Este documento describe el método de ajuste de curvas por mínimos cuadrados para determinar los parámetros de una función que mejor se ajuste a un conjunto de datos experimentales sujetos a errores. Explica cómo aplicar este método para ajustar rectas, funciones potenciales y exponenciales mediante linealización de variables. Además, incluye ejemplos numéricos para ilustrar cada caso.

1. AJUSTE DE CURVAS
Cálculo Numérico
Ing. Frednides Guillén Guerra
Maracay - Venezuela

2. Ajuste de Curvas
• Consiste en determinar los parámetros de un
modelo y=f(x) que se ajuste mejor a los datos
(x1,y1), ... , (xN,yN) que están sujetos a errores
aleatorios producidos por incertidumbres en las
mediciones, y por un deficiente control de las
condiciones en el que se realiza un experimento.

3. Ajuste de Curvas
• Cuando se consideran datos que están sujetos a errores
aleatorios, se emplea:
EL MÉTODO DE LOS
MÍNIMOS CUADRADOS

4. Ajuste de Curvas
• A partir del método de los mínimos cuadrados se
obtienen las Ecuaciones de Regresión y tienen varias
aplicaciones:
– Descripción y construcción de modelos
– Predicción y estimación
– Estimación de parámetros
– Control

5. Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados
• Para comprender mejor este tema, se considera el siguiente ejemplo:
A partir de un ensayo experimental se obtuvieron los siguientes
pares de puntos, obtener la ecuación de la recta aproximada:
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
- 4
- 2
0
2
4
6
8
1 0
1 2
xk yk
-1 10
0 9
1 7
2 5
3 4
4 3
5 0
6 -1
y=Ax+B
x
y

6. Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados
• La recta de regresión consiste en el análisis de
regresión simple del método de los mínimos
cuadrados:
– Lo que se desea es encontrar una ecuación simple
que aproxime lo mejor posible los puntos de
estudio
– La recta o cualquier otra función elegida para
aproximar los datos es llamada modelo

7. Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados
• La recta de regresión o recta óptima en mínimos cuadrados
consiste en obtener los coeficientes de la ecuación de la
recta:
y = f(x) = Ax + B
• Que minimiza el error cuadrático medio E2(f)
(1)
)
(
1
)
(
2
/
1
1
2
2 





−
= ∑=
N
k
k
k y
x
f
N
f
E

8. Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados
• El error medio cuadrático está dado por la siguiente
ecuación:
• El error medio cuadrático se suele usar cuando se considera
la naturaleza aleatoria de los errores. Este se suele utilizar
porque no es tan complejo de minimizar
computacionalmente.
(1)
)
(
1
)
(
2
/
1
1
2
2 





−
= ∑=
N
k
k
k y
x
f
N
f
E

9. Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados
• Sea un conjunto de N puntos (xk , yk) donde k=1 hasta N,
cuyas abscisas {xk} son todas distintas, la recta de regresión
o recta óptima en mínimos cuadrados, es la recta de
ecuación y = f (x) = Ax+B que minimiza el error medio
cuadrático E2(f).
• El error medio cuadrático es mínimo si la siguiente
expresión es mínima:
( ) (2)
)
(
)
(
1
2
2
2 ∑=
−
=
⋅
N
k
k
k y
x
f
f
E
N

10. Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados
• Si sustituimos en la ecuación anterior la ecuación de la
recta, entonces:
• El valor mínimo de la función E(A,B) se calcula igualando a
cero sus derivadas parciales:
( ) (3)
)
,
(
1
2
∑=
−
+
=
N
k
k
k y
B
Ax
B
A
E
(4)
0
)
,
(
0
)
,
(
=
∂
∂
=
∂
∂
B
B
A
E
A
B
A
E

11. Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados
• Desarrollando el cálculo, tenemos:
• Luego:
( )( ) ( )
( ) ( )
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
−
+
=
−
+
=
∂
∂
−
+
=
−
+
=
∂
∂
N
k
k
k
N
k
k
k
N
k
k
k
k
k
k
N
k
k
k
y
B
Ax
y
B
Ax
B
B
A
E
x
y
Bx
Ax
x
y
B
Ax
A
B
A
E
1
1
1
2
1
2
2
)
,
(
2
2
)
,
(
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0
,
0
1
1
1
1
1
1
2
1
2
=
−
⋅
+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
N
k
k
N
k
k
N
k
k
k
N
k
k
k
N
k
k
N
k
k
N
k
k
k
k
k
y
B
N
x
A
y
B
Ax
y
x
x
B
x
A
x
y
Bx
Ax

12. Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados
• Despejando:
• A este sistema de ecuaciones se le conoce como:
ECUACIONES NORMALES DE GAUSS
( ) ( ) ( )
( ) ( )
(5)
,
1
1
1
1
1
2
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
⋅
+
=
+
N
k
k
N
k
k
N
k
k
k
N
k
k
N
k
k
y
B
N
x
A
y
x
x
B
x
A

13. Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados
• Ejemplo: A partir de un ensayo experimental se obtuvieron los
siguientes pares de puntos (-1, 10), (0,9), (1,7), (2, 5), (3, 4), (4, 3),
(5, 0), (6, -1). Obtener la ecuación de la recta aproximada. Primero
se calculan los coeficientes de las ecuaciones normales de Gauss:
xk yk (xk)2
xk yk
-1 10 1 -10
0 9 0 0
1 7 1 7
2 5 4 10
3 4 9 12
4 3 16 12
5 0 25 0
6 -1 36 -6
20 37 92 25
643
.
8
607
.
1
37
8
20
25
20
92
(5)
ecuación
la
Aplicamos
≈
−
≈
=
+
=
+
B
A
B
A
B
A
y=-1.607 x + 8.643
y=-1.607 x + 8.643

