Ondulatorio

El movimiento ondulatorio es la propagación de una onda por un medio. En
este proceso se propaga energía de un lado a otro sin transferencia de
materia.
Una onda es una perturbación que viaja en el tiempo ya sea a través de un
medio material o a través del espacio.
El medio perturbado puede ser de naturaleza diversa como aire, agua, una
cuerda, un trozo de metal o el vacío.
Movimiento Ondulatorio

De acuerdo a las vibraciones de las partículas del medio con respecto a la
dirección de propagación delas ondas, se clasifican en:
Onda transversal.
Una onda viajera que causa que las partículas del medio perturbado se
muevan perpendicularmente al movimiento de la onda se conoce como onda
transversal.
Onda longitudinal.
Una onda viajera que causa que las partículas del medio perturbado se
muevan paralelas al movimiento de la onda se conoce como onda
longitudinal.
Algunas ondas no son ni transversales ni longitudinales como las ondas en la
superficie del agua. Éstas tienen componentes longitudinal y transversal.

Onda transversal
Onda longitudinal

Superposición e interferencia de ondas
El principio de superposición establece que:
Si dos o más ondas viajeras se mueven a través de un medio, la función de
onda resultante en cualquier punto es la suma algebraica de las funciones
de ondas individuales.
Las ondas que obedecen este principio son llamadas ondas lineales. Las que
no lo cumples son ondas no lineales.
La combinación de ondas independientes en la misma región del espacio
para producir una onda resultante se denomina interferencia.
La interferencia es constructiva si el desplazamiento es en la misma
dirección y destructiva en caso contrario.

La velocidad de ondas en cuerdas
La velocidad de ondas mecánicas lineales depende exclusivamente de las
propiedades del medio por la cual viaja la onda. Si la tensión en la cuerda es
F y su masa por unidad de longitud es m, la velocidad de la onda es:
m
F
v 
m
m

m


m
m


F
v
v
F
R
v
R
F
R
mv
F
R
s
m
F
F
F
r
r









2
2
2
2
2
2
2
sen
2

Ejemplo
1 m
Una cuerda tiene 0.300 kg de peso y una longitud de 6 m. la
cuerda pasa por una polea y sostiene un objeto de 2 kg. Calcule
la rapidez de un pulso viajando a lo largo de la cuerda.

Reflexión y transmisión de ondas
Pulso incidente
Pulso reflejado
Reflexión de un pulso de onda
viajera en el extremo fijo de
una cuerda alargada.
El pulso reflejado se invierte,
pero su forma permanece igual.

Pulso incidente
Pulso reflejado
Reflexión de un pulso de onda
viajera en el extremo libre de
una cuerda alargada.
El pulso reflejado no se
invierte.

Pulso incidente
Pulso reflejado
Pulso transmitido
Un pulso viaja hacia la
derecha en una cuerda ligera
unida a una cuerda pesada.
Parte del pulso se refleja y
parte del pulso se transmite a
la cuerda más pesada.
Pulso incidente
Pulso reflejado Pulso transmitido
Un pulso viaja hacia la
derecha en una cuerda pesada
unida a una cuerda ligera.
Parte del pulso se refleja y
parte del pulso se transmite a
la cuerda más ligera.

Los resultados anteriores pueden resumirse en lo siguiente:
Cuando un pulso de onda viaja de un medio A a un medio B
y vA > vB (es decir, cuando B es más denso que A), el pulso
se invierte en la reflexión.
Cuando un pulso de onda viaja de un medio A a un medio B
y vA < vB (es decir, cuando A es más denso que B), el pulso
no se invierte en la reflexión.

Ondas armónicas o senoidales
Una onda senoidal es aquella cuyo desplazamiento y en
función de la posición está dado por:






 x
A
y


2
sen
Esta sería una instantánea de la onda senoidal en t = 0.
La función para todo t es:
 






 vt
x
A
y


2
sen

El tiempo que tarda en recorrer una distancia de una longitud de onda
recibe el nombre de periodo, T. La velocidad de onda, la longitud de onda
y el periodo se relacionan por medio de
T
v


El número de onda angular k y la frecuencia angular w se definen como:


2

k f
T


w 2
2


Otras relaciones son:
T
f
1

k
v
w
 
f
v 
 

w 

 t
kx
A
y sen
Si la fase inicial no es cero la onda senoidal se expresa por:

Ejemplo
Una onda senoidal que viaja en la dirección de x positivas tiene
una amplitud de 15cm, una longitud de onda de 40cm y una
frecuencia de 8Hz. El desplazamiento en t = 0 y x = 0 en
también 15cm. Encuentre a) el número de onda angular k, el
periodo T, la frecuencia angula w y la rapidez de la onda. b)
determine la constante de fase  y escriba la expresión general
para la onda.

