Este documento describe el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo se construye, la relación entre coordenadas polares y cartesianas, ejemplos de curvas planas en coordenadas polares como rectas, circunferencias, simetrías, intersecciones, pendiente de la tangente y área. También presenta algunas curvas comunes en coordenadas polares como la lemniscata, el caracol de Pascal, la rosácea y elipse, hipérbola y parábola.
Parte teórica y práctica del Tema 2.4: Área y Longitud de Arco, contenido perteneciente a la Unidad 2: Curvas Planas, Ecuaciones Parametricas y Coordenadas Polares.
Máximos y Mínimos de una función de varias variableslobi7o
Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuestas a estos problemas, que de otro modo parecían imposible su solución, por lo tanto en este apartado hablaremos sobre los valores máximos y mínimos de una función de varias variables. En numerosas ocasiones encontraremos fenómenos que dependen del valor de una sola variable (el tamaño de un potro que varía solamente con respecto al tiempo transcurrido). Sin embargo, podremos también enfrentarnos a situaciones en las que han de considerarse dos o más variables.
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Máximos y Mínimos de una función de varias variableslobi7o
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, Un modelo de programación entera es un modelo que contiene restricciones y una función objetivo idénticas a las formuladas por planeación lineal. La única diferencia es que una o mas de las variables de decisión tienen que tomar un valor entero en la solución final.
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, Un modelo de programación entera es un modelo que contiene restricciones y una función objetivo idénticas a las formuladas por planeación lineal. La única diferencia es que una o mas de las variables de decisión tienen que tomar un valor entero en la solución final.
Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3.pdfsandradianelly
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ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
2. Coordenadas polares
Para construir el sistema de coordenadas polares,
fijamos un punto O , que llamamos polo y una
semirecta llamado eje polar.
r= distancia dirigida de O aP
θ= Ángulo orientado en sentido contrario al de avance
de las agujas del reloj, desde el eje polar hasta el
segmento O P
3. Nota:
Con coordenadas cartesianas, cada punto tiene una
representación única. Esto no sucede con coordenadas
polares.
Las expresiones:
π
2,
4π
2, − 4π
−2,
3
6
3
representan el mismo punto.
4. Relación entre coordenadas polares
y rectangulares.
x = r cos θ
tan θ = x
⇒
y
y = r sin θ
2
r = x 2 + y 2
Estas ecuaciones nos permiten pasar de unas
coordenadas a otras.
5. Ejemplos:
Recta
En cartesianas: 2x − 3y = 1
1
En polares: r =
2 cos θ − 3 sin θ
Circunferencia
En cartesianas: x 2 + y 2 − 4y = 0
En polares: r = 4 sin θ
6. Simetrías
()
Dada la gráfica r = f θ es simétrica respecto a
lo siguiente si la sustitución indicada produce una
ecuación equivalente:
π
Respecto a la recta θ=
2
Sustituir (r, θ) por (−r, −θ )
Respecto del eje polar
Sustituir (r, θ) por (r, −θ)
Respecto del polo
Sustituir (r, θ) por (−r, θ)
7. Intersección
Dada las gráficas r = f θ () y r =g θ ()
Los puntos de corte se obtienen igualando las ecuaciones
f (θ ) = g (θ )
Y hallando los valores de θ que la verifican.
No obstante, como un punto admite diferentes representaciones en
coordenadas polares, puede haber puntos de corte que no aparezcan al
igualar las ecuaciones, al no producirse con las mismas coordenadas.
Ejemplo: Hallar los puntos de corte de las curvas
r = 1 − 2 cos θ y r =1
8. r = 1 − 2 cos θ y r =1
π 3π
1 − 2 cos θ = 1 ⇒ cos θ = 0 ⇒ θ = y θ=
2 2
π 3π
1,
Los puntos de corte son: y 1,
2
2
Hay un tercer punto de corte
pero no se produce con las
mismas coordenadas.
En r = 1 se produce en 1, π( )
En r = 1 − 2cos θ se produce en
(−1, 0)
9. Pendiente de la recta tangente
Sabemos que la pendiente de la recta tangente a una
()
función y = h x viene dada por dy
dx
x = r cos θ x = f (θ) cos θ
Si tenemos: r = f (θ) ⇒ ⇒
y = r sin θ
y = f (θ) sin θ
Luego:
dy
dy
= d θ = f ' (θ ) sin θ + f (θ ) cos θ
dx dx f ' (θ ) cos θ − f (θ ) sin θ
dθ
10. Las soluciones de:
dy
= 0 ⇒ f ' (θ ) sin θ + f (θ ) cos θ = 0
dθ
dan tangentes horizontales.
Las soluciones de:
dx
= 0 ⇒ f ' (θ ) cos θ − f (θ ) sin θ = 0
dθ
dan tangentes verticales.
dy dx
Si =0 y =0 no podemos sacar conclusiones.
dθ dθ
11. Tangente en el polo
Si la función r = f θ() pasa por el polo para θ=α
( )
y f' α ≠0
dy f ' (α) sin α
Tenemos: = = tan α
dx f ' (α) cos α
Por tanto la recta θ=α es tangente a r = f θ()
Nota: Una curva en polar puede pasar por el polo más
de una vez y puede tener más de una tangente.
12. Área en coordenadas polares
El área de un sector circular de radio r y ángulo θ
1 2
viene dada por S = θ r
2
Si consideramos la gráfica de r = f θ () dividida en
Infinitos sectores circulares, obtenemos:
13. Área en coordenadas polares
El área de r = f (θ )
viene dada por:
n β
∑ ∫
1 1
S = lim f (θi ) ∆θ =
2
f 2 (θ ) d θ
n →∞ 2 2 α
i =1
14. Longitud de arco en polares
En paramétricas el elemento de arco viene dado por:
(x ' (t )) + (y ' (t ))
2 2
ds = dt
Y como:
x = f (θ) cos θ x ' (θ) = f ' (θ) cos θ − f (θ) sin θ
⇒
y = f (θ) sin θ
y ' (θ) = f ' (θ) sin θ + f (θ) cos θ
Luego:
β
∫ f (θ ) + f ' (θ ) d θ
2 2
s=
α
15. Algunas curvas en polares
Lemniscata r = 3 cos (2θ )
Caracol de Pascal r = 1 + 2 sin θ
16. Algunas curvas en polares
Rosácea r = 2 sin (3θ )
Rosácea r = 2 cos (4θ )
17. Algunas curvas en polares
Bifolio r = 6 sin (θ ) cos2 (θ )
2
Lituus r=
θ
18. Algunas curvas en polares
−4
Elipse r=
3 + 2 cos θ
−1
Hipérbola r =
1 + 2 cos θ
19. Algunas curvas en polares
−1
Parábola r=
1 + cos θ
Cardioide r = 1 + cos θ