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![Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 13
Dirección de un vector no nulo en R3
Para definir la dirección de un vector en R3, en términos de ciertos ángulos, consideremos el
vector 𝑣 , con origen en O (origen de coordenadas) y extremo en el punto P. 𝑃 = (𝑥0 ,
𝑦0 , 𝑧0 ). De este modo 𝑣 = 𝑂𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗
Consideremos además los siguientes ángulos:
α: ángulo entre 𝑣 y el semieje positivo de x (0,0,z0)
β: ángulo entre 𝑣 y el semieje positivo de y
γ: ángulo entre 𝑣 y el semieje positivo de z P = (x0,y0,z0)
γ β
Estos ángulos se denominan ángulos directores
α (0,y0,0)
(x0,0,0)
Si consideramos que este vector 𝑣 es un vector unitario, es decir │𝑣│ = 1
Entonces:
𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝑥0 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 𝑦0 𝑐𝑜𝑠 𝛾 = 𝑧0
Por definición, cada uno de estos tres ángulos se encuentra en el intervalo [0, 𝜋]
Los cosenos de estos ángulos reciben el nombre genérico de cosenos directores del vector 𝑣.
Demostraremos que:
cos2
α + cos2
β + cos2
γ = 1
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
|𝑣|2
=
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
= 1
Si 𝛼, 𝛽 𝑦 𝛾 son tres números (cada uno entre 0 y π) tales que satisfacen la condición dada
anteriormente, entonces determinan en forma única el vector unitario
𝒖 = (𝒄𝒐𝒔 𝜶, 𝒄𝒐𝒔 𝜷, 𝒄𝒐𝒔 𝜸 )
Nota: si 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) 𝑦 |𝑣| = 1 entonces 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 reciben el nombre de números directores del
vector v](https://image.slidesharecdn.com/4-lgebravectorial-230615184428-7cc47f13/85/4-Algebra-vectorial-pdf-13-320.jpg)
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- 2. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 2 4. ÁLGEBRA VECTORIAL 4.1 Introducción En nuestra vida cotidiana utilizamos magnitudes definidas mediante un escalar, es decir un número real, acompañado de la unidad correspondiente (Ej: 5 litros, 3 m2, 9mm., etc.). De ahí que este tipo de magnitudes se denominan magnitudes escalares. Sin embargo, en otras situaciones, ciertas magnitudes para ser representadas requieren de la indicación de una intensidad (tamaño), una dirección y un sentido (fuerza, velocidad, etc.). En este caso estamos ante magnitudes vectoriales, o vectores. El estudio de los vectores, las operaciones algebraicas entre ellos y sus propiedades se denomina Algebra vectorial. 4.2 Vector Un segmento de recta queda determinado por sus puntos extremos, cuando estos puntos están dados en cierto orden se dice que el segmento está orientado, y a este segmento orientado se le denomina vector. Geométricamente, en la recta 𝑟 elegimos dos puntos 𝐴 y 𝐵. Si consideramos al punto 𝐴 como origen y al punto 𝐵 como extremos, tendremos un segmento orientado por lo que queda definido el vector 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ . Por ser esta una magnitud vectorial, es posible identificar en ella una dirección, un sentido y una magnitud. La dirección o recta de acción está dada por la recta r. Al decir: “con origen en A y extremo en B”, estamos fijando un sentido. Además, la longitud desde el origen A hasta el extremo B, es el módulo del vector, al cual simbolizamos como: |𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ |. Concepto geométrico de vector: segmento orientado que posee dirección, sentido y módulo o magnitud. Para referirnos a un vector, lo haremos con las letras minúsculas u, v, w…etc De este modo, nos referiremos al vector fila y vector columna: Vector fila: 𝑢 = (𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑛) Vector columna: v=( 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥𝑛 ) Siendo 𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑛 las componentes del vector. 𝑟 𝐴 B
- 3. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 3 Los vectores u y v dados anteriormente, se encuentran ubicados en el Espacio Rn , de modo que se encuentra expresado mediante una n-upla ordenada. 4.2.1 Clasificación de vectores Vectores equivalentes (o equipolentes): son aquellos que tienen igual módulo, sentido y dirección, o bien sus rectas de acción son paralelas. Vector libre: es el que representa a todos los vectores equivalentes a un vector dado, sin importar cuál es su punto de aplicación. Así, cualquiera de los vectores que aparecen en el gráfico anterior, es un vector libre. Vector fijo: además de especificar su módulo, dirección y sentido, queda definido su punto de aplicación (ya sea en el plano o en el espacio). Los vectores deslizantes quedan definidos cuando, además de especificar módulo, dirección y sentido, se indica la línea de acción. 4.3 Vectores en el plano En el espacio bidimensional (𝑹𝟐 ) o PLANO, un vector se expresa mediante el par ordenado 𝑣 = ( 𝑎 , 𝑏) donde 𝑎 es la componente según el eje de las abscisas (eje x), y 𝑏 es la componente según el eje de las ordenadas (eje y). y A: punto origen 𝑣 = 𝐴𝐵 ̅̅̅̅̅ B B: punto extremo b 𝑣 A a x