Tarea
Un tren de onda senoidal se describe por
y = (0.25 m) sen (0.30x – 40t)
Donde x se mide en metros y t en segundos. Determine a) la
amplitud, b) la frecuencia angular, c) el número angular de
onda, d) la longitud de onda, e) la rapidez de la onda y f) la
dirección del movimiento.
T
v




2

k
T

w
2

T
f
1

k
v
w
 
f
v 

Ondas senoidales en cuerdas
Un método para para producir un tren de pulsos de onda
senoidales en una cuerda continua.

 
t
kx
A
t
y
dt
dy
v
x
y w
w 







cos
constante
 
t
kx
A
t
y
dt
dv
a
x
y
y w
w 







sen
2
constante
)
(
sen t
kx
A
y w


La forma de la onda se puede expresar como:
El punto P se mueve solo en sentido vertical con una
velocidad y una aceleración dada por:
 
  A
a
A
v
máx
y
máx
y
2
w
w


Los valores máximos son:

Energía transmitida por ondas
senoidales en cuerdas
2
2
1
ky
U 
m
Onda senoidal que viaja en una cuerda. Cualquier
segmento se mueve verticalmente y cada uno tiene
la misma energía total.
x
m = m x
La energía potencial elástica es
Usando la relación w2 = k/m 2
2
2
1
y
m
U w

Para una masa m: 2
2
2
1
y
m
U w


2
2
2
1
y
x
U w
m

Dado que m = m x
 dx
t
kx
sen
A
dU w
mw 
 2
2
2
2
1
Si x →0
Sustituyendo y = sen(kx – wt)
dx
y
dU 2
2
2
1
mw


Integrando en t = 0 sobre una longitud de onda:
  
mw
mw
mw
mw




2
2
4
1
0
4
1
2
1
2
2
2
1
0
2
2
2
2
1
0
2
2
2
2
1
2 A
kx
sen
x
A
dx
kx
sen
A
dx
kx
sen
A
U
k 



 

Similarmente se puede calcular la energía cinética:

mw

2
2
4
1
A
K 
La energía total es:

mw



2
2
2
1
A
U
K
E 


La potencia es:
v
A
T
A
T
A
T
E
P 2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
mw

mw

mw





La rapidez de transferencia de energía de cualquier onda senoidal es
proporcional al cuadrado de la frecuencia angular y al cuadrado de la
amplitud.

Ejemplo
Una cuerda para la cual m = 5 x 10–2kg/m se somete a una
tensión de 80N ¿Cuánta potencia debe aplicarse a la cuerda
para generar ondas senoidales a una frecuencia de 60Hz y una
amplitud de 6cm?
Solución La velocidad de la onda en la cuerda es:
s
m
m
kg
N
F
v /
40
/
10
5
80
2











 
m
  1
377
60
2
2 


 s
Hz
f 

w
      
W
P
s
m
m
s
m
kg
P
v
A
P
512
/
40
10
6
377
/
10
5
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1








mw

Tarea
Una cuerda tensada tiene una masa de 0.180kg y una
longitud de 3.6m ¿Qué potencia debe proporcionarse para
generar ondas seniodales con una amplitud de 0.100m y una
longitud de onda de 0.300m y para que viaje a una rapidez
de 30m/s?

Ecuación de onda
 
A
B
A
B
y sen
sen
F
Fsen
Fsen
F 


 




 
A
B
y F
F 
 tan
tan 





























A
B
y
x
y
x
y
F
F













 2
2
t
y
x
ma
F y
y m
2
2
2
2
x
y
t
y
F 




m
2
2
2
2
2
1
x
y
v
t
y





La fuerza resultante en la dirección y es:
Para ángulos pequeños se cumple:
O sea
La 2a. Ley de Newton:
   
x
x
y
x
y
t
y
F
A
B









2
2
m
De aquí obtenemos:
Por lo tanto
o

Si consideramos que la función de onda senoidal que
satisface la ecuación de onda anterior mente encontrada es
de la forma:
)
(
sen t
kx
A
y w


Entonces sus derivadas correspondientes son:
 
t
kx
Asen
t
y
w
w 



 2
2
2
 
t
kx
Asen
k
x
y
w




 2
2
2
La sustitución de estas ecuaciones en la ecuación de onda

Ejercicios
Ejercicio 1: La elongación de una onda transversal armónica que
se propaga en una cuerda se representa en el sistema S.I con la
ecuación ………………………Calcular: (a) la amplitud, (b) la
frecuencia angular, (c) la frecuencia en Hz, (d) el número de onda,
(e) la longitud de onda, (f) la fase inicial, (g) la velocidad de
vibración de un punto de la cuerda ubicado en x = 0;30 m en t =
0;60 s, (h) la aceleración de un punto en el instante en el cual se
encuentra ubicado en la cresta.
Ejercicio 2: Para cierta onda transversal se observa que la
distancia entre dos máximos consecutivos es de 1.20 m. También
se observa que pasan ocho crestas por un punto dado a lo largo de
la dirección de propagación cada 12.0 s. Calcular la rapidez de la
onda.
).
3
4
1
2
3
(
1
.
0


