El documento describe la técnica de backtracking y sus aplicaciones. Originalmente se utilizó en la mitología griega cuando Teseo usó un ovillo de hilo para navegar el laberinto y matar al Minotauro. Más tarde, el matemático D. H. Lehmer acuñó el término "backtrack" en 1950. El backtracking involucra construir soluciones parciales y descartarlas si no se pueden completar, retrocediendo y probando otras opciones.

1. Estructura de Datos II
SAIA A
Alumno: Enmanuel Carvalho
Profesora: Yakirana Barrios

2. La más antigua referencia al Backtracking, es la historia de
Ariadna en la antigua mitología griega; en dicha historia el padre de
Ariadna, que era el rey Minos de Creta proyectaba su poder sobre su
isla y por conquista sobre Atenas, el tributo que pedía el rey a los
atenienses consistía en obligar a grupos de jóvenes que entraran a su
laberinto donde habitaba el Minotauro para que de esta manera murieran
a manos del mismo.
Sin embargo Ariadna se enamoró de héroe ateniense Teseo, el
cual fue dispuesto a entrar al laberinto, la princesa le regaló un ovillo de
hilo dorado para que no se perdiera en el laberinto, la intención era que
Teseo desenrollara el ovillo a medida que avanzara por el laberinto, de
manera que si llegaba a un callejón sin salida tenía que volver atrás y
enrollar el hilo hasta llegar al punto donde había escogido dicho camino
para intentar otra ruta, en esta ocasión la técnica del Backtracking
funcionó, Teseo puto asesinar al Minotauro y escapar del laberinto.
Por otra parte el termino «Backtrack» fue acuñado por primera
vez por el matemático estadounidense D. H. Lehmer en 1950

3. La idea principal de backtracking se refleja muy parecido a
un recorrido en profundidad dentro de un grafo dirigido, dicho grafo
suele ser un árbol, o en su defecto no contiene ciclos; sea cual sea
su estructura, existe sólo implícitamente, lo que se busca
principalmente del recorrido es encontrar soluciones para algún
problema, lográndose construyendo soluciones parciales a medida
que progresa el recorrido; estas soluciones parciales limitan las
regiones en las que se puede encontrar una solución completa,
finalmente el recorrido culmina con éxito si, procediendo de esta
forma, se puede definir por completo una solución.
El algoritmo en cuestión puede detenerse o seguir
buscando soluciones alternativas; el recorrido no finaliza con éxito si
en alguna de las etapas la solución parcial construida hasta el
momento no se puede completar. En dicho caso el recorrido vuelve
atrás exactamente igual que en un recorrido en profundidad,
eliminando sobre la marcha los elementos que se hubieran añadido
en cada fase.

4. Existen diversos problemas que deben satisfacer un
determinado tipo de restricciones, los mismos son problemas completos,
en donde el orden de los elementos de la solución ejerce importancia;
dichos problemas consisten en un conjunto de variables a la que a cada
una se le asigna un valor que está sujeto a las restricciones del
problema.
Como dijimos anteriormente, la técnica backtracking va
creando todas las posibles combinaciones de elementos para obtener
una posible solución, su virtud principal es que en la mayoría de las
implementaciones nos podemos ahorrar combinaciones innecesarias,
estableciendo funciones de acotación o poda y reduciendo así
el tiempo de ejecución.

5. Una variedad de heurísticas son ampliamente utilizadas para
que de esta manera el proceso sea mas eficiente, al poder procesar las
variables en cualquier orden, por lo general es más rápido intentar ser lo
más restrictivo posible con las primeras; dicho proceso poda el árbol de
búsqueda antes de que se tome la decisión y se llame a la subrutina
recursiva.
Muchas implementaciones mas innovadoras utilizan una función
de cotas, que examina si es posible o no encontrar una solución a partir
de una solución parcial. Por otra parte se comprueba si la solución
parcial que falla puede elevar significativamente la eficiencia del
algoritmo.
Con la implementación de estas funciones de cota, se debe ser
muy minucioso en su uso de manera que sean poco eficientes
computacionalmente, ya que lo más común es que se ejecuten para
cada nodo o paso del algoritmo, debemos tener también en cuenta que
las cotas eficaces se crean de forma parecida a las
funciones heurísticas.

6. Un ejemplo típico en el que se puede aplicar método de vuelta
atrás son los laberintos, en los cuales debemos escoger el camino
correcto para así poder llegar a la meta, si elegimos un camino incorrecto
debemos Volver atrás y escoger otro camino aleatorio que nos lleve
hasta el final.
El Sudoku es otro ejemplo, en el cual debemos rellenar las 9
casillas de los 9 bloques que originalmente trae el juego con 9 números
distintos del 1 al 9 en cada fila y columna, en caso de que se cometa
algún error y se repita un numero en alguna fila o columna debemos
Volver atrás.