- 4. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 4 Módulo o magnitud de un vector │𝒖│ 𝑣2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑣 b │𝑣│ = √𝑎2 + 𝑏2 a De este modo, el módulo de un vector está dado por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes. Dirección de un vector Dado el vector 𝑣 = (𝑎, 𝑏), se considera que el ángulo θ (medido en radianes) es el ángulo que forma el vector con el semieje positivo de las abscisas. Por convención, θ se considera 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 Recordando que la función trigonométrica tangente, relaciona el cateto opuesto y el cateto adyacente de un triángulo rectángulo tg θ = cat op cat ady tg θ = b 𝑎 𝑣 b θ a Nota: para determinar en forma correcta el ángulo θ, siempre se trabaja en el primer cuadrante (considerando ambas componentes positivas), y luego en función del signo de las componentes se calcula el ángulo en el cuadrante correspondiente. Versores Hay dos vectores especiales en R2 que permiten representar a los demás vectores del plano en forma conveniente. Ambos vectores tienen módulo igual a la unidad, y se desarrollan sobre los ejes coordenados x e y. De este modo, cualquier vector 𝑣 = (𝑎 , 𝑏) en el plano se puede expresar de la siguiente forma:
- 5. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 5 𝑣 = (𝑎, 𝑏) = 𝑎 𝒊 + 𝑏 𝒋 Vector nulo 0 El vector nulo 𝟎 = (𝟎 , 𝟎) tiene módulo igual a cero, ya que sus componentes son nulas. (en consecuencia, el vector nulo no tiene dirección). Vector unitario 𝒖 Es el vector cuyo módulo es igual a la unidad. Sea v cualquier vector diferente de cero. Entonces el vector unitario u que tiene la misma dirección de v es el que se obtiene multiplicando al vector v por el inverso del módulo de v. Es decir: dado 𝑣 = (𝑎, 𝑏) el vector unitario es 𝒖 = 𝑣 |𝑣| 𝒖 = ( 𝑎 |𝑣| , 𝑏 |𝑣| ) Cualquier vector v (siendo │v│≠ 0), se encuentran asociados al mismo dos vectores unitarios: uno tiene el mismo sentido, y el otro tiene sentido opuesto. Vector opuesto El vector opuesto a un vector dado 𝑣 es el que tiene igual módulo y dirección, pero sentido opuesto. Si 𝑣 = ( 𝑎 , 𝑏) −𝒗 = ( −𝒂 , −𝒃) Vector definido mediante las coordenadas de su origen y su punto extremo Cuando el vector tiene su origen en el origen de coordenadas y su extremo en un punto P = (a, b). (Tengamos en cuenta que a y b son las coordenadas del punto P). Entonces la expresión de ese vector de posición es 𝑣 = OP = (a, b) (en este caso a y b son las componentes del vector 𝑣) P Y su expresión canónica es: 𝑣 = a i + b j 𝑣 a O b Cuando el vector tiene su origen en un punto 𝑃1 = (𝑥1, 𝑦1) y su extremo en un punto 𝑃2 = (𝑥2 , 𝑦2), entonces las componentes del vector v serán: y2 P2 𝒗 ⃗ ⃗ = (𝐱𝟐 – 𝐱𝟏 , 𝐲𝟐 − 𝐲𝟏 ) 𝑣 P1 y1 x1 x2
- 6. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 6 4.3.1 Operaciones entre vectores Suma de vectores 𝒖 ⃗⃗ = ( 𝑥1 , 𝑦1) 𝒗 ⃗ ⃗ = (𝑥2 , 𝑦2) 𝒖 ⃗⃗ + 𝒗 ⃗ ⃗ = (𝒙𝟏 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝒚𝟐) La suma de dos vectores es otro vector cuyas componentes son la suma de las componentes homólogas de los vectores dados. Regla del paralelogramo Observamos que se traslada un vector a continuación del otro, de modo el vector suma tiene su origen en el origen del primer vector y extremo en el extremo del segundo. Desigualdad del triángulo: según el gráfico anterior puede deducirse que: │𝒖 ⃗⃗ + 𝒗 ⃗ ⃗ │ ≤ │𝒖 ⃗⃗ │ + │𝒗 ⃗ ⃗ │ Propiedades de la suma de vectores: Ley de composición interna (LCI): la suma de dos vectores es un vector 𝑢 ⃗⃗⃗ = 𝑣 ⃗⃗⃗ + 𝑤 ⃗⃗ Propiedad conmutativa: 𝒖 ⃗⃗ + 𝒗 ⃗ ⃗ = 𝒗 ⃗⃗⃗ + 𝒖 ⃗⃗ Propiedad asociativa: 𝒖 ⃗⃗⃗ + ( 𝒗 ⃗ ⃗ + 𝒘 ⃗⃗⃗ ) = (𝒖 ⃗⃗ + 𝒗 ⃗ ⃗ ) + 𝒘 ⃗⃗⃗ Existencia de elemento neutro (e): el vector nulo 𝟎 ⃗ ⃗ , es el elemento neutro ya que: 𝒖 ⃗⃗ + 𝟎 ⃗ ⃗ = 𝟎 ⃗⃗⃗ + 𝒖 ⃗⃗⃗ = 𝒖 ⃗⃗ Existencia de elemento opuesto: para todo vector 𝒖 ⃗⃗⃗ , existe un vector −𝒖 ⃗⃗⃗ tal que 𝒖 ⃗⃗ + (−𝒖 ⃗⃗⃗ ) = (−𝒖 ⃗⃗⃗ ) + 𝒖 ⃗⃗⃗ = 𝟎 ⃗ ⃗ Resta de vectores La resta de vectores la podemos definir como la suma de un vector 𝒖 ⃗⃗ más el opuesto del otro vector −𝒗 ⃗⃗⃗ .
- 7. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 7 Multiplicación de un vector por un escalar Si 𝒗 ⃗ ⃗ = (𝑎 , 𝑏) ε R2 y 𝛼 𝜀 𝑅 (α : escalar) 𝜶 𝒗 ⃗ ⃗ = (𝜶 𝒂 , 𝜶 𝒃) La multiplicación de un vector por un escalar es otro vector cuyas componentes se obtienen de multiplicar las componentes del vector por dicho escalar. La interpretación geométrica de multiplicar un vector por un escalar tiene el efecto de multiplicar la longitud del vector por el escalar dado, de manera tal que tendrá el mismo sentido del vector si el escalar es mayor que cero, mientras que tendrá sentido contrario si el escalar es menor que cero. Propiedades de la multiplicación de un escalar por un vector: Ley de composición externa (LCE): el producto de un escalar por un vector es un vector 𝛼𝑣 = 𝑤 ⃗⃗ Propiedad asociativa mixta: 𝛼 (𝛽 𝑣 ) = 𝛼𝛽 (𝑣) = 𝛽 (𝛼 𝑣) 𝑣: 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝛼 𝑦 𝛽 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 Propiedad distributiva con respecto a la suma de vectores 𝛼 (𝑢 ⃗ + 𝑣) = 𝛼𝑢 ⃗ + 𝛼𝑣 𝑢 ⃗ 𝑦 𝑣: 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 , 𝛼: 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 Propiedad distributiva con respecto a la suma de escalares (𝛼 + 𝛽) 𝑣 = 𝛼𝑣 + 𝛽𝑣 Existencia de elemento neutro para el producto de un vector por un escalar: el escalar 1 es elemento neutro, ya que: 1𝑣 = 𝑣 Producto escalar entre vectores Dados los vectores 𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ = (𝑥1, 𝑦1) y 𝑣2 ⃗⃗⃗⃗ = ( 𝑥2 , 𝑦2) , se define el producto escalar entre 𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ y 𝑣2 ⃗⃗⃗⃗ de la siguiente manera: 𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝑣2 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2 Observemos que el producto escalar, que también se denomina producto punto o producto interno da por resultado un escalar (es decir, un número real).