 

 t
x
sen
y

Ondas sonoras
Las ondas sonoras son el ejemplo más importante de ondas longitudinales.
Pueden viajar a través de cualquier medio material con una velocidad que
depende de las propiedades del medio. Si se propaga en un medio elástico y
continuo, las partículas en el medio vibran para producir una variación local
de presión o densidad a lo largo de la dirección de movimiento de la onda.
Estos cambios originan una serie de regiones de alta y baja presión llamadas
condensaciones y rarefacciones, respectivamente.
Las variaciones de presión, humedad o temperatura del medio, producen el
desplazamiento de las moléculas que lo forman. Cada molécula transmite la
vibración a la de su vecina, provocando un movimiento en cadena. Esos
movimientos coordinados de millones de moléculas producen las
denominadas ondas sonoras, que producen en el oído humano una sensación
descrita como sonido.

CATEGORÍAS DE ONDAS MECÁNICAS
2. Las ondas infrasónicas
3. Las ondas ultrasónicas
1. Las ondas audibles
El sonido tiene un margen muy amplio de frecuencias, sin embargo se considera
que el margen audible por el ser humano oscila, como máximo, entre 20 Hz y
20.000 Hz.
Los sonidos cuyas frecuencias son inferiores a 20 Hz se denominan
infrasonidos, y los de frecuencias superiores a 20.000 Hz, ultrasonidos. En
ambos casos se trata de sonidos inaudibles por el ser humano.

ELEMENTOS O FACTORES PARA
QUE EXISTA SONIDO
1. Una fuente de vibración mecánica, llamada fuente sonora
DIAPAZÓN PLATILLOS BATERÍA GUITARRA

CUALIDADES DEL SONIDO
Las magnitudes que caracterizan la percepción y permiten distinguir entre
los diferentes sonidos son las llamadas cualidades del sonido. Cualquier
sonido sencillo, como una nota musical, puede describirse en su totalidad
especificando tres características de su percepción:
Intensidad: Es una sensación asociada a la percepción del sonido por los
humanos. La intensidad es la propiedad del sonido que hace que éste se
capte como fuerte o como débil. Un sonido muy fuerte, produce dolor en
los oídos pero sigue siendo audible.
Tono: Nos indica si un sonido es alto (violín) o bajo (tambor). El tono está
asociado a la frecuencia, ya que cuanto menor sea la frecuencia, más bajo es
el tono y viceversa. Por esto, se hace una clasificación de las frecuencias: Un
sonido es grave si la frecuencia es baja, y es agudo si la frecuencia es
elevada.

Timbre: Cuando escuchamos a la vez dos instrumentos que producen un
sonido de igual intensidad y de igual tono, podemos diferenciar el uno del
otro a través del timbre. Cuando los instrumentos reproducen una nota, a
esta le acompañan sus armónicos, que son múltiplos de la frecuencia
representada. Gracias a estos armónicos, es posible diferenciar los distintos
instrumentos ya que cada uno tiene sus propios armónicos.
VELOCIDAD DE ONDAS SONORAS
La velocidad del sonido es la velocidad de propagación de las ondas
sonoras. En la atmósfera terrestre es de 343 m/s (a 20 ºC de temperatura).
La velocidad del sonido varía en función del medio en el que se trasmite.
La velocidad de propagación de la onda sonora depende de las
características del medio en el que se realiza dicha propagación y no de las
características de la onda o de la fuerza que la genera. Su propagación en
un medio puede servir para estudiar algunas propiedades de dicho medio
de transmisión.

Velocidad del sonido en distintos medios (a 20º C)
Sustancia Densidad (kg · m-3) Velocidad (m /s)
Aire
Etanol
Benceno
Agua
Aluminio
Cobre
Vidrio
Hierro
1,20
790
870
1.000
2.700
8.910
2.300
7.900
344
1.200
1.300
1.498
5.000
3.750
5.170
5.120


B
v 
La velocidad de las ondas sonoras depende de la comprensibilidad y la
inercia del medio. Si el medio tiene un módulo volumétrico B y una
densidad de equilibrio ρ, la velocidad de las ondas sonoras en ese medio
es:
De manera general, la
velocidad de todas las ondas
mecánicas se obtiene de una
expresión de la forma
inercial
propiedad
elástica
propiedad

v
Pulso longitudinal a través de un
medio compresible.

