Este documento presenta cuatro problemas de cálculo vectorial y de integrales. El primero pide demostrar que una integral de línea es independiente de la trayectoria y evaluarla. El segundo pide evaluar una integral de superficie impropia sobre una semiesfera. El tercero pide aplicar el teorema de Green para evaluar una integral de línea sobre un rectángulo. El cuarto pide usar el teorema de Stokes para evaluar otra integral de línea.

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
CABUDARE.ESTADO LARA
Apellidos Nombres
Cédula Fecha
ASIGNACIÓN N°2
1. Demuestre que el valorde laintegral de línea C
drF. para el campovectorial Fy la
curva C , indicados esindependientede latrayectoria y evalúe laintegral de línea.
jeeeieeeyxF yxyyxx
)32()34(),( 22
 ; C es el arco de la parábola xy 42

desde suvértice hastael extremodel ladorectodel primercuadrante ( 2 Ptos)
Solución
Sea 𝑀( 𝑥, 𝑦) = 4𝑒2𝑥
− 3𝑒 𝑥
𝑒 𝑦
entonces 𝑀 𝑦( 𝑥, 𝑦) = −3𝑒 𝑥
𝑒 𝑦
Por otra parte
𝑁( 𝑥, 𝑦) = 2𝑒2𝑦
− 3𝑒 𝑥
𝑒 𝑦
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑁𝑥( 𝑥, 𝑦) = −3𝑒 𝑥
𝑒 𝑦
Como 𝑀 𝑦( 𝑥, 𝑦) = 𝑁( 𝑥, 𝑦),entonces F es conservador .Por lo
tanto si 𝐶 es cualquier curva entonces se infiere que por
teorema que la integral de lineal C
drF. Es independiente de la
trayectoria y su valor viene dado por lo siguiente.
Tenemos que el foco de la parábola 𝑦2
= 4𝑥 es (1,0) y el lado recto es
(1,2)
∫ 𝐹 𝑑𝑅𝐶
= ∅(1,2) − ∅(0,0)
= (2𝑒2 − 3𝑒𝑒2 + 𝑒4) − (2 − 3 + 1) = 2𝑒2 − 3𝑒3 + 𝑒4
10

2. 2. Evalúe laintegral de superficie  dzyxG ),,( paraG y S 2
),,( xzyxG  ; S es la
semiesfera 9222
 zyx que estáporarriba del planoxy. Sugerencia:la
integral de superficie esimpropia. ( 3 Ptos)
Solución:
Sea T toda la esfera.
∬ 𝑥2
𝑠
𝑑∅ =
1
2
∬ 𝑥2
𝑡
𝑑∅ =
1
2
∬ 𝑦2
𝑡
𝑑∅ =
1
2
∬ 𝑧2
𝑡
𝑑∅
=
1
6
∬ (𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
)𝑡
𝑑∅
=
81
6
∬ 𝑑∅𝑡
=
81
6
(4𝜋)
= 54𝜋

3. 3. Evalúe laintegral de líneamediante el teoremade Green
 
C
xdyydx coscos Donde C es el rectángulocuyosvérticesson
  


















4
1
,0y
4
1
,
3
1
,0,
3
1
,0,0 ( 3 Ptos)
Solución
∮ cos 𝑦 𝑑𝑥 + cos 𝑥 𝑑𝑦𝑐
=∬ [
𝜕
𝜕𝑧
cos 𝑥 −
𝑑
𝑑𝑦
cos 𝑦]𝑅
𝑑𝐴
= ∫ ∫ (− sen 𝑥 + sen 𝑦
𝜋
4
0
𝜋
3
0
) 𝑑𝑦𝑑𝑥
= ∫ (−𝑦 sen 𝑥
𝜋
3
0
− cos 𝑦)0
𝜋
4 𝑑𝑥
= ∫ (− 𝜋
4
sen 𝑥
𝜋
3
0
− √2
2
+ 1) 𝑑𝑥
=
𝜋
4
cos( 𝑥) + (1 −
√2
2
)𝑥|0
𝜋
3
=
𝜋
24
(5 − 4√2)

4. 4. Utilice el teoremade Stokesparaevaluarlaintegral de línea C
TdsF. paraF y C
zkxjyizyxF ),,( ; C es lacircunferencia 422
 yx del planoxy ( 2 Ptos)
Solución
Primero calculemos el 𝑟𝑜𝑡( 𝐹) = |
𝑖 𝑗 𝑘
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑦
𝑑
𝑑𝑧
−𝑦 𝑥 𝑧
|
= 𝑖 |
𝑑
𝑑𝑦
𝑑
𝑑𝑧
−𝑦 𝑧
| − 𝑗 |
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑧
𝑥 𝑧
| + 𝑘 |
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑦
𝑥 𝑥
|
= 0 + 𝑘 + 𝑘
= 2𝑘
Ya que 𝑁 es un vector normal tenemos que 𝑁 es n vector normal superior unitaria 𝑘
Así tenemos
∮ 𝐹. 𝑇 𝑑𝑠
𝑐
= ∬ 𝑟𝑜𝑡(
𝐷
𝐹). 𝑁𝑑∅
= ∬ 2𝑘. 𝑘𝑑∅𝐷
= 2 ∬ 𝑑∅𝐷
= 2(4𝜋)
= 8𝜋

5. Nota: Subira la plataforma, en forma individual el archivo con la
Resolución de ejercicios correspondiente a la asignación