El documento describe el criterio de estabilidad de Routh, un método para determinar la estabilidad de sistemas de control lineales mediante el análisis de la ubicación de los polos de la función de transferencia en lazo cerrado. Explica cómo construir la tabla de Routh a partir del polinomio característico y analizar los signos de los coeficientes para identificar la existencia de polos con parte real positiva e indicar la (in)estabilidad del sistema. También incluye varios ejemplos ilustrativos de la aplicación del método.

1. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
INGENIERÍA DE CONTROL 1 M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH

2. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
INGENIERÍA DE CONTROL 2 M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
El problema más importante de los sistemas de control lineal tiene que ver con la estabilidad. Un sistema de
control es estable si y sólo si todos los polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano izquierdo del
plano s .
Consideremos la siguiente función de transferencia de lazo cerrado.
( )
( )
( )
( )sA
sB
asasasa
bsbsbsb
sR
sC
nn
nn
mm
mm
=
++++
++++
=
−
−
−
−
1
1
10
1
1
10
L
L
En donde las a y las b son constantes y nm ≤ .
Criterio de estabilidad de Routh.
El criterio de estabilidad de Routh permite determinar la cantidad de polos en lazo cerrado que se encuentran
en el semiplano derecho del plano s (raíces positivas) sin tener que factorizar el polinomio. Este criterio de
estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos.
Procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh:
1. Escriba el polinomio en s del denominador en la forma siguiente:
01
1
10 =++++ −
−
nn
nn
asasasa L
En donde los coeficientes son cantidades reales. Suponemos que 0≠na ; es decir, se elimina cualquier raíz
cero.
2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay
una raíz, o raíces imaginarias o que tiene partes reales positivas. En tal caso, el sistema no es estable.
La condición necesaria, pero no suficiente, para la estabilidad es que todos los coeficientes de la ecuación
estén presentes y tengan signo positivo.
3. Si todos los coeficientes son positivos, ordene los coeficientes del polinomio en renglones y columnas de
acuerdo con el patrón o arreglo siguiente:
1
0
1
1
21
2
4321
4
4321
3
4321
2
7531
1
6420
gs
fs
ees
dddds
ccccs
bbbbs
aaaas
aaaas
n
n
n
n
n
MMM
L
L
L
L
L
−
−
−
−
Los coeficientes KKK ,,,,,,,,,, 21321321 ddcccbbb , etc., se evalúan del modo siguiente:

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INGENIERÍA DE CONTROL 3 M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
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MMM
1
3131
2
1
4171
3
1
7061
1
1
2121
1
1
3151
2
1
5041
2
1
2131
1
1
3021
1
c
cbbc
d
b
baab
c
a
aaaa
b
c
cbbc
d
b
baab
c
a
aaaa
b
b
baab
c
a
aaaa
b
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
La evaluación continúa hasta que todas las restantes son cero.
El criterio de estabilidad de Routh- Hurwitz plantea que el número de raíces de la ecuación con partes reales
positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del arreglo.
La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación se encuentren en el semiplano
izquierdo del plano s es que todos los coeficientes de la ecuación sean positivos y que todos los términos de
la primera columna del arreglo tengan signo positivo.
Ejemplo 1
Considere el polinomio siguiente:
05432 1234
=++++ ssss
Los primeros dos renglones se obtienen directamente del polinomio dado. El arreglo de coeficientes sería
5
6
51
042
531
0
1
2
3
4
s
s
s
s
s
−
Hay dos cambios de signo en los coeficientes de la primera columna. Esto significa que existen dos raíces con
partes reales positivas. Observe que el resultado no se modifica cuando los coeficientes de cualquier renglón
se multiplican por, o se dividen entre, un número positivo para simplificar el cálculo.

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Ejemplo 2
Aplicación del criterio de estabilidad de Routh al análisis de un sistema de control.
Considere el sistema de la figura. Determine el rango de valores de K para la estabilidad. La función de
transferencia en lazo cerrado es
( )
( ) ( )( ) Kssss
K
sR
sC
++++
=
212
La ecuación característica es
0233 234
=++++ Kssss
El arreglo de coeficientes se convierte en
Ks
Ks
Ks
s
Ks
0
7
91
3
72
3
4
2
023
31
−
Para la estabilidad, K debe ser positiva, y todos los coeficientes de la primera columna deben de serlo
también.
002 7
9
>>− KK
Por tanto, para que el sistema de control sea estable, el rango de K sería
09
14 >> K
Cuando 9
14
=K , el Coeficiente de la primer columna de la fila 1
s se hace cero, esto significa que existen
raíces imaginarias y el sistema se vuelve oscilatorio y, matemáticamente, la oscilación se mantiene en una
amplitud constante.
Se pueden calcular las raíces imaginarias, considerando un polinomio auxiliar el cuál se obtiene tomando los
coeficientes de la fila que se encuentra arriba donde se generó el cero. La ecuación sería
js
sss
KcomoKs
816.0
0231421
0
3
2
22
9
142
3
7
9
142
3
7
±=−±=
=+=+=+
==+

