Trabajo

1. Cálculo Numérico y Manejo de Errores
El cálculo numérico se utiliza generalmente cuando no se puede resolver el
problema matemático, es decir hallar una relación funcional entre el conjunto de entrada y
el de salida. Los pasos a seguir son:
1. Estudio teórico del problema: existencia y unicidad de la solución.
2. Aproximación: Crear una solución para un número finito de valores existencia y unicidad
estabilidad y convergencia
3. Resolución: Elección de un algoritmo numérico
Elección del algoritmo: Costo y estabilidad, Codificación del algoritmo y ejecución del
programa
Por razones prácticas, sólo puede manejarse una cantidad finita de bits para cada
número en una computadora, y esta cantidad o longitud varía de una máquina a otra. Por
ejemplo, cuando se realizan cálculos de ingeniería y ciencia, es mejor trabajar con una
longitud grande; por otro lado, una longitud pequeña es más económica y útil para cálculos
y procedimientos administrativos.
Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las
operaciones y cantidades matemáticas. El error numérico es una medida del ajuste o cálculo
de una magnitud con respecto al valor real o teórico que dicha magnitud tiene. Un aspecto
importante de los errores numéricos es su estabilidad numérica. Dicha estabilidad se refiere
a como dentro de un algoritmo de análisis numérico el error de aproximación es propagado
dentro del propio algoritmo
El concepto de error es consustancial con el cálculo numérico. En todos los
problemas es fundamental hacer un seguimiento de los errores cometidos a fin de poder
estimar el grado de aproximación de la solución que se obtiene.
El Error absoluto es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como
exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior
(la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
El error absoluto de una medida no nos informa por sí solo de la bondad de la
misma. Es evidente, que no es igual de grave tener un error absoluto de 1 cm al medir la
longitud de una carretera que al medir la longitud de un folio
El error absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto y el valor
aproximado. Hay autores que definen el error absoluto como la diferencia entre el valor
aproximado y el valor exacto, donde la diferencia únicamente está en el signo ya que no se
toma como valor absoluto. Sin embargo, podríamos tomar como fórmula general la
siguiente expresión:

2. Cuando el valor exacto no es conocido, por ejemplo, en cualquier medida física, se
habla de cota del error absoluto, que será un valor superior al error absoluto que asegure
que el error cometido nunca excederá a ese valor. Si llamamos c a la cota del error absoluto
de un número, se cumplirá.
El error relativo es el cometido en la estimación del valor de un número, es el valor
absoluto del cociente entre su error absoluto y el valor exacto. El error relativo da idea de la
precisión de una medida, y se suele manejar en forma de porcentaje (%).
Muchas veces conocemos el error absoluto (Ea), pero es imposible conocer el valor exacto
(A), en cuyo caso, para hallar el error relativo (Er) dividimos el error absoluto entre el valor
aproximado o considerado como exacto.
También puede hablarse de cota del error relativo, que si la representamos como β, se
cumplirá:
(A – A´) / A ≤ β
El error porcentual es fácil de definir, es el resultado de multiplicar el error relativo
por 100.
ERP = ER X 100
Error de redondeo: continuación se analizarán brevemente algunas
consecuencias de utilizar el sistema binario y una longitud de palabra finita.
Como no es posible guardar un numero binario de longitud infinita o un numero de
mas dígitos de los que posee la mantisa de la computadora que se está empleando, se
almacena sólo un numero finito de estos dígitos; como consecuencia, se comete
automáticamente un pequeño error, conocido como error de redondeo, que al repetirse
muchas veces puede llegar a ser considerable.
Ya que la mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas,
los errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones
del porqué pueden resultar críticos en algunos métodos numéricos:
Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una
respuesta. Además, estos cálculos a menudo dependen entre si. Esto es, los cálculos

3. posteriores son dependientes de los anteriores. En consecuencia, aunque un error de
redondeo individual puede ser muy pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de
la gran cantidad de cálculos puede ser significativo.
El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones
algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya que
en este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar
de mucha importancia.
El error de truncamiento es cuando una expresión matemática se remplaza por una fórmula
más simple, se introduce un error, conocido como error de truncamiento.
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en
lugar de un procedimiento matemático exacto. Estos tipos de errores son evaluados con una
formulación matemática: la serie de Taylor.
Taylor es una formulación para predecir el valor de la función en Xi+1 en términos
de la función y de sus derivadas en una vecindad del punto Xi. Siendo el término final.
Rn= ((ƒ(n+1) (ξ))/(n+1)!)hn+1
En general, la expansión en serie de Taylor de n-ésimo orden es exacta par aun
polinomio de n-ésimo orden. Para otras funciones continuas diferenciables, como las
exponenciales o senoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito
de términos. Cada una de los términos adicionales contribuye al mejoramiento de la
aproximación, aunque sea un poco.