Módulo de compresibilidad
El módulo de compresibilidad (B) de un material mide su resistencia a la
compresión uniforme y, por tanto, indica el aumento de presión requerido
para causar una disminución unitaria de volumen dada.
El módulo de compresibilidad se define según la ecuación:
donde P es la presión, V es el volumen, ∆P y ∆V denotan los cambios de la
presión y de volumen, respectivamente. El módulo de compresibilidad tiene
dimensiones de presión, por lo que se expresa en pascales (Pa) en el Sistema
Internacional.
El inverso del módulo de compresibilidad indica la comprensibilidad de un
material y se denomina coeficiente de comprensibilidad.
V
V
P
V
V
A
F
B








Velocidad de ondas sonoras
Pulso longitudinal a través de un
medio compresible.
La velocidad de la ondas sonoras
depende de la compresibilidad y la
inercia del medio. Si el medio tiene un
módulo volumétrico B y una densidad
de equilibrio , la velocidad de las ondas
sonoras en ese medio es

B
v 
De hecho, la velocidad de todas las
ondas mecánicas se obtiene de una
expresión de la forma general
inercial
propiedad
elástica
propiedad

v

Ondas sonoras armónicas
Cuando un émbolo oscila senoidalmente, las regiones de condensación y
rarefacción se establecen de forma continua.
La distancia entre dos condensaciones consecutivas es igual a la longitud de
onda, .
A medida que esta ondas viajan por el tubo, cualquier volumen pequeño del
medio se mueve con movimiento armónico simple paralelo a la dirección de
la onda.
Si s(x, t) es el desplazamiento de un pequeño elemento de volumen medido a
partir de su posición de equilibrio, podemos expresar esta función de
desplazamiento armónico como
s(x, t) = smáx cos(k x –w t)
donde smáx es el desplazamiento máximo medido a partir del equilibrio, k es el
número de onda angular, y w es la frecuencia angular del émbolo.

Onda longitudinal senoidal
que se propaga en un tubo
lleno de gas.
La fuente de la onda es el
émbolo de la izquierda.

Onda de presión
Onda de desplazamiento
Onda de variación de presión

La variación de la presión del gas, P, medida desde su valor de equilibrio,
también es periódica y está dada por
P = Pmáx sen(k x –w t)
La amplitud de presión Pmáx es el cambio máximo en la presión a partir de
su valor de equilibrio. La amplitud de presión es proporcional a la amplitud
de desplazamiento, smáx:
Pmáx =  vw smáx
Donde w smáx es la velocidad longitudinal máxima del medio frente al
émbolo.
La variación de la presión en un gas es
V
V
B
P





El volumen en un segmento del medio que tiene un espesor x en la
dirección horizontal y un área de sección transversal A es V = Ax.
El cambio en el volumen V que acompaña al cambio de presión es igual a
As, donde s es la diferencia entre el valor de s en x + x y el valor de s
en x. Por tanto, podemos expresar P como
x
s
B
x
s
A
A
B
V
V
B
P












A medida que x se aproxima a cero, la
proporción s/x se vuelve . En
consecuencia
x
s
B
P





x x + x
s s + s
A

Puesto que el módulo volumétrico esta dado por B =  v2, la variación de la
presión se reduce a
P =  v2smáx k sen(k x –w t)
Además, podemos escribir k = w / v, consecuentemente, P puede expresarse
como
P = w v smáx sen(k x –w t)
Tomando el valor máximo de cada lado
Pmáx = w vsmáx
Si el desplazamiento es la función senoidal simple dada anteriormente,
encontramos que
 
   
t
kx
ks
Bs
t
kx
s
x
B
P máx
máx w
w 






 en
cos

Intensidad de ondas sonoras armónicas
La energía promedio de la capa de aire en movimiento puede determinarse por:
E = ½ m(w smáx)2 = ½ ( Ax) (w smáx)2
Donde Ax es el volumen de la capa. La tasa en el tiempo a la cual se transfiere la energía
a cada capa es
   2
2
1
2
2
1
máx
máx s
Av
s
t
x
A
t
E
Potencia w

w
 












 
   
t
kx
s
t
kx
s
t
t
x
s
t
t
x
v w

w

w






 sen
cos
)
,
(
)
,
( max
max
   
  kx
s
x
A
kx
s
x
A
kx
s
m
mv
K
2
2
max
2
1
2
max
2
1
2
max
2
1
2
2
1
sen
sen
sen
w



w



w





    
w


w


 



2
max
4
1
0
2
2
max
2
1
sen s
A
dx
kx
s
A
dK
K

Definimos la intensidad de una onda, o potencia por unidad
de área, como la tasa a la cual la energía que es transportada
por la onda fluye por un área unitaria A perpendicular a la
dirección de propagación de la onda.
  v
s
I máx
2
2
1
área
Potencia
w



Esto también puede escribirse en términos de la amplitud de
presión como
v
P
I máx

