Una simple y breve presentación de algunas soluciones solitónicas.

1. Universidad Central de Venezuela
Escuela de Física
Laboratorio de Física Teórica de Sólidos
Solitones
Una simple y breve presentación de algunas soluciones solitónicas.
Lic. Alejandro Claro Mosqueda
<aclaro@fisica.ciens.ucv.ve>

2. La ecuación de onda escalar
Antes de introducir el concepto de solitón, es conveniente primero considerar el
modelo más simple de propagación de onda en una dimensión.
donde φ(x, t) es la amplitud de la onda y 'c' es una constante real positiva.
La solución general de esta ecuación es simple y bien conocida:
Estas ondas no interactúan entre si debido a que la ecuación diferencial es
lineal, así que la solución es simplemente la superposición de estas ondas.

3. La ecuación de onda escalar
La naturaleza de los problemas físicos sugiere que la solución debe ser única.
Esta solución única puede ser determinada, por ejemplo, dadas las condiciones
iniciales (datos de Cauchy):

4. La ecuación de onda escalar
Antes de estudiar propiedades elementales de las ondas y de los medios en los
cuales se propagan es conveniente, por simplicidad y sin pérdida de
generalidad, estudiar ondas que se propagan en una sola dirección. Para ello
resulta bastante práctico “factorizar” la ecuación de onda escalar e igualar a cero
cada factor.

5. La ecuación de onda escalar
La factorización es entonces:
y no es difícil darse cuenta que,
tiene como solución:
La cual es justamente la solución que nos interesa.

6. La ecuación de onda escalar
Para estudiar las propiedades de los medios en los cuales se propagan
ondas, recordemos la solución de onda armónica:
donde cantidad 'k' es una constante real que tiene un significado especial y es
llamada número de onda.
Otra forma conveniente de escribir la solución de onda armónica es:
donde ω es conocida como la frecuencia angular
velocidad por:
y está relacionada con la

7. Dispersión
En ocasiones, es posible que un modelo nos lleve a ecuaciones de movimiento
que describen fenómenos como la dispersión de onda y la disipación. Si a la
ecuación de onda escalar le suma el término φxxx se obtiene la más simple de las
ecuaciones de campo “dispersivo”:
Si para examinar esta ecuación tomamos como
armónica, encontramos que se debe cumplir la relación:
la cual se conoce como relación de dispersión.
solución
la
onda

8. Dispersión
En esta caso, esta relación nos dice que ondas armónicas con numero de onda
diferente se propagan con velocidades diferentes:
A este fenómeno es lo que se conoce como dispersión de onda.
Si por ejemplo tomamos como solución la superposición de un número arbitrario
de soluciones de onda armónica, cada una con un número de onda distinto:
donde se supone que 'A(k)' es conocido (es la transformada de Fourier de la
condición inicial).

9. Dispersión
Entonces el efecto observado es que la solución cambia de forma (se dispersa)
según se mueve, debido a que cada componente viaja con velocidad distinta.

10. Disipación
Antes encontramos una relación de dispersión ω(k) que es real para k real. Sin
embargo, ese hecho es sólo cierto si a la ecuación de onda escalar se le suman
derivadas parciales de φ con respecto a x de orden impar. Si por el contrario, se
decide sumar algebraicamente derivadas de orden par, como por ejemplo:
entonces encontramos, al probar con la solución de onda armónica, algo diferente
en la relación de dispersión:
¡esta relación de dispersión es compleja!

11. Disipación
Es evidente que se trata de una onda propagándose con velocidad 'c', pero que
su amplitud disminuye exponencialmente para cualquier |k| > 0 según t → ∞:
A este decaimiento exponencial de la amplitud de la onda es lo que se conoce
como disipación.
Si de nuevo tomamos como solución la superposición de un número arbitrario
de soluciones de onda armónica, cada una con un número de onda distinto:

12. Disipación
Entonces, el efecto observado es que la solución cambia de forma según se
mueve debido no sólo a que cada componente disminuye su amplitud, sino también
debido a que cada una disminuye con distinta velocidad.

