El teorema de Moivre establece que para números complejos z = r(cosa + isina) y z' = r'(cosa' + isina'): 1) z·z' = (r·r')(cos(a+a') + isin(a+a')) 2) z/z' = (r/r')(cos(a-a') + isin(a-a')) Se demuestra utilizando las identidades trigonométricas de suma y resta de ángulos. El teorema es útil para expresar números complejos en forma polar.

1. Teorema de Moivre.
 Un resultado importante utilizando definición de coordenadas polares es:
Teorema de Moivre: Sean dos números complejos:
z = r ( cos a + i.sen a )
z’ = r’ ( cos a’ + i.sen a’ )
Será :
z.z’ = r.r’ ( cos (a+a’) + i.sen (a+a’) ).
z/z’ = r/r’ ( cos (a-a’) + i.sen (a-a’) ).
# Demostración:
z . z ’ =r  cos ai.sen a .r ’ cos a ’ i.sen a ’  =
= r. r ’ cos a.cos a ’ −sen a . sen a ’ i sen a . cos a ’ sen a ’ . cos a =
= r.r ’  cos aa ’ i.senaa ’ 
z r cos ai.sen a r cos ai.sen a. cos a ’ −i.sen a ’ 
= = =
z ’ r ’ cos a ’i.sen a ’  r ’  cos a ’ i.sen a ’ .cos a ’−i.sen a’ 
r.[ cos a. cos a ' sena.sen a ' î. sen a.cos a ' sen a ' . cos a]
= =
r ’ cos 2 a ’ sen 2 a’ 
r
= ,[ cos a−a ' î. sen a−a '  ]
r'
Habitualmente utilizamos la notación:
ra . r‘a ‘ = ( r.r‘) a+a‘ ra / r‘a ‘ = ( r/r‘) a - a'
# Ejemplo:
 Las condiciones deben de cumplir los complejos r, s, t y u, para que estén en una
circunferencia, tiene que ser que | r | = | s | = | t | = | u | = d. Donde d, será el radio de dicha
circunferencia.
 Para encontrar en el plano euclideo, la ecuación de una circunferencia de radio 4 y
centro en ( - 2 , 1 ). Basta considerar, la ecuación:
| z - (-2+i) | = 4.
Que desarrollando resulta:
(x+2) 2 + (y-1) 2 = 16
 Para expresar en forma polar:
u=22.  3. î
v =− 6− 2.î
Como:
| u | = 4; Arg u=sen
−1
 2.  3
4 

2. Arg u = sen -1 ( 2(3) 1/2 / 4 ) = π/3.
| v | = 2 ,  2 ; Arg v=sen−1   
− 2 7. 
8
=
6
Luego:
u = a ( cos π/3 + i sen π/3 )
v = 2(2) 1/2( cos 7π/6 + i sen 7π/6 ).