Universidad Fermín Toro José Pantoja Saia A

1. República Bolivariana de Venezuela
Universidad Fermín Toro
Departamento de Formación General
Escuela de Ingeniería Eléctrica
Cabudare. Edo Lara
Realizado por:
José Pantoja
26.892.901
Cabudare, Noviembre del 2017

2. Análisis Numérico
El Análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos.
De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y
crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que
estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada.
En el contexto del cálculo numérico, un algoritmo es un procedimiento que nos puede llevar
a una solución aproximada de un problema mediante un número de pasos finitos que pueden
ejecutarse de manera lógica. En algunos casos, se les da el nombre de métodos constructivos
a estos algoritmos numéricos.
En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a
un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones
algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc...) son incapaces
de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos e
ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener
soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe recordarse que la física experimental,
por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoría de
resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo
fenómeno arrojen valores exactamente iguales.
Otro motivo que ha propiciado el auge del Análisis numérico ha sido el desarrollo de los
ordenadores. El aumento brutal de la potencia de cálculo ha convertido en posibles y en
eficientes a algoritmos poco dados a su realización a mano.
Los problemas de esta disciplina se pueden dividir en dos grupos fundamentales:
 Problemas de dimensión finita: aquellos cuya respuesta son un conjunto finito de
números, como las ecuaciones algebraicas, los determinantes, los problemas de
valores propios, etc...
 Problemas de dimensión infinita: problemas en cuya solución o planteamiento
intervienen elementos descritos por una cantidad infinita de números, como
integración y derivación numéricas, cálculo de ecuaciones diferenciales,
interpolación, etc...
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas
matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.
El análisis numérico trata de diseñar métodos para aproximar de una manera eficiente las
soluciones de problemas expresados matemáticamente.

3. El objetivo principal es encontrar soluciones aproximadas a problemas complejos utilizando
sólo las operaciones más simples de la aritmética.
Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la
aproximación al problema matemático.
Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos
en: Cálculo de derivadas, Integrales, Ecuaciones diferenciales, Operaciones con matrices
además Los métodos numéricos se aplican en áreas como: Ingeniería Industrial, Ingeniería
Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería eléctrica, etc…
Número de Maquina
Una máquina generalmente no almacena una cantidad matemática x sino una aproximación
binaria a x llamada representación de punto flotante, denotada por fl(x) y de la forma:
La cantidad s indica el signo del número, la cantidad 1 f es la mantisa y se encuentra en
base 2, y la cantidad n es el exponente.
Este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en lugar de un número decimal
exige de más lugares. Esto se relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de las
computadoras digitales usan componentes de apagado/prendido, o para una conexión
eléctrica abierta/cerrada. Esto se comprenderá mejor en ejemplos prácticos.
Número Máquina Decimal
Son aquellos números cuya representación viene dada de la siguiente forma: ± 0,d1 d2 d3 ...
dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9 para cada i=2, 3, 4, ..., k; De lo antes descrito, se indica que
las maxicomputadoras IBM (mainframes) tienen aproximadamente k= 6 y –78 £ n £ 76.
Tipos de Errores
Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las
operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen de truncamiento que resultan de
representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de
redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos. Para los tipos de
errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dado por:
E = | P* - P |

4. Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe
un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se
utilizan en los cálculos:
Error Absoluto
Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo
o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o
negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
Sin embargo, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto definido como:
EA = | P* - P |
Error Relativo
Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100
se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo
o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no
tiene unidades.
Y el error relativo como
ER = | P* - P| /P. SI P =/0
El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como:
ERP = ER X 100
Ejemplo:
Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache, obteniéndose
9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores son 10 000 y 10 cm, calcúlese a) el error y b)
el error relativo porcentual de cada caso.
Solución: a) El error de medición del puente es:
EA = 10 000 - 9 999 = 1cm
y para el remache es de
EA = 10 - 9 = 1cm
b) El error relativo porcentual para el puente es de:
ERP = 1/ 10 000 x 100% = 0.01%
y para el remache es de

