Ajuste polinomial por mínimos cuadrados

1. Ajuste de curvas.
regresión lineal y
mínimos cuadrados
Mtra. Teresa Carrillo

2. Introducción
Existen dos tipos generales de problemas que se
tratan con el ajuste de curvas:
› Cuando una función se da de manera explícita,
pero se desea encontrar un tipo más simple de
ella (un polinomio).
› La adaptación de las funciones a ciertos datos y
a la búsqueda de la función “óptima” en una
clase que se pueda emplear para representar los
datos.
› Nos concentraremos en el segundo caso.
MTRA. TERESA CARRILLO R.

3. En la práctica de la ingeniería
En la práctica de la ingeniería es común la
necesidad de construir un modelo que se ajuste a
un conjunto de mediciones (datos) tales como:
› Presiones contra temperatura
› Densidad contra temperatura
› Temperatura contra tiempo
› Esfuerzo contra deformación
› Población contra tiempo
› Tensión contra peso
Por mencionar algunas

4. Para explicarlo empecemos con el siguiente
conjunto de puntos
MTRA. TERESA CARRILLO R.
4 6 8 10
4
6
8
10
12
14
16

5. ¿La pregunta es a qué se ajusta?
› Se podría suponer que la relación entre x y y es lineal. La
razón probable de que ninguna recta se ajuste a estos
datos es que tienen errores.
› En los datos experimentales es común que existan
errores en las mediciones por lo que si buscamos una
función de aproximación a estos datos no sería lógico
pedir que se ajusten a cada uno de los puntos.
› Para encontrar una función que se ajuste de la mejor
manera a estos datos se tienen las herramientas de
mínimos cuadrados.
› Cuando el ajuste se hace a un polinomio lineal, se conoce
como regresión lineal. MTRA. TERESA CARRILLO R.

6. Empecemos con un polinomios lineal:
Regresión lineal
El problema de ajustar la mejor recta
𝑃 𝑥 = 𝑎1 𝑥𝑖 + 𝑎0
con mínimos cuadrados a una colección de datos implica
minimizar el error total:
𝐸 ≡ 𝐸2 𝑎0, 𝑎1 =
𝑖=1
𝑚
𝑦𝑖 − (𝑎1 𝑥𝑖 + 𝑎0) 2
Para encontrar los mínimos, obtenemos las parciales y las
igualamos a cero
• m = número de datos en la tabla
MTRA. TERESA CARRILLO R.

7. Obtenemos las parciales
MTRA. TERESA CARRILLO R.



m
i
i
m
i
i yxama
11
10



m
i
ii
m
i
i
m
i
i yxxaxa
11
2
1
1
0
𝜕
𝜕𝑎0
𝑖=1
𝑚
𝑦𝑖 − 𝑎1 𝑥𝑖 − 𝑎0
2 = 2
𝑖=1
𝑚
(𝑦𝑖 − 𝑎1 𝑥𝑖 − 𝑎0)(−1) = 0
𝜕
𝜕𝑎1
𝑖=1
𝑚
𝑦𝑖 − 𝑎1 𝑥𝑖 − 𝑎0
2 = 2
𝑖=1
𝑚
(𝑦𝑖 − 𝑎1 𝑥𝑖 − 𝑎0)(−𝑥𝑖) = 0

8. La solución del sistema (por regla de
Cramer) representa las fórmulas de
regresión lineal
MTRA. TERESA CARRILLO R.
2
11
2
111
1
2
11
2
1111
2
0




































m
i
i
m
i
i
m
i
i
m
i
i
m
i
ii
m
i
i
m
i
i
m
i
i
m
i
ii
m
i
i
m
i
i
xxm
yxyxm
a
xxm
xyxyx
a

9. Para obtener las sumas requeridas en las
fórmulas, hacemos la siguiente tabla
xi yi xi
2 xiyi P(xi) (yi– P(xi))2
1 1.3
2 3.5
3 4.2
4 5
5 7
6 8.8
7 10.1
8 12.5
9 13
10 15.6
     MTRA. TERESA CARRILLO R.

