2f 02 a movimientos vibratorios

Unidad 4: MOVIMIENTOS VIBRATORIOS
Ecuaciones del MAS
Movimiento vibratorio
Armónico Simple(MAS)
Comparación del MAS
y del MCU

Dinámica del oscilador
armónico simple

Movimientos Oscilador armónico Energía del oscilador
vibratorios simple armónico simple

Péndulo simple

Otros movimientos vibratorios

Este enlace nos lleva a una página del proyecto Newton del CNICE (Ministerio de Educación) donde podemos
ver esta unidad completa con “escenas interactivas” (applets o fislets) (animaciones)

MAS
14/01/13 IPEP de Cádiz - Departamento de Física y Química - Física de 2º 1

1. Movimiento vibratorio armónico simple
Movimiento periódico

Una partícula describe un movimiento periódico cuando las variables posición, velocidad y
aceleración de ese movimiento toman los mismos valores después de cada intervalo de tiempo
constante llamado periódo.

El movimiento circular y uniforme MCU es un
A ejemplo de movimiento periódico.

En la figura la partícula se desplaza siguiendo una
trayectoria circular con velocidad angular ω
constante

C Cuando pasa por los puntos A, B, C , ….. la
posición , la velocidad lineal y la aceleración tienen
el mismo valor que en la vuelta anterior
B
El movimiento de la luna alrededor de la Tierra, el de la Tierra alrededor del Sol, el de las alas de
un pájaro cuando está volando, el de las mareas, el de un péndulo, el de un objeto colgado de un
muelle, etc son ejemplos de movimientos periódicos.


Movimiento Oscilatorio o Vibratorio
Son aquellos movimientos periódicos en los que la partícula se desplaza sucesivamente a un
lado y a otro de una posición de equilibrio.
Cada vez que la partícula vuelve a la posición de partida moviéndose en el mismo sentido
decimos que ha efectuado una oscilación y ha invertido un tiempo que se llama periodo

Cuando las oscilaciones son muy rápidas se denominan vibraciones y al movimiento se le
denomina vibratorio.

Movimiento Vibratorio Armónico Simple (MAS)
Un movimiento oscilatorio (o vibratorio) de una partícula sobre una trayectoria rectilínea es
armónico simple cuando está sometido a la acción de una fuerza de atracción
directamente proporcional al desplazamiento de la partícula de su posición de equilibrio
y de signo contrario.

Las partículas unidas a resortes (muelles) que cumplen la ley de Hooke tienen un movimiento
vibratorio armónico simple.
VER


1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio armónico simple
Cuando estudiábamos el movimiento uniforme o el uniformemente acelerado o el circular
uniforme, vimos que para la descripción de estos movimientos necesitábamos unas
ecuaciones para conocer la posición, la velocidad y la aceleración de los cuerpo o partículas
afectados por estos movimientos:

M.U. M.U.A. M.C.U.
x = x 0 + v ×t v = v 0 + a ×t v = ω×R
1
x = x 0 + v0 × + × × 2
t a t φ = φ 0 + ω ×t
2
x v x

t t t
Como todo movimiento, para describir el MAS debemos obtener unas ecuaciones que nos
permitan conocer la posición , la velocidad y la aceleración de una partícula en un instante
determinado.

Pero antes, debemos recordar o definir algunas magnitudes características de este
movimiento.


1.1. Ecuaciones del MAS (Cont.)
Oscilación o Vibración es el movimiento comprendido entre
el paso consecutivo de la partícula por un mismo punto, con
las mismas características cinemáticas (igual posición, igual
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
velocidad e igual aceleración

Centro de Oscilación es el punto medio de la distancia que separa las dos posiciones
extremas alcanzadas por la partícula. Es la posición de equilibrio.
Elongación es la posición que tiene la partícula en un instante cualquiera, respecto del
centro de oscilación. En el S.I. se mide en m
La representaremos por x o y según sea horizontal o vertical la trayectoria rectilínea que
describe la partícula
Amplitud A es la máxima elongación. Representa la máxima distancia que se aleja la
partícula respecto del centro de oscilación. En el S.I. se mide en m
Periodo T es el tiempo que tarda la partícula en efectuar una oscilación. En el S.I. se mide
en s

