Formulario de ejercicios de Calculo I

1. Prctico de Latex
Gonzalez Luciana
Ejercicio 1. calculas los siguientes lmites:
1. limn→∞
(1 + 1
n
)n
2. limn→∞
(2 + 2
n
)n2
3. limn→∞
2n+3n2+4n3
n4−2n
Ejercicio 2. Calcular los siguientes lmites:
(i) lim
n→1
f(x), si f(x) =



x2
+ 5 si x > 1
1 si x = 1
2
√
x2 − 4x + 4 si x > 1
(ii) lim
x→1
g(x), si g(x) =



x2
+ 5 si x > 1
1 si x = 1
2
√
x2 − 4x + 4 si x > 1
1 Continuidad de funciones
Definicin 1 Sea la funcin f : A → R, A ⊂ R y sea x0 ∈ A, se dice que f es continua
en x0, si para cada E(f(x0), ) dado, existe un entorno E(x0, δ) tal que si x ∈ E(x0, δ)
entonces f(x) ∈ E(f(x), ε)
Teorema 1 Sea f : A → R, A ⊂ R una funcin, entonces las dos condiciones sigu-
ientes son equivalentes:
1. f es continua en a
2. f verifica:
(a) f(a) ∈ A, es decir, existe f(a)
1

2. (b) Existe lim
x→a
f(x) = L
(c) f(a) = L
Ejercicio 2. Escribir los enunciados de los siguientes ejercicios y resuel-
valos:
1. Sea P(x) = x3
− 3x2
+ 2x y Q(x) = x4
− 5x3
− 2x + 3 efectuar las siguientes
operaciones entre polinomios:
(a) P(x) + Q(x) = x3
− 3x2
+ 2x + x4
− 5x3
− 2x + 3 = −4x3
− 3x5
+ x4
+ 3
(b) P(x) − Q(x) = x3
− 3x2
+ 2x − x4
− 5x3
− 2x + 3 = −4x3
− 3x5
− x4
+ 3
(c) P(x)Q(x)
= x3
− 3x2
+ 2xx4−5x3−2x+3
: x3
− 3x2
+ 2xx4−5x3−2x+3
2. Calcular los siguientes lmites:
(a) limx→∞
n
√
n3 + 3n : (n3
+ 3n)
1
n
(b) limn→∞
n√
n3+3n
2n−3n3 observe la diferencia limn→∞
n√
n3+3n
2n−3n3 = 0
(c) lim
n to∞
(n3
+ 3n)n
= ∞
3. Analizar la convergencia de las siguientes series:
(a)
∞
n=1
n 3n−54
2n2 − 5n3 =
∞
n=1
(1
2
3n−625
n2 − 5n3
)
1
n
(b)
∞
n=1
( n
(3n−54
2n2 )2 − 5n3)n
=
∞
n=1
((1
4
(3n−625)2
n4 − 5n3
)
1
n )n
(c)
∞
n=1
en+e−n
2
= ∞
(d)
∞
n=1
1
2√
sen2x−cos2x
:
∞
n=1
1
2
√
(senx−cos2x)
Ejercicio 3: Calcular los siguientes lmites de funciones:
(a) lim
x→0
senax
x
= a
(b) lim
x→0
sen7x
3x
: 7
3
2

3. (c) lim
x→0
2x−3x
x
= ln2 − ln3
(d) lim
x→0
x−1
cotx
= 1
(e) lim
x→0+
(1
x
)tanx
= 1
Ejercicio 4: Graficar las siguientes cnicas, teniendo en cuenta el tipo de
coordenadas ms adecuado
(a) x2
+ y2
= 9
(b) x2
9
+ y2
4
= 1
(c) x2
5
− y2
3
= 1
(d) −2x2
+ 3x − 1 = 0
Observando las graficas obtenidas indicar loselementos notables de cada una de
ellas.
Ejercicio 5: Graficar las siguientes cudricas, teniendo en cuenta el tipo
de coordenadas ms adecuado.
(a) x2
+ y2
+ z2
= 9
(b) x2
5
− y2
3
= 2z
(c) −2x + 3x − z (cilindricas)
Ejercicio 6: Graficar la funcin f(x) = ex
x2+1
, indicar la posible ecuacin de
una asntota oblicua observando el grfico.
Ejercicio 7: Obtener las raices de las siguientes ecuaciones:
(a) x3
−2x+1−6 = 0, verificar el valor obtenido observandola grfica correspondiente.
(b) x3
+ 3x‘2 + 2x − 6 = 0
(c) x4
− x3
− 7x2
+ x + 6
3

4. Ejercicio 8: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones amalitica y
graficamente:
(a)
x − 3y = 2
2x − 6y = 4
(b)
−2x + 3y = −1
x − 2y = 0
4