Ecuac fundam hidr.ppt

69.01 Hidráulica General
Presentación de las
Ecuaciones Fundamentales
de la Hidráulica
Realizado por
Ing. Alejandro Norberto Pardo
Facultad de Ingeniería - Universidad de Buenos Aires (FIUBA)
Departamento de Hidráulica

4 Ecuaciones Fundamentales de la Hidráulica
Ecuaciones de Estado
Ecuación de Continuidad
Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier-Stokes)
Ecuación de la Acción Dinámica (Cantidad de Movimiento)
1
2
3
4

Las ecuaciones, en general, de estado vinculan la presión absoluta, el volumen
específico y la temperatura absoluta. En la hidráulica los procesos son isotérmicos,
por lo que la temperatura deja de ser una variable.
Ecuación de estado de un líquido en función del volumen
Ecuación de estado de un líquido en función de r
coeficiente de compresibilidad volumétrica.

  
f i f i
p p
    
( ( ))
1 por diferencias finitas
r r 
f i f i
p p
    
( ( ))
1 por diferencias finitas
En la práctica :
  
f i
p p
e f i
 
  
( )
por integración
r r

f i
p p
e f i
 
 
( )
por integración
Fluído Ideal Medio contínuo de viscosidad nula - m=0
Líquido Perfecto Fluído Ideal + Incompresible r = cte
Ec. Estado

1
2
3
4
Vinculan la presión abs., el volumen esp. y la temperatura abs. Líquido Perfecto
r = cte
Ec. Estado

Principio de Conservación de la Masa
Ecuación de Continuidad en un punto : ( )
m m m
saliente entrante i
  
 0
miinicial
mifinal
mentrante
msaliente
 

    


    
( )
r r
v
dy dx dz dt
t
dt dx dy dz
y
0
r
r
r r
r
r
    
 

             


        
v dx dz dt
v
dy dx dz dt v dx dz dt dx dy dz
t
dt dx dy dz dx dy dz
( )
y
0
Análisis según el eje y
Simplificando (según el eje y)
Extendiendo a los demás ejes y eliminando los diferenciales
 


 


 





( ) ( ) ( )
r r r r
u v w
t
x y z
0 div V
t
( )
r
r
 




0
o bien
Cant. neta masa que atraviesa
sup. vol. de control en la
unidad de tiempo
Var.masa contenida en
vol. de control en
unidad de tiempo
+ =0
div V
t
( )
r
r
 




0
( )
m m m
saliente entrante i
  
 0
Si r=cte  0
)
( 
V
div (Cond. de Compresibilidad)

Ecuación de Continuidad en un punto :
Cant. neta masa que atraviesa
sup. vol. de control en la
unidad de tiempo
Var.masa contenida en
vol. de control en
unidad de tiempo
+ =0
Ecuación de Continuidad en un Tubo de Corriente
div V
t
( )
r
r
 




0
( )
m m m
saliente entrante i
  
 0
Ecuación Continuidad
para una vena liquida compresible
y mov. con impermanencia total
  


  

 
 


( ) ( ) ( )
r r r
U
l
U
t
dt
dl t
  
0
Simplificaciones
Aporte de M
en el tiempo
Balance M.
en el tiempo
• Si fluido incompresible (r=cte)
• Si mentrante no varía con t :
• Si r=cte y Q no varía respecto del tiempo, ni del recorrido:
 


 

 



( ) ( ) ( )
U
l
U
t
dt
dl t
  
0


 .
U
cte
Q
  


 


( ) ( )
r r
U
l t
 
0
Si r=cte  0
)
( 
V
div (Cond. de Compresibilidad)
dl
mi
me
ms


Aporte de M
en el recorrido

Ecuación de la Acción Dinámica (Conservación de la Cantidad de Movimiento)
1
2
3
4
Ecuación de Continuidad en un punto
div V
t
( )
r
r
 




0
( )
m m m
saliente entrante i
  
 0
Extensión Ec. Cont. a un Tubo de Corriente
  
    
    