Frecuencia f es el número de oscilaciones que efectúa la partícula en la unidad de tiempo.
En el S.I. se mide en Hertzios (Hz) o s –1.
1 1
Es la inversa del periodo: f= T=
T f


1.1. Ecuaciones del MAS (Cont.)

Oscilación o Vibración
Centro de Oscilación
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
Elongación
Amplitud A
Periodo T
Frecuencia f

Pulsación ω es el número de periodos comprendidos en 2 π segundos. En el S.I.
se mide en rad/s o s –1.
2π ω = 2π ×f
Por definición: ω=
T


Actividad El periodo de un movimiento vibratorio armónico simple (MAS) es 0,2 s.
Calcular su frecuencia y su pulsación.
Datos: T = 0,2 s
1 1 1
Por definición: f= = = 5 Hz = 5 = 5 s −1
T 0, 2 s
2π 2π rad rad
ω= = = 10π = 31, 4 = 31, 4 s −1
T 0, 2 s s
Actividad El punto rojo de la figura realiza un MAS de 0,4 Hz de frecuencia. Calcular: a) la
pulsación , b) el periodo , c) la amplitud en el S.I.
Datos: f = 0,40 Hz
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 cm

a) Por definición: ω = 2π ×f = 2π ×0, 4 = 0,8π rad ×s −1 = 2,5 rad ×s −1

1 1
b) El periodo es el inverso de la frecuencia: T= = s = 2,5 s
f 0, 4
c) Leemos el valor en la figura: A = 5 cm = 0,05 m


1.1. Ecuaciones del MAS (Cont.) . Ecuación de la elongación

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

La ecuación fundamental del MAS nos describe cómo varía la elongación x a lo largo
de la trayectoria en función del tiempo t.
Fase inicial o constante
x = A ×sen (ω ×t + φ 0 ) de fase (rad)
Elongación (m)

Amplitud (m) Ángulo de fase o fase (rad) Ver RADIÁN

Una partícula posee un MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE a lo largo de un eje X
cuando su elongación o coordenada de posición x sobre este eje se expresa mediante
una función senoidal o cosenoidal (seno o coseno) del tiempo dado.
Otras formas de la misma ecuación:
y = A ×sen (ω ×t + φ 0 ) ( Eje Y )

x = A ×cos (ω ×t + φ 0 ) ( Condiciones iniciales)


1.1. Ecuaciones del MAS (Cont.). Ecuación de la elongación
Vamos a representar la gráfica x-t de este
t (s) ω·t (rad) sen ω·t x (m) movimiento:
2π x =A×sen (ω × + φ 0 )
t
0 × =0
0 0 0
T En función del periodo la ecuación es:
0
T 2π T π 2π
× = +1 +A x =A×sen ( × +)0
tφ
4 T 4 2 T
Elaboraremos una tabla de valores para obtener
T 2π T la gráfica.
× =π 0 0
2 T 2 x (m)
+A
3T 2π 3T 3π
× = –1 –A
4 T 4 2
0
2π 0 T T T
×T = 2π
3T
T 0 0 4 2 4
t (s)
T
–A

La ecuación de la elongación también la podemos poner en función de la frecuencia:

APPLET x =A×sen (2π × × + φ 0 )
f t
Enebro

1.1. Ecuaciones del MAS (Cont.). Ecuación de la velocidad
Para obtener la ecuación de la velocidad debemos derivar la ecuación de la elongación
respecto del tiempo: x = A ×sen (ω ×t + φ ) 0

dx
v= = Aω cos(ω t× + )
× × φ 0 v máx = ± Aω
×
dt
La gráfica velocidad - tiempo v – t para el MAS la obtenemos como hemos hecho para la
elongación, a partir de una tabla de valores, como la anterior:

v (m/s)
t (s) ωt cos ωt v (m/s) +A·ω

0 0 1 +Aω

T π
0 0
4 2 0
0
T
T T 3T T t (s)
π -1 -Aω 4 2 4
2
3T 3π
0 0
4 2
– A·ω

T 2π 1 +Aω


1.1. Ecuaciones del MAS (Cont.). Ecuación de la aceleración
Para obtener la ecuación de la aceleración debemos derivar la ecuación de la velocidad
respecto del tiempo: v = Aω cos(ω t× + )
× × φ 0
dv APPLET
a= = − Aω 2 sen(ω t× + )
× × φ 0 Enebro
dt x =A× sen (ω × + φ 0 )
t
aω −x 2 ×
= aω = ± 2 ×
máx A
La gráfica aceleración - tiempo a – t para el MAS la obtenemos como hemos hecho para la
elongación y para la velocidad, a partir de una tabla de valores, que tiene los mismos valores
para el sen ωt que la tabla de la elongación x:
a (m/s2)
t (s) sen ωt a (m/s )2

+A·ω2
0 0 0
T
1 -Aω2
4
T 0
0
0 0 T T 3T T t (s)
2 4 2 4

3T
-1 +Aω2
4
– A·ω2
T 0 0


1.2. Comparación del MAS y del MCU
Para la mejor comprensión del MAS de una partícula es útil compararlo con el MCU de la
misma partícula.
APPLET Proyecto Newton
Vemos pues que el MAS se puede considerar como una proyección de un MCU sobre un
diámetro de la misma circunferencia.
r
v • Cada revolución en el MCU se convierte en una
oscilación en el MAS
son
r
an • El radio R • La amplitud A
r r • El periodo T • El periodo T
a v
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
• La velocidad angular ω • La pulsación ω

• El ángulo inicial φ0 • La fase inicial φ0

del MCU del MAS
• La proyección del vector velocidad del MCU sobre el diámetro da
lugar al vector velocidad del MAS
• La proyección del vector aceleración normal del MCU sobre el diámetro da lugar al vector
aceleración del MAS


Resumiendo
►El Movimiento Armónico Simple es un movimiento periódico en el que la posición
varía según una ecuación de tipo senoidal o cosenoidal.
x =A×sen (ω × + φ 0 )
t x max = A
►La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo máxima en el centro de
la trayectoria y nula en los extremos, donde el cuerpo cambia el sentido del
movimiento.
v = Aω cos(ω t× + )
× × φ 0 v max = Aω
×
►El M.A.S. es un movimiento acelerado no uniformemente. Su aceleración es
proporcional al desplazamiento y de signo opuesto a este. Toma su valor
máximo en los extremos de la trayectoria, mientras que es mínimo en el centro.

a = − Aω 2 sen(ω t× + )
× × φ 0
aω −x ×
= 2 aω = −
max A
2
×

►Podemos imaginar un M.A.S. como una proyección de un Movimiento Circular
Uniforme. El desfase nos indica la posición del cuerpo en el instante inicial.


Ejercicio 6 de la página 102 Datos: MAS con 15 vibraciones cada 40 s

a) La frecuencia f es el número de vibraciones que da la partícula en la unidad de tiempo,
1s, luego:
nº de vibraciones 15 vibraciones vibraciones = 0,375 Hz
f= = = 0,375
tiempo 40 s s

b) El período T , tiempo que tarda la partícula en dar una vibración, es la inversa de la
frecuencia f :
1 1
T= = = 2, 67 s
f 0,375

c) La pulsación ω la calculamos mediante la expresión:
rad
ω = 2π×f = 2π×0,375 = 2,36
s
2π
También hemos podido utilizar la expresión: ω=
T


Actividad 1: Una partícula se mueve con un MAS cuya elongación es:
π
x = 0,8 ×sen (π × + )
t en unidades del S.I.
6
a) Calcular su amplitud:

