Este documento presenta 25 ejercicios sobre vectores y geometría analítica en el espacio. Los ejercicios incluyen cálculos con vectores como suma, norma y producto escalar. También incluyen temas como rectas, planos, ángulos entre vectores, proyecciones de vectores, intersección de rectas y planos, y ecuaciones de rectas y planos.

1. Universidad Adolfo Ib´a˜nez
Facultad de Ingenier´ıa y Ciencias
MAT 112 - Algebra I
Gu´ıa N◦6 - vectores
1. Sean u = (−1, 2, 3) y v = (0, 2, −1) vectores en R3
a) Calcule el vector u + 3v
b) Calcule la norma del vector −3v
c) Calcule u · v
d) Calcule ||u|| y ||v||
e) Determine el ´angulo formado por u yv
f ) Encuentre el vector proyecci´on de u sobre v.
g) Calcule la norma del vector proyecci´on de v sobre u.
2. Demuestre que ∀ u , v ∈ R3 :
a) ||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2 + 2 u · v
b) ||u − v||2 = ||u||2 + ||v||2 − 2 u · v
c) ||u + v||2 + ||u − v||2 = 2||u||2 + 2||v||2
3. Sean −→a y
−→
b vectores de R2 o de R3.
Si −→a = 6, −→a +
−→
b = 11 y −→a −
−→
b = 7, encuentre
−→
b .
Respuesta:
−→
b = 7
4. Sean −→a y
−→
b dos vectores unitarios y no paralelos tales que −→a +
−→
b =
√
3. Calcule
(2−→a − 5
−→
b ) · (3−→a +
−→
b )
Respuesta: −11
2
5. Demuestre que −→a +
−→
b y −→a −
−→
b son perpendiculares si y s´olo si −→a =
−→
b .
6. Sean −→a y
−→
b vectores en el espacio. Demuestre que
−→a ·
−→
b =
1
4
−→a +
−→
b 2
−
1
4
−→a −
−→
b 2
7. Encuentre el vector −→a de norma
√
3 que sea perpendicular a los vectores i − j y j − k.

2. 8. Encuentre m y n tales que los vectores −→a = 3i − 2j + mk y
−→
b = ni + j − 2k sean paralelos.
Respuesta: m = 4 y n = −3
2
9. Determine w ∈ R3 tal que w · u = w · v , con u = (1, 2, 0) y v = (−2, 0, −1)
10. Determine un vector unitario w que sea ortogonal a los vectores u = (0, 1, 5) y u = (−3, 0, 2)
11. Sean −→a = (1, 2, 3) y
−→
b = (4, −5, 1) vectores en el espacio. Determine un vector −→v tal que
−→v ×
−→
b = −→a ×
−→
b
Respuesta: −→v = (13
9 , 13
9 , 28
9 )
12. Sean los vectores −→a = (1, 0, −1),
−→
b = (3, λ, −3) y −→c = (2, −1, 2).
a) Determine λ en R tal que el ´angulo entre los vectores −→a y
−→
b sea 60◦.
Respuesta: λ = 12
b) Encuentre el vector proyecci´on de −→a sobre
−→
b .
Respuesta: 6
λ2+18
(3, λ, −3)
c) Determine el ´area del paralelogramo formado por los vectores −→a y −→c .
Respuesta: 18
13. Demuestre que u ⊥ v ←→ ||u − v||2 = ||u||2 + ||v||2
14. Dados u =


