Compendio de reglas de inferencia de lógica simbólica en el curso Lógica Simbólica con el Cat. Lionel Morales

1. Compendio de Reglas de
Inferencia - Lógica Simbólica
William Cordón
Maria Andree Paz
Adolfo Zepeda
Lucia Perez

2. Reglas básicas de inferencia por
introducción

3. Introducción de conjunción
Si se tienen dos premisas
• Se sabe que ambas son ciertas
Entonces la conjunción de ambas es una
conclusión válida
Ejemplo:
P
Q
(P & Q)

4. Introducción de disyunción
Si se tiene una premisa
• Se sabe que es cierta
Entonces la disyunción de esa premisa con cualquier otra
es una conclusión válida.
En general:
• Introducción de disyunción a la derecha
• Introducción de disyunción a la izquierda

5. Introducción de condicionales
Se tiene una o más premisas
• Se sabe que son verdaderas
Se puede asumir una diferente como condición de las existentes
• Si la que se asume es falsa igual se tiene consecuente
verdadero
Ejemplo
P
Q
(N (P & Q))

6. Reglas básicas de inferencia por
eliminación

7. Eliminación de condicional
• Se tiene una implicación
• Se sabe que es verdadera
• Y se tiene como premisa el antecedente
• Entonces el consecuente es verdadero
• Ejemplo
(P Q)
P
Q

8. Eliminación de conjunción
Teniendo una conjunción
Los dos conyuntos son verdaderos
Cualquiera de los dos es una conclusión válida
Ejemplo
T&M
T
O bien
T &M
M

9. Eliminación de disyunción
Teniendo una disyunción.
Los dos disyuntos tiene que llegar a la misma conclusion.
Observar los ámbitos donde se asume.
Ejemplo:

10. Reglas indirectas

11. Introducción de Negación
 Diagrama de Fitch
1. (P Q) Premisa
2. (P ~Q) Premisa
3. P Se asume
4. Q E: 1, 3
5. ~Q E: 2, 3
6. I: 4, 5
7. ~P ~I: 6
 El símbolo
 se llama Falsum
 También le llamaremos absurdo

12. Eliminación de negación
 Es la misma regla que la introducción
 Comparación:
 Eliminación de negación
a1. ~φ Se asume
…
p1.
c. φ ~E: p1
 Introducción de negación
a1. φ Se asume
…
p1.
c. ~φ ~I: p1

13. Doble negación
 Introducción
p1. φ
…
c. ~~φ DNI: p1
 Eliminación
p1. ~~φ
…
c. φ DNE: p1

14. Reglas derivadas para
conjunciones y disyunciones

15. Conmutatividad
 El orden de los conyuntos no altera la conjunción.
 El orden de los disyuntos no altera la disyunción.
p1. (φ & ψ)
…
c. (ψ & φ) Conm&: p1
p1. (φ v ψ)
…
c. (ψ v φ) Conmv: p1

16. Asociatividad
 Aplica solo a conjunciones y disyunciones.
Ejemplo:
p1. ((φ & ψ) & ρ)
…
c. (φ & (ψ & ρ)) AsocR&: p1
p1. (φ & (ψ & ρ))
…
c. ((φ & ψ) & ρ) AsocL&: p1
p1. (φ v (ψ v ρ))
…
c. ((φ v ψ) v ρ) AsocLv: p1
p1. ((φ v ψ) v ρ)
…
c. (φ v (ψ v ρ)) AsocRv: p1

17. Idempotencia
 Aplicaciones repetidas de operaciones no cambia el resultado. Se
mantiene igual.
 Idempotencia de conjunción.
p1. φ
…
c. (φ & φ) Idem&I: p1
p1. (φ & φ)
…
c. φ Idem&E: p1
 Idempotencia de disyunción.
p1. φ
…
c. (φ v φ) IdemvI: p1
p1. (φ v φ)
…
c. φ IdemvE: p1

18. Distributividad
 Conjunción respecto de disyunción
p1. (φ & (ψ v ρ))
…
c. ((φ & ψ) v (φ & ρ)) Distr&: p1
p1. ((φ & ψ) v (φ & ρ))
…
c. (φ & (ψ v ρ)) Distr&C: p1
 Disyunción respecto de conjunción
p1. (φ v (ψ & ρ))
…
c. ((φ v ψ) & (φ v ρ)) Distrv: p1
p1. ((φ v ψ) & (φ v ρ))
…
c. (φ v (ψ & ρ)) DistrvC: p1

19. Silogismo Disyuntivo
 Dada una disyunción
 Sabiendo que un disyunto es falso
 El otro debe ser verdadero
p1. (φ v ψ)
p2. ~φ
…
c. ψ DSR: p1, p2
p1. (φ v ψ)
p2. ~ψ
…
c. φ DSL: p1, p2
 Silogismo: Argumento con exactamente 2 premisas

