El documento presenta la resolución de dos ejercicios de geometría analítica. El primero pide hallar la ecuación de la recta tangente a una circunferencia en un punto dado. El segundo solicita encontrar la ecuación de una circunferencia dado sus diámetros extremos.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA - AMPLIACIÓN CICLO BÁSICO TÁCHIRA - NÚCLEO TÁCHIRA
CÁTEDRA: CÓDIGO: CARRERA: SEMESTRE:
GEOMETRÍA ANALÍTICA MAT-21524 CICLO BÁSICO DE INGENIERÍA PRIMERO
PROFESOR: UNIDAD:
TEMA: LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO
Ing. ALVARO VEGA II
AUTORES DE LOS MATERIALES: TITULOS DE LOS MATERIALES:
- CHARLES H. LEHMANN (ENUNCIADO
DEL EJERCICIO) GEOMETRÍA ANALÍTICA
- Ing. ALVARO VEGA (SOLUCIÓN DE
LOS EJERCICIOS)
EJERCICIOS RESUELTOS:
1) Hallar la ecuación de la recta que es tangente a la circunferencia X2 + Y2 – 8X – 6Y + 20 = 0
en el punto ( 3 , 5 )
Solución:
Nos piden hallar la ecuación de una recta que es tangente a la circunferencia dada y dicha recta
pasa por el punto ( 3 , 5 ) punto que es común a la recta y la circunferencia.
Primero tomamos la ecuación de la circunferencia dada en su forma general y la llevamos a la
forma canónica, de esta forma conoceremos el centro y el radio de dicha circunferencia.
X2 + Y2 – 8X – 6Y + 20 = 0 ordenando la ecuación
X2 – 8X + Y2 – 6Y = – 20 ahora completamos cuadrados
X2 – 8X + 16 + Y2 – 6Y + 9 = – 20 + 16 + 9 convertimos en binomio cuadrado
(X–4)2 +(Y–3)2 =5 Ecuación Canónica
Por lo tanto de la ecuación canónica tenemos que el centro de la circunferencia es el punto ( 4 , 3 )
y el radio de la circunferencia es r = √ 5
L = Recta tangente a la circunferencia
P
. P = Punto dado ( 3 , 5 )
r
. m r = pendiente de la recta que une C P
m L = pendiente de la recta L, que es
la recta que debemos hallar
–1
Como la recta L y la recta r son perpendiculares m r x m L = – 1 ; luego m L =
mr
Yp – Yc 5–3 2
mr = = mr = mr = – 2
Xp – Xc 3–4 -1
–1 1
Luego como m L= – 1 m L= m L=
mr –2 2
Ing. Alvaro Vega

2. Con m L y el punto P, hallamos la ecuación de la recta tangente a la circunferencia dada
Con la ecuación punto pendiente vista en el primer corte tenemos que:
Y – Y1 = m ( X – X1 ) Y1 = valor de Y del punto P dado
X1 = valor de X del punto P dado
m = pendiente m L hallada anteriormente
Sustituyendo valores en la ecuación Y–5=½ (X–3)
2(Y–5)= (X–3)
2 Y – 10 = X – 3
Ordenando la ecuación obtenida X–2Y +7=0 Ecuación de la recta
tangente a la circunferencia
que nos piden hallar.
2) Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene un diámetro con extremo en los puntos
A(–1,3) y B(7,–5)
Solución:
Y
A (–1,3)
C(h,k) X
r
B(7,–1 )
Como “C ( h , k )” es el punto medio del diámetro AB, entonces podemos calcular las
coordenadas h y k del centro de la circunferencia utilizando la ecuación de punto medio
vista en el primer corte
Ing. Alvaro Vega

3. A(X1,Y1) = (–1,3) y B(X2,Y2) = (7,–5)
Ecuación de punto medio X=(X1+X2) = h
2
Y = ( Y1 + Y2 ) = k
2
h =(–1 +7) h = 6 h=3
2 2
k = ( 3 + (– 5 ) ) k = –2 k= –1
2 2
Por lo tanto el centro de la circunferencia será: C(3,–1)
Ahora vamos a calcular el radio de la circunferencia, para esto calculamos la distancia desde el
centro de la circunferencia hasta cualquiera de los puntos dados “A” o “B” que forman parte de la
circunferencia.
Hallemos la distancia entre el centro “C” y el punto dado “B”
d= √(X1–X2)2+(Y1–Y2)2 C(X1–Y1) = (3, –1)
B(X2–Y2) = (7, –5)
d = √ ( 3 – 7 ) 2 + ( – 1 – ( – 5 )) 2 d = √ (– 4 ) 2 + ( 4) 2
d = √ 16 + 16 d = √ 32
Por lo tanto, el radio de la circunferencia es igual a la distancia hallada CB, es decir,
d = r = √ 32
Luego utilizando la ecuación canónica de la circunferencia ( X – h ) 2 + ( Y – k ) 2 = r 2
Sustituyendo los valores hallados de h, k y r en la ecuación canónica tenemos:
( X – 3 ) 2 + ( Y – (–1 )) 2 = (√ 32 ) 2
( X – 3 ) 2 + ( Y +1 ) 2 = 32 Ecuación canónica de la circunferencia buscada
Ing. Alvaro Vega

4. Ahora podemos hallar la Ecuación General partiendo de la Ecuación Canónica, para esto
resolvemos los binomios cuadrados, sabiendo que: ( a ± b ) 2 = a 2 ± 2ab + b 2
Por lo tanto ( X – 3 ) 2 + ( Y + 1 ) 2 = 32
[ X 2 – (2)(3)(X) + 3 2 ] + [ Y 2 + (2)(1)(Y) + 1 2 ] = 32
X 2 – 6 X + 9 + Y 2 + 2 Y + 1 = 32 Agrupando y ordenando términos
X 2 + Y 2 – 6 X + 2 Y + 9 + 1 – 32 = 0
X 2 + Y 2 – 6 X + 2 Y – 22 = 0 Ecuación General Pedida
Ing. Alvaro Vega