13. No linealidad
Resolver ecuaciones diferenciales no lineales no es una tarea simple. Un
ejemplo típico de ecuaciones de onda no lineales se obtiene al sumar el término
no lineal del tipo mas simple a la ecuación:
No lineal
Por suerte, la solución general de la esta ecuación es relativamente fácil de
obtener por medio del método de “características”:

14. No linealidad
Esta solución exhibe un fenómeno muy peculiar: la velocidad, v = c (1 +
φ), depende de la amplitud. Así que, puntos con mayor amplitud viajan con
mayor velocidad, causando que la onda se deforme a medida que se propaga.
Es importante acotar que, a diferencia de las ecuaciones diferenciales
lineales, el principio de superposición no es válido.

15. Ondas Solitarias
Algunas ecuaciones diferenciales parciales no lineales (NLPDE) exhiben
soluciones de onda viajera localizada que preserva su ''identidad'' a medida que
se propaga, conocida con el nombre de onda solitaria.
El primer informe sobre la observación
de una onda solitaria titulado “Report on
Waves” fue publicado en 1844 por Scott
Russell.
Dado que el medio es dispersivo la
existencia de estas olas no se puede
explicar
mediante
aproximaciones
lineales.

16. Ondas Solitarias
A primera vista, parece extraño que una ecuación de campo dispersiva, o
disipativa, no lineal pueda exhibir este tipo de soluciones, puesto que si cada
efecto (dispersión, disipación, o no linealidad) aparece por separado, soluciones
de este tipo no existen.
Es solo cuando el balance entre el efecto de la no linealidad y el efecto
dispersivo o disipativo que la onda solitaria aparece como solución.

17. Solitones
Algunas ecuaciones de movimiento presentan soluciones con más de una onda
solitaria que luego de interactuar entre si, resurgen recuperando su forma y
quedando como único producto de la interacción, un corrimiento de fase. Las
ondas solitarias que presentan esta característica especial reciben el nombre de
solitones.

18. Solitones no topológicos:
La ecuación de Korteweg-de Vrie
La ecuación de Korteweg-de Vrie (KdV):
presenta soluciones conocidas como solitones no-topológicos.
Esta ecuación se a utilizado para modelar de forma aproximada:

Ondas superficiales en aguas poco profundas.
Ondas internas en oceanografía.

Pulsos en la presión sanguínea.

Excitaciones tipo pulso en plasma.

Fonones termalmente excitados en cristales no-lineales.


19. Solitones no topológicos:
La ecuación de Korteweg-de Vrie
La solución de un solitón de la ecuación de Korteweg-de Vrie es:
donde 'v' es la velocidad del solitón y x0 la posición del solitón en el instante t = 0.

20. Solitones no topológicos:
La ecuación de Korteweg-de Vrie
Una solución de dos solitones de la ecuación de Korteweg-de Vrie:

21. Solitones no topológicos:
La ecuación de Kadomtsev-Petviashvili
La ecuación de Kadomtsev-Petviashvili (KP):
presenta solitones no-topológicos en 2+1.
F:solitonfiguraskp02.gif
¡Solitones en el Estrecho de Gibraltar!

22. Solitones no topológicos:
La ecuación de Kadomtsev-Petviashvili

23. Solitones topológicos:
La ecuación Sine-Gordon
La ecuación de Sine-Gordon (SG):
presenta soluciones conocidas como solitones topológicos.
Esta ecuación se ha utilizado para modelar de forma aproximada:

Propagación de flujo magnético en junturas Josephon (fluxones).
Propagación de deslocalización de cristales en sólidos.

Propagación de pulsos ópticos ultra cortos.

Propagación de excitaciones en paredes de Bloch.

Péndulos acoplados por resortes de torsion.