- 8. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 8 Propiedades del producto escalar sean 𝑢 ⃗ , 𝑣 ⃗⃗⃗ 𝑦 𝑤 ⃗⃗ 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝛼 𝑦 𝛽 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 El producto escalar entre el vector nulo y otro vector da por resultado el escalar cero. 𝑣 ⃗⃗⃗ ∗ 0 ⃗ = 0 Propiedad conmutativa: 𝑢 ⃗ ∗ 𝑣 ⃗⃗⃗ = 𝑣 ∗ 𝑢 ⃗⃗⃗ Propiedad distributiva con respecto a la suma de dos vectores 𝑢 ⃗ ∗ (𝑣 + 𝑤 ⃗⃗ ) = 𝑢 ⃗⃗⃗ ∗ 𝑣 ⃗⃗⃗ + 𝑢 ⃗ ∗ 𝑤 ⃗⃗ Extracción de un escalar del producto escalar entre vectores 𝛼 (𝑢 ⃗ ∗ 𝑣 ⃗⃗⃗ ) = (𝛼𝑢 ⃗ ) ∗ 𝑣 ⃗⃗⃗ = 𝑢 ⃗ (𝛼 𝑣 ⃗⃗⃗ ) El producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado del módulo del vector: 𝑢 ⃗ ∗ 𝑢 ⃗⃗⃗ = | 𝑢 ⃗⃗⃗ |2 La desigualdad de Cauchy-Schwartz Sean 𝑢 ⃗ y 𝑣 vectores, la desigualdad de Cauchy-Schwartz, relaciona el valor absoluto del producto escalar entre dichos vectores, con sus módulos. ||𝑢 ⃗ ∗ 𝑣|| ≤ │𝑢 ⃗ │ │𝑣│ En esta expresión, ||𝑢 ⃗ ∗ 𝑣|| se refiere al valor absoluto del resultado del producto punto y │𝑢 ⃗ │ │𝑣│ se refiere a los módulos de los vectores dados. NOTA: esta definición permite ampliar la definición de ángulo de R2 a Rn Ángulo entre vectores Se entiende por ángulo entre dos vectores 𝑢 ⃗ y 𝑣, al ángulo que determinan las direcciones de los vectores 𝑢 ⃗ y 𝑣, cuando son considerados con un origen en común que satisface la relación 0 ≤ ∅ ≤ 𝜋. Si el ángulo es igual a 0, los vectores son paralelos, si es igual a 𝜋 2 los vectores son perpendiculares u ortogonales. Si alguno de los vectores es el vector nulo, el ángulo no está definido. Sean los vectores 𝑢 ⃗ = (𝑥1, 𝑦1) y 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2). Se busca hallar una expresión que permita determinar el ángulo φ formado por estos vectores.
- 9. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 9 cos 𝜃 = 𝒖 ⃗⃗ ∗ 𝒗 ⃗ ⃗ |𝒖 ⃗⃗ | ∗ |𝒗 ⃗ ⃗ | Si aplicamos la ley de los cosenos en el triángulo formado por 𝐴𝑂𝐵 ̂. |𝒗 ⃗ ⃗ − 𝒖 ⃗⃗ |𝟐 = |𝒖 ⃗⃗ |𝟐 + |𝒗 ⃗ ⃗ |𝟐 − 𝟐|𝒗 ⃗ ⃗ | |𝒖 ⃗⃗ | 𝐜𝐨𝐬 𝜽 |𝑣 − 𝑢 ⃗ |2 = (𝑣 − 𝑢 ⃗ )(𝑣 − 𝑢 ⃗ ) |𝑣 − 𝑢 ⃗ |2 = 𝑣𝑣 − 2𝑢 ⃗ 𝑣 + 𝑢 ⃗ 𝑢 ⃗ |𝑣 − 𝑢 ⃗ |2 = |𝑣|2 − 2𝑢 ⃗ 𝑣 + |𝑢 ⃗ |2 |𝒗 ⃗ ⃗ |𝟐 − 𝟐𝒖 ⃗⃗ 𝒗 ⃗ ⃗ + |𝒖 ⃗⃗ |𝟐 = |𝒖 ⃗⃗ |𝟐 + |𝒗 ⃗ ⃗ |𝟐 − 𝟐|𝒗 ⃗ ⃗ | |𝒖 ⃗⃗ | 𝐜𝐨𝐬 𝜽 |𝒗 ⃗ ⃗ |𝟐 − 𝟐𝒖 ⃗⃗ 𝒗 ⃗ ⃗ + |𝒖 ⃗⃗ |𝟐 = |𝒖 ⃗⃗ |𝟐 + |𝒗 ⃗ ⃗ |𝟐 − 𝟐|𝒗 ⃗ ⃗ | |𝒖 ⃗⃗ | 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒖 ⃗⃗ ∗ 𝒗 ⃗ ⃗ = |𝒗 ⃗ ⃗ | |𝒖 ⃗⃗ | 𝐜𝐨𝐬 𝜽 Ley de los cosenos Para un triángulo, el cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los lados restantes menos el doble producto de ellos multiplicado por el coseno del ángulo comprendido entre dichos lados. 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 𝐜𝐨𝐬 𝜷 Este teorema se transforma en Pitágoras cuando el ángulo que forman es de 90°.
- 10. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 10 Vectores normales u ortogonales Dos vectores distintos de cero son ortogonales si el ángulo entre ellos es recto (𝜃 = 𝜋 2 ) Condición de perpendicularidad Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es nulo: 𝒖 ⃗⃗ ∗ 𝒗 ⃗ ⃗ = 𝟎 Condición de paralelismo Dos vectores son paralelos si se cumple que: 𝒖 ⃗⃗ ∗ 𝒗 ⃗ ⃗ |𝒖 ⃗⃗ | |𝒗 ⃗ ⃗ | = ± 1 Proyección de un vector sobre otro Sean 𝒖 ⃗⃗ y 𝒗 ⃗ ⃗ vectores no nulos. La proyección de 𝒖 ⃗⃗ sobre 𝒗 ⃗ ⃗ es un vector que se define del siguiente modo: 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣𝑢 ⃗ = (𝒖 ⃗⃗ ∗ 𝒗 ⃗ ⃗ ) 𝒗 ⃗ ⃗ | 𝒗 ⃗ ⃗ |𝟐 La componente de 𝒖 ⃗⃗ en la dirección de 𝒗 ⃗ ⃗ es (𝒖 ⃗ ⃗ ∗ 𝒗 ⃗ ⃗ ) | 𝒗 ⃗ ⃗ | NOTA: se observa que 𝒗 ⃗ ⃗ | 𝒗 ⃗ ⃗ | es un vector unitario en la dirección de 𝒗 ⃗ ⃗ . Tengamos en cuenta que: 𝒗 ⃗ ⃗ y 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣𝑢 ⃗ tienen igual sentido si 𝒖 ⃗⃗ ∗ 𝒗 ⃗ ⃗ > y sentido opuesto si 𝒖 ⃗⃗ ∗ 𝒗 ⃗ ⃗ < 0 se puede pensar que 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣𝑢 ⃗ es la componente 𝒗 ⃗ ⃗ del vector 𝒖 ⃗⃗ si 𝒖 ⃗⃗ y 𝒗 ⃗ ⃗ son ortogonales, entonces 𝒖 ⃗⃗ ∗ 𝒗 ⃗ ⃗ = 0 y 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣𝑢 ⃗ = 0 𝒖 ⃗⃗ 𝒗 ⃗ ⃗ 𝜽 𝒖 ⃗⃗ 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣𝑢 𝜽