2
2



Dado el amplio rango de valores de intensidad, es conveniente utilizar
una escala logarítmica, el nivel sonoro b se define como
b  10 log(I / I0)
La constante I0 es la intensidad de referencia.
Avión de reacción 150
Perforadora de mano;ametralladora 130
Sirena; concierto de rock 120
Tren urbano; segadora eléctrica 100
Tráfico intenso 80
Aspiradora 70
Cenversación normal 50
Zumbido de un mosquito 40
Susurro 30
Murmullo de hoja 10
Umbral auditivo 0
Niveles sonoros de algunas fuentes

Ejemplo
Los sonidos mas tenues que el oído humano puede detectar a
una frecuencia de 1000Hz corresponden a una intensidad
cercana a 10–12 W/m2(el llamado umbral auditivo). Los ruidos
mas intenso que el oído puede tolerar corresponden a una
aproximada de 1W/m2 (el umbral de dolor). Encuentre la
amplitud de presión y de desplazamiento asociadas a estos
límites. v = 343 m/s y  = 1.2 kg/m3.
v
P
I máx

2
2



Ondas esféricas y planas
La intensidad de onda a una distancia r de la fuente es
2
4 r
P
A
P
I
pro
pro



Como Ppro es la misma en cualquier superficie
esférica centrada en la fuente, vemos que las
intensidades a las distancias r1 y r2 son
2
2
2
2
1
1
4
4 r
P
I
y
r
P
I
pro
pro




En consecuencia, la proporción entre las
intensidades sobre las dos superficies esféricas es 2
1
2
2
2
1
r
r
I
I


Dado que I  s2, entonces s  1/r. Por tanto podemos escribir
   
t
kr
sen
r
s
t
x w


 0
,
donde s0 es la amplitud de desplazamiento en t = 0.
Es útil representar las ondas esféricas mediante una serie de arcos
circulares concéntricos con la fuente. Cada arco representa una
superficie sobre la cual la fase de la onda es constante. Llamamos a
dicha superficie de fase constante frente de onda.
Fuente
Frente de
onda
Rayo
La distancia entre dos frentes de onda
es igual a la longitud de onda, . Las
líneas radiales que apuntan hacia
fuera desde la fuente se conocen
como rayos

A distancias de la fuente que son grandes si se
les compara con la longitud de onda, podemos
aproximar los frentes de onda por medio de
planos paralelos. A este tipo de onda se le
conoce como onda plana. Cualquier porción
pequeña de una onda esférica alejada de la
fuente puede considerarse como una onda
plana.
La figura muestra una onda plana que se
propaga a lo largo del eje x, lo cual significa
que los frente de onda son paralelos al plano
yz. En este caso la función de onda depende
solo de x y de t y tiene la forma
(x, t) = A sen(kx –wt)

Ejemplo
Sea una fuente puntual de ondas sonoras con una salida de 80 W.
Encuentre la intensidad a 3m de la fuente.
Hallar la distancia a la cual el sonido se reduce a un nivel de 40dB
2
4 r
P
A
P
I
pro
pro




Tarea
Calcule el nivel sonoro en decibeles de una onda sonora que tenga
una intensidad de 4 mW/m2, 4 mW/m2 y 0.4 W/m2
b  10 log(I / I0)

Efecto Doppler
Se experimenta un efecto Doppler siempre que hay un
movimiento relativo entre la fuente y el observador.
Cuando la fuente y el observador se mueven uno hacia
otro la frecuencia que escucha el observador es más alta
que la frecuencia de la fuente.
Cuando la fuente y el observador se alejan uno del otro,
la frecuencia escuchada por el observador es más baja
que la frecuencia de la fuente.

Cuando el observador se mueve hacia la fuente con
velocidad v0, la velocidad de la onda es v’ = v + v0. La
frecuencia es entonces
f ’ = v’ /  = (v + v0) / 
o
f ’ = f (1 + v0/v)
Si el observador se aleja de la fuente, la frecuencia es
f ’ = f (1  v0/v)
v
v0
v0 v
v0
v
v’
v’

Cuando la fuente se mueve hacia el observador con velocidad vs,
durante cada vibración la fuente se mueve una distancia vs T = vs
/f. Y la longitud de onda se acorta en esa cantidad. Entonces
’ =        vs /f
Entonces
f ’= v / ’ = v /(  vs /f ) = v /(v /f  vs /f)
o
f ’= f /(1 vs /v)
’
vs

Similarmente, si la fuente se aleja del observador se tiene que:
f ’= f /(1  vs /v)
Los dos resultados se pueden resumir en
f ’= f (v  v0)/(v vs)

Los signos superiores se refieren al movimiento de uno hacia el
otro, y los inferiores se refieren al movimiento de uno
alejándose del otro.

