Este documento presenta una introducción a los modelos matemáticos utilizados en dinámica de fluidos. Explica las ecuaciones hidrodinámicas fundamentales como la conservación de masa y momentum, así como ecuaciones específicas como las de Euler, Bernoulli y las ecuaciones 2D y 1D. Además, cubre temas como los modelos para flujo turbulento RANS y las clasificaciones de los modelos matemáticos.

1. MODELOS MATEMATICOS EN DINAMICA DE
FLUIDOS
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez
Universidad Mayor de San Simon
Facultad de Ciencias y Tecnologia - Diplomado en Gestión del Agua
marceloheredia.g@fcyt.umss.edu.bo
March 27, 2022
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 1 / 37

2. Contenido
1 Introduccion
2 Ecuaciones Hidrodinámicas
3 Ecuaciones para Flujo Turbulento - RANS
4 Ecuación de Euler
5 Ecuación de Bernoulli
6 Ecuaciones Hidrodinámicas 2DH
7 Ecuaciones hidrodinámicas 1D
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 2 / 37

3. INTRODUCCION
Modelo matemático
Modelo numérico
Resultados esperados
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 3 / 37

4. ECUACIONES HIDRODINAMICAS
Ecuaciones hidrodinámicas
El modelo matemático de flujo está constituido por un grupo de
ecuaciones matemáticas que explican el comportamiento hidrodinámico.
Son derivadas de la concepción clásica de la conservación de masa y de
momentum.
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 4 / 37

5. Espacio Dimensional
Para definir de manera adecuada el sistema de ecuaciones gobernantes es
necesario establecer el espacio dimensional y el sistema de coordenadas
bajo el cual se desarrolla el fenómeno del flujo.
El plano horizontal queda definido por los ejes coordenados (x, y)
El eje coordenado z, como eje vertical; va a definir la dirección de la
aceleración de la gravedad
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 5 / 37

6. Conservación de Masa
Uno de los elementos más importantes en el estudio del flujo de un fluido,
es la hipótesis de conservación de masa, la cual permanece constante
durante el fenómeno del flujo sin que existan variaciones.
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 6 / 37

7. Conservación de Masa
Asumiendo que el fluido es incompresible, se establece de esta manera que
la densidad es constante en el fluido (ρ=constante)
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 7 / 37

8. Conservación de Masa
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 8 / 37

9. Conservación de Momentum
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 9 / 37

10. Conservación de Momentum
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 10 / 37

11. Conservación de Momentum
Las fuerzas de cuerpo son fuerzas que actúan sobre el volumen o masa del
elemento de fluido (gravedad) y las fuerzas superficiales actúan en las
superficies
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 11 / 37

12. Conservación de Momentum
Las fuerzas superficiales consisten en fuerzas normales a la superficie
(presión) y fuerzas tangenciales a la superficie (corte)
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 12 / 37

13. Conservación de Momentum
Aplicando estos esfuerzos a la ecuación de Newton, se obtienen las
ecuaciones de conservación de momentum, denominadas ecuaciones de
Navier-Stokes para fluidos incompresibles.
∂u
∂t
+ u
∂u
∂x
+ v
∂u
∂y
+ w
∂u
∂z
= −
1
ρ
∂P
∂x
+
1
ρ
∂τxx
∂x
+
∂τxy
∂y
+
∂τxz
∂z
(1)
∂v
∂t
+ u
∂v
∂x
+ v
∂v
∂y
+ w
∂v
∂z
= −
1
ρ
∂P
∂y
+
1
ρ
∂τyx
∂x
+
∂τyy
∂y
+
∂τyz
∂z
(2)
∂w
∂t
+ u
∂w
∂x
+ v
∂w
∂y
+ w
∂w
∂z
= −
1
ρ
∂P
∂z
+
1
ρ
∂τzx
∂x
+
∂τzy
∂y
+
∂τzz
∂z
− g (3)
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 13 / 37

14. Conservación de Momentum
Según la definición de la ”Hipótesis de Stokes”, los esfuerzos debidos a la
viscosidad del fluido se definen según las siguientes expresiones:
Donde ν es la viscosidad cinemática
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 14 / 37

15. Conservación de Momentum
Aplicando las definiciones de Stokes, se tiene que:
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 15 / 37

16. ECUACIONES PARA FLUJO TURBULENTO - RANS
Las ecuaciones de Navier-Stokes son adaptadas para flujo turbulento,
dando lugar a las ecuaciones RANS:
Reynolds Averaged Navier-Stokes
1 Para flujo turbulento, caracterizado por fluctuaciones de
velocidad muy rápidas, las ecuaciones de Navier-Stokes son
validas.
2 Las variables P, u, v y w; son los valores momentáneos de la
presión y de los componentes de velocidad.
3 Si fuera posible integrar estas ecuaciones teniendo en cuenta las
condiciones de borde, los resultados no serı́an muy útiles, además
de que su calculo seria muy difı́cil
4 Generalmente no es de interés los detalles de fluctuación del
movimiento turbulento, por lo que se toma una aproximación de
tipo estadı́stico.
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 16 / 37

17. Ecuaciones para Flujo Turbulento
Reynolds desarrolló un experimento para el estudio del flujo turbulento:
Donde se define el Número de Reynolds como parámetro para la
determinación del grado de turbulencia de un flujo. el número de Reynolds
al flujo a superficie libre, se presentan los siguientes lı́mites:
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 17 / 37

18. Ecuaciones para Flujo Turbulento
Para la aproximación estadı́stica, los valores de velocidad instantáneos son
separados en cantidades medias y de fluctuación
Donde los valores medios pueden ser determinados promediando sobre el
tiempo en un punto sobre el espacio, y el valor prima denota las
desviaciones de la media o fluctuaciones.
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 18 / 37

19. Ecuaciones para Flujo Turbulento
Las cantidades promediadas sobre el tiempo se definen como:
Donde el tiempo promedio es grande comparado con la escala de tiempo
del movimiento turbulento, de esta definición también se puede concluir
que las fluctuaciones tendrán un valor promedio igual a cero
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 19 / 37

20. Ecuaciones para Flujo Turbulento
Aplicando los términos promediados a las Ecuaciones de Navier-Stokes se
obtienen las ecuaciones de Reynolds para flujo turbulento (RANS):
∂ū
∂t
+ ū
∂ū
∂x
+ v̄
∂ū
∂y
+ w̄
∂ū
∂z
= −
1
ρ
∂P
∂x
+
1
ρ
∂τxx
∂x
+
∂τxy
∂y
+
∂τxz
∂z
(4)
∂v̄
∂t
+ ū
∂v̄
∂x
+ v̄
∂v̄
∂y
+ w̄
∂v̄
∂z
= −
1
ρ
∂P
∂y
+
1
ρ
∂τyx
∂x
+
∂τyy
∂y
+
∂τyz
∂z
(5)
∂w̄
∂t
+ ū
∂w̄
∂x
+ v̄
∂w̄
∂y
+ w̄
∂w̄
∂z
= −
1
ρ
∂P
∂z
+
1
ρ
∂τzx
∂x
+
∂τzy
∂y
+
∂τzz
∂z
− g (6)
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 20 / 37

21. Ecuaciones para Flujo Turbulento
Donde los términos de las fuerzas de corte consideran las fuerzas
producidas como efecto de la turbulencia
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 21 / 37

22. Clasificaciones
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 22 / 37

23. ECUACION DE EULER
Euler (1707 – 1783) propone una ecuación para fluidos sin viscosidad,
donde la fuerza de gravedad y la presión son las únicas fuerzas existentes:
∂u
∂t
+ u
∂u
∂x
+ v
∂u
∂y
+ w
∂u
∂z
= −
1
ρ
∂P
∂x
(7)
∂v
∂t
+ u
∂v
∂x
+ v
∂v
∂y
+ w
∂v
∂z
= −
1
ρ
∂P
∂y
(8)
∂w
∂t
+ u
∂w
∂x
+ v
∂w
∂y
+ w
∂w
∂z
= −
1
ρ
∂P
∂z
− g (9)
Estas ecuaciones se utilizan cuando la viscosidad del fluido no es
importante, esto se observa en zonas alejadas de paredes o bordes
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 23 / 37

24. ECUACION DE BERNOULLI
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 24 / 37

25. ECUACION DE BERNOULLI
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 25 / 37

26. ECUACIONES HIDRODINAMICAS 2DH
Las ecuaciones de flujo 2DH (altura-promedio); se constituyen en el
modelo matemático para la modelación del flujo en el plano horizontal.
Estas ecuaciones son obtenidas mediante un proceso de integración
vertical de las ecuaciones de Reynolds y de la ecuación de continuidad
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 26 / 37

27. Ecuación de Continuidad Altura-Promedio
La ecuación de continuidad para el flujo 2DH, es obtenida mediante la
integración de la ecuación de continuidad sobre la altura del flujo.
Z zb+H
zb
∂u
∂x
+
∂v
∂y
+
∂w
∂z
dz = 0 (10)
Del proceso de integración se asume que el lecho es rı́gido
∂
∂x
Z zb+H
zb
udz +
∂
∂y
Z zb+H
zb
vdz +
∂z
∂t
= 0 (11)
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 27 / 37

28. Ecuación de Continuidad Altura-Promedio
Es posible apreciar que los términos correspondientes a las integrales son
definidos como los componentes de la velocidad altura-promedio, de donde
se origina el nombre de las ecuaciones del modelo.
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 28 / 37

29. Ecuación de Continuidad Altura-Promedio
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 29 / 37

30. Ecuación de Momentum Altura-Promedio
Para la integración de las ecuaciones de conservación de momentum, se
asume que la aceleración vertical del fluido es insignificante, lo cual
conduce a que la aceleración debida a la gravedad sea balanceada por la
gradiente de presiones, lo que conduce a una distribución de presiones
hidrostática
∂P
∂z
= −ρg (12)
Integrando las ecuaciones de momentum en las direcciones x, y; y
verificando algunas operaciones matemáticas, simplificando los términos
no lineales, se obtienen las ecuaciones de conservación de momentum para
las direcciones x-y.
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 30 / 37

31. Ecuación de Momentum Altura-Promedio
Las ecuaciones de momentum altura-promedio quedan definidas por:
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 31 / 37

32. Ecuación de Momentum Altura-Promedio
Los primeros 3 términos corresponden a la aceleración temporal y
convectiva
Los términos 4 y 5, representan la fuerza de presión debida a la
gradiente a la superficie del agua
El sexto término representa la fuerza de Coriolis, la cual representa el
efecto de la rotación de la Tierra.
El séptimo término representa el esfuerzo debido a la fricción en el
lecho.
El octavo término representa el esfuerzo debido a la fricción en la
superficie debido a los efectos del viento sobre el agua.
El noveno y décimo términos, representan los efectos combinados de
los esfuerzos que se generan debido a la viscosidad molecular y a la
turbulencia
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 32 / 37

33. ECUACIONES HIDRODINAMICAS 1D
En el caso de flujo unidimensional se asume que las velocidades
transversales y verticales son despreciables. Además que otras fuerzas
adicionales también son despreciables
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 33 / 37

34. Ecuación de Continuidad 1D
Integrando la ecuación de continuidad 2DH en la dirección transversal, se
obtiene la ecuación de continuidad para el flujo unidimensional:
∂A
∂t
+
∂Q
∂x
= 0 (13)
Diferenciando el primer término se obtiene que:
B
∂zw
∂t
+
∂Q
∂x
= 0 (14)
El ancho B está medido entre las orillas y se denomina ”ancho de
almacenamiento”. zw es el nivel del flujo.
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 34 / 37

35. Ecuación de Momentum 1D
Integrando la ecuación de momentum a lo largo de la sección transversal,
se obtiene la ecuación de flujo unidimensional
dQ
dt
+
d
dx
α
Q2
A
+ gA
dzs
dx
+
P
ρ
τb = 0 (15)
Donde
Q = caudal
A = área de la sección transversal
zs = nivel del agua por encima de un plano horizontal
P = perı́metro mojado de la sección transversal
τb = esfuerzo de corte en el lecho
α = coeficiente de corrección debido a la integración
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 35 / 37

36. Definiciones
Se han definido los modelos matemáticos en 3D, 2DH y 1D
Los modelos matemáticos hidrodinámicos están compuestos por las
ecuaciones de continuidad y de momentum
La ecuación de continuidad es derivada a partir de la conservación de
masa
Las ecuaciones de momentum se derivan a partir de la 2da Ley de
Newton
Para aplicaciones prácticas se hace uso de las ecuaciones RANS, las
cuales incluyen a la turbulencia
Estas ecuaciones van ser resueltas aplicando métodos numéricos
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 36 / 37

37. ...Proxima clase
Introdución a los métodos numéricos
Dr. Ing. Marcelo Heredia Gómez (UMSS) Diplomado en Gestión del Agua March 27, 2022 37 / 37