24. Solitones topológicos:
La ecuación Sine-Gordon
Solución tipo Kink:
donde 'v' es la velocidad del solitón y x0 la posición del solitón en el instante t = 0.

25. Solitones topológicos:
La ecuación Sine-Gordon
Solución tipo Antikink:
que difiere del Kink por su carga topológica, definida por:

26. Solitones topológicos:
La ecuación Sine-Gordon
Colisión Kink-Antikink:

27. Solitones topológicos:
La ecuación Sine-Gordon
Solución “breather” estacionario:
donde 'u' no es la velocidad. De hecho, esta solución se obtiene al sustituir v → iu
en la solución Kink-Antikink.

28. Solitones topológicos:
La ecuación Sine-Gordon

29. Solitones topológicos:
La ecuación Sine-Gordon

30. Solitones ópticos:
La ecuación de Schrödinger no lineal
La ecuación de Schrödinger no lineal (NLS):
presenta soluciones conocidas como solitones ópticos.
Esta ecuación se a utilizado para modelar de forma aproximada:

Propagación de paquetes de onda ultra cortos en fibra óptica.
Excitaciones sinusoidales en plasma.

Condesando de Bose-Einstein.


31. Solitones ópticos:
La ecuación de Schrödinger no lineal
Solución para la ecuación NLS con signo negativo (“auto-enfocada”):
donde 'a' es la amplitud de la modulación y 'v' la velocidad de grupo. A esta
solución se le suele llamar solitón “brillante”.

32. Solitones ópticos:
La ecuación de Schrödinger no lineal
Solución para la ecuación NLS con signo positivo (“auto-desenfocada”):
donde,
A esta solución se le suele llamar solitón “oscuro” o “gris”.

33. Solitones ópticos:
La ecuación de Schrödinger no lineal
La ecuación de Schrödinger no lineal generalizada (GNLS):
presenta soluciones conocidas como “light bullets” en 3+1.

34. Sistemas perturbados
Las soluciones solitónicas son interesantes por sus propiedades matemáticas
porque pueden ser estudiadas por medio de métodos matemáticos muy
elegantes.
Sin embargo, a muchos físicos les deben parecer “aburridos” porque una vez
que se producen sobreviven permanentemente y solo experimentan un
corrimiento de fase cuando colisionan.
Por suerte, fenómenos que son despreciados a la hora de derivar las
ecuaciones de campo como:

Términos de mayor orden.
Disipasion.

Efectos debidos a la naturaleza discreta del sistema.

pueden ser tratados como perturbaciones en torno a la solución solitonica e
investigados por métodos perturbativos.

35. Sistemas perturbados
Todas la ecuaciones en 1+1 presentadas anteriormente tiene solución del tipo
onda armónica:
en la aproximación de pequeñas oscilaciones. Lo cual indica que puede ser de
gran interés estudiar excitaciones en torno al solitón utilizando una solución de la
forma:
Si para una perturbación cualquiera la solución permanece “cerca” de la solución
solitonica (φs) todo el tiempo, entonces se dice que el solitón es estable.

36. Sistemas perturbados
Si se sustituye esta solución perturbada e la ecuación diferencial. Por
ejemplo, consideremos ecuaciones tipo Klein-Gordon no-lineales:
se obtiene que la ecuación que gobierna las pequeñas oscilaciones entorno al
solitón es:
donde,
y
. Esta última ecuación es análoga
a la ecuación de Schrödinger unidimensional de una partícula moviéndose bajo
la acción de un potencial de pozo que se observa en mecánica cuántica.

37. Sistemas perturbados
El espectro continuo corresponde físicamente a ondas dispersivas que se
propagan espacialmente, llamadas fonones en la terminología de física de
estado sólido.
Por otro lado, como el “potencial” es un pozo de “energía potencial”, es de
esperarse que también se observe un espectro discreto (“estados ligados”). Por
ejemplo para la ecuación Sine-Gordon, la ecuación que gobierna las pequeñas
oscilaciones tiene la forma:
Este potencial es un caso particular del potencial Pöschl-Teller y solo presenta
un estado ligado.