Comparamos la ecuación que nos dan con la ecuación general de la elongación del MAS.
x =A×sen (ω × + φ 0 )
t
Deducimos por tanto que la amplitud vale 0,8 m: A = 0,8 m
b) Calcular su periodo:
2π
Podemos calcular el periodo T a partir de la pulsación ω , ya que : ω=
T
Comparamos de nuevo la ecuación que nos dan con la ecuación general de la elongación del
MAS.
rad
Deducimos por tanto que la pulsación vale : ω= π
s
2π 2 π
Calculamos el periodo T despejándolo de la expresión anterior: T= = =2 s
ω π
c) Calcular la fase inicial:
Comparamos de nuevo la ecuación que nos dan con la ecuación general de la elongación del
MAS.
π
Deducimos por tanto que la fase inicial vale : ϕ0 = rad
6


Actividad (Cont.) π
x = 0,8 ×sen (π × + )
t en unidades del S.I.
6
d) Calcular la elongación en los instantes t = 0 s , t = 0,5 s y t = 1,5 s
Para calcular la elongación en esos instantes sustituiremos en la ecuación la variable t por los
valores que nos dan:
π π
Para t = 0 s: x = 0,8 × sen (π × + ) = 0,8 ×
0 sen = 0,8 × = 0, 4 m
0,5
6 6
π 2π
Para t = 0,5 s: x = 0,8 ×sen (π × + ) = 0,8 ×
0,5 sen = 0,8 ×0,87 = 0,35 m
6 3
π 5π
Para t = 1,5 s: x = 0,8 ×sen (π × + ) = 0,8 ×sen
1,5 = 0,8 × −0,87) = −0,35 m
(
6 3
e) Escribir la ecuación de la velocidad.
La ecuación de la velocidad la obtenemos derivando respecto el tiempo la ecuación de la
elongación:
dxπ
v= = 0,8π cos (π t + )
× × × en unidades del S.I.
dt 6
f) ¿Cuál es la velocidad máxima?
El valor máximo de la velocidad lo tomará cuando el cos(π t + π/6) sea 1.
m m
Por tanto: v max = 0,8π
× =
2,5 v max = Aω
×
s s

Actividad 2: Una partícula describe un MAS de ecuación ( en unidades SI): x = 6×sen (π ×t)
Calcular cuánto vale la velocidad de la partícula en los instantes que pasa por la
posición x = 3 m
Datos: MAS ; x =6×sen (π ×t) ; x=3m
dx
La velocidad de la partícula nos viene dada por la ecuación : v= = 6π × (π ×
cos t)
dt
Vemos que depende del tiempo. Luego para calcular la velocidad cuando la partícula pasa
por la posición x = 3 m , bastaría con conocer el instante en el que la partícula pasa por esa
posición.

Esto lo podemos calcular a partir de la ecuación de la elongación: 3 =6×sen (π ×t)
3
Despejamos el seno: sen (π × =
t) = 0,5
6
Calculamos el ángulo y el tiempo:
0,524
π × = sen
t −1
(0,5) π ×t = 0,524 rad t= = 0,167 s
π
Finalmente, sustituimos este valor en la ecuación de la velocidad:
m
v = 6π × (π × = 6π × (π ×
cos t) cos 0,167) = 6π ×0,87 = ± 16,3
s


Ejercicio 7 de la página 102 Datos: MAS , φo = 0 ; f = 50 Hz ; A = 3 cm = 0,03 m
a) El período T, tiempo que tarda la partícula en dar una vibración, es la inversa de la
frecuencia f :
1 1
T= = = 0, 02 s
f 50

b) La pulsación ω la calculamos mediante la expresión:

rad rad
ω = 2π× = 2π× = 100π
f 50 = 314,16
s s
c) La ecuación de la elongación x en el MAS es:

x = A· sen (ω·t + φo)

y por tanto basta con conocer la amplitud A, la pulsación ω y la fase inicial φ0 :

A = 0,03 m
x = 0,03· sen (100π·t + 0)
ω = 100 π rad/s x = 0,03· sen 100π·t en unidades del S.I.
φ0 = 0 rad
( x = 0,03· sen 314,16·t en unidades del S.I. )


2.Oscilador armónico simple
Hasta ahora hemos estudiado las características cinemáticas del MAS. A continuación
vamos a estudiar la dinámica y la energía del MAS, aplicadas a un caso concreto de oscilador
armónico (sistema animado de MAS debido a la acción de una fuerza recuperadora )