- 11. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 11 4.4 Vectores en R3 Cuando consideramos el espacio tridimensional R3 , se trabaja con tres ejes perpendiculares entre sí: eje x (eje de las abscisas), eje y (eje de las ordenadas) y eje z (eje de las cotas), los cuales se cortan en un punto O denominado origen de coordenadas. z y O x Los planos se determinan tomando por pares los ejes coordenados, y se denominan planos coordenados. De modo que trabajamos con los planos coordenados (xy), (xz), (yz). En el espacio (R3 ), todo punto se define mediante la terna ordenada de números reales. 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
- 12. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 12 Vector Posición: P 𝒗 ⃗ ⃗ 𝑣 = (𝑥, 𝑦 , 𝑧) O y donde: 𝑥, 𝑦 , 𝑧 son las coordenadas del vector 𝑣 x Versores en R3 𝒊 = (1, 0, 0) 𝒋 = (0, 1, 0) 𝒌 = (0, 0, 1) k De modo que un vector v se puede expresar: i j 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑎𝒊 + 𝑏𝒋 + 𝑐𝒌 Correspondencia entre los Sistemas Coordenados en R2 y R3 Dada la similitud existente entre los Sistemas Coordenados en R2 y R3 , es natural que los vectores en R3 tengan una estructura muy similar en R2 . Módulo de un vector en R3 Dado el 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐), donde a, b y c son las componentes de dicho vector, definimos: │𝑣│ = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 De modo que el módulo del vector está dado por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes. Recordemos que el módulo indica la intensidad (o magnitud), por lo tanto, indica la longitud del vector dado. Vector unitario en R3 Análogamente a lo definido en R2 , definimos como vector unitario a aquel que tiene módulo igual a 1. De ahí que, considerando un vector 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐), para hallar las componentes del vector unitario asociado al mismo, se debe multiplicar cada componente por la inversa del módulo. 𝒖 = 1 |𝑣 ⃗ | 𝑣 𝒖𝟏 = ( 𝑎 |𝑣| , 𝑏 |𝑣| , 𝑐 |𝑣| ) y 𝒖𝟐 = ( −𝑎 |𝑣| , −𝑏 |𝑣| , −𝑐 |𝑣| ) Los dos vectores unitarios asociados a un vector dado, conservan la misma dirección mientras que uno de ellos tiene igual sentido 𝒖𝟏 y el otro sentido opuesto 𝒖𝟐. Vector nulo: Es el que tiene sus componentes nulas, de modo que se módulo también es nulo (recordemos que el vector nulo no tiene dirección) 𝟎 ⃗ ⃗ = (𝟎 , 𝟎, 𝟎)
- 13. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 13 Dirección de un vector no nulo en R3 Para definir la dirección de un vector en R3, en términos de ciertos ángulos, consideremos el vector 𝑣 , con origen en O (origen de coordenadas) y extremo en el punto P. 𝑃 = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ). De este modo 𝑣 = 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ Consideremos además los siguientes ángulos: α: ángulo entre 𝑣 y el semieje positivo de x (0,0,z0) β: ángulo entre 𝑣 y el semieje positivo de y γ: ángulo entre 𝑣 y el semieje positivo de z P = (x0,y0,z0) γ β Estos ángulos se denominan ángulos directores α (0,y0,0) (x0,0,0) Si consideramos que este vector 𝑣 es un vector unitario, es decir │𝑣│ = 1 Entonces: 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝑥0 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 𝑦0 𝑐𝑜𝑠 𝛾 = 𝑧0 Por definición, cada uno de estos tres ángulos se encuentra en el intervalo [0, 𝜋] Los cosenos de estos ángulos reciben el nombre genérico de cosenos directores del vector 𝑣. Demostraremos que: cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 |𝑣|2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 Si 𝛼, 𝛽 𝑦 𝛾 son tres números (cada uno entre 0 y π) tales que satisfacen la condición dada anteriormente, entonces determinan en forma única el vector unitario 𝒖 = (𝒄𝒐𝒔 𝜶, 𝒄𝒐𝒔 𝜷, 𝒄𝒐𝒔 𝜸 ) Nota: si 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) 𝑦 |𝑣| = 1 entonces 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 reciben el nombre de números directores del vector v
- 14. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 14 Vector definido en R3 mediante las coordenadas de sus puntos origen y extremo Si el vector tiene su origen en el origen de coordenadas y su extremo en un punto P del espacio, 𝑃 = (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0), entonces la expresión del vector según sus componentes será: 𝑣 ⃗⃗⃗ = 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0) Si el vector en el espacio tiene su origen en el punto P1 = (x1, y1 , z1) y su extremo en el punto P2 = (x2, y2 , z2), entonces la expresión del vector según sus componentes será: 𝑣 ⃗⃗⃗ = 𝑃1𝑃2 = (𝑥2 – 𝑥1 , 𝑦2 – 𝑦1 , 𝑧2 – 𝑧1) P2 P1 Ángulo entre vectores: Si llevamos los vectores