 
( ) ( ) ( )
r r r
U
l
U
t
dt
dl t
   0
r = cte
Ec. Estado

Ecuación de Equilibrio Dinámico (Navier - Stokes)
Ecuación de Equilibrio Dinámico de las Fuerzas F F F F F F
m p E i
     
m  0
No se tienen en cuenta las fuerzas elásticas (fluido incompresible, r=cte), ni las fuerzas
debidas a energía superficial.
F F F F
m p i
   
m 0
   

 
F F F F m
V
t
grad
V
rot V V
m p i
    


  
m [ ( ) ( ) ]
2
2
Fuerzas de masa debido a las acciones exteriores _ Fm
• Se considera la acción del campo gravitatorio.
• Son proporcionales al volumen y se suponen aplicadas en
el centro de gravedad
• Se considera un elemento fluido de dim. diferenciales, siendo
X, Y, Z las fuerzas de masa por unidad de masa.
r   
X dx dy dz
r   
Y dx dy dz
r   
Z dx dy dz
Fuerzas debido a la viscosidad _ Fm
• Son fuerzas de superficie.
• Se considera caso gral. velocidades según dos ejes.
 m
x
w
y
v
z
 





( )  m
y
u
z
w
x
 





( )  m
z
u
y
v
x
 





( )

Ecuación de Equilibrio Dinámico de las Fuerzas F F F F F F
m p E i
     
m  0
No se tienen en cuenta las fuerzas elásticas (fluido incompresible, r=cte), ni las fuerzas
debidas a energía superficial.
F F F F
m p i
   
m 0
   

 
F F F F m
V
t
grad
V
rot V V
m p i
    


  
m [ ( ) ( ) ]
2
2
Fuerzas de masa debido a las acciones exteriores _ Fm
Fuerzas debido a la viscosidad _ Fm
r   
X dx dy dz.......
 m
x
w
y
v
z
 





( ).......
Fuerzas de presión _ Fp
• Son fuerzas de superficie.
• La presión es proporcional a la velocidad de deformación
lineal
• Se considera que un alargamiento según un eje provoca
una contracción según los otros dos.
px p
u
x
   


2 m
py p
v
y
   


2 m
pz p
w
z
   


2 m

Ecuación de equilibrio dinámico según el eje y-y :
r r
 
    


   


   


       
Y dx dy dz
y
dx dy dz
z
dx dy dz
x
dx dy dz dx dy dz
py x z ay
r r
m m m
 




 







 







 
  
Y
y
v
y z
w
y
v
z x
u
y
v
x
p ay
( ) ( ) ( )
2
r r
m m m
 





 

 





 



 
 
Y
y
v
y
w
z y
v
z
u
x y
v
x
p
ay
2
2
2
2 2
2
2 2
2
[ ] ]
[
r r
m
 


 



















 
Y
y
v
x
v
y
v
z y
u
x
v
y
w
z
p
ay
[( ) ( )]
2
2
2
2
2
2
r r
 
 








 
Y
y z x
py x z ay
Reeplazando :
Operando :
2
v div V
( )
  
F grad p V grad div V a
      
1 2
r

( ) [ ( ( ))]
 

 
F grad p V
V
t
grad
V
rot V V
    


  
1 2
2
2
r

( ) ( ) ( )
En forma vectorial :
Se ha considerado al fluido incompresible (r=cte) y según Ec. de Continuidad div(V)=0 :
Y
y y
div V
p
v ay
 


   


 
1 2
r
m
r
r
[ ( ( ))]

Simplificaciones :
 

 
F grad p V
V
t
grad
V
rot V V
    


  
1 2
2
2
r

( ) ( ) ( )


g grad p
V
t
grad
V
  



1
2
2
r
( ) ( )
• Se considera al fluido en reposo (V=0) => Ec. de CLAIREAUT

g grad p
  
1
0
r
( )   



g
p
z
1
0
r
Si se calcula el trabajo de las fuerzas
z
p
cte
 

Ec. Fund. Hidrostática
( ( ))
 
g grad p dl
   
1
0
r
Ecuación
CLAIREAUT
    
g dz dp
1
0
r
Ecuación escalar
• Se aplica al fluido perfecto, no viscoso (m=0), con movimiento irrotacional (rot(V)=0)
y se considera de las fuerzas de masa, solo la gravitatoria F=(0,0,-g) :

Simplificaciones :
• Se aplica al fluido perfecto, no viscoso (m=0), con movimiento irrotacional (rot(V)=0)
y se considera de las fuerzas de masa, solo la gravitatoria F=(0,0,-g) :
 