0
1
5

 , v =


0
1
5

 y w =


−3
0
2

 , calcular u × (v × w).
15. Determine en cada caso, si los tres puntos dados son colineales.
a) P(1, 2, −3), Q(3, −4, 2) y R(1, 1, 2).
Respuesta: No colineales
b) P(1, 2, −3), Q(3, −4, 2) y R(−1, 8, −8).
Respuesta: Si colineales
16. Determine en cada caso las ecuaciones vectoriales, param´etricas y sim´etricas de las rectas que pasan
por los puntos dados.
a) P(1, 2, −3) y Q(3, −4, 2).
b) P(1, 0, −3) y Q(1, −4, 2).
c) P(−1, −3, −3) y Q(5, 2, −3)
17. Considere las rectas l1 : (x, y, z) = (1, 3, −2) + t(4, 5, −3) con t en R y l2 :
x − 2
2
=
y + 3
3
=
5 − z
2
.
a) Determine si las rectas l1 y l2 se intersectan.
Respuesta: No se intersectan
b) Determine la distancia entre el punto (1, −2, −3) y la recta l1.
Respuesta: 408
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3. c) Encuentre una recta l que sea paralela a la recta l1 y que pase por el punto (−2, 3, 5).
Respuesta: l : (x, y, z) = t(4, 5, −3) + (−2, 3, 5) con t ∈ R
d) Determine una recta l que sea perpendicular a la recta l2 y que pase por el punto (2, 0, 1).
Respuesta:
18. Determine la ecuaci´on de la recta que es intersecci´on de los planos π1 : x+y+z = 0 y π2 : x+2y−z = 1.
Respuesta: x = −1 − 3t, y = 1 + 2t, z = t con t ∈ R
19. Encuentre la intersecci´on entre l : (x, y, z) = (2, 1, −2) + t(1, −1, −3) con t ∈ R y π : x − 3y + 2z = 2.
Respuesta: (−3
2, 9
2, 17
2 )
20. Encuentre una recta que sea paralela al plano π : x + y + z = 2 y que pase por el punto P(1, 4, −2).
Respuesta: l : (x, y, z) = t(a, b, c) + (1, 4, −2) con a + b + c = 0
21. Encuentre la recta l que resulta de la intersecci´on de los planos π1 : 2x + y − z + 3 = 0 y π2 :
x − y + 2z + 1 = 0.
22. Encuentre la ecuaci´on del plano π sabiendo que:
i) (0, 0, 0) ∈ π.
ii) π es perpendicular a π1, donde π1 : x + y − z = 1.
iii) π es paralelo a l, donde l : x = −1 − 3t, y = 1 + 2t, z = t, con t en R.
Respuesta: π : ax + by + cz = 0 con (a, b, c) = t(3
5, 2
5, 1)
23. Considere el punto P(2, 0, 1) y la recta l : (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(−2, −1, 1) con t en R.
a) Encuentre la ecuaci´on del plano que contiene al punto P y es perpendicular a la recta l.
Respuesta: 2x + y − z = 3
b) Encuentre la ecuaci´on del plano que contiene a la recta l y al punto P.
Respuesta: 4x − 3y + 5z = 13
24. Encuentre la ecuaci´on del plano que contiene a los puntos A(1, 2, 3), B(2, −3, 4) y es perpendicular al
plano de ecuaci´on 3x + 2y − z = 0. ¿A qu´e distancia se encuentra del origen?
Respuesta: 3x + 4y + 17z = 62; 62√
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25. Sea π el plano cuya ecuaci´on cartesiana es ax + by + cz = d. Establezca en cada caso la relaci´on que
deben satisfacer los coeficientes a, b, c y d en R de modo que:
a) π sea paralelo al plano 2x − y + z = 7.
Respuesta: (a, b, c) = t(2, −1, 1), es decir, el vector normal del plano con el vector
director de la recta deben ser paralelos
b) π sea perpendicular al vector −→v = −i + 3j + 5k.
Respuesta: (a, b, c) = t(−1, 3, 5), es decir, el vector normal del plano con el vector −→v
deben ser paralelos
c) π intercepte a los ejes coordenados en x = 2, y = −1 y z = 1.
Respuesta: 2a = −b = c
d) π contenga a la recta l : x = 2y = z.
Respuesta: d = 0 y 2a + b + 2c = 0, es decir, el vector normal del plano con el vector
director de la recta deben ser perpendiculares