que se encuentran en el espacio a un plano, podremos trabajar el ángulo entre vectores de forma análoga a R2 : Dados los vectores 𝑢 ⃗ = (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1) y 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2 , 𝑧2) , siendo 𝜽 el ángulo entre ambos vectores cos 𝜽 = 𝒖 ⃗⃗ ∗ 𝒗 ⃗ ⃗ |𝒖 ⃗⃗ | ∗ |𝒗 ⃗ ⃗ | o Vectores paralelos: el ángulo entre ellos es cero o π. o Vectores normales (perpendiculares): el ángulo entre ellos es π/2. De la misma manera, se conservan las mismas condiciones de paralelismo y perpendicularidad definidas en R2 . Proyección en R3 Al igual que definimos en R2 , dados los vectores 𝑢 ⃗ = (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1) y 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2 , 𝑧2) , la proyección de 𝑢 ⃗ sobre 𝑣 está dada por: 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣𝑢 ⃗ = (𝒖 ⃗⃗ ∗ 𝒗 ⃗ ⃗ ) 𝒗 ⃗ ⃗ | 𝒗 ⃗ ⃗ |𝟐
- 15. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 15 Operaciones entre vectores en R3 : De manera análoga a lo descripto en R2 , definimos en R3 las siguientes operaciones Dados los vectores: 𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ = (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) 𝑣2 ⃗⃗⃗⃗ = (𝑥2, 𝑦2 , 𝑧2) y el escalar 𝛼 (𝛼 𝜀 𝑅) Suma de vectores: 𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ + 𝑣2 ⃗⃗⃗⃗ = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2) Multiplicación de un vector por un escalar: 𝛼𝑣1 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝛼𝑥1 , 𝛼𝑦1 , 𝛼𝑧1) Producto escalar entre vectores: 𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ . 𝑣2 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2 Producto cruz entre vectores: es una nueva operación entre vectores, que se da en el espacio R3 . Producto Vectorial o Producto Cruz entre dos vectores en 𝑹𝟑 El producto vectorial entre dos vectores 𝒖 ⃗⃗ y 𝒗 ⃗ ⃗ del espacio R3 , vectores no nulos y no paralelos, se expresa 𝒖 ⃗⃗ 𝒙 𝒗 ⃗ ⃗ y tiene por resultado otro vector 𝒘 ⃗⃗⃗ que reúne las siguientes características: La dirección del vector 𝑤 ⃗⃗ = 𝒖 ⃗⃗ 𝒙 𝒗 ⃗ ⃗ , es perpendicular a la dirección del vector 𝒖 ⃗⃗ , y es perpendicular a la dirección del vector 𝒗 ⃗ ⃗ . En definitiva, este vector 𝑤 ⃗⃗ es normal o perpendicular al plano que contiene a los vectores 𝒖 ⃗⃗ y 𝒗 ⃗ ⃗ . El sentido del vector 𝒘 ⃗⃗⃗ está dado por la regla de la mano derecha: si la mano derecha se coloca de tal manera que el dedo índice apunte en la dirección de 𝒖 ⃗⃗ y el dedo medio en la dirección de 𝒗 ⃗ ⃗ ., entonces el pulgar apuntará en la dirección de 𝒖 ⃗⃗ 𝒙 𝒗 ⃗ ⃗ . Definición Sean 𝒖 ⃗⃗ = 𝒂𝟏𝒊 + 𝒃𝟏𝒋 + 𝒄𝟏𝒌 y 𝒗 ⃗ ⃗ = 𝒂𝟐𝒊 + 𝒃𝟐𝒋 + 𝒄𝟐𝒌 𝒖 ⃗⃗ x 𝒗 ⃗ ⃗ es un nuevo vector definido por 𝒖 ⃗⃗ x 𝒗 ⃗ ⃗ = (𝒃𝟏𝒄𝟐 − 𝒄𝟏𝒃𝟐)𝒊 + (𝒂𝟏𝒄𝟐 − 𝒂𝟐𝒄𝟏)𝒋 + (𝒂𝟏𝒃𝟐 − 𝒃𝟏𝒂𝟐)𝒌 𝒖 ⃗⃗ 𝒙 𝒗 ⃗ ⃗ 𝒗 ⃗ ⃗ 𝒖 ⃗⃗
- 16. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 16 Una manera sencilla de calcular el producto vectorial (o producto cruz) es mediante la resolución de un determinante de tercer orden, considerando los versores 𝒊 , 𝒋 , 𝒌 y los vectores 𝑢 ⃗ = (𝑎1 , 𝑏1 , 𝑐1) 𝑣 = (𝑎2 , 𝑏2 , 𝑐2) 𝒖 ⃗⃗ x 𝒗 ⃗ ⃗ = | 𝒊 𝒋 𝒌 𝒂𝟏 𝒃𝟏 𝒄𝟏 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 | = 𝒊(𝒃𝟏𝒄𝟐 − 𝒄𝟏𝒃𝟐) − 𝒋 (𝒂𝟏𝒄𝟐 − 𝒂𝟐𝒄𝟏) + 𝒌 (𝒂𝟏𝒃𝟐 − 𝒃𝟏𝒂𝟐) Al estar planteado el determinante, el mismo puede ser resuelto por cualquiera de los métodos vistos en su momento. No obstante, al tratarse de un determinante de tipo alfanumérico, la Regla de Laplace (o resolución por cofactores) resulta sencillo de aplicar tomando el desarrollo de los elementos de la primera línea Así, es sencillo observar que el producto no es conmutativo, puesto que, al intercambiar la segunda y la tercera fila entre sí, cambia el signo (esto es, cambia el sentido del vector). Propiedades del producto vectorial entre vectores Sean 𝑢 ⃗ , 𝒗 ⃗ ⃗ 𝑦 𝒘 ⃗⃗⃗ tres vectores del espacio R3 y α un escalar (α ε R), entonces: Si 𝑢 ⃗ y 𝒗 ⃗ ⃗ son distintos del vector nulo y no colineales, el producto vectorial es no conmutativo: 𝒖 ⃗⃗ x 𝒗 ⃗ ⃗ = − (𝒗 ⃗ ⃗ x 𝒖 ⃗⃗ ) Si uno de los vectores del producto es el vector nulo, entonces el producto vectorial es el vector nulo. 𝟎 ⃗ ⃗ 𝒙 𝒖 ⃗⃗ = 𝒖 ⃗⃗ 𝒙 𝟎 ⃗ ⃗ = 𝟎 ⃗ ⃗ El producto vectorial de dos vectores paralelos es el vector nulo 𝒖 ⃗⃗ // 𝒗 ⃗ ⃗ => 𝒖 ⃗⃗ x 𝒗 ⃗ ⃗ = 𝟎 ⃗⃗⃗ Una consecuencia de lo expresado anteriormente: 𝒖 ⃗⃗ 𝒙 𝒖 ⃗⃗ = 𝟎 ⃗ ⃗ El producto vectorial es distributivo a derecha e izquierda, con respecto a la suma de vectores, teniendo en cuenta la no-conmutatividad de la operación. 