7. En el primer ejemplo tenemos una serie de elementos únicos,
cada uno con un volumen ocupado, y cada elemento nos da cierta
ganancia. Disponemos de una capacidad limitada, por lo que debemos
seleccionar aquellos que nos den la mayor ganancia posible.
Si tenemos n elementos disponibles, numerados de 0 a n-1 y dos arreglos,
uno p[n] que indica el peso de cada elemento y g[n] que indica la ganancia
que nos da el elemento, M indica la carga máxima que podemos llevar,
finalmente el código queda de la siguiente manera:
int carga ( int* g, int* p, int* sol, int M) {
int pos = 0; // Posicion actual en la recorrida de elementos.
int ganancia = 0; // Ganancia parcial acumulada.
int m_ganancia = 0; // Mejor ganancia encontrada
int disponible = M; // Espacio disponible restante.
int restante = 0; // Ganancia restante disponible
int * parcial = new int[n]; // Marcaremos con 1 si llevamos al i, o con 0 en caso contrario
for (int i=0; i<n; i++) {
parcial[i] = 0; // Inicializamos en cero los eltos elegido.
restante += g[i]; // Ganancia de los elementos restantes, para la poda.
}
Back(g, p, parcial, ganancia, m_ganancia, disponible, restante, pos, sol);
delete[] parcial;
return m_ganancia;
}

8. En el segundo tenemos un conjunto finito U y una familia de
subconjuntos {Tj} de U definimos una matriz A donde cada fila se
corresponde con un elemento ui de U y cada U pertenece a Tj y∈columna
de A con un subconjunto Tj . Ponemos aij=1 si ui aij=0 en caso contrario.
Interpretamos que xj=1 significa que elegimos Tj y 0 en caso contrario.
Se trata de averiguar si es factible Ax=1 donde A y x son binarias
y las componentes de 1 son unos. S0= un vector de ceros (raíz del árbol)
Cada nodo S del árbol es una sucesión x cuyas primeras k componentes le
han sido asignados un 1 o un 0 y el resto de componentes son ceros.
Reemplazamos S por 2 subproblemas Si (i=1,2) poniendo xk+1 =1 y
xk+1=0 respectivamente; el código nos queda:
if Ax=1 STOP
if Ax>1 DROP Si
if Ax<1 add Si to A

9. En el tercer ejemplo tenemos un tablero de ajedrez de tamaño NxN, y se
trata de colocar en él N reinas de manera que no se amenacen según las
normas del ajedrez.
proc NReinas (↕[1 . . . i ]: TSolución, ↓N: N, ↑ok: B)
variables j : N
inicio
si i=N entonces ok=CIERTO
en otro caso
ok=FALSO
j=1
mientras ¬ok ^ (j≤N) hacer
si EsFactible (R, j) entonces
R[i + 1]= j
NReinas (R, N, ok)
finsi
j=j+1
finmientras
finsi
fin
func EsFactible (↓R[1 . . . i ]: TSolución, ↓j : N): B
variables factible: B
inicio
factible=CIERTO
k=1
mientras factible ^ (k≤i) hacer
si (j=R[k])/(i+1−k= |j−R[k]|)
entonces
factible=FALSO
finsi
k=k+1
finmientras
devolver factible

10. Consiste en buscar todas las soluciones del problema, de esta manera
tendremos que recorrer el árbol de estados por completo; tal algoritmo
sería:
proc Bactracking Enum(↕X[1 . . . i ]: TSolución, ↑num: N)
variables L: ListaComponentes
inicio
si EsSolución (X) entonces num num+1
EscribeSolución (X)
en otro caso
L Candidatos (X)
mientras ¬Vacía (L) hacer
X[i + 1] Cabeza (L); L Resto (L)
BacktrackingEnum (X, num)
finmientras
finsi
fin

11. La técnica de Ramificación y poda o conocida en ingles como
Branch & Bound se deriva del Backtracking, generalmente se interpreta
como un árbol de soluciones en la cual cada rama nos lleva a una posible
solución posterior a la actual.
Debemos tomar en cuenta que la característica que diferencia
esta técnica con respecto a otras anteriores es que el algoritmo se ocupa
de detectar en qué ramificación las soluciones dadas ya no están siendo
óptimas, para podar así como su nombre lo indica esa rama del árbol que
no nos está siendo de utilidad y no seguir malgastando recursos y
procesos en casos que se alejan de la solución óptima.
La meta general es encontrar el valor mínimo de una función f(x)
donde fijamos x rangos sobre un determinado conjunto S de posibles
soluciones.