5. ERP = 1/10 x 100% = 10%
por lo tanto ambas medidas tiene un erro de 1 cm, el error relativo porcentual del remache
es mucho más grande. Se puede concluir que se ha hecho un buen trabajo en la medida del
puente, mientras que la estimación para el remache deja mucho que desear.
Redondeo y truncamiento
Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los resultados de los cálculos
matemáticos y se pueden dividir en dos clases fundamentalmente: errores de truncamiento,
que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los
errores de redondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos. En
cualquier caso, la relación entre el resultado exacto y el aproximado está dada por:Valor
verdadero = valor aproximado + error, de donde se observa que el error numérico está dado
por: Ev = valor verdadero - valor aproximado. Donde Ev significa el valor exacto del error.
La deficiencia del truncamiento o cortado, es atribuida al hecho de que los altos términos en
la representación decimal completa no tienen relevancia en la versión de cortar o truncar; por
lo tanto el redondeo produce un error bajo en comparación con el truncamiento o cortado.
Para que obtengas información, esta es la conexión: Aritmética de Punto Flotante
Errores de Redondeo
Error de redondeo. La casi totalidad de los números reales requieren, para su representación
decimal, de una infinidad de dígitos. En la práctica, para su manejo sólo debe considerarse
un número finito de dígitos en su representación, procediéndose a su determinación mediante
un adecuado redondeo.
Los errores de redondeo se deben a que las computadoras sólo guardan un número finito de
cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de maneras
diferentes. Por ejemplo, si sólo se guardan siete cifras significativas, la computadora puede
almacenar y usar "pi" como "pi" = 3.141592, omitiendo los términos restantes y generando
un error de redondeo.
Ya que la mayor parte de las computadoras tiene entre 7 y 14 cifras significativas, los errores
de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del porqué
pueden resultar crítico en algunos métodos numéricos:
1. Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una
respuesta. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual puede ser
pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad de cálculos
puede ser significativo.
1. El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones
algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya

6. que este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede
resultar de mucha importancia.
Reglas de Redondeo
Las siguientes reglas dan la pauta a seguir en el redondeo de números cuando se realizan
cálculos a mano.
1. En el redondeo, se conservan las cifras significativas y el resto se descarta. El
último dígito que se conserva se aumenta en uno si el primer dígito descartado
es mayor de 5. De otra manera se deja igual. Si el primer digito descartado es
5 o es 5 segundo de ceros. entonces el último dígito retenido se incrementa en
1, sólo si es impar.
2. En la suma y en la resta, el redondeo se lleva acabo de forma tal que el último
dígito en la columna de las milésimas.
3. Para la multiplicación y para la división el redondeo es tal que la cantidad de
cifras significativas del resultado es igual al número más pequeño de cifras
significativas que contiene la cantidad en la operación.
4. Para combinaciones de las operaciones aritméticas, existen dos casos
generales. Se puede sumar o restar el resultado o de las divisiones.
(Multiplicación o División) +/- (Multiplicación o división)
O también se pueden multiplicar o dividir los resultados de las sumas y las restas.
Ejemplos:
Los siguientes ejemplos tienen por objeto ilustrar las reglas de redondeo.
5.6723 -------------------------- 5.67´ 3 Cifras Significativas
10.406 ---------------------------- 7.4 4 Cifras Significativas
10.406 ---------------------------- 7.4 2 Cifras Significativas
88.21650 ------------------- 88.216 5 Cifras Significativas
1.25001 -------------------------- 1.3 2 Cifras Significativas
Errores de Truncamiento
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de
un procedimiento matemático exacto. Además para obtener conocimiento de las
características de estos errores se regresa a la formulación matemática usada ampliamente
en los métodos numéricos para expresar Funciones en forma polinomial: Serie de Taylor
Aproximación De Cota de Errores

7. Un número aproximado na es un número tal que difiere ligeramente del número exacto n de
modo que el cambio facilite las operaciones o la comprensión de algún problema, sin que se
pierda su esencia.
Si na < n, es decir, el aproximado es menor que el exacto, decimos que la aproximación es
por defecto; y si na > n, el aproximado es mayor que el exacto, decimos que lo aproxima por
exceso.
Aproximar el número a las centésimas es sustituir por el número racional 3,14
Las aproximaciones pueden ser:
•Por defecto o truncamiento que resulta al suprimir las cifras a partir de un orden
determinado.
•Por exceso cuando después de suprimir las cifras del orden que consideremos aumentamos
una unidad a la última cifra que dejamos.
•Por redondeo teniendo en cuenta la primera cifra que se va a suprimir; si es menor que 5 se
deja igual la última cifra que se conserva. Si la cifra que se va a suprimir es mayor o igual
que 5, se aumenta en una unidad la última cifra que se conserva
Fuentes básicas de Errores
Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de truncamiento y
error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que
se representan los números en una PC (para comprender la naturaleza de estos errores es
necesario conocer las formas en que se almacenan los números y como se llevan a cabo las
sumas y restas dentro de una PC). El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones
utilizadas en la fórmula matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más
importante que se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de
truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso
infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).