 
F grad p V
V
t
grad
V
rot V V
    


  
1 2
2
2
r

( ) ( ) ( )


g grad p
V
t
grad
V
  



1
2
2
r
( ) ( )
• Si se considera mov. permanente (dV/dt=0) => Ec. de EULER

g grad p grad
V
  
1
2
2
r
( ) ( )
Integración de la Ec. de EULER => EC. de BERNOULLI

Ecuación de BERNOULLI
Se plantea el trabajo de las fuerzas : ( ( )) ( )
  
g grad p dl grad
V
dl
    
1
2
2
r
     
g dz dp dV
1 1
2
2
r
• Fluido perfecto r=cte.
• Fluido no viscoso m=0.
• Mov. irrotacional rot(V)=0.
• Fuerzas de masa, solo la
gravitatoria F=(0,0,-g).
• Mov. Permanente dV/dt=0.
Escalarmente :
Operando se obtiene un diferencial de trabajo por unidad de peso :
d
p V
g
z
( )
 



2
2
0
Indica que el trabajo
total realizado es
nulo
La energía es constante
a lo largo del recorrido dl
z
p V
g
cte
 



2
2
Ec. de BERNOULLI en la
Línea de corriente

 

 
F grad p V
V
t
grad
V
rot V V
    


  
1 2
2
2
r

( ) ( ) ( )
Ecuación de
Navier - Stokes
Un concepto importante...
Se le aplica, ademas, la acción del campo gravitacional terrestre => F=(0,0,-g). Operando :
Se aplica la ec. N-S a un fluido con características similares a las del agua : r=cte, m0 y =0.
Terna intrínseca L
p
l
V
V
t l
V
 


  





1 2
2
2
r
 ( ) (componente tangencial)
Ecuación de BERNOULLI
Generalizada


 



 



l
p V
g
V
g
V
t
z
( )

m

2 2
2
0
1
Conclusión : No puede admitirse, en un líquido con las características del agua, transporte
de masa, sino a costa de un consumo de energía.
Ec. de Bernoulli
Indica una
pérdida de
energía
Movimiento
impermanente

Extensión de Ec. de BERNOULLI a un tubo de corriente
Energía Potencial
por unidad de tiempo
Energía por unidad de peso ( )
z p V
g
  

2
2
dQ
g
V
dQ
p
z
N .
.
2
.
.
2



 
 











Energía Cinética
por unidad de tiempo
La energía de un filamento de área d ( )
z p V
g dQ dt
     
 
2
2
Energía por unidad de tiempo, Potencia dN
p V
g
dQ
z
  

 
( )


2
2
Integrando a toda la sección












 dQ
g
V
p
z
N .
.
2
2


Para que la primer integral sea perfecta el término
( )
z p
  debe ser constante a lo largo de la normal.
a z
n
n
p V
R



  
( )

2
0
=>
Se cumple si (reglas de Bresse) :
• Movimiento rectilíneo.
• Radio de curv grande - R  
• Velocidad baja - V 0
Para resolver esta integral es necesario conocer
como varía la velocidad en la sección .
U
Q


NCfict
U
g Q
   

2
2
 
N
N
C
C
real
fict
En la práctica se evalúa la Potencia real en función
de y del coef. de Coriolis
siendo la Potencia ficticia :
z
p U
g
cte
  




2
2
Con lo que la
expresión final para la
sección queda

Aplicaciones de la Ecuación de BERNOULLI en la Línea de Corriente
• Distribución de presiones en un escurrimiento irrotacional.
• Erogación por orificio (Teorema de Torricelli).
• Medición de presiones en conductos.
- Tubo Pitot.
- Tubo Venturi (aplicación al tubo de corriente)

1
2
3
4
div V
t
( )
r
r
 




0
( )
m m m
saliente entrante i
  
 0
    
F F F F m a
m p i
     
m
Fluido en reposo (V=0) => Ec. de CLAIREAUT

g grad p
  
1 0
r ( )

g grad p grad V
  
1 2
2
r ( ) ( )
Fluido r=cte, m=0, rot(V)=0, M. Perm. y F=-g => EULER
z p V g cte
   