2.1. Dinámica del Oscilador armónico simple
Si una partícula de masa m está sometida a un MAS hemos visto que tiene una aceleración:
aω −x 2 ×
= y a una fuerza: F = − k ×x
Conocida la masa y la aceleración, podemos a partir de la 2ª ley de Newton determinar la
fuerza resultante F sobre la partícula:

F = m ×a = m ×(ω 2 x) = − ω2 ×m ×x
− ×
Como la pulsación ω y la masa m son constantes, podemos concluir que:

F = − k ×x kω m×
= 2
donde k es una constante, denominada constante elástica o recuperadora , que en el S.I. se
mide en N
m
Vimos que en el MAS, la fuerza responsable es directamente proporcional a la elongación (al
desplazamiento) de la partícula y opuesta a ella .


2.1. Dinámica del Oscilador armónico simple (Cont.)
La fuerza que produce un MAS es una fuerza central, dirigida hacia el punto de equilibrio y
directamente proporcional a la distancia a éste.

Podemos calcular la pulsación ω del MAS a partir de la expresión de la constante:
kω m×
= 2
despejándo obtenemos que:
k
ω=
m
2π
Recordando que la pulsación ω la podemos poner en función del periodo T: ω=
T
podemos obtener el periodo T de oscilación de una partícula producido por una fuerza
recuperadora:
m  1 k
T = 2π f = 
k  2π m 
Se observa que el periodo y la frecuencia dependen
exclusivamente de la constante elástica del movimiento k y de APPLET
la masa m del cuerpo que lo describe.
W.Fendt


2.2. Energía del Oscilador armónico simple
Hemos visto que un oscilador armónico es un sistema material que se mueve con movimiento
armónico simple MAS.
La energía mecánica que posee es CINÉTICA, porque está en movimiento y POTENCIAL
ELÁSTICA, ya que el movimiento armónico es consecuencia de la acción de una fuerza
conservativa (la fuerza elástica recuperadora).
Energía cinética
La partícula de masa m que se mueve con una velocidad v tendrá una energía cinética:
1
Ec = × × 2
m v
2
Recordando la ecuación de la velocidad y la expresión de la constante k:
1
v = Aω cos(ω t× + )
× × m [
v 2 cos(ωt + φ0 )]
2
φ 0 Ec = × × Aω ×
2
1
kω m×
= 2 Ec = × × 2 2 cos 2
m Aω × (ωt + 0 φ )
2
1
Ec = × × 2 × 2 (ωt + φ 0 )
k A cos
2
1 1 1
Ec = × × 2 × −sen 2 (ωt + φ 0 )] = × × 2 − × × 22 sen 2 (ωt + φ 0 )
k A [1 k A k A
x
2 2 2
1
Ec = × × 2 − x 2 )
k (A
2

2.2. Energía del Oscilador armónico simple (Cont.)
Energía potencial elástica
Para un oscilador cuya constante elástica es k, la energía potencial elástica en el instante que
su elongación es x vale:
1
Ep = ×k ×x 2
2
Recordando la ecuación de la elongación : x =A×sen (ω × + φ 0 )
t
podemos expresar la energía potencial elástica del oscilador de esta manera:
1
Ep = × × 2 × 2 (ωt + φ 0 )
k A sen
2
Energía mecánica
Es la suma de las dos anteriores:
1 1
E = Ec + Ep = × × 2 × 2 (ωt + φ 0 ) + × × 2 × 2 (ωt + φ 0 )
k A cos k A sen
21 2
E = × × × cos (ωt + φ 0 ) +sen 2 (ωt + φ 0 ) 
k A 
2

2

2
1
E= × × 2
k A La energía mecánica de un oscilador armónico es
APPLET 2 una constante característica de éste directamente
Fendt proporcional al cuadrado de la amplitud.


