Este documento resume los conceptos de diagramas de polos y ceros, estabilidad y el criterio de Routh para determinar la estabilidad de sistemas de control. Explica que los polos y ceros se determinan resolviendo la función de transferencia y se grafican en un plano complejo. Un sistema es estable si todos sus polos tienen parte real negativa. El criterio de Routh evalúa la estabilidad absoluta a partir de los coeficientes de la ecuación característica sin necesidad de resolverla.

1. INDUSTRIALES
SEGUNDA UNIDAD
Primavera 2022
Diego Cuevas Navarrete
Ingeniero en Automatización y Control Industrial
Área Automatización y Robótica– INACAP Sede Los Ángeles
UNIDAD N°4
Sistemas de Control
Acciones de Control
Diagrama de Polos y Ceros – Estabilidad – Sintonía de Control

2. AccionesdeControl
1.Diagramas dePolos yCeros:
Los ceros, aquellos valores de en que la función de transferencia es igual a cero, es decir:
Las posiciones que ocupan los polos y ceros de un sistema en el plano complejo determinan modos
transitorios que puede resultar interesante conocer para el análisis y/o diseño de los sistemas. En este sentido,
una de las principales ventajas que presenta la localización de los polos corresponde a la determinación de la
estabilidad de los sistemas.

3. AccionesdeControl
1.Diagramas dePolos yCeros:
La representación gráfica se realiza en un plano complejo (Figura 1), en donde se marcan los polos con una
cruz y los ceros con un círculo:

4. AccionesdeControl
Ejemplo 1: Determinar los polos yCeros para la siguiente F.T.
La determinación de ceros:
Se calcula cuando el numerador es igual a cero:
La determinación de polos:
Se calcula cuando el denominador es igual a cero:
El diagrama de polos y ceros se obtiene dibujando sobre el eje real en
las ubicaciones respectivas:

5. AccionesdeControl
Ejemplo 2: Determinación de Ceros
Se calcula cuando el numerador es igual a cero:
La determinación de polos:
Se calcula cuando el denominador es igual a cero:
Es una ecuación de segundo grado que se puede factorizar de esta
manera:
Por lo cual se obtendrá dos polos:

6. AccionesdeControl
Ejemplo 2: Determinación de Ceros
El diagrama de polos y ceros se obtiene dibujando sobre el eje real en
las ubicaciones respectivas:

7. AccionesdeControl
Ejemplo 3: Determinar PolosyCerospara la siguiente funcióndetransferencia.
La determinación de ceros:
Se calcula cuando el numerador es igual a cero:
El cero obtenido corresponde a valor que se debe dibujar sobre el eje
imaginario.
La determinación de polos:
Se calcula cuando el denominador es igual a cero:
Es una ecuación de segundo grado con raíces imaginarias y se
obtiene dos polos conjugados:

8. AccionesdeControl
Ejemplo 3: Determinar PolosyCerospara la siguiente funcióndetransferencia
El diagrama de polos y ceros se obtiene dibujando sobre el plano complejo las ubicaciones respectivas:

9. AccionesdeControl
Ejemplo 4: Determinar PolosyCerospara la siguiente funcióndetransferencia
La determinación de ceros:
Se calcula cuando el numerador es igual a cero, pero en este caso el
numerador siempre será distinto de cero.
Por lo tanto, no hay ceros.
La determinación de polos:
Se calcula cuando el denominador es igual a cero:
Por lo tanto, hay un polo en S=0, dos polos en S=3 y un polo en s=
-4

10. AccionesdeControl
Ejemplo 4: Determinar PolosyCerospara la siguiente funcióndetransferencia
El diagrama de polos y ceros se obtiene dibujando sobre el plano complejo las ubicaciones respectivas:

11. AccionesdeControl
EnResumen:
1.Polos
Los polos de una función de transferencia son los valores de la variable de la
transformada de Laplace, s, que ocasionan que la función de transferencia se
vuelva infinita.
2. Ceros
Los ceros de una función de trasferencia son los valores de la variable de la
transformada de Laplace, s, que ocasiona que la función se transferencia se
convierta en cero