 2
2
Integración - Trabajo de fuerzas => Ec. BERNOULLI
BERNOULLI - Extensión al tubo de corriente
Limitaciones - Reglas de BRESSE
z p U g cte
    
  2
2
  
    
    
 
( ) ( ) ( )
r r r
U
l
U
t
dt
dl t
   0
r = cte
Ec. Estado

Ecuación de la Acción Dinámica
Ecuación de la Cantidad de Movimiento
• No se estudia el movimiento íntimo de las partículas, sino el comportamiento global (Vcontrol).
• Se aplica la segunda ecuación de Newton a un volumen de control.
• Esta ecuación es aplicable aún en aquellos casos, los cuáles no pueden ser estudiados
con las ecuaciones locales del movimiento.
  dt
V
m
d
F /
.

dQ V d
m   
r
 

gasto elemental de masa
d m V V V d
( )
    
   
1 r 
Variación de la cant. de mov. elem.
por efecto del desplazamiento V.
r 
 

V d
masa elemental
d m V
t
V d
( ) ( )
 


 
 
2 r 
Variación de la cant. de mov.
de una masa elemental.
V (-)
V (+)
d
d
control
control
d
d
control : Volumen control
control : Superficie control
d : Dif. de Sup. de control
d : Dif. de Vol. de control
Var. Cantidad Movimiento
de la masa que
atraviesa la control
Var. Cantidad Movimiento
de la masa contenida
en el control
+
Variación de la
Cantidad de
Movimiento
Total
=

Ecuación de la Cantidad de Movimiento
r   
  
V V d


 
t
V d
( )
r 

  
F
t
m V
t
m V



 



( ) ( )
1 2
dF V V d
t
V d
    
    


 
r r 
 ( ) 
 




 U
Q
d
V
Q
d
V
V
F .
.
.
.
.
.
.
. 2

r
r
r
  

 





l
c dl
Q
t
U
Q
R
f
F .
.
.
.
. r

r
Sumatoria
de fuerzas
del fluído
Fuerzas
que no son
del fluído
Var. cant. de mov.de la masa
que atraviesa la Scontrol
Variación de la cant. de mov.
de la masa contenida en Vcontrol
Variación de la cantidad de movimiento en el tiempo
para todo el volumen de control
Vectores velocidad aprox. normales a la sección
integrando
 
 


 U
Q
Q
d
V
d
V
V .
.
.
.
.
.
.
. 2

r
r
r
V (-)
V (+)
d
d
control
control
d
d

Extensión de la Ec. de la Cantidad de Movimiento al tubo de corriente
    
F f R Q U U
e f f i i
        
r  
( )
Acción Dinámica de la corriente (sobre un borde sólido)
   
A Q U U f
i i f f e
       
r  
( )
 
A R
 
Siendo
Resultante de las fuerzas debidas a las velocidades
medias que actúan en las secciones final e inicial
del volumen de control.
Fuerzas del
fluído (excepto A)
debidas a :
- Presiones secciones.
- Peso masa vol. Control.
- Fricción entre el fluído
y el contorno sólido.
Aplicaciones de esta ecuación

1
2
3
4
div V
t
( )
r
r
 




0
( )
m m m
saliente entrante i
  
 0
    
F F F F m a
m p i
     
m
Fluido en reposo (V=0) => Ec. de CLAIREAUT

g grad p
  
1 0
r ( )

g grad p grad V
  
1 2
2
r ( ) ( )
Fluido r=cte, m=0, rot(V)=0, M. Perm. y F=-g => EULER
z p V g cte
   
 2
2
Integración - Trabajo de fuerzas => Ec. BERNOULLI
BERNOULLI - Extensión al tubo de corriente
Limitaciones - Reglas de BRESSE
z p U g cte
    
  2
2
  
    
    
 
( ) ( ) ( )
r r r
U
l
U
t
dt
dl t
   0
r = cte
Ec. Estado
Ecuación de la Cantidad de Movimiento dt
V
m
d
F /
)
.
(

Acción Dinámica de la corriente (sobre un borde sólido)
   
A Q U U f
i i f f
       
r  
( )
  

 





l
c dl
Q
t
U
Q
R
f
F .
.
.
.
. r

r

Ecuac fundam hidr.ppt

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Similar a Ecuac fundam hidr.ppt

Último

Ecuac fundam hidr.ppt