Preposiciones alvimar vargas materia Estructura discreta Profesor Domingo Mendez

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPTO. DE PROGRAMACIÒN
CABUDARE. EDO. LARA
Preposiones
Integrante:
Alvimar Vargas
CI: 23849955
Materia: Estructura Discreta
Cabudare, 2013

2. Proposiciones: es un enunciado cuyo contenido está sujeto a ser calificado
como verdadero o falso, pero no ambas cosas a la vez.
Ejemplos:
Los siguientes enunciados son proposiciones
Los estudiantes de la UFT son aplicados (Verdadero)
El hidrogeno es un gas (Verdadero)
Barquisimeto es un estado (Falso)
Todo estudiante es universitario (Falso)
Los siguientes enunciados no son proposiciones
¿Cómo te llamas?
No corras, el país te necesita
¡Estudie!
¿Qué hora es?
Las proposiciones se notaran con letras minúsculas p, q, r, s, t, puesto que las
letras mayúsculas las usaremos para denotar los conjuntos.
P: La matemática es una ciencia.
q: 2 es un número impar.
Valor lógico de una proposición la cual denotaremos por VL, al valor 1 si la
proposición es verdadera, y 0 si es falsa. Como por ejemplo las proposiciones
anteriores:
Podemos decir que VL (P)=1, VL (q)=0.
2 .Operaciones Veritativas
Los Conectivos u Operadores Lógicos son símbolos o conectivos que nos
permiten construir otras promociones; o simplemente unir dos o más
proposiciones, a partir de proposiciones dadas.
Cuando una proposición no contiene conectivos lógicos diremos que es una
proposición atómica o simple; y en el caso contrario, diremos que es una
proposición molecular o compuesta.
Ejemplos de Proposiciones Atómicas
-Coro es un municipio de Miranda.
-Los estudiantes de UFT son aplicados.
-El oxígeno es un gas.

3. A continuación daremos una tabla de los conectivos que se usarán y la
operación que se realiza con cada uno de ellos para formar nuevas proposiciones.
Estas operaciones son llamadas operaciones veritativas. Aquí g y t representan
dos proposiciones cualesquiera.
3 .Conectivos lógicos: La negación
Sea p una proposición, la negación de p es otra proposición identificada por: ~ p,
que se lee "no p", "no es cierto que p", "es falso que p", y cuyo valor lógico está
dado por la negación de dicha proposición.
La tabla anterior dice, que ~ p es falsa cuando p es verdadera y que ~ p es
verdadera cuando p es falsa. Este mismo resultado lo podemos expresar en forma
analítica mediante la siguiente igualdad:
VL (p)= 1- VL (~ p)

4. En efecto
Si VL (~ p) = 1, entonces VL (p) = 1 - VL (~ p) = 1-1 = 0
Si VL (~ p) = 0, entonces VL (p) = 1 - VL (~ p) = 1- 0 = 1
Ejemplo
Si p es la proposición
P: Barcelona es un estado Oriental.
Entonces su negación se puede expresar de tres formas:
~ p: Es falso que Barcelona es un estado Oriental.
~ p: No es cierto que Barcelona sea un estado Oriental.
~ p: Barcelona no es un estado Oriental.
~ p: De ninguna manera Barcelona es un estado Oriental.
La tabla anterior dice, que ~ p es falsa cuando p es verdadera y que ~ p es
verdadera cuando p es falsa. Este mismo resultado lo podemos expresar en forma
analítica mediante la siguiente igualdad:
VL (p)= 1- VL (~ p)
En efecto
Si VL (~ p) = 1, entonces VL (p) = 1 - VL (~ p) = 1-1 = 0
Si VL (~ p) = 0, entonces VL (p) = 1 - VL (~ p) = 1- 0 = 1
Ejemplo
Si p es la proposición
P: Barcelona es un estado Oriental.
Entonces su negación se puede expresar de tres formas:
~ p: Es falso que Barcelona es un estado Oriental.
~ p: No es cierto que Barcelona sea un estado Oriental.
~ p: Barcelona no es un estado Oriental.
~ p: De ninguna manera Barcelona es un estado Oriental.

