El documento define las subfórmulas positivas como cualquier subfórmula que puede ser descompuesta en un árbol de análisis sin aplicar la regla de negación, o que no ocurre dentro de una negación. Proporciona un ejemplo y explica cuáles subfórmulas son positivas y cuáles no en dicho ejemplo. Finalmente, discute cómo el valor de las subfórmulas positivas es relevante para la demostración formal.

1. Subfórmulas positivas
Clase 15
Leonel Morales Díaz
litomd@ufm.edu
leonel@ingenieriasimple.com
25/Julio/2014

2. Definición
• Las subfórmulas positivas son:
• Cualquier subfórmula
• Que puede ser descompuesta
• En un árbol de análisis (parse tree) por ejemplo
• Sin aplicar la regla de negación
• Otra definición:
• Cualquier subfórmula
• Que no ocurre dentro de una negación
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3. Ejemplo
((Q & (P  (T v R))) v (M & ~(S v (T & R))))
¿Cuáles son subfórmulas positivas?
– Toda la fórmula es subfórmula de sí misma
– La fórmula es una subfórmula positiva de sí misma
– La fórmula es una disyunción
– Cada disyunto es una subfórmula positiva
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4. Ejemplo
((Q & (P  (T v R))) v (M & ~(S v (T & R))))
¿Cuáles NO son subfórmulas positivas?
– OJO: ~(S v (T & R)) sí es subfórmula positiva
– (S v (T & R)) NO es subfórmula positiva
• Habría que negarla para que lo fuera
– (T & R) tampoco es subfórmula positiva
– S tampoco es subfórmula positiva
• Están dentro de una negación
– P tampoco es subfórmula positiva
• Es el antecedente de una implicación
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5. Árbol de análisis
((Q & (P  (T v R))) v (M & ~(S v (T & R))))
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1.P, Q, R, S, etc.,
son FL
2.~FL es FL
3.FL & FL es FL
4.FL v FL es FL
5.FL  FL es FL
(Q & (P  (T v R))) (M & ~(S v (T & R)))
Q (P  (T v R))
P (T v R)
T R
M ~(S v (T & R))
(S v (T & R))
S (T & R)
T R

6. El caso del antecedente
¿Por qué no es subfórmula positiva?
Recordar el árbol de verdad
Toda implicación
incluye una
negación
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(((P v Q) & T)  ~S)
~((P v Q) & T) ~S
~(P v Q) ~T
~P
~Q
(P  Q)
~P Q

7. Valor de las subfórmulas positivas
1. (M → (P & S)) Premisa
2. (P → A) Premisa
3. M Premisa
…
O. (A v F) Goal
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8. Valor de las subfórmulas positivas
1. (M → (P & S)) Premisa
2. (P → A) Premisa
3. M Premisa
…
O. (A v F) Goal
Obtener A y hacer
introducción de disyunción
por la derecha
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9. Valor de las subfórmulas positivas
1. (M → (P & S)) Premisa
2. (P → A) Premisa
3. M Premisa
…
O. (A v F) Goal
Obtener A y hacer
introducción de disyunción
por la derecha
A es subfórmula positiva
en 2, así que necesitamos
P para aplicar eliminación
de condicional
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10. Valor de las subfórmulas positivas
1. (M → (P & S)) Premisa
2. (P → A) Premisa
3. M Premisa
…
O. (A v F) Goal
Obtener A y hacer
introducción de disyunción
por la derecha
A es subfórmula positiva
en 2, así que necesitamos
P para aplicar eliminación
de condicional
P es subfórmula positiva
en 1 así que necesitamos
M para eliminar
condicional
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11. Valor de las subfórmulas positivas
1. (M → (P & S)) Premisa
2. (P → A) Premisa
3. M Premisa
…
O. (A v F) Goal
Obtener A y hacer
introducción de disyunción
por la derecha
A es subfórmula positiva
en 2, así que necesitamos
P para aplicar eliminación
de condicional
P es subfórmula positiva
en 1 así que necesitamos
M para eliminar
condicional
M está en 3.
¡Asunto
resuelto!
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