𝒖 ⃗⃗ 𝒙 (𝒗 ⃗ ⃗ + 𝒘 ⃗⃗⃗ ) = 𝒖 ⃗⃗ 𝒙 𝒗 ⃗⃗⃗ + 𝒖 ⃗⃗⃗ 𝒙 𝒘 ⃗⃗⃗ (𝒗 ⃗⃗⃗ + 𝒘 ⃗⃗⃗⃗ ) 𝒙 𝒖 ⃗⃗⃗ = 𝒗 ⃗ ⃗ 𝒙 𝒖 ⃗⃗⃗ + 𝒘 ⃗⃗⃗ 𝒙 𝒖 ⃗⃗ Extracción de un escalar del producto vectorial: (𝜶 𝒖 ⃗⃗ ) 𝒙 𝒗 ⃗ ⃗ = 𝜶 (𝒖 ⃗⃗ 𝒙 𝒗 ⃗ ⃗ ) = 𝒖 ⃗⃗ 𝒙 (𝜶 𝒗 ⃗⃗⃗ ) Interpretación geométrica del módulo del producto vectorial Si consideramos que los vectores 𝑢 ⃗ y 𝒗 ⃗ ⃗ tienen origen común en O, entonces determinan dos de los lados no paralelos de un paralelogramo cuja área quedará definida por el módulo del producto vectorial 𝒖 ⃗⃗ x 𝒗 ⃗ ⃗ . Es decir, el área paralelogramo = |𝒖 ⃗⃗ 𝒙 𝒗 ⃗ ⃗ | |𝒖 ⃗⃗ 𝒙 𝒗 ⃗ ⃗ | 𝒖 ⃗⃗ 𝒙 𝒗 ⃗ ⃗ 𝒖 ⃗⃗ 𝒗 ⃗ ⃗
- 17. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 17 Demostración: A B hh O C Dados los vectores 𝑢 ⃗ 𝑦 𝒗 ⃗ ⃗ , me permiten definir al paralelogramo OABC. Según la geometría, tenemos: 1- Área OABC = (longitud base) x (longitud de la altura) = 𝑂𝐶 ̅̅̅̅̅𝑥 ℎ Deducimos que: 2- longitud base = longitud 𝑂𝐶 ̅̅̅̅̅ = |𝑢 ⃗ | 3- longitud de la altura = ℎ = |𝑣| sin𝜃 Remplazando, el área OABC = |𝑢 ⃗ ||𝑣| sin 𝜃 . Esta expresión es igual al módulo del producto vectorial. Por lo tanto, el área del paralelogramo es igual a |𝒖 ⃗⃗ 𝒙 𝒗 ⃗ ⃗ | Producto mixto (triple producto escalar) El producto mixto es una operación vectorial que se define entre tres vectores 𝒖 ⃗⃗ , 𝒗 ⃗⃗⃗ 𝑦 𝒘 ⃗⃗⃗ , del espacio R3 , cuyo resultado es un número real. Dados tres vectores 𝒖 ⃗⃗ , 𝒗 ⃗⃗⃗ 𝑦 𝒘 ⃗⃗⃗ , se llama producto mixto al número real que se obtiene de multiplicar 𝒘 ⃗⃗⃗ ( 𝒖 ⃗⃗⃗ 𝒙 𝒗 ⃗ ⃗ ) Observemos que, de acuerdo con la expresión del producto mixto, se procede en primera instancia a obtener el producto cruz (cuyo resultado es un vector) y luego se efectúa la multiplicación escalar. Aunque veremos que hay una manera más sencilla para la resolución del producto mixto. Regla de resolución del producto mixto aplicando determinantes Al proceder a la resolución del producto mixto, cuando utilizamos el determinante para obtener el producto cruz, podemos advertir que, al efectuar el desarrollo por los elementos de la primera línea, queda multiplicada cada componente del vector por los versores correspondientes (𝑖, 𝑗, 𝑘) y que, en definitiva, al efectuar el producto escalar, esto es equivalente a reemplazar cada uno de estos versores por las componentes del primer vector (el que multiplica escalarmente). De este modo, una manera de hallar el producto mixto es mediante la resolución de un determinante donde se escriben las componentes de cada vector en cada una de las filas del determinante. Dados, 𝑤 ⃗⃗ = (𝑎1 , 𝑏1 , 𝑐1) 𝑢 ⃗ = (𝑎2 , 𝑏2 , 𝑐2) 𝑣 = (𝑎3 , 𝑏3 , 𝑐3) 𝒘 ⃗⃗⃗ (𝒖 ⃗⃗ x 𝒗 ⃗ ⃗ ) = | 𝒂𝟏 𝒃𝟏 𝒄𝟏 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒂𝟑 𝒃𝟑 𝒄𝟑 | h 𝒗 ⃗ ⃗ 𝒖 ⃗⃗ 𝜃
- 18. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 18 Interpretación geométrica del valor absoluto del producto mixto Cuando se consideran tres vectores 𝒖 ⃗⃗ , 𝒗 ⃗⃗⃗ 𝑦 𝒘 ⃗⃗⃗ ,, del espacio R3 con origen común en O, sus longitudes determinan tres de las aristas de un paralelepípedo, cuyo volumen es el valor absoluto del producto mixto entre 𝒖 ⃗⃗ , 𝒗 ⃗⃗⃗ 𝑦 𝒘 ⃗⃗⃗ ,. Es decir: Volumen del paralelepípedo = ||𝑤 ⃗⃗ (𝑢 ⃗ 𝑥 𝑣 )|| w v u Demostración: 1- Según la geometría, el volumen del paralelepípedo es: superficie base x longitud de altura. 2- Según lo demostrado en el producto vectorial, tenemos que: superficie base = |𝒖 ⃗⃗ 𝒙 𝒗 ⃗ ⃗ | 3- En la figura, la recta que contiene a la altura h, es paralela al vector 𝒖 ⃗⃗ 𝒙 𝒗 ⃗ ⃗ , entonces: longitud de altura (h) = longitud 𝑃𝑟𝑜𝑦 𝑒𝑠𝑐𝒖 ⃗ ⃗ 𝒙 𝒗 ⃗ ⃗ 𝒘 ⃗⃗⃗ = ||𝑤 ⃗⃗ (𝑢 ⃗ ⃗ 𝑥 𝑣)|| |𝒖 ⃗ ⃗ 𝒙 𝒗 ⃗ ⃗ | 𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = = |𝑢 ⃗ 𝑥 𝑣| ||𝑤 ⃗⃗ (𝑢 ⃗ ⃗ 𝑥 𝑣)|| |𝑢 ⃗ ⃗ 𝑥 𝑣 ⃗ | = ||𝒘 ⃗⃗⃗ (𝒖 ⃗⃗ 𝒙 𝒗)|| Condiciones de coplanaridad de tres vectores Tres vectores 𝒖 ⃗⃗ , 𝒗 ⃗⃗⃗ 𝑦 𝒘 ⃗⃗⃗ pertenecientes al espacio R3 , se denominan coplanares si, considerados con un origen común, sus direcciones quedan incluidas en un mismo plano.
- 19. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 19 Así, considerando la interpretación geométrica del producto mixto, advertimos que el volumen es nulo si dicho producto mixto es nulo, de modo que podemos enunciar: tres vectores 𝒖 ⃗⃗ , 𝒗 ⃗⃗⃗ 𝑦 𝒘 ⃗⃗⃗ son coplanares sí y sólo sí su triple producto escalar (o producto mixto) es nulo.
