El documento trata sobre la recursividad. Explica que la recursividad implica que un objeto se define en función de sí mismo. Presenta ejemplos recursivos como los números naturales, las estructuras de árboles y la función factorial. Distingue entre recursividad directa e indirecta. Describe el funcionamiento interno de los procedimientos recursivos y conceptos como la condición de parada y el backtracking. Finalmente, explica cómo resolver problemas recursivos como las Torres de Hanoi y el problema de colocar N reinas en un tablero de ajedrez.

1. RECURSIVIDAD

2. Recursividad
♦ Objetivos del alumno:
♦ 1. Comprender el concepto de Recursividad
♦ 2. Diferenciar entre la Directa e Indirecta
♦ 3. Conocer el funcionamiento interno
♦ 4. Desarrollar algoritmos recursivos

3. Recursividad
♦ Un objeto es recursivo, si en parte esta
formado por si mismo o se define en función
de sí mismo.
♦ Dícese de lo que vuelve a ocurrir o aparecer,
especialmente después de un intervalo.
♦ En la vida diaria podemos encontrar procesos
o estados recursivos (loops): televisión,
acoplamiento o afinamiento musical, ajedrez,
dos espejos frente a frente.

4. Recursividad: Ejemplos
♦ Números naturales
♦ • 1 es un número natural
♦ • El sucesor de un número natural es otro número natural
♦ Estructuras de árbol
♦ • Un nodo vacío es un árbol:
• Si A1
y A2
son árboles, entonces
Nodo
vacío
A1 A2

5. Recursividad: Ejemplos
♦ Función factorial n!
♦ • 0! =1
♦ • Si n>0, entonces n!=n*(n-1)!
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
EL PODER DE LA RECURSIVIDAD
ES LA DEFINICIÓN DE UN
CONJUNTO INFINITO DE OBJETOS
MEDIANTE UNA PROPOSICIÓN FINITA.

6. Tipos de recursividad
♦ Directa:
Procedure Directa ( ... );
begin
.
.
.
Directa ( ... );
.
.
.
end;
♦ Indirecta:
Procedure Indirecta ( ... );
begin
.
.
.
A ( ... );
.
.
.
end;
Procedure A ( ... );
begin
.
.
.
Indirecta ( ... );
.
.
.
end;

7. Funcionamiento Interno
. . .
Proced./Func. Proced./Func. Proced./Func.
Llamado
recursivo

8. Puntos importantes en
recursividad
• Condición de parada
• Parámetros que se pasan en cada llamada
• Marcha atrás (backtracking)
• Consumo de memoria

9. Función factorial
Función Factorial:
Formulación
Función Factorial ( n! ) para enteros no negativos:
0! = 1
si n > 0 entonces n! = n *
( n - 1 )!
Programa
Program Factorial;
Const n = 8;
Function Fact ( N: Integer ): Integer;
begin
if N = 0 then Fact := 1
else Fact := N *
Fact ( n - 1 )
end;
begin
writeln ( Fact ( N ) )
end.

10. Función potencial
♦ Función Potencia:
♦
♦ Formulación:
♦ Función Potencia ( an
) de exponente no negativo:
♦ a0
= 1
♦ si n > 0 entonces an
= a *
an - 1
♦ Pot(10,5)=100000
♦
♦ Programa
♦ Program Potencia;
♦ Const base = 5;
♦ n = 10;
♦ Function Pot ( a, N: Integer );
♦ begin
♦ if N = 0 then Pot := 1
♦ else Pot := a * Pot ( a, N - 1 );
♦ end;
♦ begin
♦ writeln( Pot ( base, n ) )
♦ end.

11. Función Torres de Hanoi
♦ Tarea próxima clase - 10 puntos
♦ Con tres discos
♦ Con 4 discos

12. Solución Torres de Hanoi
Función Torres de Hanoi:
Formulación:
Nunca una ficha más ancha encima de otra más estrecha!.
Program Hanoi;
var NFichas, PaloI, PaloF: Integer;
Procedure Mover ( NFichas, PaloI, PaloF: Integer);
begin
if NFichas = 1 then
begin
writeln ( 'Mover de ',nfichas,' ', PaloI, ' a ', PaloF );
end
else
begin
Mover ( NFichas - 1, PaloI, 6 - PaloI - PaloF );
writeln ( 'Mover de ',nfichas,' ', PaloI, ' a ', PaloF );
Mover ( NFichas - 1, 6 - PaloI - PaloF, PaloF )
end
end;
begin (* Hanoi *)
repeat
writeln;
writeln ( 'Introducir el n£mero de fichas(ingrese 0 para salir): ');
read ( NFichas );
if nfichas<>0 then
begin
PaloI := 1; PaloF := 3;
Mover ( Nfichas, PaloI, PaloF )
end
until (NFichas=0);
end.

13. ARBOL DE TORRES DE HANOI CON 3 DISCOS
Nfichas=3 (A,B,C)
Mover(nficha,PosIniDisco,PosFinDisco)
Diagrama o árbol de llamadas recursivas
del procedimiento mover
Mover(3,1,3)
Mover(2,1,2) Mover(2,1,2)
Mover(2,2,3)Mover(1,1,3) Mover(1,3,2) Mover(2,2,3)
PALOS
1 2 3
A
B
C
B
C
A
C B A
C A
B
A
B
C
B
C
A
B
C

14. ARBOL DE TORRES DE HANOI CON 3 DISCOS
Nfichas=4 (A,B,C,D)
Mover(nficha,PosIniDisco,PosFinDisco)
Diagrama o árbol de llamadas recursivas
del procedimiento mover
Mover(4,1,3)
Mover(3,1,2) Mover(3,2,3)
Mover(2,1,3)Mover(2,1,3) Mover(2,3,2) Mover(2,2,1)
Mover(1,1,2)Mover(1,1,2) Mover(1,2,3) Mover(1,3,1)
Mover(1,2,3)
Mover(1,2,3) Mover(1,3,1)
Mover(1,1,2)
PALOS
1 2 3
A
B
C
D
B
C
D
A
C
D
A
B
C
D
A
B
D
C
A
B
A
B
C
B
A
D
B
C
D
A
B
C
A
B
C
D
B
C
A
D
B
C
A
D
A
B
C
D
A
B
C
D
B A C
D
A B
C
D
A
B
C
D

15. BACK TRACKING

16. Back Tracking
♦ El back-tracking permite determinar las
soluciones de problemas específicos
sin seguir una regla fija de calculo sino
que se realiza por medio de una
experimentación, ensayo y error.

17. Back Tracking: Ejemplos
♦ Problemas que nos interesa resolverlos, sin
importar cuanto tiempo se tarde
♦ Poner n reinas en un tablero de ajedrez de
n x n posiciones, sin que se ataquen.
♦ Que el caballo de ajedrez recorra todas las
posiciones de un tablero de n x n, sin pasar o
ubicarse dos veces o más en una
determinada casilla.
♦ Problemas de estabilidad.
♦ Solución optima.
♦ El juego del solitario.

18. Las reinas
N reinas en tablero de n*n
http://www.scdi.org/%7eavernet/projects/jaskell/queens/
Problema de las 8 reinas
http://www.pvv.ntnu.no/~hgs/java/queens/simple.html
http://csc.uis.edu/~beamon/csc485/assign1/chess.html
http://perso.club-internet.fr/matuli/matthieu/jeux/eigthqueens/eigthqueens.htm

19. Pseudo código
program reinas;
var
i: integer
q:boolean
a: array [1..8] of boolean:
b: array [2..16] of boolean;
c: array [-7..7] of boolean;
x: array [1..8] of integer;
procedure posiciones (i:integer;var q: boolean);
var
j: integer;
begin
j:=0;
repeat
j:=j+1;
q:=false;
if a[j]=true and b[i+j] and c[i-j] then
x[i]:=j;
a[j]:=false;
b[i+1]:=false;
c[i-j]:=false;
if i<8 then
posiciones(i+1,q)
if q=false then
a[i]:=true;
b[i+j]:=true;
c[i-j]:=true
end
else
q:=true
end
end
until q or (j=8)
begin
for i:=1 to 8 do a[i]:=true end;
for i:=2 to 16 do b[i]:=true end;
for i:=-7 to 7 do c[i]:=true end;
posiciones(1,q);
for i:=1 to 8 do writeln (x[i]) end;
writeln;
end reinas

20. Para n reinas
program todasreinas;
var
i: integer;
q:boolean;
a: array [1..8] of boolean;
b: array [2..16] of boolean;
c: array [-7..7] of boolean;
x: array [1..8] of integer;
procedure imprimir;
var k:integer;
begin
for k:=1 to 8 do
write(x[k]);
writeln;
end;
procedure posiciones (i:integer);
var
j: integer;
begin
for j:=1 to 8 do
begin
if a[j] and b[i+j] and c[i-j] then
begin
x[i] :=j;
a[j] :=false;
b[i+j]:=false;
c[i-j]:=false;
if i<8 then
begin
posiciones(i+1);
end
else
begin
imprimir;
end;
a[j] :=true;
b[i+j]:=true;
c[i-j]:=true;
x[i] := 0;
end
end
end;
begin
for i:=1 to 8 do
begin
a[i]:=true;
end;
for i:=2 to 16 do
begin
b[i]:=true;
end;
for i:=-7 to 7 do
begin
c[i]:=true;
end;
posiciones(1);
writeln;
end.

21. Arbol 8 reinas
Posiciones(4,true)
Posiciones(1,true)
Posiciones(1,true)
Posiciones(5,true)
Posiciones(8,true)
Posiciones(6,true)
Posiciones(3,true)
Posiciones(7,true)
Posiciones(2,true)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

22. Links Back Tracking
http://www.terra.es/personal/gerena/Applets/Caballo/Caballo.html
http://personal2.redestb.es/d-aa/Cap22.html
http://www.sistema.itesm.mx/va/Planes90/Sinteticos/Analiticos/Cb90092
.htmlç
http://www.puc.cl/curso_dist/dmw/complem/hitex_c4.html
http://www-azc.uam.mx/enlinea2/num2/2-1.htm
http://eb0.ciateq.mx/~centeno/AnalisisAlgoritmos.html
http://eb0.ciateq.mx/~centeno/Docs/Hi_q.ppt
http://web.jet.es/jqc/progii1.html
http://web.jet.es/jqc/progii5.html
http://www.lemaco.hn/educa/program/recursividad/RECUR1_1.html

23. Matrimonio Estabilidad
♦ Tarea: Estudiar el caso del matrimonio estable
para control próxima clase.