14. Ajuste Potencial y=AxM
• Algunos casos experimentales se modelan mediante una
función del tipo y=AxM
, donde M es una constante conocida.
• Usando la técnica de los mínimos cuadrados:
• En este caso particular basta con calcular la derivada de
E(A) e igualar a cero:
( )
∑=
−
=
N
k
k
M
k y
Ax
A
E
1
2
)
(

15. Ajuste Potencial y=AxM
• El desarrollo de las ecuaciones es el siguiente:
( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) (6)
:
obtiene
se
tanto
lo
Por
0
0
2
2
)
(
'
0
)
(
;
)
(
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
2
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
=
=
−
=
−
=
−
=
=
∂
∂
−
=
N
k
M
k
N
k
M
k
k
N
k
M
k
k
N
k
M
k
N
k
M
k
k
M
k
N
k
M
k
k
M
k
N
k
k
M
k
x
x
y
A
x
y
x
A
x
y
Ax
x
y
Ax
A
E
A
A
E
y
Ax
A
E

16. Ajuste Potencial y=AxM
• Ejemplo: A fin de medir la aceleración de la gravedad, se recogieron
unos datos experimentales del tiempo que tarda en llegar un objeto
al suelo. La relación funcional es d=0.5gt2
. donde d es la distancia
de caída media en metros y t el tiempo medio en segundos. Con
estos datos calcule el valor aproximado de la aceleración de la
gravedad g.
Tiempo
tk (s)
Distancia
dk (m)
0.47 1.1
0.71 2.4
0.77 3
0.96 4.5
1.1 6

17. Ajuste Potencial y=AxM
• Aplicamos la ecuación (6)
Tiempo
tk (s)
Distancia
dk (m) dk tk
2
tk
4
0.47 1.1 0.2430 0.0488
0.71 2.4 1.2098 0.2541
0.77 3 1.7787 0.3515
0.96 4.5 4.1472 0.8493
1.1 6 7.2600 1.4641
14.6387 2.9679
( ) ( )
∑
∑ =
=
=
N
k
M
k
N
k
M
k
k x
x
y
A
1
2
1
( ) ( )
2
*
9323
4
:
gravedad
la
Despejando
9323
4
9323
4
9679
2
6387
14
2
1
4
1
2
.
g
t
.
d
.
.
.
A
t
t
d
A
N
k
k
N
k
k
k
=
⋅
=
=
=
= ∑
∑ =
=
g = 9.8647 m/s2
g = 9.8647 m/s2

18. Ajuste de Curvas
• Supóngase que se quiere ajustar un conjunto de datos a una
curva exponencial de la forma:
• Aplicamos logaritmo en ambos miembros de la ecuación
• De esta manera queda linealizada la ecuación y se pueden
hacer los siguientes cambios de variable:
Y=ln(y), X=x, y B=ln(C)
Ax
Ce
y =
( )
( ) ( )
( )
B
AX
Y
C
Ax
y
e
C
y
Ce
y
Ax
Ax
+
=
+
=
+
=
=
ln
)
ln(
ln
ln
)
ln(
ln
)
ln(

19. Ajuste de Curvas
• Mediante el cambio de variable los datos quedan de la
siguiente forma: (Xk , Yk) = (xk , ln(yk)); a este proceso se le
conoce como método de linealización de datos. Luego se
aplican las ecuaciones normales de Gauss.
• Luego que se obtienen A y B, se calcula el parámetro C:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
(7)
,
1
1
1
1
1
2
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
⋅
+
=
+
N
k
k
N
k
k
N
k
k
k
N
k
k
N
k
k
Y
B
N
X
A
Y
X
X
B
X
A
B
e
C =

20. Ajuste de Curvas
• Ejemplo: Utilice el método de linealización de datos para
hallar el ajuste exponencial y=CeAx
a los cinco datos: (0,
1.5), (1 , 2.5), (2 , 3.5), (3 , 5.0) y (4 , 7.5). Aplicando los
cambios de variable:
xk yk Xk Yk=ln(yk) Xk
2
XkYk
0.0 1.5 0.0 0.4054 0.0 0
1.0 2.5 1.0 0.9162 1.0 0.9162
2.0 3.5 2.0 1.2527 4.0 2.5055
3.0 5.0 3.0 1.6094 9.0 4.8283
4.0 7.5 4.0 2.0149 16.0 8.0596
10 6.1988 30.0 16.3097

21. Ajuste de Curvas
• Aplicando la ecuación (7) para el cálculo de los coeficientes
de las ecuaciones normales de Gauss, se tiene:
5799
.
1
4574
.
0
3912
.
0
1988
.
6
5
10
3097
.
16
10
30
4574
.
0
=
=
≈
≈
=
+
=
+
e
C
B
A
B
A
B
A
- 1 0 1 2 3 4 5
0
2
4
6
8
1 0
1 2
x
y=1.5799 e0.3912 x
y

22. Ajuste de Curvas
• Cambios de variables para linealizar datos:
Función, y=f(x) Linealización, Y=Ax+B Cambios
y = A/x + B y = A/x + B X = 1/x , Y = y
y = 1 / (A x + B) 1/y = Ax + B X = x , Y = 1/y
y = A ln(x) + B y = A ln(x) + B X = ln(x) , Y =y
y = C eAx
ln(y) = A x + B
X = x , Y = ln(y),
B=ln(C) , C=eB
y = C xA
ln(y) = A ln(x) + B
X = ln(x) , Y = ln(y),
B=ln(C) , C=eB