- 20. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 20 Ejercicios: ÁLGEBRA VECTORIAL 1. Dados los siguientes vectores calcular módulo y ángulo respecto al semieje positivo de las abscisas (𝑥). Expresar cada vector en su forma cartesiana y graficar los vectores en un mismo sistema de ejes coordenados. a. 𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ = (2,5) b. 𝑣2 ⃗⃗⃗⃗ = (−3,4) c. 𝑣3 ⃗⃗⃗⃗ = (−4, −2) d. 𝑣4 ⃗⃗⃗ = (1, −3) 2. Resolver los siguientes enunciados aplicando las operaciones vistas anteriormente, siendo 𝑢 ⃗ = (−3,1), 𝑣 = (2, −2), 𝑤 ⃗⃗ = (−4, −2) y 𝑡 = (0,2). Graficar el vector resultante obtenido. a. 𝑢 ⃗ + 𝑣 − 𝑤 ⃗⃗ b. −2𝑢 ⃗ + 3𝑤 ⃗⃗⃗⃗ c. −𝑢 ⃗ + 2𝑣 − 4𝑤 ⃗⃗ d. 2(𝑣 + 𝑤 ⃗⃗ ) − 1 2 𝑡 e. 3𝑢 ⃗ + 𝑣 − 1 2 𝑤 ⃗⃗ f. 𝑣 ⃗ |𝑣 ⃗ | g. 𝑤 ⃗⃗ |𝑤 ⃗⃗ | h. (𝑣𝑤 ⃗⃗ )𝑡 − 2𝑢 ⃗ i. (𝑣𝑡 + 2𝑤 ⃗⃗ 𝑢 ⃗ )𝑤 ⃗⃗ 3. Si los puntos 𝑃 y 𝑄 constituyen el origen y extremo, respectivamente, de un vector 𝑢 ⃗ . Hallar sus componentes y la distancia entre cada punto. Graficar los puntos y vectores obtenidos en un mismo sistema de ejes coordenados. a. 𝑃1 = (2,1) 𝑄1 = (1,3) b. 𝑃2 = (−1,2) 𝑄2 = (−2, −2) c. 𝑃3 = (−2,0) 𝑄3 = (−3,1) d. 𝑃4 = (3, −2) 𝑄4 = (1, −1) 4. Encontrar los vectores 𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ y 𝑣2 ⃗⃗⃗⃗ para que se cumplan simultáneamente las siguientes condiciones: 2𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ − 𝑣2 ⃗⃗⃗⃗ = 4𝑤 ⃗⃗ y −𝑡 − 𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ = 4𝑣2 ⃗⃗⃗⃗ , siendo 𝑤 ⃗⃗ = (1, −1) y 𝑡 = (2,0). Graficar los vectores encontrados. 5. Dados los vectores 𝑢 ⃗ = (−3,1), 𝑣 = (2, −2) y 𝑤 ⃗⃗ = (−4, −2) calcular los ángulos entre los siguientes pares de vectores: a. 𝑢 ⃗ y 𝑣 b. 𝑢 ⃗ y 𝑤 ⃗⃗ c. (𝑢 ⃗ − 2𝑤 ⃗⃗ ) y (𝑣 + 3𝑤 ⃗⃗ ) 6. Hallar el módulo de 𝑣 sabiendo que |𝑢 ⃗ | = 2, el producto escalar entre ambos es 12 y el ángulo comprendido es 𝜋 6 . 7. Dados 𝑢 ⃗ = (−3,2), y 𝑣 = (𝛼, 1), hallar el valor de 𝛼 para que: a. Los vectores sean ortogonales (o perpendiculares).
- 21. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 21 b. Los vectores sean paralelos. c. Los vectores formen un ángulo 𝜋 4 . GRAFICAR. 8. El ángulo que forman 𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ y 𝑣2 ⃗⃗⃗⃗ es de 60° y el módulo de 𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ es |𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ | = 2. Calcular el módulo de 𝑣2 ⃗⃗⃗⃗ para que (𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ − 𝑣2 ⃗⃗⃗⃗ ) sea perpendicular a 𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ . 9. La imagen 1 muestra vectores graficados en un sistema de ejes coordenados. Cada vector representa una fuerza. Obtener la fuerza resultante del sistema y otra que lo equilibre. Imagen 1 10. Calcular vectorialmente los ángulos interiores del triángulo formado por los puntos 𝑃1 = (3,1), 𝑃2 = (−3,3) y 𝑃3 = (−2, −2). Graficar. 11. Los puntos 𝑃1 = (1,1) , 𝑃2 = (5,2) y 𝑃3 = (3,4) forman el triángulo representado en la imagen 2, se pide: a. Calcular en forma vectorial los ángulos interiores del triángulo formado por 𝑃1, 𝑃2 y 𝑃3. b. Calcular el perímetro del triángulo formado por 𝑃1, 𝑃2 y 𝑃3. c. Obtener el punto 𝑃4 tal que forme con 𝑃1, 𝑃2 y 𝑃3 un paralelogramo (ver imagen 2). d. Graficar. Imagen 2
- 22. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 22 12. Dados los vectores 𝑢 ⃗ = (−3,2,1), 𝑣 = (2,0, −2) y 𝑤 ⃗⃗ = (−1,1,5), calcular: a. 𝑢 ⃗ + 𝑣 − 𝑤 ⃗⃗ b. −2𝑢 ⃗ − 𝑣 + 3𝑤 ⃗⃗ c. 2(3𝑢 ⃗ + 𝑣) − (2𝑣 + 4𝑤 ⃗⃗ ) d. 𝑢 ⃗ ⃗ |𝑢 ⃗ ⃗ | e. 𝑣 ⃗ |𝑣 ⃗ | 13. Siendo 𝑃 y 𝑄 el origen y extremo de un vector, calcular el vector y la distancia entre ambos puntos. Graficar. a. 𝑃1 = (2,0, −3) 𝑄1 = (1, −1,4) b. 𝑃2 = (−2,3,1) 𝑄2 = (−1, −1,2) c. 𝑃3 = (4,4, −1) 𝑄3 = (1,3,5) d. 𝑃4 = (1,0,1) 𝑄4 = (−1,0,6) 14. Obtener el valor de 𝛼 para que los vectores 𝑢 ⃗ = (8, −2,4) y 𝑣 = (2,3, 𝛼) para que los vectores sean perpendiculares entre sí. 15. Determinar el valor de 𝑘 para que los vectores 𝑢 ⃗ = (2, 𝑘, −10) y 𝑣 = (3,8, −15) para que entre sí sean: a. Perpendiculares. b. Paralelos. 16. Dados los vectores 𝑢 ⃗ = (−2,1,3), 𝑣 = (3,0, −1) y 𝑤 ⃗⃗ = (−2,3,2) calcular: a. 𝑢 ⃗ 𝑥 𝑤 ⃗⃗ b. 𝑣 𝑥 𝑤 ⃗⃗ c. ( 𝑢 ⃗ 𝑥 𝑤 ⃗⃗ )𝑥( 𝑢 ⃗ − 3 𝑤 ⃗⃗ ) d. (𝑢 ⃗ 𝑥 𝑤 ⃗⃗ )(𝑢 ⃗ 𝑥 𝑣) 17. Obtener dos vectores unitarios perpendiculares a 𝑚 ⃗⃗ = (−3,1, −4) y 𝑛 ⃗ = (2, −1,3). 18. Calcular el área del paralelogramo formado por los siguientes pares de vectores. a. 𝑢 ⃗ = (−1,2,3) 𝑣 = (−2,1, −1) b. 𝑢 ⃗ = (0,1, −1) 𝑣 = (2,3, −4) 19. Calcular el área del triángulo formado por los puntos: a. 𝑃1 = (2,2,0), 𝑃2 = (−1,0,2) y 𝑃3 = (0,4,3) b. 𝑃1 = (1,5, −2), 𝑃2 = (0,0,0) y 𝑃3 = (35,1) c. 𝑃1 = (2,0, −3), 𝑃2 = (1,4,5) y 𝑃3 = (7,2,1) 20. Calcular el producto mixto de los siguientes conjuntos de vectores. a. 𝑢 ⃗ = (2,3,1) 𝑣 = (4, −1,5), 𝑤 ⃗⃗ = (1,0,6) b. 𝑢 ⃗ = (−2,2,4), 𝑣 = (3, −1,4), 𝑤 ⃗⃗ = (−9,3, −12), ¿Qué conclusión se obtiene de estos vectores? 21. Calcular el volumen del paralelepípedo encerrado por los siguientes vectores. a. 𝑢 ⃗ = (1,0,0), 𝑣 = (0,1,1), 𝑤 ⃗⃗ = (0,0,5) b. 𝑢 ⃗ = (−1,1,3), 𝑣 = (1, −1, −1), 𝑤 ⃗⃗ = (3,5, −2) c. 𝑢 ⃗ = (−1,2, −1), 𝑣 = (2, −4,1), 𝑤 ⃗⃗ = (1,0,1) d. 𝑢 ⃗ = (2,1, −1), 𝑣 = (0,1, −1), 𝑤 ⃗⃗ = (3, −2, −2)
- 23. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 23 22. Hallar la superficie del paralelepípedo de los apartados del ejercicio anterior. 23. Hallar el valor de 𝑘 para que los vectores 𝑎 = (−1,2, −3), 𝑏 ⃗ = (𝑘, 2, −1), y 𝑐 = (4, −3,6) sean coplanares.