Ejercicio 21 de la página 105 Datos: m = 2 kg; F = 8,0 N; x = 20 cm = 0,2 m;
a) Hallamos la constante elástica k a partir de la fuerza necesaria para alargarlo 20 cm, a
partir de la posición de equilibrio:

F=k·x

Despejando la constante k:
F 8 N N
k= = = 40
x 0, 2 m m
b) El período del MAS en función de la masa y de la constante elástica vale:

m 2
T = 2 ×π = 2 ×π = 1, 4 s
k 40
 
 
 
 = 2 ×π 2 kg = 2 ×π 2 kg 2 2
= 2 ×π s = 1, 4 s
 N m 40 
 40 kg × 2 
 m s 
40

 m 



Ejercicio 23 de la página 107 Datos: m = 2 kg; k = 65 N/m; A = 0,3 m;

a) En el momento inicial toda la energía mecánica del cuerpo es energía potencial elástica , ya
que x = A = 0,3 m. En esta posición su energía potencial es máxima.

1 1
E pe = ×k ×x 2 = ×65 ×0,32 = 2,925 J
2 2
ℓ0

Posición de b) La velocidad máxima la alcanzará al pasar por
equilibrio la posición de equilibrio, donde su energía
xmax = 0,3 m
potencial elástica será nula y toda la energía
mecánica será energía cinética. Podemos pues
determinar la velocidad, despejando de la
expresión de la energía cinética:

1 2 ×Ec max 2 ×2,925 m
Ec max = ×m ×v max
2
v max = ± =± = ±1, 7
2 m 2 s


2.3. Péndulo simple
Si suspendemos una pequeña partícula material de masa m de un hilo de longitud L,
inextensible y de masa despreciable, y la separamos un pequeño ángulo α de su posición
vertical de reposo, la partícula se comporta como un oscilador.

Este sistema recibe el nombre de péndulo simple o matemático
El movimiento del péndulo simple es un movimiento armónico simple
L siempre que se consideren desplazamientos (amplitudes) muy pequeños
α senα ≈ (medido en rad)
α
Con esa aproximación, a partir de la ecuación del periodo del MAS que
m vimos anteriormente podemos obtener una nueva ecuación para el periodo
del péndulo:

m L
T = 2π T = 2π
k g
Periodo del MAS Periodo del péndulo

Se observa que el periodo del péndulo depende exclusivamente de
la longitud del hilo L y del valor de la aceleración de la gravedad g APPLET
del lugar donde éste oscila. W.Fendt


Ejercicio 27 de la página 109
Datos: L = 0,556 m si g = 9,75 m/s2 ; gLuna = 1,96 m/s2 ;

a) Aplicando la ecuación del periodo del péndulo:

L 0,556
T = 2π × = 2π × = 1,5 s
g 9, 75
b) Con los datos de la Tierra, calculamos la longitud L del péndulo:

g T ×TT 9,8 ×22
2
L= = = 0,99 m
4π 2
4π 2

Y una vez conocida su longitud, ya podemos calcular su periodo en la Luna:

L 0,99
TL = 2π × = 2π × = 4, 47 s
gL 1,96


INICIO


Ley de Hooke

ℓ0 ℓ ℓ ℓ

F F
F
x x
x
x = ℓ – ℓ0

Los cuerpos elásticos se deforman al aplicarles una fuerza,pero ¿qué relación existe entre la
intensidad de la fuerza recuperadora y la deformación producida ?

El físico inglés R.Hooke determinó en el siglo XVII esta relación, lo que se conoce como ley
de Hooke.
La deformación x que sufre un cuerpo elástico es directamente proporcional a su fuerza
recuperadora y de sentido contrario .
r r
Matematicamente: F = – k · x F = −k × ×i
x
siendo k la constante de proporcionalidad, que recibe el nombre de CONSTANTE ELÁSTICA
Applet Educaplus VOLVER

RADIÁN
El radián es el ángulo central de una circunferencia que
abarca un arco igual al radio de la circunferencia:

∆s ∆s
∆ϕ =
R
∆ϕ

R Como la longitud total de la circunferencia es:
∆s = 2π ×R
El ángulo completo de la circunferencia equivale a:
∆s 2π ×R
∆ϕ = = = 2π radianes
R R
La equivalencia entre grados sexagesimales y radián es:

2π radianes = 360o VOLVER


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