10. Construimos el sistema y lo resolvemos
P(x) = 1.538x – 0.360
MTRA. TERESA CARRILLO R.
538.1
)55()385(10
)81(55)4.572(10
360.0
)55()385(10
)4.572(55)81(385
21
20








a
a
Coeficientes
del polinomio

11. Si graficamos el polinomio
MTRA. TERESA CARRILLO R.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(x) = 1.538x – 0.360

12. Cuando el conjunto de datos no parece ajustarse a
una línea recta, tenemos que buscar algo que se
ajuste
› De modo similar se resuelve el problema de
aproximar un conjunto de datos con un
polinomio algebraico de grado n < m-1 mediante
el procedimiento de mínimos cuadrados.
› Sea el polinomio:
MTRA. TERESA CARRILLO R.



 
n
j
j
iji
n
in
n
inin xaaxaxaxaxP
0
01
1
1)( 

13. Con un polinomio de grado n
MTRA. TERESA CARRILLO R.
 
  

 

 















n
j
m
i
kj
i
n
k
kj
n
j
m
i
j
iij
m
i
i
m
i
ii
xaaxyay
xPyE
0 100 11
2
1
2
2
2
)(
   




 n
k
m
i
kj
ik
m
i
j
ii
j
xaxy
a
E
0 11
22

14. El sistema queda así
MTRA. TERESA CARRILLO R.
,
,
,
11
2
1
2
2
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
3
2
1
2
1
1
1
0
1
0
11
2
2
1
1
1
1
0
0















m
i
n
ii
m
i
n
in
m
i
n
i
m
i
n
i
m
i
n
i
m
i
ii
m
i
n
in
m
i
i
m
i
i
m
i
i
m
i
ii
m
i
n
in
m
i
i
m
i
i
m
i
i
xyxaxaxaxa
xyxaxaxaxa
xyxaxaxaxa




Si pones atención, puedes darte cuenta de que se trata de un
sistema simétrico que puedes resolver por cualquier método
o cuan ayuda de alguna herramienta computacional

15. Ejercicio para entregar
› Ajustar los datos de la
siguiente tabla mediante
un polinomio de mínimos
cuadrados, prueba con un
polinomio lineal, uno
cuadrático y uno cúbico.
Haz las gráficas, compara
los errores y elige el que se
ajuste mejor.
xi yi
0.1 0.61
0.4 0.92
0.5 0.99
0.7 1.52
0.8 1.47
0.9 2.03
MTRA. TERESA CARRILLO R.

16. Paso 1. Construye la siguiente tabla
xi yi xi
2 xi
3 xi
4 xi
5 xi
6 xiyi xi
2yi xi
3yi
0.1 0.61
0.4 0.92
0.5 0.99
0.7 1.52
0.8 1.47
0.9 2.03
xi yi xi
2 xi
3 xi
4 xi
5 xi
6 xiyi xi
2yi xi
3yi
m = 6

17. Paso 2. Construir el sistema con las sumas
de acuerdo a las fórmulas
𝑚 xi
xi xi
2
xi
2 xi
3
xi
3 xi
4
xi
2 xi
3
xi
3 xi
4
xi
4 xi
5
xi
5 xi
6
yi
xiyi
xi
2yi
xi
3yi
a0 a1 a2 a3

18. Paso 3. Resolver los sistemas y construir
los polinomios
› Sistema de 2x2 para el polinomio lineal
P(x) = a1x + a0
› Sistema de 3x3 para el ajuste cuadrático
P2(x) = a2x2 + a1x + a0
› Sistema de 4x4 para el ajuste cúbico
P3(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0

19. Paso 4. Comparar los ajustes. Para
eso construimos la siguiente tabla
xi yi yi - P(xi)2 yi – P2(xi)2 yi – P3(xi)2
0.1 0.61
0.4 0.92
0.5 0.99
0.7 1.52
0.8 1.47
0.9 2.03
  
La suma mínima indica el polinomio que da el
mejor ajuste

20. Esto se puede hacer en Excel
› Introduces tu tabla de datos (xi, yi)
› La seleccionas, Insertar/Gráficos/Dispersión/1ª opción,
Solo con marcadores.
› Seleccionas algún marcador con el botón izq. del mouse
y eliges Agregar línea de tendencia.
› Iniciemos con el Tipo- Lineal
› Hasta abajo marca la casilla de Presentar ecuación en
el gráfico.
› Repites el proceso pero ahora elige un polinomio de
segundo grado y después de grado 3.
› Dale formato para que se vea bonita y listo

21. Más o menos así te debe quedar

22. x y
5 7.8
6 9.1
7 9.3
8 10.3
9 11.1
10 12.5
11 13.3
12 12.9
13 13.1
14 13.8
15 14.4
En Excel, escribir el
polinomio de ajuste por
mínimos cuadrados,
lineal, cuadrático y
cúbico.
La gráfica con la
herramienta de Excel
2º Ejercicio para entregar