U.F.T Alumno: Alex Pérez SAIA - B

1. A L U M N O : A L E X E . P É R E Z G . C . I : 2 6 . 9 0 4 . 8 11
A S I G N AT U R A : A N Á L I S I S N U M É R I C O
S E C C I Ó N : S A I A - B
F E C H A : 2 4 / 11 / 2 0 1 7
Universidad ¨Fermín Toro¨
Departamento de Formación General
Escuela de Ingeniería
INVESTIGACIÓN SOBRE
CÁLCULOS NUMÉRICOS

2. Definición
Se denomina cálculo numérico (también llamado análisis numérico) a la
parte de las matemáticas que diseña, describe y crea los algoritmos para
simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo
real, con una precisión establecida.
Con la llegada de las computadoras el análisis numérico logra mayor
importancia puesto que ellas son muy útiles para cálculos matemáticos muy
complejos y si partimos de allí el análisis numérico proporcionará todo
lo necesario para realizar aquellos procedimientos matemáticos susceptibles
de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su
simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.
Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de
estabilidad (numérica) de los algoritmos. Muchas de las operaciones
matemáticas pueden llevarse adelante a través de la generación de una serie de
números que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback). Esto
proporciona un poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina
que a medida que va completando un ciclo va llegando a la solución. El
problema ocurre en determinar hasta cuándo deberá continuar con el ciclo, o si
nos estamos alejando de la solución del problema.

3. Estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución
a problemas matemáticos y los procedimientos "exactos" o "analíticos"
(manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de
integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son
procedimientos utilizados frecuentemente por físicos e ingenieros y cuyo
desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener
soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe recordarse que la física
experimental, por ejemplo, nunca ofrece valores exactos sino intervalos que
engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es
habitual que dos medidas del mismo fenómeno nos muestre valores
exactamente iguales.
Objetivo Principal de los Cálculos Numéricos
Si el análisis numérico trata de diseñar métodos para aproximar de una
manera eficiente soluciones de problemas expresados matemáticamente
entonces el objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones
aproximadas a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más
simples de la aritmética. Para esto se requiere de una secuencia de operaciones
algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.

4. Usos de los Cálculos Numéricos o análisis numéricos
Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos
matemáticos en: Cálculo de derivadas Integrales, Ecuaciones diferenciales,
Operaciones con matrices, Interpolaciones , Ajuste de curvas, Polinomios, etc.
y se aplican en áreas como: Ingeniería Industrial, Ingeniería Química,
Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería Eléctrica, Ingeniería Agro
Industrial, etc.

5. Definición de Número Máquina
Es un sistema numérico que tiene dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de base 2.
El término "representación máquina" o "representación binaria" significa que
es de base 2, la más pequeña posible, este tipo de representación requiere de
menos dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares. Esto
se relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de las computadoras
digitales usan componentes de apagado/prendido, o para una conexión
eléctrica abierta/cerrada.

6. ERRORES. ERROR ABSOLUTO Y RELATIVO
Medir es comparar cierta cantidad de una magnitud, con otra cantidad de la
misma que se ha elegido como unidad patrón. Por ejemplo, para medir
longitudes las comparamos con su unidad patrón, el metro.
Magnitud es cualquier propiedad de un cuerpo que puede ser medida.
Cualquier medida debe de ir acompañada del valor estimado del error de la
medida, y a continuación, las unidades empleadas.

7. Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una
fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir
dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos:
Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado
como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al
valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las
mismas que las de la medida.
Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor
exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al
igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error
absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.

8. Las reglas que vamos a adoptar en el cálculo con datos experimentales son
las siguientes:
 Una medida se debería repetir tres ó cuatro veces para intentar neutralizar el
error accidental.
 Se tomará como valor real (que se acerca al valor exacto) la media aritmética
simple de los resultados.
 El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada una de las
medidas y ese valor tomado como exacto (la media aritmética).
 El error relativo de cada medida será el error absoluto de la misma dividido
por el valor tomado como exacto (la media aritmética).

9. Fuentes básicas de Errores
Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de
truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el
número limitado de dígitos con que se representan los números en una PC
(para comprender la naturaleza de estos errores es necesario conocer las
formas en que se almacenan los números y como se llevan a cabo las sumas y
restas dentro de una PC). El Error de Truncamiento, se debe a las
aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo (la serie de
Taylor es el medio más importante que se emplea para obtener modelos
numéricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso donde aparecen
errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno finito (por
ejemplo, truncando los términos de una serie).

10. Redondeo y truncamiento
Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los
resultados de los cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos
clases fundamentalmente :errores de truncamiento, que
resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático
exacto, y los errores de redondeo, que resultan de representar
aproximadamente números exactos. En cualquier caso, la relación entre
el resultado exacto y el aproximado está dada por: Valor verdadero =
valor aproximado + error, de donde se observa que el error numérico
está dado por: Ev = valor verdadero - valor aproximado. Donde Ev
significa el valor exacto del error. La deficiencia del truncamiento o
cortado, es atribuida al hecho de que los altos términos en la
representación decimal completa no tienen relevancia en la
versión de cortar o truncar; por lo tanto el redondeo produce un error
bajo en comparación con el truncamiento o cortado. Para que obtengas
información, esta es la conexión: Aritmética de Punto Flotante

11. Errores De Una Suma Y Una Resta
En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en
la computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional al
epsilon de la máquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante
el proceso. El análisis que presentamos generaliza al problema del
cálculo de productos interiores.
En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en
registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales. Estos
bits extras se llaman bits de protección y permiten que los números existan
temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las
que la exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi iguales o
la división de un número muy grande entre un número muy pequeño, lo cual
trae como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco
relevantes.