20. El Corte
 Se tienen dos disyunciones y un par de disyuntos en contradicción.
p1. (φ v ψ)
p2. (~φ v ρ)
…
c. (ψ v ρ) Corte: p1, p2

21. Leyes de Morgan
 La negación de una conjunción es la disyunción de las negaciones y
viceversa.
p1. ~(φ & ψ)
…
c. (~φ v ~ψ) DeM: p1
p1. (~φ v ~ψ)
…
c. ~(φ & ψ) DeM: p1
 La negación de una disyunción es la conjunción de las negaciones y
vicersa.
p1. ~(φ v ψ)
…
c. (~φ & ~ψ) DeM: p1
p1. (~φ & ~ψ)
…
c. ~(φ v ψ) DeM: p1

22. Reglas derivadas para
condicionales

23. Modus Tollens
 Teniendo una condicional
 Se tiene la negación del consecuente
 Se sabe que el consecuente es falso
 Se concluye la falsedad del antecedente
p1. (φ ψ)
p2. ~ψ
c. ~φ MT: p1, p2
 Modus Tollens
 Silogismo que niega

24. Transposición
 Si se tiene un condicional
 Se sabe que la negación del consecuente implica
la negación del antecedente
p1. (φ ψ)
…
c. (~ψ ~φ) Trans: p1
Transitividad
 Conocido como silogismo hipotético.
p1. (φ ψ)
p2. (ψ ρ)
c. (φ ρ) HS: p1, p2

25. Exportar e importar
 Exportar
 Sacar de… (sacar del antecedente)
p1. ((φ & ψ) ρ)
c. (φ (ψ ρ)) Expt: p1
 Importar
 Traer a… (traer al antecedente)
p1. (φ (ψ ρ))
c. ((φ & ψ) ρ) Impt: p1

26. Definición de condicional
 Un condicional es equivalente a
p1. (φ ψ)
c. (~φ v ψ) Def E: p1
 También la disyunción es equivalente a un
condicional
p1. (~φ v ψ)
c. (φ ψ) Def I: p1

27. Condicional negado
 El mismo caso que el anterior pero con el
condicional negado
p1. ~(φ ψ)
c. (φ & ~ψ) ~ E: p1
p1. (φ & ~ψ)
c. ~(φ ψ) ~ I: p1

28. Reglas derivadas para bicondicionales
 Eliminación de Bicondicional
 Izquierda
p1. (φ ψ)
p2. ψ
c. φ EL: p1, p2
 Derecha
p1. (φ ψ)
p2. φ
c. Ψ ER: p1, p2

29. Introducción de bicondicional
 Asumiendo antecedentes
a1. φ Se asume
…
p1. ψ
a2. ψ Se asume
…
p2. φ
c. (φ ψ) I: p1, p2
 Con dos premisas
p1. φ
p2. ψ
c. (φ ψ) I: p1, p2

30. Eliminación de cuantificador
universal ( x)
Forma general
Ejemplo:

31. Introducción de cuantificador
existencial ( x)
• Forma general
• Ejemplo:

32. Eliminación de cuantificador
existencial ( x)
• Forma general:
• Condiciones:
• es una variable
• no ocurre en φ
• no ocurre en ψ
• no ocurre “libre” en ninguna fórmula asumida de la que p2 dependa.
Ejemplo:

33. Introducción de cuantificador
universal ( x)
• Forma general
• Condiciones:
• es una variable
• no ocurre “libre” en ( υ)φ
• no ocurre “libre” en ninguna premisa o fórmula asumida de la
que p1 dependa
Ejemplo:

34. Reglas para cuantificadores

35. Replacement of Bound Variables
Reemplazo de Variables Atadas
1. ( x)(P(x) & R(x)) Premisa
2. (Q(w) S) Premisa
3. ( z)(P(z) & R(z)) RBV: 1
1. ( x)(P(x) T(x)) Premisa
2. ( z)(P(z) & R(z)) Premisa
3. ( z)(P(z) T(z)) RBV: 1

36. Definition of the Universal Quantifier
Definición del Cuantificador Universal
1. ( x)(P(x) & R(x)) Premisa
2. ~( x)~(P(x) & R(x)) DefE: 1
1. ~( z)~(P(z) T(z)) Premisa
2. ( z)(P(z) T(z)) DefI: 1
Definition of the Existential Quantifier
Definición del Cuantificador Existencial
1. ( z)(P(z) v T(z)) Premisa
2. ~( z)~(P(z) v T(z)) DefE: 1
1. ~( y)~(T(y)) Premisa
2. ( y)(T(y)) DefI: 1