38. Sistemas perturbados
Este potencial es un caso particular del potencial Pöschl-Teller y solo presenta
un estado ligado que corresponde con el auto-valor ω0 = 0.
Este modo es muy importante en la teoría de perturbaciones porque esta
relacionado con la invarianza ante traslaciones en la ecuación diferencial. De
hecho es proporcional a la derivada de la solución solitónica y por ello recibe el
nombre de modo de traslación.
Esta auto-función del espectro discreto junto con las auto-funciones
correspondientes al espectro continuo forma una base completa. En este hecho
es donde reside la importancia de consideración inicial en donde se propuso la
onda armónica para estudiar las perturbaciones.

39. Sistemas perturbados
Puesto que sirven como herramienta matemática para estudiar sistemas
perturbados ademas tener un significado directo:


El coeficiente del modo de traslación mide la amplitud de la traslación
del solitón bajo la influencia de la perturbación
Los coeficientes de los modos en el espectro continuo dan la
deformación del solitón.
Otro sistema que vale la pena estudiar como ejemplo es el conocido modelo φ4:
pues presenta resultados cualitativamente distintos los cuales traen consigo
consecuencias muy importantes.

40. Sistemas perturbados
El modelo φ4 presenta una solución tipo Kink (Antikink):
y la ecuación que gobierna las pequeñas oscilaciones es muy similar a la
observada para Sine-Gordon:
Pero se observa, aparte del modo de traslación con frecuencia ω0 = 0.

41. Sistemas perturbados
un segundo “estado ligado” con auto-valor ω1 = 3/2.
que corresponde físicamente con una oscilación interna localizadas alrededor
del kink. Como la oscilación de este modo interno (o modo de forma) está
localizada en torno al kink, es el candidato natural para el grado de libertad en el
cual se almacena e intercambia energía de traslación con el solitón.

42. Sistemas perturbados
Ejemplos
Como primer ejemplo veamos el modelo φ4 perturbado bajo la acción de una
fuerza estática homogénea:
que presenta soluciones solitónicas de la forma:
donde se debe cumplir:

43. Sistemas perturbados
Ejemplos
Este solitón puede ser visto bajo el enfoque de partícula puntual bajo la acción
de un potencial efectivo V(x) = Gx.

44. Sistemas perturbados
Ejemplos
Como segundo ejemplo veamos el modelo φ4 perturbado bajo la acción de una
fuerza estática inhomogénea de la forma:
Cuando A2 = 1 esta fuerza representa una impureza localizada en x = 0.
Cuando A2 = 4B2 la fuerza representa una frontera entre dos fases en x = 0.
En este caso se encuentra una solución solitónica estática de la forma:

45. Sistemas perturbados
Ejemplos
Este solitón también puede ser visto bajo el enfoque de partícula puntual bajo la
acción de un potencial efectivo.

46. Sistemas perturbados
Ejemplos
Otro buen ejemplo es el modelo φ4 perturbado en la forma que lo estudio
Kälbermann:
Que representa dos impurezas, una atractiva (un pozo) y una repulsiva (una
barrera).

47. Sistemas perturbados
Ejemplos
Y como último ejemplo veamos el modelo φ4 perturbado en la forma que lo
estudiaron Bellorín y Gonzáles:
donde, x* es el punto donde la primera función (G1) tiene un mínimo y c = G1(x*).

48. Sistemas perturbados
Ejemplos
En este problema al ser estudiado por el método perturbativo presentado:
revela la importancia del modo forma en el proceso de tunelaje.
Velocidad vs. Tiempo
Modo de forma vs. Tiempo

49. Universidad Central de Venezuela
Escuela de Física
Laboratorio de Física Teórica de Sólidos
FIN