2f 02 c fenomenos ondulatorios

Tema 6: FENÓMENOS ONDULATORIOS
Difracción

Fenómenos básicos Reflexión y Refracción

Polarización

Interferencia de dos ondas
armónicas coherentes
Fenómenos
Fenómenos por superposición Pulsaciones
ondulatorios de ondas
Ondas estacionarias

Fenómenos debidos al movimiento (Opcional)
de la fuente y el receptor

IPEP de Cádiz - Departamento de Física y Química - Física 2º
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1. Fenómenos básicos
Una vez estudiado el movimiento ondulatorio, vamos a considerar algunos
fenómenos básicos producidos por las ondas, como la
Difracción

Reflexión

Refracción

Polarización

Interferencia
Muchos de estos fenómenos pueden ser interpretados haciendo uso del Principio
de Huygens.
Christian Huygens ( 1629- 1695) fue un matemático y astrónomo holandés que
propuso este principio para corroborar su modelo ondulatorio de la luz.
Este principio es aplicable a todo tipo de ondas y nos proporciona una
interpretación general y sencilla de los fenómenos ondulatorios.

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Previamente a su estudio, tenemos que introducir los siguientes conceptos:
Frente de onda o superficie de onda.

Dado un foco productor de ondas en un medio homogéneo e isótropo se define el
frente de onda como la superficie constituida por todos los puntos a los que llega la
onda en un instante determinado y que estarán todos en concordancia de fase.

Pueden tener diferentes formas:

• en las ondas planas que se propagan por la superficie del agua será una línea recta;
• en las circulares, que también podemos crear en al superficie del agua, será una
circunferencia
• y en las sonoras (como las que se producen una explosión) será una esfera.

Rayos
Son las líneas rectas que indican la dirección de propagación del movimiento
ondulatorio. Estas líneas son siempre perpendiculares a los frentes de onda en cada
punto.

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Principio de Huygens
Es un método geométrico que propuso Huygens en 1678 para explicar cómo en el movimiento
ondulatorio se produce el paso de un frente de onda al siguiente:
Todo punto de un frente de onda se convierte en un centro puntual emisor de
nuevas ondas elementales, de igual velocidad y frecuencia que la onda inicial,
cuya superficie envolvente es el nuevo frente de onda.

Ondas
elementales

Foco

Rayos
( líneas que nos indican
la dirección de
propagación de la onda,
que son perpendiculares
al frente de onda en cada
Frente de ondas
punto )

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Si el frente de ondas es plano:

Este principio permite
explicar los fenómenos
ondulatorios:

Reflexión,

Refracción,

Difracción,

Interferencias

y Polarización

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1.1. Difracción
Este fenómeno se produce cuando una onda se encuentra en su avance un obstáculo (o una
abertura).
Los puntos del frente de onda que no están tapados por el obstáculo (o de la abertura) se
convierten en centros emisores de nuevas ondas, según el principio de Huygens, logrando la
onda bordear el obstáculo y propagarse detrás del mismo (o de la abertura).

En el estanque de la figura se propagará una onda plana.
A mitad del estanque, el frente de onda plano se
encuentra con unos tabiques que hacen de rendija
(abertura)
La onda se propaga en línea recta

La difracción es, pues, la desviación en la propagación la aberturade las ondas, cuando éstas
El tamaño de rectilínea se reduce
atraviesan una abertura o pasan próximas a un obstáculo de tamaño igual a su longitud de
onda La onda se propaga detrás del tabique
Para que se produzca la difracción de una onda es necesario que se cumpla la siguiente
relación :
longitud de onda
≥1
APPLET1 tamaño del obstáculoo de la abertura APPLET2
A.Franco P.Newton
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Difracción del sonido

La línea azul representa la difracción, la verde la
reflexión y la marrón la refracción

La difracción del sonido permite oir a una persona situada
en otra habitación con la puerta abierta o a través de una
ventanilla con una abertura.
El sonido se difracta en obstáculos y abertura cuyo tamaño
este comprendido entre 1,7 cm y 17 m.

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1.2. Reflexión y Refracción
Cuando una onda,que se propaga por un medio, alcanza la superficie que le separa de otro
medio de distinta naturaleza, parte de la energía es devuelta al medio de procedencia ,
cambiando su dirección de propagación: decimos entonces que ha tenido lugar la reflexión
de la onda.

La onda reflejada tiene la misma velocidad de propagación, la
misma longitud de onda y la misma frecuencia que la onda
incidente. Medio 1

Medio 2

Al mismo tiempo, otra parte de la energía de la onda incidente se transmite al segundo medio
( si este tiene la naturaleza adecuada), cambiando la dirección de propagación de la onda, lo
que conocemos con el nombre de refracción de la onda.

La onda refractada o transmitida tiene distinta velocidad de
propagación y distinta longitud de onda que la onda
incidente. La onda refractada tiene la misma frecuencia que Medio 1
la onda incidente. Medio 2

v2 < v1
APPLET APPLET1
W.Fendt Pntic
Enebro
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Leyes de la reflexión:
1ª El rayo incidente, la normal a la superficie en el punto de incidencia y el
rayo reflejado está situados en el mismo plano
2ª El ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión son iguales

ˆ=r
i ˆ

Leyes de la refracción:

1ª El rayo incidente, la normal a la superficie en el punto de incidencia y el
rayo refractado está situados en el mismo plano

2ª La razón entre el seno del ángulo de incidencia y el seno del ángulo de
refracción es una constante, igual a la razón entre las respectivas
velocidades de propagación del movimiento ondulatorio

sen ˆ
i v1
= constante = APPLET
ˆ
sen r v2 W.Fendt

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1.3. Polarización
Otro fenómeno ondulatorio es la polarización. Adquiere especial importancia en las ondas
luminosas y es un fenómeno exclusivo de las ondas transversales.

Una onda no está polarizada cuando son igualmente posibles todas las direcciones de
vibración de las partículas del medio a lo largo del tiempo o bien cuando la onda está formada
por la superposición de muchas ondas cuyas vibraciones tienen lugar en distintas direcciones,
como es en el caso de la luz.

En caso contrario, cuando las partículas del medio vibran en un único plano a la largo de
tiempo hablamos de ondas polarizadas.
Existen varios tipos de ondas polarizadas:

Polarización rectilínea o lineal Polarización circular y polarización elíptica

APPLET
P.Newton
¿Cómo polarizar ondas en una cuerda?

APPLET
Enciga

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2. Fenómenos de superposición de ondas
Hasta ahora hemos considerado el comportamiento de una sola onda procedente de un foco
emisor.
Pero es frecuente que varias ondas, procedentes de focos diferentes, se propaguen en el mismo
medio y coincidan en algún punto de éste superponiéndose.
La superposición de dos o más movimientos ondulatorios en un punto del medio se denomina
interferencia.

Los fenómenos de interferencia se rigen por el principio de superposición

Si dos o más ondas se propagan a través de un medio, la función de onda resultante en
cualquier punto en que coincidan es la suma de las funciones de ondas que interfieren

Hay puntos donde la amplitud de la onda resultante es máxima o mayor que la de las ondas que
interfieren (se dice que se ha producido una interferencia constructiva) y hay otros puntos donde
la amplitud de la onda resultante es mínima o incluso nula (se dice que se ha producido una
interferencia destructiva).

Cuando las ondas se separan después de la interferencia continúan su propagación sin sufrir
modificación alguna.

APPLET APPLET1 APPLET2 APPLET3
Enebro A.Franco A.Franco

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Si interfieren dos ondas de la misma frecuencia y de la misma longitud de onda:

P
d1

En el punto P habrá una interferencia:
Ver detalle
Foco 1 d2 • constructiva si se cumple que:

d1 − d 2 = n λ siendo n = 0,1,2, 3…

La diferencia de distancia a los focos es un número entero
Foco 2
de longitudes de ondas. Llamamos VIENTRES a los puntos
en los que tienen la amplitud resultante es máxima ( las
ondas llegan a ellos en concordancia de fase) .

• destructiva si se cumple que:

APPLET2 λ
P.Newton 4º d1 − d 2 = (2n + 1) siendo n = 0,1,2, 3…
2
La diferencia de distancia a los focos es un número impar de semilongitudes
de ondas . Llamamos NODOS a los puntos en los que la amplitud resultante
es nula ( o mínima ). A ellos llegan las ondas en oposición de fase.

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Actividad 1: Dos ondas que se propagan por el mismo medio interfieren en un punto P a
0,80 m del foco emisor de una de ellas y a 1,30 m del de la otra. Si la ecuación
de ambas es:

y = 0,15 × 2π (0,1 × − 4x)
sen t unidades S.I.
determinar:
a) La longitud de onda.

Comparando la ecuación que nos dan, con la ecuación general de una onda armónica, expresada
de la misma forma: t x
y = A × 2π (
sen − )
Tλ
1 despejamos la longitud de onda: 1
Como : 4= λ= = 0, 25 m
λ 4

b) si en el punto P considerado la interferencia es constructiva o destructiva.

Calculamos la diferencia de distancia del punto P a los focos:

d 2 − d1 = 1,30 − 0,80 = 0,50 m
0,50 m
Esta distancia es: =2 veces la longitud de onda I. Constructiva
0, 25 m

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2.2. Ondas estacionarias
Un caso particular de interferencias son las ondas estacionarias

Se considera onda estacionaria el resultado de la interferencia de dos ondas armónicas
de la misma amplitud y de la misma frecuencia que se propagan en la misma dirección
pero en sentido contrario.

Es por ejemplo lo que ocurre en las cuerdas de una guitarra (medio limitado).

Una característica de las ondas estacionarias es el valor de la amplitud, que no es la misma para
todos los puntos de la cuerda, sino que depende de la localización de las partículas de la cuerda.
Hay unos puntos de máxima amplitud (VIENTRES) y otros de amplitud nula (NODOS), que no
oscilan, están quietos, estacionarios.

ondas estacionarias (ehu.es) APPLET (Enebro pntic ) APPLET (Newton4)

•La distancia entre dos vientres o dos nodos consecutivos es media longitud de onda

•La distancia entre un nodo y un vientre consecutivo es de un cuarto de longitud de onda.

En sentido estricto la onda estacionaria no es un movimiento ondulatorio, ya que la energía
no se propaga más allá de los nodos. Estas “ondas” tienen gran importancia en música.

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Si la ecuación de la onda armónica que se desplaza hacia la derecha es:
y1 = A ×sen (ω × − k ×
t x)
y la ecuación de la que se desplaza en sentido contrario :
y2 = A ×sen (ω × + k ×
t x)
la ecuación de la onda resultante será, aplicando el principio de superposición:
y r = y1 + y 2 = A ×sen (ω × − k × +A ×
t x) sen (ω × + k ×
t x)
Simplificando resulta: Ver detalle
y r = 2A ×cos(kx) ×
sen (ω ×t)

yr = A r ×sen (ω ×t) Ar = 2 × ×
A cos (k ×x)
La onda estacionaria es armónica, de igual frecuencia que las componentes y su
amplitud Ar es independiente del tiempo t, pero varía cosenoidalmente con la abcisa x

Otras formas de la ecuación de la onda estacionaria:
y1 =A × sen (k × − t)
xω ×
y r = 2A ×sen (kx) ×cos (ω ×t) y 2 =A × sen (k × + t)×
xω
y1 =A ×
cos (ω ×−k ×
t x)
y r = 2A ×cos (kx) × (ω ×t)
cos
y 2 =A ×
cos (ω ×+k ×
t x)

APPLE (Enebro pntic)

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Actividad 2: La ecuación de una onda estacionaria en una cuerda es:
π
y r = 0,8 ×sen( x) ×cos(20πt) en unidades S.I.
3
Calcula: a) la amplitud y la velocidad de propagación de las ondas que pueden producir esta
onda estacionaria
Si comparamos la ecuación que nos dan, con la ecuación general de las ondas estacionarias
generadas por superposición de dos ondas de igual amplitud, frecuencia y dirección pero sentido
contrario:
yr = 2 A sen (k x) · cos (ωt)

Vemos que: • 2 A = 0,8 luego la amplitud A = 0,4 m
π −1
• k= m ω 20 π
3 rad v= = = 60 m ×s −1
• ω = 20π k π
s 3
b) la distancia entre dos nodos consecutivos

Como dos nodos consecutivos distan entre sí media longitud de onda, basta con calcular λ.

2π 2π 2π
k= λ= = =6 m
λ k π La distancia entre dos nodos consecutivos es 3 m
3
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π
y r = 0,8 ×sen( x) ×cos(20πt)
3
c) la velocidad de una partícula de la cuerda situada a x = 2 m en los instantes t = 0,5 s ,
0,73 s y 1,26 s
Calculamos la ecuación de la velocidad de las partículas de la cuerda derivando respecto al
tiempo la ecuación de la onda estacionaria:

dy r π 
v= = −0,8 ×20π×  x ÷ ×sen(20πt)
sen
dt 3 
π 
v = −16π×  x ÷ ×sen(20πt)
sen
3 
Y sustituyendo x = 2 m y t = 0,5 s t =0,73 t =1,26 obtendremos las velocidades que nos piden:

π 
v = −16π×  ×2 ÷ ×sen(20π ×0,5) = −16π×
sen 0,87 × = 0
0
3 
π  m
v = −16π×  ×2 ÷ ×sen(20π ×0,73) = −16π×
sen 0,87 ×0,95 = − 51,1
3  s
π  m
v = −16π×  ×2 ÷ ×sen(20π × 26) = −16π×
sen 1, 0,87 × −0,59) = 25,7
(
3  s

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Actividad 3: En una cuerda tensa de 16 m de longitud, con sus extremos fijos, se ha generado
una onda de ecuación: π
y(x, t) = 0, 02 ×sen ( x) × cos (8π × t) S.I.
(Selectividad 2008) 4
a) Explique de qué tipo de onda se trata y cómo podría producirse. Calcule su longitud de onda y
su frecuencia.
Se trata de una onda estacionaria que se puede producir por la interferencia (superposición) de dos ondas
armónicas de la misma amplitud A, frecuencia f y longitud de onda λ, que se propagan en la misma dirección
pero en sentido contrario.Al tener sus extremos fijos, estos puntos son NODOS ( no oscilan; están en
reposo).
Para calcular la longitud de onda y la frecuencia, comparamos con la ecuación general de estas ondas:
y(x, t) = 2A × sen (k × ×
x) cos (ω × t)
2π 2π 2π
Como el número de onda k: k = despejamos la longitud de onda: λ = = =8 m
λ k π
ω
4
ω = 2πf
8π
Como la pulsación ω: despejamos la frecuencia: f = = = 4 Hz
2π 2π
b) Calcule la velocidad en función del tiempo de los puntos de la cuerda que se encuentran a 4 m y
6 m, respectivamente, de uno de los extremos y comente los resultados.
Calculamos la velocidad derivando la elongación y :
y(x, t)π π
vy = = −0, 02 × × sen (8π × = −0,5 ×
8π sen ( x) × t) sen ( x) ×
sen (8π ×t)
dt 4 4
Para el punto x = 4 m , la velocidad en función del tiempo es:
π
v y = −0,5 ×sen ( × ×
4) sen (8π × = −0, 5 ×
t) sen (π) ×
sen (8π × = −0,5 × × (8π × = 0
t) 0 sen t) m/s
4
Por la posición que ocupa ( a media longitud de onda del extremo) este punto es un nodo y por tanto su
velocidad es nula en cualquier instante.
Para el punto x = 6π :
m
v y = −0,5 × sen ( × ×
6) sen (8π × = −0,5 ×−1) × (8π × = 0,5 × (8π ×
t) ( sen t) sen t) S.I.
4
Este punto es un vientre ( está a un cuarto de longitud de onda del anterior) y alcanza una velocidad máxima.
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Actividad 4: Por una cuerda tensa se propaga la onda:

(Selectividad 2009) y(x,t)= 8·10–2 cos (0,5x) sen (50t) (S.I.)
a) Indique las características de la onda y calcule la distancia entre el 2º y el 5º nodo.
Se trata de una onda estacionaria , que es una onda armónica caracterizada porque cada punto vibra con una
amplitud Ar que es función de su distancia al foco x , lo que la diferencia de las ondas armónicas viajeras, en las
que todos los puntos del medio oscilan con la misma amplitud A.
Ar = 8·10 cos (0,5x) m
–2

Hay unos puntos, los NODOS, que están siempre en reposo, no oscilan y por tanto no transmiten energía a los
puntos contiguos a ellos, diferenciándose también en esto de las ondas viajeras, en las que la energía se
transmite por todos los punto del medio en el que se propaga la onda. Hay otros puntos, los VIENTRES, que
oscilan con una amplitud máxima. Los nodos y los vientres van alternándose a lo largo del medio, siendo un
cuarto de longitud de onda λ la distancia entre dos contiguos.
λ
N1 4 V N2 V N3 V N4 V N5

λ λ
×
3
2 2
Vemos en la figura que la distancia entre el 2º y el 5º nodo es de tres medias longitudes de onda. Comparando
con la ecuación general de la onda estacionaria, podemos calcular la longitud de onda:

y(x,t)= 2A cos (Kx) sen (ωt)
2π 2π 2π
Como el número de ondas: k = despejamos la longitud de onda: λ= = = 4π m
λ k 0,5
λ 4π
La distancia entre el 2º y el 5º nodo vale: × =
3 × =6π
3 m
2 2
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Actividad 4: (Cont.)
y(x,t)= 8·10–2 cos(0,5x) sen(50t) (S.I.)
(Selectividad 2009)
b) Explique las características de las ondas cuya superposición daría lugar a esa onda,
escriba sus ecuaciones y calcule su velocidad de propagación.
Las ondas estacionarias se pueden producir por la interferencia (superposición) de dos ondas armónicas
viajeras de la misma amplitud A, frecuencia f y longitud de onda λ, que se propagan en la misma dirección pero
en sentido contrario, como sería el caso de una onda incidente y la reflejada en su misma dirección.

Así, las ondas armónicas viajeras: y1 = A ×sen (ω × − k ×
t x) e y2 = A ×sen (ω × + k ×
t x)
ω = pulsación ( rad·s-1) k = número de ondas ( m-1)

dan al superponerse la onda estacionaria: y r = 2A ×cos(kx) ×sen (ω ×t)
Vemos que: • 2 A = 8·10–2 luego la amplitud A = 4·10–2 m
• k = 0,5 m-1
• ω = 50 rad·s-1
Por tanto , las ecuaciones de las ondas cuya interferencia ha producido la onda estacionaria que nos dan son:

y1 = 4 × −2 ×sen (50 ×t − 0,5 ×x) (S.I)
10 y 2 = 4 × −2 ×sen (50 ×t + 0,5 ×x) (S.I.)
10
(hacia la derecha) (hacia la izquierda)
La velocidad de propagación de estas ondas es:

ω 50 rad ×s −1
v= = =100 m ×s −1
k 0,5 m −1
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Ondas estacionarias en una cuerda
video ondas estacionarias en una cuerda ondas estacionarias en una cuerda
Entre las ondas estacionarias destacan las producidas en una cuerda tensa y flexible, fija en uno o
en sus dos extremos.
Como en cualquier onda estacionaria, los puntos de la cuerda, exceptuando los nodos, oscilan al
mismo tiempo con movimiento armónico de igual frecuencia aunque de amplitud variable que
depende de su posición. Una propiedad destacada de estas ondas estacionarias es
que su longitud de onda λ (y, consecuentemente, su
Cuerda fija en sus dos extremos frecuencia f ) no puede adoptar cualquier valor arbitrario,
Es el caso de los instrumentos musicales de cuerda. sino sólo unos determinados valores que se relacionan con
la longitud de la cuerda L, mediante las siguientes
expresiones:
L Determinada la longitud de onda, podemos calcular las frecuencias:
v v
vλ f ×
= f = =n
λ 2L
N V N v
λ1 = 2L n = 1 f1 = Fundamental
2L o 1 er
armónico
N N N 2L En general: 2v v
V V λ2 = n=2 f2 = = 20
2 2L 2L L armónico
λ=
N N N N 2L n
V V V
λ3 = n=3 3v
n = 1, 2, 3 , 4, … f 3 =
3 er armónico
3 2L
N λ
V N V N V N V
N 2L L =n 4v 2v
λ4 = n=4 2 f4 = = 4 0 armónico
4 2L L
Modos normales de vibración
Sólo son posibles las ondas estacionarias cuya λ
es un submúltiplo del doble de la longitud de la
cuerda 21
01/14/13 IPEP de Cádiz - Departamento de Física y Química - Física 2º

Cuerda fija en un extremo
En este caso, el extremo fijo es un nodo y el libre, un vientre.
Para determinar los modos normales de vibración, tendremos en cuenta que la distancia entre un
nodo y un vientre es un cuarto de longitud de onda. Por tanto debe cumplirse que:
λ 4L v v v
L =n λ= f = = =n n = 1, 3 , 5, …
4 n λ 4L 4L
En la cuerda se establecerán n
un número impar de cuartos
de longitudes de ondas

N V Fundamental v
n=1 o 1 er
λ1 = 4L f1 =
4L
armónico
N V N V 4L v
n=3 3 er
armónico λ3 = f3 = 3
3 4L

N V N V N V 2L v
n=5 5 0 armónico λ5 = f5 = 5
3 4L

Modos normales de vibración
También se establecen ondas estacionarias longitudinales en tubos abiertos en uno o en sus dos
extremos.
λ 2L
V N V L =n λ=
2 n
L λ 4L
N V L =n λ=
4 n
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Actividad 5: a) Razone qué características deben tener dos ondas, que se propagan
por una cuerda tensa con sus dos extremos fijos, para que su
superposición origine una onda estacionaria. (Selectividad 2009)
Dos ondas armónicas viajeras de la misma amplitud A, frecuencia f y longitud de onda λ, que se propagan en
la misma dirección pero en sentido contrario, de ecuación (respectivamente):
y1 = A ×sen (ω × − k ×
t x) y2 = A ×sen (ω × + k ×
t x)
(hacia la derecha) (hacia la izquierda)
2π
(A= amplitud ; ω = pulsación o frecuencia angular = 2πf ; k = número de ondas = )
λ
originan al superponerse (interferir) una onda estacionaria de ecuación:
y r = y1 +y 2 =2A ×
cos(kx) ×
sen (ω ×
t)
En una cuerda tensa fija en sus dos extremos se puede obtener una onda estacionaria produciendo una onda
en la cuerda ( ejerciendo una fuerza -tensión- en uno de sus extremos ) y dejándola que interfiera con la onda
reflejada que se produce cuando la primera llega al otro extremo.
b) Explique qué valores de la longitud de onda pueden darse si la longitud de la
cuerda es L. No se pueden producir en la cuerda cualquier onda estacionaria, sólo son
L posibles aquellas cuya λ sea un submúltiplo del doble de la longitud L de
la cuerda, como se indica en las figuras adjuntas:
2L
N V N
λ1 = 2L n = 1 Fundamental λ= n =1, 2,3,...
o 1 er
n
armónico
N V N V N 2L
λ2 = n=2 20 Hay puntos de la cuerda que no se
2 armónico mueven (los nodos N ) y otros que tienen
N N 2L una amplitud máxima (los vientres V )
V N V N V
λ3 = n = 3 3 er armónico
3
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3.Fenómenos debidos al movimiento de la fuente y el receptor. Opcional
Cuando la fuente que emite un sonido está en movimiento ( pensemos en un coche en
movimiento) el oido humano detecta si el coche se aleja de nosotros ( lo percibimos con una
frecuencia menor, más grave) o se acerca ( lo percibimos con una frecuencia mayor, más agudo).
Igualmente se percibe el mismo fenómeno si la fuente que emite el sonido está en reposo y somos
nosotros los que nos alejamos o alejamos de ella.
Este fenómeno, común a todas las ondas armónicas, aunque más conocido en las ondas sonoras,
se llama efecto Doppler, en honor del físico austriaco Christian Doppler, que lo describió en 1842.
En 1848 el francés Hippolyte Fizeau descubre el mismo fenómeno en las ondas
electromagnéticas. consiste en el cambio que experimenta la frecuencia con que percibimos
El efecto Doppler
una onda respecto de la frecuencia con la que ha sido originada, a causa del movimiento
relativo entre la fuente y el receptor.

Applet_W.Fendt Applet_AFranco Applet_Davidson Applet_Hwang
Podemos calcular la frecuencia perobida por el receptor fR mediante la expresión:
fR = Frecuencia percibida por el receptor (+): Receptor se acerca a la fuente
v ± vR
(–): se aleja
f = Frecuencia emitida por la fuente fR = f
v = velocidad de propagación de la onda
v m vF (–): Fuente se acerca al receptor
vR = velocidad a la que se desplaza el receptor Si vR = 0 (+): se aleja
vF = velocidad a la que se desplaza la fuente emisora de la onda Si vF = 0

v v ± vR
fR = f (Receptor en reposo) fR = f (Fuente en reposo)
v m vF v
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01/14/13

Actividad: La frecuencia del sonido de una sirena es de 1000 Hz. Calcula la frecuencia que
oirá el conductor de un automóvil que se desplaza a 15 m/s:
a) Si se aproxima a ella. b) Si se aleja de ella.

Datos : f = 1000 Hz; vR = 15 m/s ; velocidad del sonido v = 340 m/s
La fuente ( la sirena de la ambulancia) está en reposo, y el receptor ( el conductor del automóvil) está en
movimiento. La frecuencia percibida la obtendremos aplicando la expresión:

v + vR 340 +15
Se aproxima el receptor fR = f =1000 =1044 Hz
v 340

v ± vR
fR = f
v
v − vR 340 −15
Se aleja el receptor fR = f =1000 = 955,9 Hz
v 340

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01/14/13

Otras actividades de ondas aparecidas en las P.A.U. (últimos años)
a) Explique qué son ondas estacionarias y describa sus características.
b) En una cuerda se ha generado una onda estacionaria. Explique por qué no se propaga
energía a través de la cuerda. (Selectividad 2008)

La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda es:
y (x, t) = 0,02 sen π (100 t – 40 x) (S. I.)
a) Razone si es transversal o longitudinal y calcule la amplitud, la longitud de onda y el periodo.
b) Calcule la velocidad de propagación de la onda. ¿Es ésa la velocidad con la que se mueven los
puntos de la cuerda? ¿Qué implicaría que el signo negativo del paréntesis fuera positivo? Razone
las respuestas. (Selectividad 2008)

a) Explique los fenómenos de reflexión y refracción de una onda en la superficie que separa dos
medios.
b) Razone qué magnitudes de una onda cambian cuando pasa de un medio a otro. (Selectividad
2008)

Un bloque de 0,5 kg se encuentra sobre una superficie horizontal sin rozamiento, sujeto al extremo
de un resorte de constante elástica k = 200 N m-1. Se tira del bloque hasta alargar el resorte 10 cm
y se suelta.
a) Escriba la ecuación de movimiento del bloque y calcule su energía mecánica.
b) Explique cualitativamente las transformaciones energéticas durante el movimiento del bloque si
existiera rozamiento con la superficie.(Selectividad 2008)

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01/14/13

Otras actividades de ondas aparecidas en las P.A.U. (últimos años)
a) Explique qué son ondas estacionarias y describa sus características.
b) En una cuerda se ha generado una onda estacionaria. Explique por qué no se propaga
energía a través de la cuerda. (Selectividad 2008)

La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda es:
y (x, t) = 0,02 sen π (100 t – 40 x) (S. I.)
a) Razone si es transversal o longitudinal y calcule la amplitud, la longitud de onda y el periodo.
b) Calcule la velocidad de propagación de la onda. ¿Es ésa la velocidad con la que se mueven los
puntos de la cuerda? ¿Qué implicaría que el signo negativo del paréntesis fuera positivo? Razone
las respuestas. (Selectividad 2008)

a) Explique los fenómenos de reflexión y refracción de una onda en la superficie que separa dos
medios.
b) Razone qué magnitudes de una onda cambian cuando pasa de un medio a otro. (Selectividad
2008)

Un bloque de 0,5 kg se encuentra sobre una superficie horizontal sin rozamiento, sujeto al extremo
de un resorte de constante elástica k = 200 N m-1. Se tira del bloque hasta alargar el resorte 10 cm
y se suelta.
a) Escriba la ecuación de movimiento del bloque y calcule su energía mecánica.
b) Explique cualitativamente las transformaciones energéticas durante el movimiento del bloque si
existiera rozamiento con la superficie.(Selectividad 2008)

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01/14/13

La ecuación de una onda armónica que se propaga por una cuerda es:
y (x, t) = 0,08 cos (16 t - 10 x) (S.I.)
a) Determine el sentido de propagación de la onda, su amplitud, periodo, longitud de onda y
velocidad de propagación.
b) Explique cómo se mueve a lo largo del tiempo un punto de la cuerda y calcule su velocidad
máxima. (Selectividad 2007)
La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda tensa es:
y(x, t) = 0,03 ×sen (2t − 3x) (S.I)
a)Explique de qué tipo de onda se trata, en qué sentido se propaga y calcule el valor de la
elongación en x = 0,1 m y t = 0,2 s.
b)Determine la velocidad máxima de las partículas de la cuerda y la velocidad de propagación de la
onda. (Selectividad 2009)

a) Explique qué magnitudes describen las periodicidades espacial y temporal de una onda e
indique si están relacionadas entre sí.
b) Razone qué tipo de movimiento efectúan los puntos de una cuerda por la que se propaga una
onda armónica. (Selectividad 2009)

Un bloque de 1 kg, apoyado sobre una mesa horizontal y unido a un resorte, realiza un
movimiento armónico simple de 0,1 m de amplitud. En el instante inicial su energía cinética es
máxima y su valor es 0,5 J.
a) Calcule la constante elástica del resorte y el periodo del movimiento.
b) Escriba la ecuación del movimiento del bloque, razonando cómo obtiene el valor de cada una
de las variables que intervienen en ella. (Selectividad 2009)
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http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/O
ndasbachillerato/ondasCaract/Ondas_cuerda_aplic.html

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Interferencia (Detalle)
y 2 = A × (ω ×t − k ×d 2 )
sen

P
d1 y1 = A × (ω ×t − k ×d1 )
sen
Según el principio de superposición, la elongación y
resultante será:
Foco 1 d2 y r = y1 + y 2 = A ×sen (ω ×t − k ×d1 ) + A ×sen (ω ×t − k ×d 2 )
Sacamos factor común A :
y r = A × sen (ω ×t − k ×d1 ) + sen (ω ×t − k ×d 2 ) ] =
[
Foco 2

 (ω ×t − k ×d1 ) + (ω ×t − k × 2 ) 
d  (ω ×t − k × 1 ) − (ω ×t − k ×d 2 ) 
d
= 2A × 
sen  ×cos  
 2   2 
A+B A−B
sen A + sen B = 2 ×sen ×cos
2 2
 d 2 − d1   d 2 + d1 ) 
y r = 2A ×cos  k ÷ ×  t× −
senω k ÷
Movimiento ondulatorio de la misma frecuencia y
longitud de onda que los movimientos que
 2   2  interfieren y cuya amplitud y fase dependen de
las distancias d1 y d2 a los focos emisores.
y r = A r × (ω ×t − k ×x)
sen
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01/14/13

Interferencia (Detalle)
 d −d   d 2 + d1 ) 
y r = 2A ×cos  k 2 1 ÷ ×  t× −
senω k ÷
 2   2 
 d 2 − d1   2π d − d   d 2 − d1 
A r = 2A ×cos  k = 2A ×cos  × 2 1 ÷ = 2A ×cosπ
 2 ÷   λ 2  
 λ ÷ 
● Interferencia constructiva. La amplitud resultante será máxima cuando:
 d 2 − d1  d 2 − d1 d 2 − d1 = nλ
cosπ ÷ =1± π = nπ
 λ  λ
n = 0, 1 , 2 , 3 , …
La diferencia de distancia a los focos es un número entero de longitudes de ondas
(VIENTRES)

● Interferencia destructiva. La amplitud resultante será cero cuando:
 d 2 − d1  d 2 − d1 π λ
cosπ ÷0= π = (2n + 1) d 2 − d1 = (2n + 1)
 λ  λ 2 2
n = 0, 1 , 2 , 3 , …
La diferencia de distancia a los focos es un número impar de semilongitudes de ondas
(NODOS)
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01/14/13

Ondas estacionarias (Detalle)
y r = y1 + y 2 = A ×sen (ω ×t − k ×x) + A ×sen (ω ×t + k ×x)
Sacamos factor común A :

y r = A × sen (ω ×t − kx) + sen (ω ×t + k ×x) ] =
[
 (ω ×t − kx) + (ω ×t + k ×x)   (ω ×t − kx) − (ω ×t + k ×x) 
y r = 2A × 
sen  ×cos  
 2   2 
A+B A−B
sen A + sen B = 2 ×sen ×cos
2 2
y r = 2A ×cos (−kx) × (ω ×t) = 2A ×cos (kx) × (ω ×t)
sen sen Ecuación de la
onda estacionaria
y r = A r ×sen (ω ×t)
A r = 2A ×cos (k ×x)
La onda estacionaria es armónica, de igual frecuencia que las componentes y con una
amplitud A que es independiente del tiempo, pero que varía sinusoidalmente con la abcisa x.

● Hay puntos cuya amplitud Ar es nula Son los NODOS (no oscilan)

● Hay puntos cuya amplitud Ar es máxima Son los VIENTRES o ANTINODOS
Sigue
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01/14/13

Ondas estacionarias (Detalle)
¿Qué posición ocupan los vientres y los nodos? y r = 2A ×cos (kx) × (ω ×t)
sen
La amplitud de cada punto nos viene dada por la expresión: A r = 2A ×cos (k ×x)
● La amplitud Ar será máxima ( 2 A ) cuando:
nπ nπ λ
cos ( k x ) = ±1 k x = nπ x= x= x=n
k 2π 2
n = 0, 1 , 2 , 3 , …
λ
Serán vientres todos aquellos puntos cuya distancia a un foco vale un número entero de
semilongitudes de onda.
● La amplitud Ar será nula cuando: (2n + 1)π
π (2n + 1)π λ
cos ( k x ) = 0 k x = (2n + 1) x= x= x = (2n + 1)
2 2k 2π 4
n = 0, 1 , 2 , 3 , … 2
λ
Serán nodos todos aquellos puntos cuya distancia a un foco vale un número impar de
cuartos de longitudes de onda.
Distancia entre dos nodos consecutivos o dos vientres consecutivos es media longitud de onda:
λ λ λ λ λ λ
● Entre vientres: x n − x n −1 = n −(n − 1) = n − n + =
2 2 2 2 2 2
λ λ λ λ λ
● Entre nodos: x n − x n −1 = (2n + 1) − [ 2(n − 1) + 1] = (2n + 1 − 2n + 2 − 1) = 2 =
4 4 4 4 2
En consecuencia, la distancia entre un vientre y un nodo es de un cuarto de longitud de onda:
N N V
V λ
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4 33
01/14/13 IPEP de Cádiz - Departamento de Física y Química - Física 2º

Ondas estacionarias en una cuerda
video ondas estacionarias en una cuerda ondas estacionarias en una cuerda
Las ondas estacionarias son ondas producidas en un medio limitado, como, por ejemplo, una
cuerda elástica no muy larga y fija en sus dos extremos, como las cuerdas de la guitarra o del
piano, o sólo en uno.
Para generar en una cuerda una onda estacionaria, se puede atar por un extremo a una pared y
hacer vibrar al otro con una pequeña amplitud. Se obtienen pulsos transversales que viajan
hasta la pared, donde se reflejan y vuelven. La cuerda es recorrida por dos ondas de sentido
opuesto y se producen interferencias que, en principio, dan lugar a unas oscilaciones bastante
desordenadas. Aumentando la frecuencia con la que se agita el extremo de la
cuerda se puede conseguir que las oscilaciones adquieran el
perfil mostrado por la figura.
Corresponde a una onda en la que aumenta sensiblemente la
amplitud y tiene un vientre fijo en el centro y dos nodos también
fijos en los extremos.
Esta onda se llama estacionaria porque, a diferencia del resto de ondas, en las que se aprecia
un avance de las crestas y los valles, no parece moverse.
Igualmente, se pueden obtener de en una cuerda fija por sus dos extremos tirando
transversalmente de uno de sus puntos, como se hace al tocar una guitarra o un piano.
Una propiedad destacada de estas ondas estacionarias es que su longitud de onda λ (y,
consecuentemente, su frecuencia f ) no puede adoptar cualquier valor arbitrario, sino sólo unos
determinados valores que se relacionan con la longitud de la cuerda L, mediante las siguientes
expresiones:

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2f 02 c fenomenos ondulatorios

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