12. AccionesdeControl
Ejercicio 1:EnMATLAB
El comando “roots” de Matlab retorna las raíces del polinomio
Consideremos el siguiente polinomio:
p=[1 4 4 1 20];
r=roots(p);
r =
-2.6545 + 1.2595i
-2.6545 - 1.2595i
0.6545 + 1.3742i
0.6545 - 1.3742i

13. AccionesdeControl
Ejercicio 2:EnMATLAB
Alternativamente un mapa con la ubicación de los polos y ceros se puede obtener con la
función” pzmap” (polos x, ceros o)
- Ejemplo:
- H=tf([2 5 1],[1 2 3]);
- sgrid
- pzmap(H)

14. AccionesdeControl
Ejercicio 3:EnMATLAB encuentrelos polos ycerosdelas siguientes F.T.

15. AccionesdeControl
Estabilidad
Se dice que un sistema es estable si toda entrada
acotada produce una salida acotada. De otra forma el
sistema es inestable.
A este enunciado se le da el nombre de estabilidad de
entrada acotada-salida acotada (BIBO bounded input,
bounded output)
- Teorema
Un sistema con una función de transferencia racional
propia G(s) es estable si y solo si todos los polos de G(s)
tienen parte real negativa, o equivalentemente, se
encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo
S

16. AccionesdeControl
Estabilidad
 El teorema implica que un sistema es inestable si la función de
transferencia tiene uno o más polos con parte real positiva o cero.
 La estabilidad de un sistema, depende solo de los polos de la función de
transferencia G(s) y no de los ceros de G(s)

17. AccionesdeControl
Conceptoycriterio de Estabilidad
Al diseñar un sistema de control, se debe ser capaz de predecir su
comportamiento dinámico a partir del conocimiento de los
componentes. La característica más importante del comportamiento
dinámico de un sistema de control es la estabilidad absoluta, es decir,
si el sistema es estable o inestable.
Un sistema de control está en equilibrio si, en ausencia de
cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el
mismo estado. Un sistema de control lineal e invariante con el
tiempo es estable si la salida termina por regresar a su estado de
equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición inicial.
Un sistema de control lineal e invariante con el tiempo es
críticamente estable si las oscilaciones de la salida continúan
de forma indefinida. Es inestable si la salida diverge sin límite a
partir de su estado de equilibrio cuando el sistema está sujeto a
una condición inicial. En realidad, la salida de un sistema físico
puede aumentar hasta un cierto grado, pero puede estar
limitada por detenciones mecánicas, o el sistema puede
colapsarse o volverse no lineal una vez que la salida excede
cierta magnitud, por lo cual ya no se aplican las ecuaciones
diferenciales lineales.
Entre los comportamientos importantes del sistema (aparte de la
estabilidad absoluta) que deben recibir una cuidadosa consideración
están la estabilidad relativa y el error en estado estacionario.

18. AccionesdeControl
Criterio deEstabilidad de Routh
El problema más importante de los sistemas de control lineal tiene que
ver con la estabilidad. Es decir, ¿en qué condiciones se vuelve
inestable un sistema? Si es inestable, ¿cómo se estabiliza?
Un sistema de control es estable si y sólo si todos los polos en lazo
cerrado se encuentran en el semiplano izquierdo del plano . La
mayoría de los sistemas lineales en lazo cerrado tienen funciones de
transferencia en lazo cerrado de la forma:
donde las a y las b son constantes y m ≤ n .
Un criterio simple, conocido como el criterio de estabilidad de
Routh, permite determinar la cantidad de polos en lazo
cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del
plano sin tener que factorizar el polinomio.

19. AccionesdeControl
Definición del Criterio de Estabilidad deRouth
El criterio de estabilidad de Routh dice si existen o no raíces
inestables en una ecuación polinomial, sin tener que obtenerlas en
realidad. Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios
con una cantidad finita de términos. Cuando se aplica el criterio a un
sistema de control, la información sobre la estabilidad absoluta se
obtiene directamente de los coeficientes de la ecuación característica.
El procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh es el siguiente:
Se escribe el polinomio en de la forma siguiente:
donde los coeficientes son cantidades reales. Se supone
que an ≠ 0 ; es decir, se elimina cualquier raíz cero.
Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la
presencia de al menos un coeficiente positivo, hay una raíz
o raíces imaginarias o que tienen partes reales positivas.
En tal caso, el sistema no es estable. Si sólo interesa la
estabilidad absoluta, no es necesario continuar con el
procedimiento. Obsérvese que todos los coeficientes
deben ser positivos. Esta es una condición necesaria,
como se aprecia a partir del argumento siguiente:

