1.-EC-514-02 - Propagación de Ondas.pdf

PROPAGACIÓN DE ONDAS
UNI - FIC
Departamento Académico de
Ingeniería Geotécnica
DINÁMICA DE SUELOS
EC - 514 G
Carlos Gonzales Trujillo

2
Las vibraciones transmitidas por las cimentaciones se efectúan a través de
ondas de esfuerzos
Estructura ==> Suelo (maquinarias)
Suelo ==> Estructura (sismos)
Tipos de problemas:
• Medio idealizado: homogéneo, isotrópico, elástico lineal
• Caso complejo: medio errático, estratificado, relación esfuerzo-deformación
no lineal
• Probeta en laboratorio: condiciones de borde como medio no continuo
Propagación de ondas sísmicas

3
Los tipos de ondas que se generan durante la liberación de energía,
dependen del medio en el que se propagan.
Si el medio es homogéneo, isótropo, elástico e infinito, se generan
Ondas de Cuerpo, las cuales son de dos tipos:
• Ondas Compresionales, Primarias, Dilatantes u Ondas P
• Ondas Secundarias, Cortantes, Distorsionales u Ondas S
Tipos de ondas en un medio elástico e infinito

4
Z
)
z
x
xz
( 


+
z
z


xy
x )
x
x
x
x
( 

+


XZ
x
 )
y
xy
xy
( 

+

y


y
z

x

X
y

Propagación de ondas en un medio infinito

5
u
G
+
x
G)
+
(
=
t
u 2
2
2






ε
λ
v
G
+
y
G)
+
(
=
t
v 2
2
2






ε
λ
w
G
+
z
G)
+
(
=
t
w 2
2
2






ε
λ
Propagación de ondas en un medio infinito
---- 1
---- 2
---- 3

6
Determinación de las ondas P
Representa la velocidad de propagación de una onda dilatante o
irrotacional, o dicho en otras palabras, la dilatación ε se propaga con una velocidad vc
Derivando las ecuaciones 1, 2 y 3 con respecto a x, y y z respectivamente, y sumando se obtiene:

7
Determinación de las ondas S
Derivando la ecuación 2 con respecto a z y a 3 con respecto a y, y eliminando ε mediante la substracción
de las dos expresiones resultantes, se obtiene:
Representa la velocidad de las ondas cortantes o equivolumétricas y representa la velocidad de
propagación de la rotación θx

8
Comprimido
Efectos de las ondas de cuerpo en una partícula sólida
Formado por corte
Sin deformación

10
Generación de ondas de cuerpo (P y S)

11
Si el medio de propagación es semi-infinito, es decir que tiene un
borde libre, se generan también las Ondas Superficiales.
Dentro de este grupo de ondas las más representativas son:
• Ondas Love u ondas Q
• Ondas Rayleigh u ondas R
Tipos de ondas en un medio elástico y semi-infinito

12
Ondas Rayleigh
Ondas Love
Ondas superficiales en un medio elástico

14
Generación de ondas Rayleigh

15
Porción de
semiespacio elástico
Frente de ondas
Superficie
Z
X
Y
La ecuación de la onda Rayleigh
se puede obtener estableciendo
el siguiente sistema de
coordenadas, y suponiendo una
onda plana que viaja en la
dirección positiva de las x.
Propagación de ondas en un medio semi-infinito

16
x
-
z
=
w
y
z
+
x
=
u












 y  son funciones potenciales que resultan estar relacionadas respectivamente con la
dilatación y la rotación del medio, se obtiene, al sustituir u y w en las ecuaciones 2.1 y 2.3,
las siguientes expresiones:
)
(
z
G
+
)
(
x
G)
2
+
(
=
t
z
+
t
x
2
2
2
2
2
2

































)
(
x
G
-
)
(
z
G)
2
+
(
=
t
x
-
t
z
2
2
2
2
2
2










































v
=
G
2
+
=
t
2
c
2
2
2
2













 2
s
2
2
2
2
v
=
G
=
t

17
( )
e
(z)
F
= N
t-
i x

 ( )
e
(z)
G
= N
t-
i x


e
A
=
F(z)
z
2
c
v
2
2
N
1

−
−
e
A
=
(z)
G
z
2
s
v
2
2
N
2

−
−
Suponiendo una solución del tipo de onda sinusoidal viajando en la dirección x positiva:
F(z) y G(z) funciones que describen variación de amplitud de la onda con la profundidad
N = 2  / LR (conocido como número de onda)
LR es la longitud de la onda generada
Al sustituir los valores de  y  dados por las ecuaciones anteriores dentro de las ecuaciones
diferenciales, y considerar la condición de que la amplitud de la onda superficial tiende a cero
con la profundidad, se tiene:

18
0
=
1
-
v
-
N
GN
i
2
N
-
v
-
N
)
G
2
+
(
A
A
2
s
2
2
2
c
2
2
2
2
1









 

0
=
1
+
v
-
N
2
iN
v
-
N
2
A
A
2
s
2
2
2
c
2
2
2
1


0
=
1
-
v
v
16
+
v
v
v
v
16
-
24
+
v
v
8
-
v
v
c
s
2
s
R
2
c
s
2
s
R
4
s
R
6














































A1 y A2 se obtienen de aplicar las condiciones de frontera relativas a que los esfuerzos cortantes
y normales en la superficie del semiespacio deben ser nulos. Aplicando dichas condiciones se
obtienen las siguientes expresiones:
Añadiendo estas dos ecuaciones y haciendo algunos arreglos matemáticos, se llega a la
ecuación que da el valor de la velocidad con que se propagan las ondas Rayleigh:

19
Variación de las velocidades de propagación de las ondas de cuerpo y
ondas Rayleigh con la relación de poisson
Relación de Poisson
4
3
2
1
0.4
5
0
0 0.1 0.2 0.5
0.3
0.4
0 0.1 0.2 0.5
0.3
Ondas S
3
2
1
5
0
4
Ondas R
Ondas P
Valores
de
v
v
𝑠
=
v
ρ
𝐺

21
Interpretación gráfica de la longitud de onda

22
Onda R
Onda S
Tiempo
Onda P
VP > VS > VR
• Ondas compresionales (VP)
• Ondas de corte (VS)
• Ondas Rayleigh (VR)
Llegadas de las diferentes fases según su
velocidad de propagación

23
• Amplitud (A): desplazamiento máximo de un punto desde su posición
en reposo
• Velocidad de partícula (v): velocidad a la que se desplaza el punto
• Aceleración (a): ritmo de cambio de la velocidad
• Frecuencia (f): número completo de oscilaciones o ciclos por
segundo. La frecuencia es la inversa del periodo Ts
Parámetros de las ondas

24
Ondas de baja frecuencia
Ondas de alta frecuencia
w
f
Ts

2
1
=
=
A
Contenido de frecuencia de ondas sinusoidales

25
Plano vertical de
incidencia
Rayo incidente
Plano perpendicular al rayo
incidente
SV
E
SH
S
s
Propagación de ondas en un medio estratificado
Componentes SV y SH de una onda cortante

26
Propagación de ondas en un medio estratificado
Figura 2.10 REFLEXION DE UNA ONDA INCIDENTE
SV EN UNA SUPERFICIE LIBRE.
Figura 2.9 REFLEXION EN LA SUPERFICIE
DE UNA ONDA INCIDENTE P.
Figura 2.11 REFLEXION HORIZONTAL DE UNA ONDA P CUANDO UNA ONDA SV
INCIDE CON UN ANGULO CRITICO.
P P


1
SV
P
cr
SV
cr
SV
P

1
SV
SV
40
cr
Reflexión en la superficie de
una onda incidente P Figura 2.14 INCIDENCIA Y REFLEXION DE UNA ONDA SH
(a) Onda incidente P (b) Onda incidente SV c) Onda incidente SH
Figura 2.15 DISTRIBUCION DE ONDAS ELASTICAS EN LA INTERFASE DE
DOS MEDIOS ELASTICOS
P-P1
 
SH SH
P
P-SV1
Medio 1
Medio 2
P-P2
P-SV2
e f
f
SV-SV1
SV SH SH-SH1
a a
b b
b
b
a
SV-P1
SH-SH2
P1, vP1, vS1
P2, vP2 , vS2
SV-SV2
f
b
e
SV-P2
S2
V
f
sen
P2
V
e
sen
S1
V
b
sen
P1
V
a
sen
=
=
=
Incidencia y reflexión de una
onda SH
Figura 2.10 REFLEXION DE UNA ONDA INCIDENTE
SV EN UNA SUPERFICIE LIBRE.
P P


1
SV
P
cr
SV
cr
SV
P

1
SV
SV
40
cr
Reflexión de una onda incidente SV
en una superficie
Figura 2.10 REFLEXION DE UNA ONDA IN
SV EN UNA SUPERFICIE LIBRE
P
cr
SV
cr
SV
Para ondas SV
40
cr
30
20
10
0
0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50
Reflexión horizontal de una onda P cuando una
onda SV incide con un ángulo crítico
Figura 2.14 INCIDENCIA Y REFLEXION DE UNA ONDA SH
(a) Onda incidente P (b) Onda incidente SV c) Onda incidente SH
P-P1
 
SH SH
P
P-SV1
Medio 1
Medio 2
P-P2
P-SV2
e f
f
SV-SV1
SV SH SH-SH1
a a
b b
b
b
a
SV-P1
SH-SH2
P1, vP1, vS1
P2, vP2 , vS2
SV-SV2
f
b
e
SV-P2
S2
V
f
sen
P2
V
e
sen
S1
V
b
sen
P1
V
a
sen
=
=
=
Distribución de ondas elásticas en la interfase de dos
medios elásticos
Medio 1
Medio 2
P-P2
P-SV2
e f
f
SH-SH2
1 P1 S1
P2, vP2 , vS2
SV-SV2
f
e
SV-P2
S2
V
f
sen
P2
V
e
sen
S1
V
b
sen
P1
V
a
sen
=
=
=
Punto de excitación
P1, vP1 , vS1
P2, vP2 , vS2
P3, vP3 , vS3
P4, vP4 , vS4
(
P
)
(
P
-
S
)
1
(
P
-
P
)
1
(
P
-
P
)
2
(
P
-
P
)
2
Reflexión y refracción múltiple de ondas en un sistema estratificado

28
Propagación de ondas S - Sismo de Loma Prieta

29
Reflexión y refracción en un borde

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