5. 4 .La conjunción
Definición: Sean p y q dos proposiciones. La conjunción de p y q es la
proposición p Ù q, que se lee "p y q", y cuyo valor lógico está dado con la tabla o
igualdad siguiente:
VL (p^q) = min (VL(p), VL(q)) en otras palabras el menor valor de los números
dados.
Ejemplo
Si, p: El Negro Primero peleó en Carabobo.
q: Bolívar murió en Colombia.
r: Miranda nació en Coro.
Entonces
1. p ^ q: El Negro Primero peleó en Carabobo y Bolívar murió en Colombia.
Además, VL (p ^ q) = 1, ya que VL (p)= 1 y VL (q)= 1.
2. q ^ r: Bolívar murió en Colombia y Miranda nació en Coro.
Además, VL (q ^ r) = 0, ya que VL (q)= 1 y VL(r)= 0.

6. 5 .La disyunción inclusiva
Definición: Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es la
proposición p vq, que se lee "p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla
siguiente:
VL (pvq)=máximo valor (VL (p), VL (q)).
Ejemplo
Si p: La estatua de la Divina Pastora está en Barquisimeto.
q: La estatua de Miranda está en Caracas.
r: El Chorro de Milla está en Carabobo.
Entonces
1. p v q: La estatua de la Divina Pastora está en Barquisimeto o La estatua de
Miranda está en Caracas.
VL(pvq)=1, ya que VL(p)=1 y VL(q) = 0.
b. q v r: La estatua de Miranda está en Caracas o El chorro de Milla está en
Carabobo.
VL(q v r)= 0, ya que VL(q)= 0 y VL(r) = 0.
Ya hemos vistos dos de los conectivos más usados como lo son la conjunción y
la disyunción, pero pudiéramos tener una proposición con combinación de ambos
conectivos, de las cuales existen dos que reciben un nombre especial como son las
formas normales, que se clasifican en normal conjuntiva y normal disyuntiva.
6 .La disyunción exclusiva: Sean p y q dos proposiciones. La disyunción
exclusiva de p y q es la proposición p vq, que se lee "o p o q", y cuyo valor lógico
está dado por la tabla. En otras palabras, la disyunción exclusiva es falsa sólo
cuando los valores de p y q son iguales.
VL(pv q) = 0 si VL (p) = VL ( q ).

7. Ejemplo
Si, p: 17 es un número primo.
q: 17 es un número par.
r: 17 es mayor que 2.
Entonces1.p v q: ó 17 es un número primo ó 17 es un número par VL(p v q) = 1,
ya que
VL(p) = 1 y VL(q) = 0.
p v r: ó 17 es un número primo ó 17 es mayor que 2 VL(p Ú r) = 0, ya que VL(p)
= 1 y VL(r) = 1
7 .El condicional: Sean p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente
p y consecuente q es la proposición p ® q, que se lee "si p, entonces q", y cuyo
valor lógico está dado por la siguiente tabla:
Ejemplo
a. Observe las proposiciones condicionales siguientes:
1. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).
2. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Falsa).
3. Si 6 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).
4. Si 6 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Verdadera).
Condición Necesaria y Condición Suficiente
Así el condicional A ® C puede ser leído de las siguientes maneras:
1. Si A entonces C
2. C es condición necesaria para A
3. Una condición necesaria para A es C
4. A es condición suficiente para C
5. Una condición suficiente para C es A
Solución
a) c ®t
b) c ® r c) t ® d
d) (r ^ t) ®c .
Condicionales Asociados
Dado un condicional p®q podemos asociarles los siguientes condicionales:

8. 1. Directo: p ®q
2. Recíproco: q ®p
3. Contrarrecíproco: ~ q ® ~ p
4. Contrario: ~ p ® ~ q
Ejemplo
Escribir el recíproco, contrarrecíproco y contrario del siguiente condicional: Si
5 es primo entonces 7 es impar.
Solución
* Recíproco: Si 7 es impar entonces 5 es primo.
* Contrario: Si 5 no es primo entonces 7 no es impar.
* Contrarrecíproco: Si 7 no es impar entonces 5 no es primo.
8 .El Bicondicional: Sean p y q dos proposiciones. Se llama Bicondicional de p y
q, a la proposición p « q, que se lee "p si sólo si q", o "p es condición necesaria y
suficiente para q", y cuyo valor lógico es dado por la siguiente tabla.
p
q
P q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1

