Calculo numerico y el manejo de errores

1. Julio C. Mejías R.
C.I 16.388.849
Calculo numéico y el manejo de errores
Curso: Análisis Numérico
Prof: Domingo Méndez

2. El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas
encargada de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas
matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos
aplicados a procesos del mundo real.
El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los
ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos
extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números
binarios y operaciones matemáticas simples. Desde este punto de vista, el
análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a
cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse
algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o
cálculo en procesos más sencillos empleando números.
Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de
estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas
pueden llevarse adelante a través de la generación de una serie de números
que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback). Esto proporciona
un poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina que a
medida que va completando un ciclo va llegando a la solución. El problema
ocurre en determinar hasta cuándo deberá continuar con el ciclo, o si nos
estamos alejando de la solución del problema. Finalmente, otro concepto
paralelo al análisis numérico es el de la representación, tanto de los números
como de otros conceptos matemáticos como los vectores, polinomios, etc.
Por ejemplo, para la representación en ordenadores de números reales, se
emplea el concepto de coma flotante que dista mucho del empleado por la
matemática convencional.
En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico
como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o
"analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales,
métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a
ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo
desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener
soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe recordarse que la
física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos
que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya

3. que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores
exactamente iguales.
Los métodos numéricos ofrecen soluciones aproximadas muy cercanas a las
soluciones exactas.
La discrepancia entre una
solución verdadera y una
aproximada representa un error.
En la práctica profesional, los
errores pueden resultar costosos,
y en algunas ocasiones
catastróficos.
Por ello, los errores se deben:
 Identificar

 Cuantificar

 Minimizar
Cálculo Numérico es una materia de Cálculo o Matemáticas Aplicada, que
muestra cómo a través de fórmulas e iteraciones podemos obtener
resultados bastante aproximados para diversos problemas que se pueden
plantear.
Se deben tener conocimientos de Cálculo Matemático, Series, Algebra Lineal,
Aritmética y Trigonometría, entre otras cosas.
La presente guía es mayormente un resumen del texto de “Métodos
Numéricos para Ingenieros”, de los autores Chapra y Canale.

4. Conceptos Básicos. Error.
Algunos conceptos básicos:
 Precisión: qué tan cercanos se encuentran los valores unos de otros

 Imprecisión: esparcimiento de las mediciones

 Exactitud: aproximación de un número o de una medida al
valor verdadero

 Inexactitud: alejamiento sistemático de la realidad
Inexacto e Impreciso Exacto e Impreciso
Inexacto y Preciso Exacto y Preciso
Gráfico 1. Exactitud y Precisión
Tipos de Errores
 Error por Truncamiento:
o Diferencia entre una formulación matemática exacta de un
problema y la aproximación dada por un método numérico.
 Error por Redondeo:
o Resulta del uso de cantidades con un número finito de dígitos.

5. o El último dígito que se conserva aumenta en 1 si el primer dígito
que se descarta es mayor o igual a 5.
o Si es menor a 5, el último digito que se conserva permanece
con el mismo valor.
 Error Numérico Total:

 Error por equivocación

 Error de formulación

 Error por incertidumbre en los datos
Ejemplo:
Tomemos el valor de π (pi)

π= 3,141 592 653 589 793
Por truncamiento Por redondeo
3,1415 3,1416
Cifras Significativas
Número de dígitos que se pueden usar con confianza. Incluyen enteros y
decimales.
Ejemplos:
a. 2,2 – 1,768 (2 cifras significativas)
2,2 – 1,768 = 0,432 ≈ 0,4
b. 0,0642 x 4,8 (3 cifras significativas)
0,0642 x 4,8 = 0,30816 ≈ 0,31
c. 945 ÷ 0,3185 (4 cifras significativas)
945 ÷ 0,3185 = 2 967, 032 967 … ≈ 2967
Fórmulas para el cálculo de errores

6. En la introducción se mencionó que la discrepancia entre una solución
verdadera y una aproximada representa un error.
El Error Verdadero (ET) viene dado por:
ET = Valor Verdadero – Valor Aproximado
El Error Relativo Porcentual (EV) se obtiene:
E  ValorVerdadero ValorAproximado x100%V
ValorVerdadero
El Error normalizado a un valor aproximado se obtiene:
 ErrorAproximado
Ea
ValorAproximado
x100%
En ciertos métodos numéricos, se usan esquemas iterativos para calcular
resultados, y se hace la aproximación en base a la aproximación anterior,
para calcular más y mejores aproximaciones.
E  AproximaciónActual  Aproximación Pr evia x100%
a
AproximaciónActual
En esta última, normalmente se repite hasta que su valor absoluto sea
ES  (0,5x10
2n
)% 1
Quedando entonces definido el criterio de aceptación:
|Ea| < ES
El resultado será correcto en al menos n cifras significativas
Ejemplos:

7. a. Se debe medir la longitud de un puente y de un remache,
obteniendo 9 999 y 9 cms respectivamente. Si los valores reales
son 10 000 y 10 cm, calcule para cada caso el Error Verdadero y
el Error Relativo Porcentual.
Puente Remache
ET = 10 000 – 9 999 ET = 10 – 9
ET = 1 cm ET = 1 cm
E  1 x100% E  1 x100%
V V
10.000 10
EV = 0,01% EV = 10%
Tabla 1. Comparación de Error Relativo
Ejercicios
a. Redondee a tres (3) cifras significativas:
a1. 8,755 a.3. 4 225 000,2
a.2 0,999500 a.4. 5,555 x 10
3