37. Negated Universal
Universal Negado
1. ~( z)(P(z) v T(z)) Premisa
2. ( z)~(P(z) v T(z)) ~ :1
Existentially Quantified Negation
Negación Cuantificada Existencialmente
1. ( z)~(P(z) v T(z)) Premisa
2. ~( z)(P(z) v T(z)) ~: 1
Negated Existential
Existencial Negado
1. ~( x)(P(x) v T(x)) Premisa
2. ( x)~(P(x) v T(x)) ~ :1
Universally Quantified Negation
Negación Cuantificada Universalmente
1. ( x)~(P(x) v T(x)) Premisa
2. ~( x)(P(x) v T(x)) ~: 1

38. Universally Quantified Conjunction
Conjunción Cuantificada Universalmente
1. ( x)(P(x) & R(x)) Premisa
2. (( x)P(x) & ( x)R(x)) &: 1
Conjunction of Universals
Conjunción de Universales
1. (( x)(Q(x) v T(x)) & ( x)S(x)) Premisa
2. ( x)((Q(x) v T(x)) & S(x)) & :1
Existentially Quantified Conjunction
Conjunción Cuantificada Existencialmente
1. ( x)(P(x) & T(x)) Premisa
2. (( x)P(x) & ( x)T(x)) &: 1

39. Disjunction of Universals
Disyunción de Universales
1. (( x)P(x) v ( x)T(x)) Premisa
2. ( x)(P(x) v T(x)) v :1
Disjunction of Existentials
Disyunción de Existenciales
1. (( x)P(x) v ( x)T(x)) Premisa
2. ( x)(P(x) v T(x)) v :1
Existentially Quantified Disjunction
Disyunción Cuantificada Existencialmente
1. ( x)(A(x) v B(x)) Premisa
2. (( x)A(x) v ( x)B(x)) v: 1

40. Universal Disjunctive Syllogism
Silogismo Disyuntivo Universalmente Cuantificado
1. ( z)(T(z) v S(z)) Premisa
2. ( z)~T(z) Premisa
3. ( z)S(z) DSR: 1, 2
1. ( z)(T(z) v S(z)) Premisa
2. ( z)~S(z) Premisa
3. ( z)T(z) DSL: 1, 2
Existential Disjunctive Syllogism
Silogismo Disyuntivo Existencialmente Cuantificado
1. ( x)(T(x) v S(x)) Premisa
2. ( x)~T(x) Premisa
3. ( x)S(x) DSR: 1, 2
1. ( x)(T(x) v S(x)) Premisa
2. ( x)~S(x) Premisa
3. ( x)T(x) DSL: 1, 2

41. Universally Quantified Conditional
Condicional Cuantificada Universalmente
1. ( w)(Q(w) S(w)) Premisa
2. (( w)Q(w) ( w)S(w)) :1
Existential Quantifiers and the Conditional
Condicional y Cuantificador Existencial
1. ( w)(Q(w) S(w)) Premisa
2. (( w)Q(w) ( w)S(w)) :1
1. ( w)(Q(w) S(w)) Premisa
2. (( w)Q(w) ( w)S(w)) :1

42. Universal Hypothetical Syllogism
Silogismo Hipotético Universal
1. ( w)(Q(w) S(w)) Premisa
2. ( w)(S(w) R(w)) Premisa
3. ( w)(Q(w) R(w)) HS: 1, 2
Universal Modus Tollens
Modus Tollens Universal
1. ( w)(S(w) R(w)) Premisa
2. ( w)~R(w) Premisa
3. ( w)~S(w) MT: 1, 2
Contraposition
Contraposición
1. ( w)(S(w) R(w)) Premisa
2. ( w)(~R(w) ~S(w)) Contra: 1

43. Universally Quantified Biconditional
Bicondicional Cuantificada Universalmente
1. ( x)((A(x) & B(x)) C(x)) Premisa
2. (( x)(A(x) & B(x)) ( x)C(x)) :1
Universal Replace Equivalents
Reemplazo de Equivalentes en Universal
1. ( x)((A(x) & B(x)) C(x)) Premisa
2. ( x)(Q(x) & C(x)) Premisa
3. ( x)(Q(x) & (A(x) & B(x))) RE: 1, 2
Double Quantifiers
Cuantificadores Dobles
1. ( x)( y)(Q(x) & C(y)) Premisa
2. ( y)( x)(Q(x) & C(y)) :1
1. ( x)( y)(P(x) Q(y)) Premisa
2. ( y)( x)(P(x) Q(y)) :1
Existentially Quantified Universal
Universal Cuantificado Existencialmente
1. ( x)( y)(P(x) Q(y)) Premisa
2. ( y)( x)(P(x) Q(y)) :1

44. Ley de Identidad
 Todo individuo es idéntico a sí mismo
1.
2. a = a =I
No Discernibilidad de Idénticos
 Si dos individuos son idénticos
 Cualquier cosa verdadera de uno es
verdadera para el otro
1. P(s) Premisa
2. s = m Premisa
3. P(m) =E: 1, 2