Cuando vs excede la velocidad del sonido, se forma una onda
de choque, como se muestra.
Frente de choque
cónico
vt
0
1
2
S0 S1 S2
vS t

SN
S
v
v


sen

Ejemplo
Un tren pasa una plataforma de pasajeros a una rapidez
constante de 40.0 m/s. El silbato del tren suena a una frecuencia
característica de 320 Hz. a) ¿Qué cambio en la frecuencia
detecta una persona en la plataforma conforme el tren pasa? b)
¿Qué longitud de onda detecta una persona conforme el tren se
aproxima?
f ’= f (v  v0)/(v vs)

v0 = 0
vs = 40 m/s
f = 320 Hz
f ’= 320(343  0)/(342 – 40)
= 362
’ = 343/362 = 0.95 m

Tarea
Una ambulancia emite un sonido de sirena de 450 Hz, encuentre
la frecuencia que escucha un oyente si
a) La ambulancia se mueve hacia él a 20 m/s
b) La ambulancia está en reposo y el oyente se mueva hacia
ella a 20 m/s
c) La ambulancia se mueve hacia el a 10 m/s y el se mueve
hacia la ambulancia a 10 m/s ambos respecto al piso.
d) La ambulancia se aleja a 10 m/s y el oyente está en reposo.

Superposición e interferencia de
ondas senoidales
El principio de superposición nos indica que cuando dos o más ondas se
mueven en el mismo medio lineal, el desplazamiento neto del medio en
cualquier punto es igual a la suma algebraica de los desplazamientos
causados por todas las ondas.
Podemos expresar las funciones de onda individuales como
y1 = A0 sen (kx - wt) y2 = A0 sen (kx - wt - )

En consecuencia, la función de la onda resultante y es
y = y1 + y2 = A0 [sen (kx - wt) + sen (kx - wt - )]
Esta puede rescribirse como
y = 2A0 cos ( / 2) sen (kx - wt - / 2)]

Si la constante de fase es cero, entonces la amplitud
resultante es 2A0. En este caso, se dice que las ondas
estarán en fase, por lo que interferirán
constructivamente.
En general, la interferencia constructiva ocurre cuando cos
( / 2) = 1, lo cual es equivalente a que  = 0, 2 , 4 , ...
rad.
Por otra parte, si  es igual a  rad, o a cualquier múltiplo
impar de , entonces cos (/2) = 0 y la onda resultante
tiene amplitud cero.
En este caso, las ondas interferirán destructivamente.

Interferencia de ondas sonoras
Dispositivo para producir interferencia en ondas
sonoras.
Cuando la diferencia en las longitudes de las
trayectorias r = r2 - r1 es cero o algún
múltiplo de la longitud de onda , las dos ondas
alcanzan el receptor y están en fase e interfieren
constructivamente.
Si la longitud de r2 se ajusta de manera que la
diferencia de trayectorias es /2, 3/2, ..., n/2
(para n impar), las dos ondas están exactamente
180º fuera de fase en el receptor y
consecuentemente se cancelan entre sí.
La diferencia de trayectoria se puede expresar en
función de la diferencia de fase como



2

r

Considere dos ondas senoidales en el mismo medio con la
misma amplitud, frecuencia y longitud de onda pero viajando
en direcciones opuestas. Sus funciones de onda pueden
escribirse
y1 = A0 sen (kx - wt) y2 = A0 sen (kx + wt)
donde y1 representa la onda que viaja hacia la derecha y y2
representa la onda que viaja hacia la izquierda. La suma de las
dos funciones produce la función de onda resultante y:
y = y1 + y2 = A0 sen (kx - wt) + A0 sen (kx + wt)
Esta expresión se reduce a:
y1 = (2A0 sen kx)cos wt
que es la función de una onda estacionaria.

Superposición de dos ondas viajeras que produce
una onda estacionaria.

La amplitud máxima tiene un valor 2A0. Dicho máximo ocurre cuando las
coordenadas x satisfacen la condición sen kx = 1, o cuando
puesto que k = 2/, las posiciones de amplitud máxima, llamadas antinodos,
son
Del mismo modo, la onda estacionaria tiene una amplitud mínima de cero
cuando x satisface la ecuación sen kx = 0, o cuando
kx = , 2  , 3 , ...
lo que produce
Estos puntos de amplitud cero se denominan nodos.
,...
5
,
3
,
1
4
,...
4
5
,
4
3
,
4


 n
n
x




,...
3
,
2
,
1
,
0
2
,...
2
3
,
,
2


 n
n
x




,...
2
5
,
2
3
,
2




kx

Ejemplo
Dos ondas senoidales se describen por las ecuaciones:
y
donde x, y1 y y2 están en metros y t en segundos, a) ¿Cuál es la
amplitud de la onda resultante? b) ¿Cuál es la frecuencia de la
onda resultante?
y = 2A0 cos ( / 2) sen (kx - wt - / 2)]
y1 = (5m)sen[2(4.00x- 1. 2t)]
y2 = (5m)sen[2(4.00x- 0.25t)]