20. AccionesdeControl
Definición del Criterio de Estabilidad deRouth
Un polinomio en s con coeficientes reales siempre puede factorizarse
en factores lineales y cuadráticos tales como (s + a) y (s2 + bs + c) ,
donde a , b y c son números reales. Los factores lineales producen
las raíces reales y los factores cuadráticos producen las raíces
complejas del polinomio.
El factor (s2 + bs + c) , produce las raíces con partes reales
negativas sólo si b y c son ambas positivas. Para todas las raíces que
tienen partes reales negativas, las constantes a, b, c, ... deben ser
positivas en todos los factores. El producto de cualquier cantidad de
factores lineales y cuadráticos que contengan sólo coeficientes
positivos siempre produce un polinomio con coeficientes positivos. Es
importante señalar que la condición de que todos los coeficientes sean
positivos no es suficiente para asegurar la estabilidad.
La condición necesaria, pero no suficiente, para la estabilidad
es que todos los coeficientes de la Ecuación (2) estén
presentes y tengan un signo positivo. Si todas las a son
negativas, se hacen positivas multiplicando ambos miembros
de la ecuación por -1 .

21. AccionesdeControl
Definición del Estabilidad de Routh
Si todos los coeficientes son positivos, se ordenan los coeficientes del
polinomio en filas y columnas de acuerdo con el patrón siguiente:
El proceso de formar filas continúa hasta que no quedan más
elementos. El número total de filas es n + 1 . Los
coeficientes b1 , b2 , b3 , etc., se evalúan del modo siguiente:

22. AccionesdeControl
Definición del Estabilidad de Routh
La evaluación de las b continúa hasta que todas las
restantes son cero. Se sigue el mismo patrón de
multiplicación cruzada de los coeficientes de las dos filas
anteriores al evaluar las c, las d, las e, etc. Es decir:
Este proceso continúa hasta que se completa la
n-ésima fila. El arreglo completo de los
coeficientes es triangular. Obsérvese que, al
desarrollar el arreglo, una fila completa se divide
entre, o se multiplica por, un número positivo
para simplificar el cálculo numérico subsecuente
sin alterar la conclusión de la estabilidad.

23. AccionesdeControl
Analogía Criterio deEstabilidad deRouth
T(s) Sera estable si:
1. D(s) no tiene raíces en el semiplano derecho
2. D(s) no tiene raíces en repetidas sobre el eje jw
3. T(s) será asintóticamente estable si todas las raíces
de D(s) están en el semiplano izquierdo del plano
complejo.
Por ejemplo, si el sistema tiene un polo como se muestra
en la siguiente imagen:
Este sistema es asintóticamente estable

24. AccionesdeControl
Analogía Criterio deEstabilidad deRouth
2. Si el sistema posee dos polos conjugados en el
semiplano izquierdo del plano cartesiano, también será
estable pero con una dinámica oscilatoria.
3. Si el polo esta en el semiplano derecho, el sistema se
vuelve inestable, el cual crecerá infinitamente a medida
que el tiempo avanza.
Lo mismo ocurre cuando hay dos polos conjugados en el
semiplano derecho, teniendo oscilaciones

25. AccionesdeControl
Analogía Criterio deEstabilidad deRouth
4. Si tuviéramos un polo en el origen, el sistema se
conoce como criticamente estable, debido a que esta
próximo a volverse inestable por el hecho de estar muy
cerca de la región de inestabilidad (semiplano derecho).
Al tener dos polos conjugados, también es criticamente estable,
teniendo una oscilación constante.

26. AccionesdeControl
Ejemplo 1
A partir del siguiente polinomio, determine si es estable utilizando el método de Routh.

27. AccionesdeControl
Ejemplo 2
A partir del siguiente polinomio en sistema de control en lazo cerrado, determine si es estable utilizando el método
de Routh.