- 24. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 24 Resultados: ÁLGEBRA VECTORIAL 1. a. |𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ | = √29 𝜃1 = 68°11′ 55′′ 𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ = 2𝑖̂ + 5𝑗̂ b. |𝑣2 ⃗⃗⃗⃗ | = 5 𝜃2 = 126°52′ 12′′ 𝑣2 ⃗⃗⃗⃗ = −3𝑖̂ + 4𝑗̂ c. |𝑣3 ⃗⃗⃗⃗ | = √20 𝜃3 = 206°33′ 54′′ 𝑣3 ⃗⃗⃗⃗ = −4𝑖̂ − 2𝑗̂ d. |𝑣4 ⃗⃗⃗ | = √10 𝜃4 = 288°26′ 6′′ 𝑣4 ⃗⃗⃗ = 𝑖̂ − 3𝑗̂ 2. a. ( 3 1 ) b. ( −6 −8 ) c. ( 23 3 ) d. ( −4 −9 ) e. ( −5 2 ) f. ( √2 2 − √2 2 ) g. ( − 2√5 5 − √5 5 ) h. ( 6 −10 ) i. ( −64 −32 ) 3. a. 𝑃1𝑄1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( −1 2 ) 𝑑(𝑃1𝑄1) ≅ 2,23 b. 𝑃2𝑄2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( −1 −4 ) 𝑑(𝑃2𝑄2) = 4,12 c. 𝑃3𝑄3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( −1 1 ) 𝑑(𝑃3𝑄3) ≅ 1,41 d. 𝑃4𝑄4 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( −2 1 ) 𝑑(𝑃4𝑄4) ≅ 2,23
- 25. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 25 4. 𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ = ( 14 9 − 16 9 ) 𝑣2 ⃗⃗⃗⃗ = ( − 8 9 4 9 ) 5. a. 𝛼 = 153° 26′ 5,82′′ b. 𝛼 = 45° c. 𝛼 = 173° 39′ 35,3′′ 6. |𝑣| = 4√3 7. a. 𝛼 = 2 3 b. 𝛼 = − 2 3 c. 𝛼1 = 1 5 𝛼2 = −5 8. |𝑣2 ⃗⃗⃗⃗ | = 4 9. Fuerza resultante: 𝑟 = ( 3√3−4 2 11 2 ) ≅ ( 0,6 5,5 ) Fuerza equilibrante: −𝑟 = ( 4−3√3 2 − 11 2 ) ≅ ( −0,6 −5,5 ) 10. 𝛼𝑃1 = 49°23′ 55′′ 𝛼𝑃2 = 60°15′ 18′′ 𝛼𝑃3 = 70°20′ 47′′ 11. a. 𝛼𝑃1 = 42°16′ 25′′ 𝛼𝑃2 = 59°2′ 10′′ 𝛼𝑃3 = 78°41′ 25′′ b. 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ≅ 10,55 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 c. 𝑃4 = ( 7 5 ) 12. a. ( 0 1 −6 ) b. ( 1 −1 15 ) c. ( −14 8 −14 )
- 26. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 26 d. ( −3√14 4 √14 7 √14 14 ) e. ( √2 2 0 −√2 2 ) 13. a. 𝑃1𝑄1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( −1 −1 7 ) 𝑑(𝑃1𝑄1) = √51 ≅7,13 b. 𝑃2𝑄2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 1 −4 1 ) 𝑑(𝑃2𝑄2) = 3√2 ≅4,23 c. 𝑃3𝑄3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( −3 −1 6 ) 𝑑(𝑃3𝑄3) = √46 ≅6,77 d. 𝑃4𝑄4 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( −2 0 5 ) 𝑑(𝑃4𝑄4) = √29 ≅ 5,38 14. Para 𝛼 = − 5 2 los vectores son perpendiculares. 15. a. 𝑘 = 16 3 b. 𝑘 = − 39 2 16. a. ( −7 −2 −4 ) b. ( 3 −4 9 ) c. ( −26 −37 64 ) d. 5 17. 𝑚 ⃗⃗ 𝑥𝑛 ⃗ |𝑚 ⃗⃗ 𝑥𝑛 ⃗ | = ( − √3 3 √3 3 √3 3 ) 𝑛 ⃗ 𝑥𝑚 ⃗⃗ |𝑚 ⃗⃗ 𝑥𝑛 ⃗ | = ( √3 3 − √3 3 − √3 3 )
- 27. Apunte teórico-práctico Álgebra yGeometría Analítica CRES pág. 27 18. a. Á𝑟𝑒𝑎 ≅ 9,11 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 b. Á𝑟𝑒𝑎 = 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 19. a. Área: 15 2 = 7,5 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 b. Área: √374 2 ≅ 9,677 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 c. Área: 11√5 ≅ 24,6 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 20. a. 𝑢 ⃗ (𝑣𝑥𝑤 ⃗⃗ ) = −68 b. 𝑢 ⃗ (𝑣𝑥𝑤 ⃗⃗ ) = 0 21. a. Volumen: 5 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 b. Volumen: 16 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 c. Volumen: 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 d. Volumen: 8 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 22. a. Superficie: 22,88 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 b. Superficie: 64,27 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 c. Superficie: 21,62 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 d. Superficie: 33,57 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 23. Para 𝑘 = 7 3 los vectores son coplanares; no encierran un paralelepípedo.