Cuando dos ondas que se propagan en sentidos opuestos
interfieren, se produce una situación muy curiosa: la onda
resultante tiene una amplitud que varía de punto a punto, pero
cada uno de los puntos oscila con MAS, y en fase con los
demás, dando lugar a lo que se conoce como ondas
estacionarias.
Las ondas estacionarias pueden observarse en una cuerda
sujeta por ambos extremos en la que se produce una vibración.
La onda que viaja hacia la derecha se encuentra con la que se
refleja en el extremo fijo y se produce la interferencia de
ambas.
Ondas estacionarias en una cuerda

Consideremos una cuerda de longitud L, sujeta por un
extremo, sometida a una tensión (si no se ejerce tensión sobre
la cuerda no habrá propagación de las ondas), en tanto que en
el otro extremo la sometemos a un movimiento vibratorio,
mediante un dispositivo llamado vibrador que produce un tren
de ondas senoidales. Las ondas producida por el vibrador
viajan por la cuerda y se reflejaban en el extremo opuesto
produciendo ondas estacionarias siempre y cuando la tensión,
la frecuencia y la longitud de la cuerda tengan
valores apropiados.

Hay puntos del medio en los cuales las ondas se encontrarán en
oposición de fase. La superposición de las ondas en esos puntos
daría una vibración nula. Los llamaremos nodos de vibración, o
simplemente, nodos. Escojamos como origen de abcisas uno de
esos puntos y un origen de tiempos de modo que la ecuación de
la elongación y1 , cuando la onda 1 este sola, queda de la
siguiente forma:
Es decir, para
con lo cual para
En ese caso la ecuación de la elongación del punto O será la
superposición de las elongaciones de las dos ondas y nos da una
elongación y = 0, será un nodo de vibración.
y = A sen ( wt + π / 2)]=A cos (wt )
t=0 y1 = A
t=0 y2 = -A

En un punto M, de abcisa x, encontraremos que la ecuación de
los dos frentes de ondas sería:
y1 = A cos( wt -kx)
y2 = A cos[wt –k(-x)]=A cos( wt +kx)
Con lo cual la elongación del punto M sería:
y= y1 + y2 = A [cos( wt -kx) + cos( wt +kx)]
y= -2Asen [(wt -kx + wt +kx) / 2)]sen[( wt -kx -wt -kx) / 2]
y = -2Asen(wt ) sen(-kx )
Pero sen(-kx )=-sen(kx )
Luego
y = 2Asen(wt ) sen(kx )

La ecuación anterior es la de un movimiento armónico simple.
Todos los puntos de la cuerda estarán vibrando, salvo los nodos,
sin que haya un desplazamiento de la fase. La amplitud del
MAS en este caso es 2Asen(kx )
En la figura se representan dos ondas, 1 y 2, que se propagan en sentido
opuesto y en el instante inicial, t = 0. En ese instante, las dos ondas están
en oposición de fase en el punto 0, donde se produce un nodo.
Como resultado de la superposición de las ondas 1 y 2 se obtiene la onda
estacionaria 3, cuya amplitud es 2A.

Se llaman así a los puntos en los que la amplitud es cero. Se
caracterizan porque en este caso sen kx = 0, lo cual se cumple
cuando kx=nπ .
Como , se tiene entonces que , con n perteneciente
a N.
Los sucesivos nodos de vibración se encontrarán a
Los nodos de vibración son equidistantes, dos nodos
consecutivos distan media longitud de onda
Nodos


2

k
2

n
x 
...
2
3
,
,
2
,
0




Son los puntos del medio donde la amplitud es máxima, es
decir,
2Asen kx = ±1
Lo cual se cumple cuando
Como , entonces:
Y finalmente tenemos que:
 
2
1
2


 n
kx
Vientres
 
2
1
2
2 



 n
x


2

k
 
4
1
2


 n
x

Los sucesivos vientres se encontrarán a:
Los vientres son equidistantes, dos vientres consecutivos distan
media longitud de onda. En consecuencia, la distancia entre un
nodo y un vientre consecutivo es un cuarto de longitud de onda.
...
4
7
,
4
5
,
4
3
,
4





De manera general, cuando una cuerda de longitud L, sujeta
por un extremo, sometida a una tensión y por su otro extremo
la sometemos a un movimiento vibratorio y vamos ajustando
la tensión en el otro extremos, podemos conseguir los
llamados modos normales de vibración de dicha cuerda. El
primer modo normal, mostrado en la figura, tiene nodos en sus
extremos y un antinodo a la mitad. Este modo normal, llamado
modo fundamental, se presenta cuando la longitud de onda 1
es igual al doble de la longitud L de la cuerda. Los demás
modos y la relación entre la longitud de onda se muestran en
la figura:

En general, las longitudes de onda de los diversos modos
normales pueden expresarse convenientemente como:
Donde el índice n se refiere al iésimo modo de vibración. La
frecuencia natural de oscilación asociada a estos modos se
obtiene de la relación:
Donde la velocidad de onda es la misma para todas las
frecuencias. De esta forma tenemos que las frecuencias de los
modos normales son
 
...
3
,
2
,
1
2

 n
n
L
n


v
f 
 
...
3
,
2
,
1
2


 n
v
L
n
v
f
n
n


Debido a que:
Donde F es la tensión en la cuerda y m es su masa por unidad
de longitud, también podemos expresar las frecuencias
naturales de la cuerda tensada como:
La frecuencia mas baja, corresponde a n=1, es conocida como
fundamental o la frecuencia fundamental , y esta dada por.
m
F
v 
 
...
3
,
2
,
1
2
2


 n
F
L
n
v
L
n
fn
m
m
F
L
f
2
1
1 
1
f

Ondas estacionarias en columnas de aire
El fenómeno de ondas estacionarias, también se puede
apreciar en los llamados tubos sonoros abiertos y cerrados.
Los tubos de caña o de otras plantas de tronco hueco,
constituyeron los primeros instrumentos musicales. Emitían
sonido soplando por un extremo. El aire contenido en el tubo
entraba en vibración emitiendo un sonido.
Las versiones modernas de estos instrumentos de viento son
las flautas, las trompetas y los clarinetes, todos ellos
desarrollados de forma que el intérprete produzca muchas
notas dentro de una amplia gama de frecuencias acústicas.
El órgano es un instrumento formado por muchos tubos en
los que cada tubo da una sola nota.

Modos normales de vibración en tubos abiertos

normales en un tubo abierto por sus dos extremos pueden
expresarse convenientemente de la siguiente forma:
La frecuencia natural de oscilación asociada a estos modos se
De manera general se tiene que las frecuencias de los modos
normales son
Con como la velocidad del sonido.
 
...
3
,
2
,
1
2

 n
n
L
n


s
v
f 
 
...
3
,
2
,
1
2


 n
v
L
n
v
f s
n
s
n

s
v

Modos normales de vibración en tubos cerrados

normales en un tubo abierto por uno de sus extremos y cerrado
por el otro pueden expresarse convenientemente de la
siguiente forma:
La frecuencia natural de oscilación asociada a estos modos se
De manera general se tiene que las frecuencias de los modos
normales son
Con como la velocidad del sonido.
 
 
...
3
,
2
,
1
,
0
1
2
4


 n
n
L
n


s
v
f 
   
...
3
,
2
,
1
,
0
4
1
2



 n
v
L
n
v
f s
n
s
n

s
v

1. Una cuerda de 2 metros de longitud y masa 1 Kg está fija de ambos
extremos. La tensión de la cuerda es de 20 N.
a) ¿ Cuáles son las frecuencias de los tres primeros modos de
vibración?
b) Si en un punto ubicado a 0,4 m hay un nodo. ¿ En qué modo de
vibración y con qué frecuencia está vibrando la cuerda?
2. Encontrar La frecuencia fundamental y los siguientes tres modos de
vibración de una onda estacionaria sobre una cuerda de 3 metros de
longitud y densidad lineal de masa de 9x10-3 Kg/m y que está sometida
a una tensión de 20 N.
3. Se forma una onda estacionaria sobre una cuerda de 120 cm de largo
fija de ambos extremos. Vibra en 4 segmentos cuando la frecuencia es
de 120 Hz.
a) Determine la longitud de onda.
b) Determine la frecuencia fundamental de vibración.
Ejercicios

Interferencia Espacial
Las ondas sonoras, luminosas y las ondas en el agua, presentan
patrones de interferencia en el espacio.
Si se tienen dos fuentes sonoras ligeramente espaciadas se
produce interferencia como la de la figura.
P

Pulsaciones
Las pulsaciones se producen cuando se superponen dos ondas de
frecuencias ligeramente diferentes.
Sean y1 = A0 cos 2f1t y y2 = A0 cos 2f2t, es fácil mostrar que
y = y1 + y2 = A0 cos 2f1t + A0 cos 2f2t =
2A0 cos 2f1  f2/2 t cos 2f1  f2/2 t
Resultante dos formas de onda senoidales
de diferente frecuencia y la misma
amplitud.
Note como varía la amplitud de la
resultante.

Series de Fourier
El teorema de Fourier establece que una función periódica y(t)
puede escribirse como una suma de senos y cosenos de la forma:
   
 

n
n
n
n
n t
f
B
t
f
A
t
y 
 2
cos
2
sen
Síntesis de una onda
cuadrada como suma de
funciones seno.
Esta función solo utiliza
funciones seno para su
síntesis, es decir Bn = 0
para toda n.

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