9. o en otras palabras el VL (P « q ) = 1 si VL (p) = VL (q)
La tabla nos dice que p « q es verdadero cuando VL(p) = VL(q), y esa falsa
cuando VL(p) ¹ VL(q)
Ejemplo Nº 2. Construir la "Tabla de Verdad" para las proposiciones dadas:
(p® q) Ù ~ (p ® r)
Solución
(p ® q) Ù ~ (p ® r)
111
111
100
100
011
011
010
010
0
1
0
0
0
0
0
0
0111
1100
0111
1100
0011
0010
0011
0010
9 .Tablas de Verdad de las formas proposicionales: Las tablas de verdad
permiten determinar el valor de verdad de una proposición compuesta y depende
de las proposiciones simples y de los operadores que contengan.
Para una proposición (n = 1), tenemos 21 = 2 combinaciones
Para dos proposiciones (n = 2), tenemos 22 = 4 combinaciones
Para tres proposiciones (n = 3), tenemos 2 3 = 8 combinaciones
Para n proposiciones tenemos 2n combinaciones
Ejemplo: dado el siguiente esquema molecular, construir su tabla de valores de
verdad:
Pasos para construir la tabla:
(p  q)  (p r)
1. Determinamos sus valores de verdad 2 3 = 8 combinaciones
2. Determinamos las combinaciones:
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F

10. 3.
Adjuntamos a éste cuadro el esquema molecular y colocamos debajo de
cada una de las variables sus valores de verdad:
p
q
r
( p

q )

(p

r )
V
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
V
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
(4)
(6)
(5)
10 .Tautologias y Contradicciones
Proposición Tautológica o Tautología: Es aquella proposición molecular que es
verdadera (es decir, todos los valores de verdad que aparecen en su tabla de
verdad son 1) independientemente de los valores de sus variables.
Ejemplo: Probar que P Ú ~ P es una tautología
PÚ~P
110
011
Contradicción: Es aquella proposición molecular que siempre es falsa (es decir
cuando los valores de verdad que aparecen en su tabla de verdad son todos 0)
independientemente de los valores de sus variables proposicionales que la
forman.
Ejemplo: Probar que p Ù ~ p es una contradicción
pÙ~p
1 0 0
0 0 1

11. 11 .Leyes del Algebra de Proposiciones:
1. Leyes Idempotentes
1.1. pÚ p º p
1.2. pÙ p º p
2. Leyes Asociativas
2.1. (P Ú q) Ú r º p Ú (q Ú r)
2.2. (P Ù q) Ù r º p Ù (q Ù r)
3. Leyes Conmutativas
3.1. P Ú q º q Ú p
3.2. P Ù q º q Ù p
4. Leyes Distributivas
4.1. P Ú ( q Ù r ) º ( p Ú q ) Ù (p Ú r)
4.2. P Ù ( q Ú r ) º ( p Ù q ) Ú (p Ù r)
5. Leyes de Identidad
5.1. P Ú F º P
5.2. P Ù F º F
5.3. P Ú V º V
5.4. P Ù V º P
6. Leyes de Complementación
6.1. P Ú ~ P º V (tercio excluido)
6.2. P Ù ~ P º F (contradicción)
6.3. ~ ~ P º P (doble negación)
6.4. ~ V º F, ~ F º V
7. Leyes De Morgan
7.1. ~ ( P Ú q ) º ~ P Ù ~ q
7.2. ~ ( P Ù q ) º ~ P Ú ~ q
Definición: Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice que A Implica
Lógicamente a B, o simplemente A implica a B, y se escribe:
AÞ B si el condicional A® B es una tautología
Razonamientos
Definición: Un razonamiento o una inferencia es la aseveración de que una
proposición, llamada conclusión es consecuencia de otras proposiciones dadas
llamadas premisas.

12. Forma Proposicional de un Razonamiento
Un razonamiento con premisas P1, P2, P3, P4, & .., Pn y conclusión C lo
escribiremos en forma proposicional como:
P1,P2,P3…. Pn