (VII.13),y a los efectos -
del cálculo de las pérdidas en los dientes, supondremos que
el valor máximo de la inducción magnética en los mismos es
constante, y vale:

136. - 128
^I^JB. = TT-^ //B / ^ 4 / B / ^ = ,, ?, Jk ^4k ^ (VILÜ^)
d ,med (1-7) V om' ' on' u)(l-¿^) y m n
donde se han u t i l i z a d o l a s r e l a c i o n e s {VI.9) y ( V I , 1 1 ) .
Teniendo en cuenta ( V I I . l 4 ) , e s t a s p é r d i d a s r e s u l t a n f i n a l -
mente :
„ (1-r) /!, P. B^ , 2
SabLcr/E-/^ / •'^^ ^ ( 1l'"f ) (h^ 4h^ ) (VII. 15)
' o ' 2 a cr ^ / ü / ^ dm dn
donde P es la potencia en W. disipada en IKg. de hierro mag-
nético, sometido a una inducción alterna de frecuencia 50 Hz,
con un valor máximo de 1 T. , y P es la densidad de dicho
material.
Es interesante conocer además, el valor máximo de la induc-
ción magnética en ei diente más saturado, que de acuerdo con
los criterios anteriores, es:
/2/E /
B, = n—TT (k 4 k ) (VII.16)
d uj{,l-n m n

137. - 129
Si queremos obtener las pérdidas en el hierro en su totali-
dad, tenemos que añadir a (VII.15) la aportación correspon-
diente a los yugos. En una sección z = z de uno de estos,
la inducción magnética media es:
J _ ͣ- (e-J^m^o 4 e - J V o ) (VII.17 )
como se deduce fácilmente de la relación (IV,if). El cuadra-,
do de su valor máximo resulta:
^—x (1 + eos (k -k ) z ) (VI-I.18)
^2 2 / ^ n m' o
hm
y las pérdidas en los yugos:
2
J F e ^ h
8a.hLcr/Ej^ -^^^^^ ( - ^ 4 ri-) ( V l l . 19 )
o 2 'h^ h^
a era; hm hn
Comparando esta última expresión con (VII.15)» se deduce
que si :
^hm»7, ,, 2 i:^d,med,2. ^ (VII.20)
(i-pcj-(~^^f^rh dm

138. Í30
h-:^———_-.JL,™.™_^ {VII. 20')
/ < v^ 2 j, d .mea , ¿.
se puede despreciar la aportación de los yugos a las pérdi-
das en el hierro. En la práctica, las áesig;ualda.de3 {VXIr,2ü)
y (VlXc20') se cumplen siempre j y además aseguran que la in_
ducción liíignetica no toma valores excesivos en aqueilos»
Por tanto, en el cálculo del rendimiento tomaremos para las
pérdidas en el hierro P , el valor (V11.15)s con la limita-
ción (Vilo 13),
De un examen de las expresiones que dan las perdidas en los
devanados y las pérdidas en el hierro, se deduce inmediata,-
mente que en cada núcleo magnético existe un valor óptimo -
de la altura de los dienteSf para el cual la suma de dichas
pérdidas es mxnirria» En efecto, según (VI1»6) las densidades
de corriente que figuran en (VTIe?) son inversamente propo£
clónales a las respectivas alturas de diente. Por tanto, la
parte de P, en la que no xnter'-iene el efecto de piel es
d
asimismo inversamente proporcional a éstas, mientras que la
parte restante, y P son. directamente proporcionales a
ellas»
Dichos valores óptimos sons

139. - 1 3 1
dm,opt
2aO'f w •? •?
/• m
2aCff
h ^
- ( 1 + i | ¿ - ) (s;;^ 4 1 / R ; ; ^ ) ( v i i . 2 1 »
d n . o p t J^ao-f^ j^,8r2 ^ „ ( 1 - ^ ) / ^ , P. B, _ . , 2
^ < ^ ;
- ^ ( s ' 2 4 1/R'^) 4 i ^ - ü ^ ^ ( ^ ^ # f ¿ ) '
9 ^ n * ' n ' 2 a o- ^ / E j '
V I I . l d ) P é r d i d a s h i d r á u l i c a s
La t e n s i ó n t a n g e n c i a l en l a s p a r e d e s d e l conducto es ' '
2 5 ) .
r^ = 4 r - F - / - ^ (VII. 22;
donde ^es la densidad del fluido y f el coeficiente de fri£
ción de Darcy-Weisbach, que viene dado por la fig. II.1.
Las pérdidas hidráulicas se obtienen fácilmente de (VII.22),
teniendo en cuenta (VI.5) y resultan: