El documento explica los conceptos fundamentales de los métodos numéricos y las cifras significativas. Los métodos numéricos proporcionan soluciones aproximadas a problemas matemáticos que no tienen soluciones analíticas exactas. Estos métodos utilizan operaciones aritméticas y lógicas para aproximar soluciones. También introduce los conceptos de error y propagación de error en los cálculos numéricos así como las cifras significativas de un número.

1. TEORÍA DE ERRORES Y
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
ING. PABLO AGUILAR GOMEZ

3. A
B
C
D

4. En el campo de la ingeniería y
ciencias, existen infinidad de
fenómenos que requieren
representarse mediante modelos
matemáticos, desafortunadamente,
la gran mayoría de estos modelos
no tiene una solución exacta ó no es
fácil el hallarla.
Es estos casos es en donde los métodos numéricos proporcionan una solución
aproximada al problema original, un método numérico es aquel que obtiene
números que se aproximan a los que se obtendrían aplicando la solución analítica
de un problema.

5. Definición de métodos numéricos
Un método numérico es un conjunto de pasos (procedimientos) diseñados
para obtener una solución aproximada a un problema.
Para lograr este objetivo, se utilizan cálculos puramente aritméticos y lógicos.
Son metodologías que utilizan técnicas
algebraicas y aritméticas que se realizan
a partir de un problema planteado para
resolver de forma aproximada
ecuaciones o sistemas de ecuaciones
complejas, que analíticamente resultan
muy difíciles de resolver, las cuales es
posible formular problemas con
operaciones aritméticas.

6. Importancia
El estudio de los métodos numéricos es muy
útil y por ende importante para quien quiera
que necesite herramientas para resolver
operaciones, las cuales se saben que pueden
resultar complicadas y por más que se
dominen los métodos tradicionales, estos
muchas veces pueden no ser suficientes.
Los métodos numéricos pueden ser
aplicados para resolver procedimientos
matemáticos en: Cálculo de derivadas,
Integrales, Ecuaciones diferenciales,
Operaciones con matrices.

7. Objetivo del análisis numéricos
Diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de
problemas expresados matemáticamente.
Encontrar soluciones “aproximadas”
a problemas complejos utilizando
sólo las operaciones más simples de
la aritmética. (secuencia de
operaciones algebraicas y lógicas)

8. Procedimientos matemáticos donde se aplican
los métodos numéricos:
Cálculo de derivadas
1
Integrales
2
Ecuaciones diferenciales
3
Operaciones con matrices
4
Interpolaciones
5
Ajuste de curvas
6
Polinomios
7

9. Áreas donde se aplican los métodos numéricos:
Ingeniería en Sistemas
1
Ingeniería Mecatrónica
2
Ingeniería
Electromecánica
3
Ingeniería Civil
4
Ingeniería en Industrias
Alimentarias
5
Cualquier ingeniería en
general
6

10. Estudio de métodos computacionales

12. Los métodos numéricos obtienen una aproximación a una solución analítica,
esta solución presenta cierta diferencia o error ya que los métodos numéricos
son solo una aproximación.
Los errores pueden clasificarse en dos grandes grupos que son:
Por su procedencia
a
Por su características
b

13. a
Este tipo de errores generalmente son los que vienen en los datos y pueden
ser humanos por la limitación de los instrumentos de medición y pueden ser
productos de resultados experimentales donde existe incertidumbre en la
precisión de los datos.
✓ Lectura
✓ Transmisión
✓ Transcripción
✓ Programación

14. En los fenómenos de la naturaleza muchas veces efectuamos ciertas
hipótesis, es decir aceptamos determinadas condiciones que nos
dará una situación aproximada del fenómeno estudiado, de esta manera
podemos plantear el comportamiento de dicho fenómeno por medio de un
modelo matemático.
Error del modelo o error del problema

15. Cuando un problema planteado en forma
precisa no puede resolverse en forma
exacta o es muy difícil de hallar la
solución, se formula una aproximación
del modelo, que ofrezca prácticamente
los mismo resultados (método).
Error del Método
Son los originados por las series
infinitas, al considerar solo una
parte finita. Por ejemplo:
Para cierto valor n.
e = 2 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + . . . + 1/n!
Error Residual

16. Son los originados por los parámetros cuyos valores son conocidos
aproximadamente: Ejemplo: La constante de Planck
Error Inicial
Originados por la representación finita de los
números, es el caso de las computadoras
(notación de punto flotante) ejemplo: se
redondea en un numero finito de dígitos.
2/3 se puede redondear a 0,667
Errores de Redondeo

17. Son aquellos, que sin variar las condiciones del ensayo entran de igual
modo en cada resultado de las mediciones, pueden ser originados por:
Errores Sistemáticos
❖ Defecto del instrumento
❖ Las condiciones del ambiente
❖ La metodología de la medición
❖ Precisión limitada del instrumento
❖ Las particularidades del
experimentador

19. b
Este tipo de errores se definen en las siguientes manera:
Sea A= numero exacto ; a= numero aproximado
Entre ellas se tiene los siguientes errores:
Error absoluto
a
Error relativo
b
Error porcentual
c

20. Error absoluto
a
Llamamos error absoluto del numero aproximado “a” al valor:

21. Error relativo
b
Llamamos error relativo del numero aproximado “a” al valor:

22. Error porcentual
c
El porcentaje de errores,
formalmente, la magnitud
de la diferencia entre un
valor exacto y uno
aproximado, dividida por
la magnitud del valor
exacto por 100 casos
(tiene forma de
porcentaje)

24. Los errores inherentes son aquellos que tienen los datos de entrada de un
problema y son debidos principalmente a que se obtienen experimentalmente,
debiéndose tanto al instrumento de medición, como a las condiciones de
realización del experimento.
Este tipo de errores se clasifican en dos grupos.
Error por truncamiento
a
Error por redondeo
b

25. Error por truncamiento
a
Conceptualmente sabemos que la matemática tradicional incluye procesos
infinitos en sus cálculos, el calculo numérico que este limitado por la
herramienta que utiliza entonces solamente puede realizarse procesos
finitos esto es:
Ante la imposibilidad de tomar todos los términos de la serie, se requiere
truncar después de cierto número de términos. Esto nos introduce
ciertamente un error, que es el error de truncamiento.

26. TRABAJO DE
INVESTIGACION Nº1
Investigar sobre la
SERIE DE TAYLOR

27. Error por redondeo
b
Los errores de redondeo, se originan al
realizar los cálculos que todo método
numérico o analítico requieren y son
debidos a la imposibilidad de tomar
todas las cifras que resultan de
operaciones aritméticas como los
productos y los cocientes, teniendo que
retener en cada operación el número de
cifras que permita el instrumento de
cálculo que se este utilizando.

28. Las cifras significativas de un número son aquellas que tienen un
significado real y por tanto, aportan alguna información.
Cifras significativas
En la medida expresada como 4,563 m
si conocemos con seguridad hasta la 4ª cifra.
Nos da idea de que el instrumento con que se ha medido esta longitud
puede apreciar hasta los milímetros.
Esta medida tiene cuatro cifras significativas.
Las cifras significativas son los dígitos de un número que consideramos no
nulos.

29. Norma Ejemplo
Son significativos todos los
dígitos distintos de cero.
Los ceros situados entre
dos cifras significativas son
significativos.
Los ceros a la izquierda de
la primera cifra significativa
no lo son.
Para números mayores que
1, los ceros a la derecha de
la coma son significativos.
8723 tiene cuatro cifras
significativas.
105 tiene tres cifras
significativas.
0,005 tiene una cifra
significativa.
8,00 tiene tres cifras
significativas.

30. De acuerdo a estudios realizados se ha determinado que la forma de
almacenar un numero real de una computadora es utilizado el formato del
punto flotante.
Aritmética del punto flotante
Todo numero puede estar representada por una fracción llamada mantiza la
cual es multiplicada por una potencia del numero base al que llamaremos
exponente.

32. Los errores asociados con los cálculos y mediciones se pueden caracterizar
observando su precisión y exactitud. La mayoría de la gente piensa que estos
términos son sinónimos.
Se refiere a qué tan cercano está un valor calculado o medido del valor
verdadero.
Se refiere a qué tan cercano está un valor individual calculado o medido
con respecto a otros.

33. Sesgo o Inexactitud: Se define como una desviación del valor verdadero.
Inexactitud y Precisión
Imprecisión o Incertidumbre: Magnitud en la dispersión de los resultados.
Lo que se espera de un método numérico es que sea exacto, es decir, con
el menor sesgo posible y precisos con poca incertidumbre.

35. Considerar los siguientes datos para llegar un valor de 185,32:
Ejemplo

36. De un método numérico se espera que sea exacto, con el menor
sesgo posible y preciso, es decir con poca incertidumbre.

37. Al resolver un problema utilizando métodos numéricos, el error que se genera
será consecuencia de un cumulo de errores ocurridos en pasos sucesivos, se
debe estudiar la mecánica de propagación de los mismos a lo largo del calculo.

38. Propagación de error en suma de diferencia

39. En un experimento se introducen 2 líquidos en un matraz y se quiere hallar
la masa total del liquido, se conocen:
Ejemplo

41. Problemas Matemáticos Y Sus
Soluciones
Modelo matemático: Es una formulación o una ecuación que expresa las
características, esenciales de un sistema físico o proceso en términos matemáticos.
vd = F(vi, p , f )
Donde :
vd = variable dependiente que refleja el comportamiento o estado del sistema.
vi = variables independientes como tiempo o espacio a través de las cuales el
comportamiento del sistema será determinado.
p = parámetros, son reflejos de las propiedades o la composición del sistema.
f = funciones de fuerza, son influencias externas sobre el sistema.

42. Solución analítica
De la segunda Ley de Newton:
F = ma ; reordenando tenemos que: →( 1 )
Características de este modelo matemático.
1.- Describe un proceso o sistema natural en términos matemáticos.
2.- Representa una simplificación de la realidad.
3.- Conduce a resultados predecibles.
Otros modelos matemáticos de fenómenos físicos pueden ser mucho más
complejos.

43. De nuevo si usamos la segunda Ley de Newton para determinar la velocidad final o
terminal de un cuerpo, tenemos un expresión de aceleración como la razón de
cambio de la velocidad con respecto al tiempo:
→ ( 2 )
Para un cuerpo que cae, la fuerza total es:
F = FD + Fu → ( 3 )
FD = La atracción hacia abajo debido a la fuerza de la gravedad.
Fu = Fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire,

44. En donde:
FD = mg → ( 4 )
m=masa
g=gravedad (9.81 m/s)
Fu = -cv → ( 5 )
c = coeficiente de resistencia o arrastre(kg/s)
v = velocidad del cuerpo(m/s)
Como la fuerza total, es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas
hacia arriba, tenemos que si combinamos las ecuaciones 3, 4 y 5 en 2 resulta:

45. → ( 6 )
→ ( 7 )
Esta ecuación es un modelo matemático que relaciona la aceleración de un cuerpo
que cae con las fuerzas que actúan sobre él. Se trata de una ecuación diferencial.
Si las ecuaciones son más complejas, se requiere de técnicas avanzadas para
obtener una solución analítica exacta o aproximada.
m
cv
mg
dt
dv −
=
v
m
c
g
dt
dv
−
=

46. Si el objeto está en reposo, v = 0 y t = 0 , y usando las teorías de cálculo,
obtenemos:
→( 8 )
Que es la solución analítica o exacta,
v(t) = variable dependiente
t = es la variable independiente
c, m = parámetros
g = función de la fuerza





 −
= 





−
e
c
gm
)
t
(
v t
m
c
1

47. Ejemplo
Ejemplo del uso de la ley de Newton:
Un paracaidista, con una masa de 68.1 kg salta de un globo aerostático fijo. Con la
ayuda de la ecuación ( 8 ), calcule la velocidad antes de abrir el paracaídas,
coeficiente de resistencia = 12.5 kg/seg.
Solución Analítica:
Datos:
m = 68.1
c = 12.5
g = 9.8 m/s2
( )
e
1
1
t
)
1835
.
0
(
t
m
c
39
.
53
e
c
gm
)
t
(
v
−






−
−
=





 −
=

48. Ejemplo del uso de la ley de Newton
Solución Analítica:
0
10
20
30
40
50
60
0 5 10
v,
m/s
t,s
Series1
t,s v, m/s
0 0
2 16.42
4 27.76
6 35.63
8 41.05
10 44.87
12 47.48
 53.39

49. Solución numérica
Ejemplo del uso de la ley de Newton.
Solución Numérica:
Cuando los modelos matemáticos no pueden resolverse con exactitud, se requiere
de una solución numérica que se aproxima a la solución exacta. Para ello hacemos
uso de los métodos numéricos. Aquí tenemos que formular el problema matemático
para que se pueda resolver mediante operaciones aritméticas.
Para la segunda Ley de Newton, al aproximar a la razón del cambio de la velocidad
con respecto al tiempo, tenemos:
dv = v = v ( ti+1 ) – v ( ti )
dt t ti+1 – ti
→( 9 )

50. Ejemplo del uso de la ley de Newton .
Solución Numérica:
Donde:
v ( ti ) = es la velocidad en el tiempo inicial ti
v ( ti+1 ) = es la velocidad después de un tiempo mas tarde: ti+1

51. sustituyendo la ec. ( 9 ) en la ec. ( 7 ):
Reordenando:
→ ( 10 )
A cualquier tiempo
Nuevo valor = viejo valor + pendiente x tamaño del paso.
( ) ( ) ( )
t
v
m
c
g
t
t
t
v
t
v
i
i
i
i
i
−
=
−
−
+
+
1
1
( ) ( ) ( ) ( )
t
t
ti
v
m
c
g
ti
v
t
v i
i
i −






−
+
= +
+ 1
1

52. Ejemplo
Datos:
m = 68.1 kg
c = 12.5 kg/s
g = 9.8 m/s
; t1 = 2 seg, v1=?
=
; t1 = 4 seg, v1=?
=
( ) ( ) ( ) ( )
t
t
ti
v
m
c
g
ti
v
1
t
v i
1
i
i −






−
+
=
+ +
( )
t
t
m
c
g 0
1
0
0
1 v
v
v −






−
+
=
( )
0
2
)
0
(
1
.
68
5
.
12
8
.
9
0
v1
−






−
+
=
( )
t
t
m
c
g 1
2
1
1
2 v
v
v −






−
+
=
( ) ( )
2
4
6
.
19
1
.
68
5
.
12
8
.
9
6
.
19
v2
−






−
+
=

53. Sustituyendo:
= 39.85 m/s
Entonces V3= 39.85 m/s
Haciendo lo mismo para V4, V5, V6
V4=44.82 m/s
V5= 48.01 m/s
V6= 49.05 m/s
( )
t
v
v
v 2
3
2
2
3 t
m
c
g −






−
+
=
( )
4
6
32
1
.
68
5
.
12
8
.
9
32
v3
−






−
+
=

54. t,s SN SA
0 0 0
2 19.6 16.42
4 32 27.76
6 39.85 35.63
8 44.82 41.05
10 48.01 44.87
12 49.05 47.48
 53.39 53.39
0
10
20
30
40
50
60
0 2 4 6 8 10 12 a
V,
m/s
t,s
Comparativo entre solución numérica
y solución analítica
Solución Numérica Solución Analítica
Ejemplo del uso de la ley de Newton
Solución Numérica:

55. Error absoluto, relativo y porcentual

56. Cifras significativas
¿Cuántas cifras significativas hay en los siguientes números
medidos?
cantidad N° c.s.
2 333
0,023
0,011 10
4,360 9
40,000
73,001
1001
0,001
49,890 99
0,000400
cantidad N° c.s.
30 000,0
18,930
3,2x1011
2,405x106
4x10-3
7,000x104
8,040x10-7
6,02x1023

57. Efectúe las operaciones matemáticas indicadas de los
números medidos conservando en mente el número de
cifras significativas.
(a) 44,3031 + 4,202 + 100012,2 + 1,43 + 0,00001=
(b) 100 + 4,2 + 0,01 + 100,034=
(c) 96,6 + 100,73 + 10,0396 + 190 + 7=
(d) (73,45/10,0)(7,09)(0,010)=
(e) (7,333,3/21,0)(43,02) =
(f) (24,44/2,3)(6,02/100,0) =
(g) (4,00)(100)(4,3) =
(h) (364,7)(8,200) =
(i) 28,64/6,0=
(j) (5,00)(1,32)/(40 652) =

58. Redondeo de números
Regla 1 . Si el primer dígito que se va a eliminar es inferior a 5,
dicho dígito y los que le siguen se eliminan y el número que
queda se deja como está.
POR EJEMPLO
los siguientes números se han redondeado a
4 cifras significativas:
1,4142136… → 1,4142136… → 1,414
2,4494897... → 2,4494897...→ 2,449

59. Regla 2. Si el primer dígito que se va a eliminar es superior a 5, o si es 5
seguido de dígitos diferentes de cero, dicho dígito y todos los que le siguen
se eliminan y se aumenta en una unidad el número que quede.
Los siguientes números se han redondeado a cuatro cifras
significativas:
Π = 3,1415927… → 3,1415927… → 3,142
2,6457513... → 2,6457513...→ 2,646
POR EJEMPLO

60. Regla 3. Si el primer dígito que se va a eliminar es 5 y todos los dígitos
que le siguen son ceros, dicho dígito se elimina y el número que se va a
conservar se deja como está si es par o aumenta en una unidad si es
impar.
POR EJEMPLO
los siguientes números se han redondeado a cuatro cifras significativas:
61,555 → 61,555 → 61,56
2,0925 → 2,0925 → 2,092

61. Método interactivo

62. Serie de Taylor