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Casos especiales
Si el término de la primera columna de cualquier renglón es cero, pero los términos restantes no son cero, o
no hay términos restantes, el término cero se sustituye con un número positivo muy pequeño ε y se evalúa el
resto del arreglo.
Ejemplo 3
considere la ecuación
022 23
=+++ sss
El arreglo de coeficientes es
2
0
22
11
0
1
2
3
s
s
s
s
ε=
Si el signo del coeficiente que está encima del cero ( )ε es igual al signo que está abajo de él, quiere decir que
hay un par de raíces imaginarias.
Ejemplo 4
Si todos los coeficientes de cualquier renglón son cero significa que existen raíces con magnitudes iguales y
signos opuestos y/o dos raíces imaginarias conjugadas. En este caso, la evaluación del resto del arreglo
continúa mediante la formación de un polinomio auxiliar con los coeficientes del último renglón y mediante
el empleo de los coeficientes de la derivada de este polinomio en el renglón siguiente. Tales raíces se
encuentran despejando el polinomio auxiliar, que siempre es par. Para un polinomio auxiliar de grado n2 ,
existen n pares de raíces iguales y opuestas. Por ejemplo, considere la ecuación:
0502548242 2345
=+++++ sssss
El arreglo de coeficientes es
( )
ceroRenglón
auxiliarPolinomio
00
50482
25241
3
4
5
sP
s
s
s
←
←
Todos los términos del renglón 3
s son cero. Después se forma el polinomio auxiliar a partir de los
coeficientes del renglón 4
s El polinomio auxiliar ( )sP es
( ) 50482 24
++= sssP
lo cual indica que hay dos pares de raíces de igual magnitud y signo opuesto. Estos pares se obtienen
resolviendo la ecuación del polinomio auxiliar ( ) 0=sP . La derivada de ( )sP con respecto a s es
( ) ss
ds
sdP
968 3
+=

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INGENIERÍA DE CONTROL 6 M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
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Los coeficientes de la última ecuación, sustituyen los términos del renglón 3 del arreglo. Por consiguiente, el
arreglo de coeficientes se convierte en
( )
50
5024
0968
50482
25241
0
3
2301
2
3
4
5
s
s
s
ds
sdP
deesCoeficients
s
s
←
No existen cambios de signo en la primera columna, no hay raíces con parte real positiva, sin embargo si hay
raíces imaginarias.
Despejando las raíces del polinomio auxiliar
( ) 050482 24
=++= sssP
Obtenemos
0446.1
7863.4
js
js
±=
±=

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INGENIERÍA DE CONTROL 7 M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
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Ejemplo 5
Determine el rango de valores de K para la estabilidad.
La ecuación característica es
04020030 23
=++++ KKssss
El arreglo de coeficientes se convierte en
1
0
1
1
2
3
4030
2001
cs
bs
Ks
Ks +
( )
Kc
K
KK
b
40
3
1
200
30
4020030
1
1
=
−=
−+
=
Para la estabilidad, K debe ser positiva, y todos los coeficientes de la primera columna deben de serlo
también.
0
600,0200 3
1
>
<>−
K
KK
Por tanto, para que el sistema de control sea estable, el rango de K sería
6000 << K
Cuando 600=K , el sistema se vuelve oscilatorio y, matemáticamente, la oscilación se mantiene en una
amplitud constante.

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Ejemplo 6
Determine la estabilidad para siguiente sistema
La ecuación característica es
01011422 2345
=+++++ sssss
El arreglo de coeficientes se convierte en
10
10
6
1042
1121
0
1
1
1
2
3
4
5
s
ds
cs
s
s
s
ε
6
106
12124
1
1
1
1
=
−
=
−=
−
=
c
c
d
c
ε
εε
ε
Como el signo arriba y abajo de ε son diferentes, existen dos cambios de signo en los coeficientes de la
primera columna, hay dos raíces con parte real positiva, el sistema es inestable

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Ejemplo 7
Determine la estabilidad para siguiente sistema
La ecuación característica es
0633244 2345
=+++++ sssss
El arreglo de coeficientes es
( )sPauxiliarPolinomio
s
s
s
s
s
←
−−
000
06321
06020
63241
341
1
2
3
4
5
Todos los términos del renglón 1
s son cero. Entonces se forma el polinomio auxiliar a partir de los
coeficientes del renglón 2
s El polinomio auxiliar ( )sP es
( ) 6321 2
+= ssP
lo cual indica que hay dos raíces de igual magnitud y signo opuesto. La derivada de ( )sP con respecto a s es
( ) s
ds
sdP
42=
Los coeficientes del renglón 1
s de la ecuación, se sustituyen por el polinomio determinado. Por consiguiente,
el arreglo de coeficientes se convierte en
( )
63
042
06321
06020
63241
341
0
1
2
3
4
5
s
ds
sdP
deesCoeficients
s
s
s
s
←
−−
Existen dos cambios de signo en la primera columna, hay dos raíces con parte real positiva.
Pero también existen raíces imaginarias por el cero que se formó en el renglón 1
s Despejando las raíces del
polinomio auxiliar
( ) 06321 2
=+= ssP
Obtenemos las dos raíces imaginarias
732.1js ±=

10. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
INGENIERÍA DE CONTROL 10 M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
Problemas
De las siguientes ecuaciones características, determine la estabilidad del sistema.
1. 022 234
=++++ Kssss
2. 02 2345
=+++++ Ksssss
3. 0862 234
=++++ ssss
4. 042 23
=+++ Ksss
5. 0234
=++++ Kssss (caso 1)
6. 01234
=++++ sKsss